集合的概念教材解读
湖南祁东育贤中学 周友良 421600
湖南省祁东县洪桥镇一中 徐秋蓉
一.内容分析：
1以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也2 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容使学生认识学习本章的意义3“这句话，只是对集合概二.要点归纳
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集（2）元素 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）N，N={0,1,2, }
（2）正整数集：非负整数集内排除0N*或N+
N*={1,2,3, }
±1，±2， } （3）整数集Z , Z={0，
（4）有理数集Q ,
} Q={整数与分数
（5）实数集R
R=数轴上所有点所对数 应的
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括
数 （2）非负整数集内排除0N*或N+ 、Z、R等其它
数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0
的集，表示成Z*
3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A
4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， （2）互异性（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q„„
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q„„
⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A（二）集合的表示方法
1、列举法{}
例如，由方程x-1=0的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
注：（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，„，100}
所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，„}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只 2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 格式：{x∈A| P（x）} 2
含义：在集合A中满足条件P（x）的x例如，不等式x-3>2的解集可以表示为：{x∈R|x-3>2}或 {x|x-3>2 所有直角三角形的集合可以表示为：{x|x是直角三角形}
注：（1 如：{直角三角形}；{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、文氏图4、何时用列举法？何时用描述法？
⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举集合{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2}
如：集合{(x,y)|y=x2+1}；集合{1000以内的质数}
例 集合{(x,y)|y=x2+1}与集合{y|y=x2+1}是同一个集合吗？
答：不为集合{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上所有的点构成的集合，集合{y|y=x2+1}={y|y≥1} 是函数y=x2+1（三） 有限集与无限集
1、 有限集2、 无限集3、 空集Φ，如：{x∈R|x+1=0} 2
（四） 子集
1 定义：
（1）子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一 ．．
个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集
合B，或集合B包含集合
记作:A⊆B或B⊇A ，A⊂B或B⊃A
读作：A包含于B或B包含A
若任意x∈A⇒x∈B，则A⊆B
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记
作A⊆/B或B⊇/A
注：A⊆B有两种可能
（1）A是B的一部分，；（2）A与B（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同．．
时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作．．
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，
记作：A或B读作A真包含于B或B真包含（4）如A⊆B与B⊇A同义；A⊆B与A⊇B不同
（5）⊆A 若A≠Φ，则Φ
A⊆A （6）易混符号
①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关如1∈N,-1∉N,N⊆R,Φ⊆R，{1}⊆{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ 如 Φ⊆Φ={0}，Φ∈{0}
三.集合概念问题正误辨析．
1. 下面是三位同学的书面表述，请辨别正误：
甲生：1∈N,-1∉N,N⊆R,∅⊆R．
乙生：{0}{},1∈{1,2,3},1⊆{1,2,3}．
丙生：∅=0,∅∈{0}．
老师诊断：甲是正确的，乙与丙是错误的，要注意区分一些容易混淆的符号．
∈时表示元素与集合之间关系的，因此有１∈N，－１∉N （１）∈与⊆的区别：
等；⊆是表示集合与集合之间关系的，因此有N⊆R，∅⊆R等．
（２）a与{a} {a}表示只有一个元素的的区别是：一般的，a表示一个元素，而
集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}{},1⊆{1,2,3}等，不能写成0={0}{},1∈{1,2,3},1⊆{1,2,3}．
（３）{0}与∅的区别是：{0}是含有一个元素的一个集合，而∅是不含有元素的集合，因此∅⊆{0},不能写成∅＝{0},∅∈{0}.
