1. 已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为
[a-1,a-1/2]时, 求f(x)值
解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),
所以，f(x)= -1+1/(a-x),
当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时
x∈[a-1,a-1/2]
(a-x)∈[1/2,1]
1/(a-x)∈[1,2]
f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]
2. 设a 为非负数, 函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时, 求函数的单调区间
(2)讨论函数y=f(x)的零点个数
解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2
当x
当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1
∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；
(2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① - 1 - a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;
0a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;
a>4时，②无实根，零点个数为1。
a=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；
x
a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;
a
综上，a4时零点个数为1；
a=土4时，零点个数为2；
-4
3. 已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称
（1）求常数m 的值
（2）当x ∈（3,4）时，求f(x)的值域；
（3）判断f(x)的单调性并证明。
解：1、函数f(x)=log3 [1-m(x+2)[/(x-3)图象关于原点对称，
则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。
log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=-log3 [1-m(x+2)]/(x-3)
log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=log3(x-3)/ [1-m(x+2)]
[1-m(2-x)]/(-x-3)=(x-3)/[1-m(x+2)]
化简得 -x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2
所以 -m^2=-1
（2m-1)^2=9
解得 m=-1
所以, 函数解析式为f(x)=log3 [ (x+3)/(x-3)]
2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4) 上的值域。
t(x）=（x+3)/(x-3)=[(x-3)+6]/(x-3)=1+[6/(x-3)]
当3
1/(x-3)>1,
6/(x-3)>6
所以 t(x)=1+[6/(x-3)]>7
那么, 原函数在（3,4) 上值域是（log3 (7)，正无穷）
3、先求函数定义域
x0且x≠3 解得 x>3或- 2 - (1)当x>3时，
因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以 函数f(x)=log3 t(x)单调递减。
（2）当x
4. 已知函数f （x ）=log4（4^x+1）+kx是偶函数.
(1)求k 的值
(2)设f （x ）=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根, 求实数的取值范围. 解:（1）f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数，
∴f(-x)=f(x),
即log[4^(-x)+1]+k(-x)=log(4^x+1)+kx,
∴log{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,
-x=2kx,
k=-1/2.
(2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x]
g(x)=log4(a · 2^x-4/3a)
联立 log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a · 2^x-4/3a)
∴ (4^x+1)/2^x=a·2^x-4/3a
不妨设t=2^x t
＞0
t^2+1/t=at-4/3a
t^2+1=at^2-4/3at
(a-1)t^2-4/3at-1=0
设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1
∵两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根
1. 当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)
2. 当△=0时 a=3/4 或a=-3
a=3/4时 t= -1/2＜0 （舍）
a=-3时 t=1/2满足
3. 当一正根一负根时
(a-1) × u(0)＜0 (根据根的分布)
∴a＞1
综上所述，得a=-3或a ＞1
5.
