坐 标 计 算
第一章 缓和曲线的坐标公式
如图1-1所示, 其坐标系是以缓和曲线起点ZH 为原点O ，以切线为x 轴，以过原点的曲线半径为 y 轴。若原点O 至P 点的缓和曲线长度为，过P 点切线与x 轴的交角为β（即半径由∞变至角）。若P 有微小变化至P ′时，则增长
，（x,y ）增长（
）, 则有以下关系，
的中心
图 1-1
得，
（2-1）
由公式(常数) 得知，故有
则
将上式代入（1-1）式中，得
即
（2-2）
以及的关系代入上式得
即
以
代入上式得
（2-3）
上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y ）的计算公式。 缓和曲线上任一点P 的切线与x 轴的交角可由前面公式得
，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。其计算
（弧度） （2-4）
若将
代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果：
-5）
上式即为缓和曲线终点HZ （ZH ）的坐标及螺旋角的计算公式。
第二章 圆曲线要素及计算公式
如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其
2
（
图 2-1
连接曲线圆曲线的半径为R ，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY 点、YZ 点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY 、圆直点YZ 和曲中点QZ 为圆曲线三主要点。我们称R 、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T 、曲线长L 、外矢距E 和切曲差（切线长和曲线长之差）D 为曲线6要素。只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。现将圆曲线的元素列下：
：转向角 （实地测出） R ：曲率半径（设计给出）
T ： 切线长（计算得出） L ：曲线长（计算得出） D ：切曲差（计算得出）
偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R 是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：
第三章 偏角法测设介绍
偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。
如图3-1所示，1，2…，，…，n 为设计之详测点，邻点间距均为c ，弦长c
所对应的圆心角为。当放样至详测点时，可在ZY 点置镜，后视JD 方向，拨出偏角线方向交会，即得出点。
, 再自-1点量距C 和拨出的视
图 3-1
若弦长c 所对应的弧长为C ′，可根据弦切角等于其所对应圆心角之半求出各点的偏角
：
实际作业中，有时为了测量和施工的方便，一般要求圆曲线详测点的里程尾数为选定弧长C ′的整数倍。但ZY 点、YZ 点及QZ 的里程尾数却不一定为C ′的整数倍，这样在曲线的两端则出现小于C ′的分弦。
第四章 圆曲线要素计算及测设
根据提供资料，
=40º20′（右）,R=100米，转角点JD 的桩号为K3+135.12，用偏角法测设
各桩点（规定桩距为20米）。
切线长：
曲线长
:
外矢距：切曲差：经计算，T=36.73
L=70.40
E=6.53
根据JD 的桩号为K3+135.12，则：
JD桩号 K3+135.12
-) T 36.73
ZY 桩
号 K3+0
98.39
+) L 70.40 YZ 桩
号 K3+0
98.39
-) L/2 35.20 QZ 桩
号 K3
+133.59
+) D/2 1.53
JD 桩
号 K3
+135.12
所以，经计算交点的里程与校核计算相符。
第一节 仪器安置在ZY 点上的施测法
一、在ZY 点上施测法1 1．计算
根据转折角和半径R 及交点桩计算三主点的桩号为：
ZY ： K3+098.39； QZ ：K3+133.59 ；YZ ： K3+168.79。
因ZY 点的里程为3+098.39，在曲线上，它前面最近的整里程为3+100.00，所以起始弧长=（3+100）-（3+098.39）=1.61（m ）。又因点YZ 点的里程为3+168.79，在曲线上，它后面最近的里程为3+160.00，弧长
=(3+168.79)-(3+160.00)=8.79（m ）。
现将计算的偏角值到列表如表4-1，供测设时使用。
表 4-1
角为=20º10′00″，与计算之总偏角20º10′05″相差05″，这是因为偏角表计算至秒为止，秒后
数值四舍五入所造成的误差，与测量精度无影响，属容许误差。
2、施测方法：
如图4-1所示，将仪器安置在ZY 点上，全站仪显示对准0º0′0″，后视JD ，然后旋转望远镜，拨至第一桩点K3+100.00的偏角0º27′40″，从ZY 点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角6º11′26″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。
图 4-1
核对方法：用偏角法测至YZ 点，如与预先测得YZ 点位置相同， 则说明施测之曲线正确。
二、在ZY 点上施测法2
置仪器于ZY 点上，也可用曲线内第一整桩点作为累计偏角的起始点进行施测。 1、计算
同前所计算，第一段曲线长为1.61米，相应的偏角为0º27′40″，现将计算的偏角值到列表如表
表 4-2
检查方法按总偏角核对，该课题的总偏角为=20º10′00″，与计算之总偏角19º42′25″+0º
27′40″=20º10′05″相差05″，属容许误差。
2、施测方法
将仪器安置在ZY 点上，全站仪显示对准359º32′20″后视JD ，然后旋转望远镜，拨角度0º27′40″则全站仪显示对在0º0′0″上，从ZY 点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出
