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线性代数试卷
第一部分 选择题 (共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1. A , B 都是n 阶矩阵，且AB =0，则必有( )
(A) A =0或B =0 (B)|A|=|B|=0 (C)A =B =0 (D)|A|=0或|B|=0
⎛100⎫2.
A. C. 3. ）
A. 4. 设 A. C. 5. 6. A. s βs =0 B. 12s 111222s s s ）=0 C. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0 D. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+
λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A. 所有r -1阶子式都不为0 B. 所有r -1阶子式全为0 C. 至少有一个r 阶子式不等于0 D. 所有r 阶子式都不为0
8. 设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
11
A. η1+η2是Ax=0的一个解 B. η1+η2是Ax=b的一个解
22
C. η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9. 设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A. 秩(A )
A. 如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量 B. 如存在数λ和非零向量α，使(λE -A ) α=0，则λ是A 的特征值 C. A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D. 如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，
λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11.n 维向量组a 1……a i （2
（B (C) (D) 12. 设 A.| C. A 13. 设 A. B. C. D. 14. A.
⎛⎝⎛ C. ⎝15. 设16. 设17. 18. 设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则19. 设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .
20. 设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(
21. 设a=(1,k,0), b=(0,1,k), c=(k,0,1) .如果向量a ,b, c 线性无关，则实数k 的取值范围是 22. 设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为.
⎛0106⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪
23. 设矩阵A = 1-3-3⎪，已知α= -1⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值
⎪ ⎪⎝-2108⎭⎝2⎭
为 .
24. 设实二次型f(x1,x 2,x 3,x 4,x 5) 的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
⎛120⎫
⎛23-1⎫ ⎪T
25. 设A = 340⎪，B = （2）|4A |. ⎪. 求（1）AB ；
-240⎝⎭ ⎪
⎝-121⎭
26.
27. 28. 29. 30. AT =D .
31.
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32. 设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2.
线性代数实践论文
33. 设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b
（2）η0η22
的一个基础解系.
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线性代数试卷答案
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.D 12.B 13.D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 充要 16.
⎛⎝17. 18. –19. η20. n21. k≠22. –23. 1
24. z 25. 解26. 解 5
1
1
=-11
-51-1
-50
511
-62
=30+10=40. =-620=
-5-5
-5-50
27. 解 AB =A +2B 即（A -2E ）B =A ，而
线性代数实践论文
⎛223⎫
⎪-1
（A -2E ）= 1-10⎪
⎪⎝-121⎭
-1
⎛1-4-3⎫ ⎪= 1-5-3⎪. ⎪⎝-164⎭
⎛1-4-3⎫⎛423⎫ ⎪ ⎪
所以 B =(A -2E ) -1A = 1-5-3⎪ 110⎪
⎪ ⎪⎝-164⎭⎝-123⎭
⎛3-8-6⎫ ⎪= 2-9-6⎪. ⎪⎝-2129⎭
⎛-2130⎫⎛0-53-2⎫ ⎪ ⎪1-30-11-30-1⎪−⎪ 28. 解一 −→ 0224⎪ 0112⎪ ⎪ ⎪⎝34-19⎭⎝013-112⎭
⎛1
0−−→
0 ⎝0⎛1 0−−→
0 ⎝0
5⎫⎛1⎪
112⎪0
−−→
0088⎪
⎪
0-14-14⎭⎝0002⎫
⎪
101⎪
,
011⎪
⎪
003
0352⎪
0⎪
00⎭
2，1）T ，组合系数为（2，1，1）.
29. 解 ⎛-10 ⎪06-2⎪ A −−→ 08-2⎪ ⎪⎝093-2⎭
2⎫⎛1-2-10⎛1-2-1
⎪ 0328-3⎪032 −−→−−→ 000 0006-2⎪ ⎪ ⎝000-217⎭⎝000
2⎫
⎪8-3⎪
=B . 3-1⎪
⎪00⎭0
所以α4=2α1+α232，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x3
⎧-2x 1+x 2+33=3x =-12即1
2+2x =43⎪3x 1-x 3=9.
（1）秩（B ）=3，所以秩（A ）=秩（B ）=3.
（2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形，B 的第1、2、4列是
B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。
（A 的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
线性代数实践论文
30. 解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T ， ξ2=（2，0，1）T .
⎛2/5⎫⎛2/15⎫ ⎪ ⎪
经正交标准化，得η1= -/5⎪，η2= 4/15⎪.
0⎪ /3⎪⎝⎭⎝⎭
λ=-8的一个特征向量为
⎛1⎫⎛1/3⎫
⎪ ⎪ξ3= 2⎪，经单位化得η3= 2/3⎪.
⎪ ⎪⎝-2⎭⎝-2/3⎭
31. 解 32. 证 33. 证 由假设A η0=b ，A ξ1=0，A ξ2=0.
（1）A η1=A （η0+ξ1）=A η0+A ξ1=b ，同理A η2= b， 所以η1，η2是Ax =b 的2个解。 （2）考虑l 0η0+l 1η1+l 2η2=0，
即 （l 0+l 1+l 2）η0+l 1ξ1+l 2ξ2=0.
则l 0+l 1+l 2=0，否则η0将是Ax =0的解，矛盾。所以 l 1ξ1+l 2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l 1=0，l 2=0，从而 l 0=0 .
所以η0，η1，η2线性无关。
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线性代数试卷分析
通过对线性代数教材的深刻分析，我出版了此试卷。 此试卷以《线性代数》（科学出版社第二版）教材内容为
基本纲要，以行列式、矩阵、线性方程组、矩阵对角化、二次内容。
点突出、况。学模型的能力和意识，为学生学习后继数学课程、专业课程和将来从事科学研究工作打下一定的理论基础。
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线性代数试卷
第一部分 选择题 (共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1. A , B 都是n 阶矩阵，且AB =0，则必有( )
(A) A =0或B =0 (B)|A|=|B|=0 (C)A =B =0 (D)|A|=0或|B|=0
⎛100⎫2.