- 3 -
这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围（0，无穷），f²(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。
2. 对f(x)的图像进行分析，知道f(x)=1对应的x 值有三个，即除x=2外另有两个关于x=2对称的x 。f(x)不等于1时对应的x 值有两个，即两个关于x=2对称的两个x 。
3. 题意说f²(x)+bf(x)+c=0对应的x 根有5个，显然满足f²(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个，一个f(x)对应三个x 值，设为x1,x2,x3; 另一个f （x ）对应两个x, 设为x4,x5;
根据以上分析，应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则f （x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选B
- 4 -
- 5 -
7. 定义域为R 的偶函数f(x),当x>0时，f(x)=lnx-ax(a属于R) ，方程f(x)=0在R 上恰有5个不同的实数解
（1）求x
(2)求实数a 的取值范围
(1)f(x)为偶函数，有一个大于零的解，则一定会有一个小于零的解和他对应，f(x)=0在R 上有5个不同的实数解，则f(0)=0，f(x)在x >0时有两个解当x0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a ＜0时，y=lnx , y=-ax在x >0时都单调增，则f(x)=lnx-ax 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a=0时，f(x)=lnx 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a ＞0时，f '(x)=1/x-a 当x=1/a时，f '(x)=0，f(x)在(0,1/a)单调增, 在(1/a,+∞)单调减, 在x=1/a取到最大值 要f(x)在x >0时有两个解, 只要f(1/a)＞0，即ln(1/a)＞1,1/a＞e, 得a ＜1/e综上,a∈(0,1/e)
8. 定义域为R 的偶函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）=lnx-ax（a∈R），方程f （x ）=0在R 上恰有5个不同的实数解．
（2）求实数a 的取值范围．
解答：解：（1）设x ＜0，则-x ＞0．
∵f（x ）为偶函数，∴f（x ）=f（-x ）=ln（-x ）+ax．
（2）∵f（x ）为偶函数，∴f（x ）=0的根关于原点对称．
由f （x ）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根．
且两个正根和二个负根互为相反数．∴原命题⇔当x ＞0时f （x ）图象与x 轴恰有两个不同的交点． 下面研究x ＞0时的情况：f （x ）=0的零点个数⇔y=lnx与直线y=ax交点的个数．
∴当a≤0时，y=lnx递增与直线y=ax下降或与x 轴重合，
故交点的个数为1，不合题意，∴a＞0．
由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x 轴到与y=lnx相切（1）求x ＜0时，函数f （x ）的解析式； - 6 - 之间的情形．
设切点(t ，lnt) ⇒k ＝(lnx )′|x＝t ＝， 1
t
∴切线方程为：y −lnt ＝(x−t) ． 1
t
由切线与y=ax重合知，lnt ＝1⇒t ＝e ， 1) ． e 故实数a 的取值范围为(0，
9. 函数
y=loga(2x-3)+2的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(9)=___ 2
解:由于 loga(1) 恒等于0，
所以 P坐标为（2，2），而P 在幂函数的图像上，所以设这个函数为 f(x)=x^a， 2
则 2=2^a，解得 a=-1/2，所以 f(9)=9^(-1/2)=1/√9=1/3。 2
10. 函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(2)=___
解:P点坐标为（-1，2），与a 无关
而幂函数f(x)=b^x要经过P 点，则2=b^-1，所以b=1/2
所以f(2)=(1/2)^2=1/4 - 7 -
11. 若偶函数f （x ）满足f （x-1）=f（x+1）且在x 属于【0，1】时 f（x ）=x的平方，则关于x 的方程f （x ）=(1/10)的x 的平方在[0,10/3]上的实数根有几个
f(x－1)=f(x＋1) ，则函数f(x)的周期为2，可以作出函数f(x)的图像。另外设g(x)=(1/10)x² ，利用图像，得出方程f(x)=g(x)的根有2个。
12. 已知偶函数f （x ）满足f （x ＋1）=f（x-1），且x∈[0,1]，f （x ）=（x-1）²，则f
（7/2）=
解:由f(x+1)=f(x-1) 则f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2) =f(1/2)=(1/2-1)²=1/4
13. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数, 且当x
（1）求函数f(x)的解析式，作出函数的图象。
（2）写出单调区间，并求出函数f(x)的值域
解：（1）根据题意，
当x ＞0时，-x ＜0， ∴f(x)=-f(-x)=-[2^(-x) +1]=-1-(1/2)^x ∴x＜0时,f(x)=1+2^x x ＞0时，f(x)=-1-(1/2)^x
(2)递增区间是(-∞，0) 和(0,+∞)
x ＜0时，f(x)∈(0,2) x＞0时，f(x)(-2,0)
∴f(x)的值域是(-2,0）∪(0,2）
图像