第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角5º43′46″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。
核对方法同前。
此法优点是第一桩点后各桩点，特别是查桩点的偏角查算简单。
第二节 全站仪安置在QZ 点上施测法
一、全站仪安置在QZ 点上施测法1
此法以QZ 点为计算起点，算出各桩点偏角。 1、计算
表 4-3
检查方法按核对时，此时=10º05′00″，ZY 偏角为360º00′00″-349º54′58″=10º05′
02″，YZ 偏角为10º05′03″，属容许误差。
2、施测方法
如图4-2，将仪器安置在QZ 点上，全站仪显示对准270º00′00″后视JD ，然后旋转望远镜，拨角度0º00′00″，此方向即为QZ 点之切线方向，然后根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，自QZ 点起分别向ZY 和YZ 两个方向同前述方法依次测设曲线间各桩点。
核对方法：用偏角法测至ZY 、YZ 点，如与预先测得ZY 、YZ 点位置相符，则说明正确。
图 4-2
二、全站仪安置在QZ 点上施测法2
置仪器与QZ 点上，也可用ZY 点作为计算起点进行施测。 1、计算
现将计算的偏角值到列表如表4-4，供测设时使用。
检查方法按总偏角核对，总偏角=20º10′00″，与计算之总偏角200º10′05″-180º00′00″
=20º10′05″，差05″，属容许误差。
表 4-4
将仪器安置在QZ 点上，全站仪显示对准00º00′00″后视ZY 点。根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，同前述方法逐个测点QZ 点前半个曲线的各桩点后，将全站仪显示对在QZ 点的偏角10º05′02″上，然后倒镜，再依次测设QZ 点后半个曲线间的各桩点。
核对方法：用偏角法测至YZ 点，如与预先测得YZ 点位置相符，则说明正确。
三、将全站仪安置在YZ 点亦可施测，其方法与置仪器在YZ 点相同，但偏角方向相反，施测时要用反拨偏角值，360º减去其弦切角方向为偏角值。
第三节 全其它施测法
第
11 页 共 11 页
如果前述方法不宜测定曲线全部桩点，则可将全站仪安置在曲线上任意适当的桩点进行施测。如图4-3所示，若仪器在K3+120点，将全站仪显示对准00º00′00″或对准K3+100点的偏角00º27′40″，倒镜后视ZY 点或后视K3+100点，并固定下盘，反转望远镜为正镜，是全站仪显示对准K3+133.59的偏角10º05′02″上，亦可定出K3+133.59点。同法依次测设曲线间其它各桩点。
第
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坐 标 计 算
第一章 缓和曲线的坐标公式
如图1-1所示, 其坐标系是以缓和曲线起点ZH 为原点O ，以切线为x 轴，以过原点的曲线半径为 y 轴。若原点O 至P 点的缓和曲线长度为，过P 点切线与x 轴的交角为β（即半径由∞变至角）。若P 有微小变化至P ′时，则增长
，（x,y ）增长（
）, 则有以下关系，
的中心
图 1-1
得，
（2-1）
由公式(常数) 得知，故有
则
将上式代入（1-1）式中，得
即
（2-2）
以及的关系代入上式得
即
以
代入上式得
（2-3）
上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y ）的计算公式。 缓和曲线上任一点P 的切线与x 轴的交角可由前面公式得
，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。其计算
（弧度） （2-4）
若将
代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果：
-5）
上式即为缓和曲线终点HZ （ZH ）的坐标及螺旋角的计算公式。
第二章 圆曲线要素及计算公式
如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其
2
（
图 2-1
连接曲线圆曲线的半径为R ，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY 点、YZ 点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY 、圆直点YZ 和曲中点QZ 为圆曲线三主要点。我们称R 、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T 、曲线长L 、外矢距E 和切曲差（切线长和曲线长之差）D 为曲线6要素。只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。现将圆曲线的元素列下：
：转向角 （实地测出） R ：曲率半径（设计给出）
T ： 切线长（计算得出） L ：曲线长（计算得出） D ：切曲差（计算得出）
偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R 是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：
第三章 偏角法测设介绍
偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。
如图3-1所示，1，2…，，…，n 为设计之详测点，邻点间距均为c ，弦长c
所对应的圆心角为。当放样至详测点时，可在ZY 点置镜，后视JD 方向，拨出偏角线方向交会，即得出点。
, 再自-1点量距C 和拨出的视
图 3-1
若弦长c 所对应的弧长为C ′，可根据弦切角等于其所对应圆心角之半求出各点的偏角
：
