平面几何中的射影定理
例6 如图3.1-12，在直角三角形ABC 中，ÐBAC 为直角，AD ^BC 于D . 求证：（1）AB 2=BD BC ，AC 2=CD CB ；
（2）AD 2=BD CD
证明 （1）在R t V B A C 与Rt V BDA 中，? B B ，
\V BAC ∽V BDA ，\
2BA BC =, 即AB 2=BD BC . BD BA 图3.1-12 同理可证得AC =CD CB .
（2）在Rt V ABD 与Rt V CAD 中，? C 90o -? CAD BAD ，
\Rt V ABD ∽Rt V CAD ，\AD DC =, 即AD 2=BD DC . BD AD
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例1：证明直角三角形的勾股定理
证明：如图在直角三角形ABC 中，ÐBAC 为直角，AD ^BC 于D . 则AB 2=BD BC ，AC 2=CD CB ；
AB 2+AC 2=BD ? BC CD BC
所以
例2 : 在V ABC 中，AD ^BC 于D , DE ^AB 于E , DF ^AC 于F ，求证：=BC (BD +CD ) =BC 2 AE ? AB . AF AC
， B C 证明 Q A D ^
\V ADB 为直角三角形，又DE ^AB ，
由射影定理，知AD 2=AE AB .
同理可得AD 2=AF AC .
\AE ? AB
AF AC . 图3.1-13
平面几何中的射影定理
例6 如图3.1-12，在直角三角形ABC 中，ÐBAC 为直角，AD ^BC 于D . 求证：（1）AB 2=BD BC ，AC 2=CD CB ；
（2）AD 2=BD CD
证明 （1）在R t V B A C 与Rt V BDA 中，? B B ，
\V BAC ∽V BDA ，\
2BA BC =, 即AB 2=BD BC . BD BA 图3.1-12 同理可证得AC =CD CB .
（2）在Rt V ABD 与Rt V CAD 中，? C 90o -? CAD BAD ，
\Rt V ABD ∽Rt V CAD ，\AD DC =, 即AD 2=BD DC . BD AD
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例1：证明直角三角形的勾股定理
证明：如图在直角三角形ABC 中，ÐBAC 为直角，AD ^BC 于D . 则AB 2=BD BC ，AC 2=CD CB ；
AB 2+AC 2=BD ? BC CD BC
所以
例2 : 在V ABC 中，AD ^BC 于D , DE ^AB 于E , DF ^AC 于F ，求证：=BC (BD +CD ) =BC 2 AE ? AB . AF AC
， B C 证明 Q A D ^
\V ADB 为直角三角形，又DE ^AB ，
由射影定理，知AD 2=AE AB .
同理可得AD 2=AF AC .
\AE ? AB
AF AC . 图3.1-13