14. 题目：设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并
式 且f(x)-g(x)=x²-3x+1,求f(x)和g(x)的解析- 8 -
f(x)-g(x)=x²-3x+1
f(-x)-g(-x)=（-x ）²-3（-x ）+1=-f(x)-g(x)【根据两个函数性质可得】
解上述两个方程
得f(x)=-3x g(x)=-x²-1
15. 已知f （x) 是定义在R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数，且g(x)=f(x-1),则f(2011)+f(2013)的值为？ 解：g(x)=f(x-1)=>g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)
f(2011)=g(2012)
f(2013)=g(-2012)
f （2011）+f（2013）=0
16. 若函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=___”
解:f(x)+g(x)=1/（x －1） （1）
f(-x)+g(-x)=-1/（x+1） （2）
由f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)可知
f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（x+1） （3）
（1）和（3）相加则有
2f(x)=-1/（x －1）-1/（x+1）
则f(x)=1/(x^2-1)
17. 函数f(x)对任意实数x1,x2, 总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x>0时,f(x)>3
(1).求证:f(x)在R 上是增函数
(2).若f(3)=6,解不等式f(a^2-3a-9)
(1).证明：任取x1,x2, 且x1
∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>3,
∴f(x2)= f[(x2-x1)+x1]= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+[f(x2-x1)-3]>f(x1),
∴对任意x1
(2)由f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=[f(1)+f(1)-3]+f(1)-3=3f(1)-6=6,
得f(1)=4,
∴f(a^2-3a-9)
f(x)在R 上为增函数，a^2-3a-9
解得-2
18. 若定义在R 上的函数f （x ）对任意的x1，x2属于R ，都有f （x1＋x2）＝f （x1）＋f （x2）－1成立，且当x>0时，f （x ）>1.
(1)求证：[f（x ）－1]＋[f（-x ）－1]＝0；
(2)证：f(x)是R 上的增函数 - 9 -
(1)证明：令x1=x，x2=0 ∴f(x)=f(0)+f(x)-1 即f(0)=1
又令x1=x，x2=-x 则f(0)=f(x)+f(-x)-1
又∵f(0)=1 ∴f(x)+f(-x)=2 ∴ [f（x ）－1]＋[f（-x ）－1]＝0
(2)证明：设 x10
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1
∵当x>0时，f （x ）>1 ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1>1（注：已知条件）
即是f(x2)+f(-x1)>2
又∵f(x)+f(-x)=2（注：已证明） ∴f(x2)+2-f(x1)>2 整理得：f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)＜f(x2) 在实数R 上，存在有任意x1
19.设f(x)是定义在R 上的函数，对任意x,y 属于R 有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时有f(x)>1,且f(3)=4
1. 求f(1),f(4)的值
2. 判断并证明f(X)的单调性
3. 若关于x 的不等式f(ax-1)
解：（1）令x=y=1可得f （1+1）=f（1）+ f（1）—1 ①
令x=1 y=2可得f （1+2）= f（1）+f（2）—1②
已知f(3)=4③ 联立上式得f （1）=2
令x=1 y=3得f （1+3）= f（1）+ f(3)—1=5
（2）令y=1 带入已知的抽象函数f （x+1）=f（x ）+f（1）—1 移项得f （x+1）—f （x ）=1 所以函数f （x ）为增函数
（3）由（2）知函数f （x ）为增函数，所以有ax-1﹤f （4）x 由题意知不等式（a-5）x-1﹤0的解集为x ﹤3（因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x ﹤3，这里你要想明白） 所以问题可以转化为对任意的x ﹤3都有（a-5）x-1﹤0 成立 令函数
f （x ）=（a-5）x-1 要满足任意的x ﹤3都有 f（x ）﹤0 ①当a≠0时，只要函数为增函数且f
（3）﹤0就行 有a-5 ﹥0 且 f（3）﹤0推出 5﹤ a﹤16 3
②当a=5时，f （x ）=－1，显然f （x ）﹤0的解集不是x ﹤3，不合题意。
综上a 的取值范围为5﹤ a﹤16. 3
- 10 -
1. 已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为
[a-1,a-1/2]时, 求f(x)值
解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),
所以，f(x)= -1+1/(a-x),
当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时
x∈[a-1,a-1/2]
(a-x)∈[1/2,1]