实际作业中，有时为了测量和施工的方便，一般要求圆曲线详测点的里程尾数为选定弧长C ′的整数倍。但ZY 点、YZ 点及QZ 的里程尾数却不一定为C ′的整数倍，这样在曲线的两端则出现小于C ′的分弦。
第四章 圆曲线要素计算及测设
根据提供资料，
=40º20′（右）,R=100米，转角点JD 的桩号为K3+135.12，用偏角法测设
各桩点（规定桩距为20米）。
切线长：
曲线长
:
外矢距：切曲差：经计算，T=36.73
L=70.40
E=6.53
根据JD 的桩号为K3+135.12，则：
JD桩号 K3+135.12
-) T 36.73
ZY 桩
号 K3+0
98.39
+) L 70.40 YZ 桩
号 K3+0
98.39
-) L/2 35.20 QZ 桩
号 K3
+133.59
+) D/2 1.53
JD 桩
号 K3
+135.12
所以，经计算交点的里程与校核计算相符。
第一节 仪器安置在ZY 点上的施测法
一、在ZY 点上施测法1 1．计算
根据转折角和半径R 及交点桩计算三主点的桩号为：
ZY ： K3+098.39； QZ ：K3+133.59 ；YZ ： K3+168.79。
因ZY 点的里程为3+098.39，在曲线上，它前面最近的整里程为3+100.00，所以起始弧长=（3+100）-（3+098.39）=1.61（m ）。又因点YZ 点的里程为3+168.79，在曲线上，它后面最近的里程为3+160.00，弧长
=(3+168.79)-(3+160.00)=8.79（m ）。
现将计算的偏角值到列表如表4-1，供测设时使用。
表 4-1
角为=20º10′00″，与计算之总偏角20º10′05″相差05″，这是因为偏角表计算至秒为止，秒后
数值四舍五入所造成的误差，与测量精度无影响，属容许误差。
2、施测方法：
如图4-1所示，将仪器安置在ZY 点上，全站仪显示对准0º0′0″，后视JD ，然后旋转望远镜，拨至第一桩点K3+100.00的偏角0º27′40″，从ZY 点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角6º11′26″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。
图 4-1
核对方法：用偏角法测至YZ 点，如与预先测得YZ 点位置相同， 则说明施测之曲线正确。
二、在ZY 点上施测法2
置仪器于ZY 点上，也可用曲线内第一整桩点作为累计偏角的起始点进行施测。 1、计算
同前所计算，第一段曲线长为1.61米，相应的偏角为0º27′40″，现将计算的偏角值到列表如表
表 4-2
检查方法按总偏角核对，该课题的总偏角为=20º10′00″，与计算之总偏角19º42′25″+0º
27′40″=20º10′05″相差05″，属容许误差。
2、施测方法
将仪器安置在ZY 点上，全站仪显示对准359º32′20″后视JD ，然后旋转望远镜，拨角度0º27′40″则全站仪显示对在0º0′0″上，从ZY 点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出
第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角5º43′46″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。
核对方法同前。
此法优点是第一桩点后各桩点，特别是查桩点的偏角查算简单。
第二节 全站仪安置在QZ 点上施测法
一、全站仪安置在QZ 点上施测法1
此法以QZ 点为计算起点，算出各桩点偏角。 1、计算
表 4-3
检查方法按核对时，此时=10º05′00″，ZY 偏角为360º00′00″-349º54′58″=10º05′
02″，YZ 偏角为10º05′03″，属容许误差。
2、施测方法
如图4-2，将仪器安置在QZ 点上，全站仪显示对准270º00′00″后视JD ，然后旋转望远镜，拨角度0º00′00″，此方向即为QZ 点之切线方向，然后根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，自QZ 点起分别向ZY 和YZ 两个方向同前述方法依次测设曲线间各桩点。
核对方法：用偏角法测至ZY 、YZ 点，如与预先测得ZY 、YZ 点位置相符，则说明正确。
图 4-2
二、全站仪安置在QZ 点上施测法2
置仪器与QZ 点上，也可用ZY 点作为计算起点进行施测。 1、计算
现将计算的偏角值到列表如表4-4，供测设时使用。
检查方法按总偏角核对，总偏角=20º10′00″，与计算之总偏角200º10′05″-180º00′00″
=20º10′05″，差05″，属容许误差。
表 4-4
将仪器安置在QZ 点上，全站仪显示对准00º00′00″后视ZY 点。根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，同前述方法逐个测点QZ 点前半个曲线的各桩点后，将全站仪显示对在QZ 点的偏角10º05′02″上，然后倒镜，再依次测设QZ 点后半个曲线间的各桩点。
核对方法：用偏角法测至YZ 点，如与预先测得YZ 点位置相符，则说明正确。
三、将全站仪安置在YZ 点亦可施测，其方法与置仪器在YZ 点相同，但偏角方向相反，施测时要用反拨偏角值，360º减去其弦切角方向为偏角值。
第三节 全其它施测法
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如果前述方法不宜测定曲线全部桩点，则可将全站仪安置在曲线上任意适当的桩点进行施测。如图4-3所示，若仪器在K3+120点，将全站仪显示对准00º00′00″或对准K3+100点的偏角00º27′40″，倒镜后视ZY 点或后视K3+100点，并固定下盘，反转望远镜为正镜，是全站仪显示对准K3+133.59的偏角10º05′02″上，亦可定出K3+133.59点。同法依次测设曲线间其它各桩点。
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