2. 下面是四位同学的说法，请判断正误：
甲生：集合{1,1}与集合{}1表示同一集合。
乙生：集合{1,2}与集合{x=1,y=2}表示同一集合。
丙生：若x,x2与{1，x}表示同一集合，则x=0或1。 丁生：集合yy={}{2x-1,x∈R与集合xy=2x-1,x∈R表示同一集合。 }{}
老师诊断：四位同学的说法都是错误的。
1,1}这种说法。 甲同学忽视了集合中元素的互异性，即集合中的元素是互不相同的，没有{
1,2}是由数“1，2”组成的集合，{x=1,y=2}的元素确是两个式子乙同学没有区分两个集合的不同点，{
“x=1”与“y=2”。
2丙同学忽视了元素的互异性：x=0 时，x=x;x=1时，x=x2,但由x≠x2知 x≠0
且x≠1。正确的思考方法应该是：
⎧x≠x2⇒x≠0且x≠1⎪ ⎨1≠x⇒x≠1
⎪x2=1⇒x=1或x=-1⎩∴x=-1。 丁同学错误在于只注意了元素满足的公共属性是相同的：y=2x-1，而两个集合要描述的元素分别是同一个函数的函数值和自变量，也就是说两个集合分别是同一个函数的值域和定义域。
电子邮箱周友良 [email protected],手机号码[1**********]；QQ;406426941
集合的概念教材解读
湖南祁东育贤中学 周友良 421600
湖南省祁东县洪桥镇一中 徐秋蓉
一.内容分析：
1以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也2 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容使学生认识学习本章的意义3“这句话，只是对集合概二.要点归纳
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集（2）元素 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）N，N={0,1,2, }
（2）正整数集：非负整数集内排除0N*或N+
N*={1,2,3, }
±1，±2， } （3）整数集Z , Z={0，
（4）有理数集Q ,
} Q={整数与分数
（5）实数集R
R=数轴上所有点所对数 应的
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括
数 （2）非负整数集内排除0N*或N+ 、Z、R等其它
数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0
的集，表示成Z*
3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A
4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， （2）互异性（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q„„
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q„„
⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A（二）集合的表示方法
1、列举法{}
例如，由方程x-1=0的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
注：（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，„，100}
所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，„}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只 2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 格式：{x∈A| P（x）} 2
含义：在集合A中满足条件P（x）的x例如，不等式x-3>2的解集可以表示为：{x∈R|x-3>2}或 {x|x-3>2 所有直角三角形的集合可以表示为：{x|x是直角三角形}
注：（1 如：{直角三角形}；{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、文氏图4、何时用列举法？何时用描述法？
⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举集合{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2}
如：集合{(x,y)|y=x2+1}；集合{1000以内的质数}
例 集合{(x,y)|y=x2+1}与集合{y|y=x2+1}是同一个集合吗？
答：不为集合{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上所有的点构成的集合，集合{y|y=x2+1}={y|y≥1} 是函数y=x2+1（三） 有限集与无限集
1、 有限集2、 无限集3、 空集Φ，如：{x∈R|x+1=0} 2
（四） 子集
1 定义：
（1）子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一 ．．
个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集
合B，或集合B包含集合
记作:A⊆B或B⊇A ，A⊂B或B⊃A
读作：A包含于B或B包含A
若任意x∈A⇒x∈B，则A⊆B
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记
作A⊆/B或B⊇/A
注：A⊆B有两种可能
（1）A是B的一部分，；（2）A与B（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同．．
时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作．．
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，
记作：A或B读作A真包含于B或B真包含（4）如A⊆B与B⊇A同义；A⊆B与A⊇B不同
（5）⊆A 若A≠Φ，则Φ
A⊆A （6）易混符号
①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关如1∈N,-1∉N,N⊆R,Φ⊆R，{1}⊆{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ 如 Φ⊆Φ={0}，Φ∈{0}
三.集合概念问题正误辨析．
1. 下面是三位同学的书面表述，请辨别正误：
甲生：1∈N,-1∉N,N⊆R,∅⊆R．
乙生：{0}{},1∈{1,2,3},1⊆{1,2,3}．
丙生：∅=0,∅∈{0}．
老师诊断：甲是正确的，乙与丙是错误的，要注意区分一些容易混淆的符号．
∈时表示元素与集合之间关系的，因此有１∈N，－１∉N （１）∈与⊆的区别：
等；⊆是表示集合与集合之间关系的，因此有N⊆R，∅⊆R等．
（２）a与{a} {a}表示只有一个元素的的区别是：一般的，a表示一个元素，而
集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}{},1⊆{1,2,3}等，不能写成0={0}{},1∈{1,2,3},1⊆{1,2,3}．
（３）{0}与∅的区别是：{0}是含有一个元素的一个集合，而∅是不含有元素的集合，因此∅⊆{0},不能写成∅＝{0},∅∈{0}.
2. 下面是四位同学的说法，请判断正误：
甲生：集合{1,1}与集合{}1表示同一集合。
乙生：集合{1,2}与集合{x=1,y=2}表示同一集合。
丙生：若x,x2与{1，x}表示同一集合，则x=0或1。 丁生：集合yy={}{2x-1,x∈R与集合xy=2x-1,x∈R表示同一集合。 }{}
老师诊断：四位同学的说法都是错误的。
1,1}这种说法。 甲同学忽视了集合中元素的互异性，即集合中的元素是互不相同的，没有{
1,2}是由数“1，2”组成的集合，{x=1,y=2}的元素确是两个式子乙同学没有区分两个集合的不同点，{
“x=1”与“y=2”。
2丙同学忽视了元素的互异性：x=0 时，x=x;x=1时，x=x2,但由x≠x2知 x≠0
且x≠1。正确的思考方法应该是：
⎧x≠x2⇒x≠0且x≠1⎪ ⎨1≠x⇒x≠1
⎪x2=1⇒x=1或x=-1⎩∴x=-1。 丁同学错误在于只注意了元素满足的公共属性是相同的：y=2x-1，而两个集合要描述的元素分别是同一个函数的函数值和自变量，也就是说两个集合分别是同一个函数的值域和定义域。
电子邮箱周友良 [email protected],手机号码[1**********]；QQ;406426941