1/(a-x)∈[1,2]
f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]
2. 设a 为非负数, 函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时, 求函数的单调区间
(2)讨论函数y=f(x)的零点个数
解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2
当x
当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1
∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；
(2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① - 1 - a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;
0a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;
a>4时，②无实根，零点个数为1。
a=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；
x
a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;
a
综上，a4时零点个数为1；
a=土4时，零点个数为2；
-4
3. 已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称
（1）求常数m 的值
（2）当x ∈（3,4）时，求f(x)的值域；
（3）判断f(x)的单调性并证明。
解：1、函数f(x)=log3 [1-m(x+2)[/(x-3)图象关于原点对称，
则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。
log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=-log3 [1-m(x+2)]/(x-3)
log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=log3(x-3)/ [1-m(x+2)]
[1-m(2-x)]/(-x-3)=(x-3)/[1-m(x+2)]
化简得 -x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2
所以 -m^2=-1
（2m-1)^2=9
解得 m=-1
所以, 函数解析式为f(x)=log3 [ (x+3)/(x-3)]
2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4) 上的值域。
t(x）=（x+3)/(x-3)=[(x-3)+6]/(x-3)=1+[6/(x-3)]
当3
1/(x-3)>1,
6/(x-3)>6
所以 t(x)=1+[6/(x-3)]>7
那么, 原函数在（3,4) 上值域是（log3 (7)，正无穷）
3、先求函数定义域
x0且x≠3 解得 x>3或- 2 - (1)当x>3时，
因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以 函数f(x)=log3 t(x)单调递减。
（2）当x
4. 已知函数f （x ）=log4（4^x+1）+kx是偶函数.
(1)求k 的值
(2)设f （x ）=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根, 求实数的取值范围. 解:（1）f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数，
∴f(-x)=f(x),
即log[4^(-x)+1]+k(-x)=log(4^x+1)+kx,
∴log{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,
-x=2kx,
k=-1/2.
(2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x]
g(x)=log4(a · 2^x-4/3a)
联立 log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a · 2^x-4/3a)
∴ (4^x+1)/2^x=a·2^x-4/3a
不妨设t=2^x t
＞0
t^2+1/t=at-4/3a
t^2+1=at^2-4/3at
(a-1)t^2-4/3at-1=0
设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1
∵两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根
1. 当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)
2. 当△=0时 a=3/4 或a=-3
a=3/4时 t= -1/2＜0 （舍）
a=-3时 t=1/2满足
3. 当一正根一负根时
(a-1) × u(0)＜0 (根据根的分布)
∴a＞1
综上所述，得a=-3或a ＞1
5.
- 3 -
这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围（0，无穷），f²(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。
2. 对f(x)的图像进行分析，知道f(x)=1对应的x 值有三个，即除x=2外另有两个关于x=2对称的x 。f(x)不等于1时对应的x 值有两个，即两个关于x=2对称的两个x 。