A. C. 3. ）
A. 4. 设 A. C. 5. 6. A. s βs =0 B. 12s 111222s s s ）=0 C. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0 D. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+
λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A. 所有r -1阶子式都不为0 B. 所有r -1阶子式全为0 C. 至少有一个r 阶子式不等于0 D. 所有r 阶子式都不为0
8. 设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
11
A. η1+η2是Ax=0的一个解 B. η1+η2是Ax=b的一个解
22
C. η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9. 设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A. 秩(A )
A. 如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量 B. 如存在数λ和非零向量α，使(λE -A ) α=0，则λ是A 的特征值 C. A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D. 如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，
λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11.n 维向量组a 1……a i （2
（B (C) (D) 12. 设 A.| C. A 13. 设 A. B. C. D. 14. A.
⎛⎝⎛ C. ⎝15. 设16. 设17. 18. 设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则19. 设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .
20. 设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(
21. 设a=(1,k,0), b=(0,1,k), c=(k,0,1) .如果向量a ,b, c 线性无关，则实数k 的取值范围是 22. 设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为.
⎛0106⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪
23. 设矩阵A = 1-3-3⎪，已知α= -1⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值
⎪ ⎪⎝-2108⎭⎝2⎭
为 .
24. 设实二次型f(x1,x 2,x 3,x 4,x 5) 的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
⎛120⎫
⎛23-1⎫ ⎪T
25. 设A = 340⎪，B = （2）|4A |. ⎪. 求（1）AB ；
-240⎝⎭ ⎪
⎝-121⎭
26.
27. 28. 29. 30. AT =D .
31.
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32. 设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2.
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33. 设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b
（2）η0η22
的一个基础解系.
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线性代数试卷答案
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.D 12.B 13.D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 充要 16.
⎛⎝17. 18. –19. η20. n21. k≠22. –23. 1
24. z 25. 解26. 解 5
1
1
=-11
-51-1
-50
511
-62
=30+10=40. =-620=
-5-5
-5-50
27. 解 AB =A +2B 即（A -2E ）B =A ，而
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⎛223⎫
⎪-1
（A -2E ）= 1-10⎪
⎪⎝-121⎭
-1
⎛1-4-3⎫ ⎪= 1-5-3⎪. ⎪⎝-164⎭
⎛1-4-3⎫⎛423⎫ ⎪ ⎪
所以 B =(A -2E ) -1A = 1-5-3⎪ 110⎪
⎪ ⎪⎝-164⎭⎝-123⎭
⎛3-8-6⎫ ⎪= 2-9-6⎪. ⎪⎝-2129⎭
⎛-2130⎫⎛0-53-2⎫ ⎪ ⎪1-30-11-30-1⎪−⎪ 28. 解一 −→ 0224⎪ 0112⎪ ⎪ ⎪⎝34-19⎭⎝013-112⎭
⎛1
0−−→
0 ⎝0⎛1 0−−→
0 ⎝0
5⎫⎛1⎪
112⎪0
−−→
0088⎪
⎪
0-14-14⎭⎝0002⎫
⎪
101⎪
,
011⎪
⎪
003
0352⎪
0⎪
00⎭
2，1）T ，组合系数为（2，1，1）.
29. 解 ⎛-10 ⎪06-2⎪ A −−→ 08-2⎪ ⎪⎝093-2⎭
2⎫⎛1-2-10⎛1-2-1
⎪ 0328-3⎪032 −−→−−→ 000 0006-2⎪ ⎪ ⎝000-217⎭⎝000
2⎫
⎪8-3⎪
=B . 3-1⎪
⎪00⎭0
所以α4=2α1+α232，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x3
⎧-2x 1+x 2+33=3x =-12即1
2+2x =43⎪3x 1-x 3=9.
（1）秩（B ）=3，所以秩（A ）=秩（B ）=3.
（2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形，B 的第1、2、4列是
B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。
（A 的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
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30. 解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T ， ξ2=（2，0，1）T .
⎛2/5⎫⎛2/15⎫ ⎪ ⎪
经正交标准化，得η1= -/5⎪，η2= 4/15⎪.
0⎪ /3⎪⎝⎭⎝⎭
λ=-8的一个特征向量为
⎛1⎫⎛1/3⎫
⎪ ⎪ξ3= 2⎪，经单位化得η3= 2/3⎪.
⎪ ⎪⎝-2⎭⎝-2/3⎭
31. 解 32. 证 33. 证 由假设A η0=b ，A ξ1=0，A ξ2=0.
（1）A η1=A （η0+ξ1）=A η0+A ξ1=b ，同理A η2= b， 所以η1，η2是Ax =b 的2个解。 （2）考虑l 0η0+l 1η1+l 2η2=0，
即 （l 0+l 1+l 2）η0+l 1ξ1+l 2ξ2=0.
则l 0+l 1+l 2=0，否则η0将是Ax =0的解，矛盾。所以 l 1ξ1+l 2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l 1=0，l 2=0，从而 l 0=0 .
所以η0，η1，η2线性无关。
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线性代数试卷分析
通过对线性代数教材的深刻分析，我出版了此试卷。 此试卷以《线性代数》（科学出版社第二版）教材内容为
基本纲要，以行列式、矩阵、线性方程组、矩阵对角化、二次内容。
点突出、况。学模型的能力和意识，为学生学习后继数学课程、专业课程和将来从事科学研究工作打下一定的理论基础。