3. 题意说f²(x)+bf(x)+c=0对应的x 根有5个，显然满足f²(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个，一个f(x)对应三个x 值，设为x1,x2,x3; 另一个f （x ）对应两个x, 设为x4,x5;
根据以上分析，应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则f （x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选B
- 4 -
- 5 -
7. 定义域为R 的偶函数f(x),当x>0时，f(x)=lnx-ax(a属于R) ，方程f(x)=0在R 上恰有5个不同的实数解
（1）求x
(2)求实数a 的取值范围
(1)f(x)为偶函数，有一个大于零的解，则一定会有一个小于零的解和他对应，f(x)=0在R 上有5个不同的实数解，则f(0)=0，f(x)在x >0时有两个解当x0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a ＜0时，y=lnx , y=-ax在x >0时都单调增，则f(x)=lnx-ax 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a=0时，f(x)=lnx 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a ＞0时，f '(x)=1/x-a 当x=1/a时，f '(x)=0，f(x)在(0,1/a)单调增, 在(1/a,+∞)单调减, 在x=1/a取到最大值 要f(x)在x >0时有两个解, 只要f(1/a)＞0，即ln(1/a)＞1,1/a＞e, 得a ＜1/e综上,a∈(0,1/e)
8. 定义域为R 的偶函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）=lnx-ax（a∈R），方程f （x ）=0在R 上恰有5个不同的实数解．
（2）求实数a 的取值范围．
解答：解：（1）设x ＜0，则-x ＞0．
∵f（x ）为偶函数，∴f（x ）=f（-x ）=ln（-x ）+ax．
（2）∵f（x ）为偶函数，∴f（x ）=0的根关于原点对称．
由f （x ）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根．
且两个正根和二个负根互为相反数．∴原命题⇔当x ＞0时f （x ）图象与x 轴恰有两个不同的交点． 下面研究x ＞0时的情况：f （x ）=0的零点个数⇔y=lnx与直线y=ax交点的个数．
∴当a≤0时，y=lnx递增与直线y=ax下降或与x 轴重合，
故交点的个数为1，不合题意，∴a＞0．
由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x 轴到与y=lnx相切（1）求x ＜0时，函数f （x ）的解析式； - 6 - 之间的情形．
设切点(t ，lnt) ⇒k ＝(lnx )′|x＝t ＝， 1
t
∴切线方程为：y −lnt ＝(x−t) ． 1
t
由切线与y=ax重合知，lnt ＝1⇒t ＝e ， 1) ． e 故实数a 的取值范围为(0，
9. 函数
y=loga(2x-3)+2的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(9)=___ 2
解:由于 loga(1) 恒等于0，
所以 P坐标为（2，2），而P 在幂函数的图像上，所以设这个函数为 f(x)=x^a， 2
则 2=2^a，解得 a=-1/2，所以 f(9)=9^(-1/2)=1/√9=1/3。 2
10. 函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(2)=___
解:P点坐标为（-1，2），与a 无关
而幂函数f(x)=b^x要经过P 点，则2=b^-1，所以b=1/2
所以f(2)=(1/2)^2=1/4 - 7 -
11. 若偶函数f （x ）满足f （x-1）=f（x+1）且在x 属于【0，1】时 f（x ）=x的平方，则关于x 的方程f （x ）=(1/10)的x 的平方在[0,10/3]上的实数根有几个
f(x－1)=f(x＋1) ，则函数f(x)的周期为2，可以作出函数f(x)的图像。另外设g(x)=(1/10)x² ，利用图像，得出方程f(x)=g(x)的根有2个。
12. 已知偶函数f （x ）满足f （x ＋1）=f（x-1），且x∈[0,1]，f （x ）=（x-1）²，则f
（7/2）=
解:由f(x+1)=f(x-1) 则f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2) =f(1/2)=(1/2-1)²=1/4
13. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数, 且当x
（1）求函数f(x)的解析式，作出函数的图象。
（2）写出单调区间，并求出函数f(x)的值域
解：（1）根据题意，
当x ＞0时，-x ＜0， ∴f(x)=-f(-x)=-[2^(-x) +1]=-1-(1/2)^x ∴x＜0时,f(x)=1+2^x x ＞0时，f(x)=-1-(1/2)^x
(2)递增区间是(-∞，0) 和(0,+∞)
x ＜0时，f(x)∈(0,2) x＞0时，f(x)(-2,0)
∴f(x)的值域是(-2,0）∪(0,2）
图像
14. 题目：设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并
式 且f(x)-g(x)=x²-3x+1,求f(x)和g(x)的解析- 8 -
f(x)-g(x)=x²-3x+1
f(-x)-g(-x)=（-x ）²-3（-x ）+1=-f(x)-g(x)【根据两个函数性质可得】
解上述两个方程
得f(x)=-3x g(x)=-x²-1
15. 已知f （x) 是定义在R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数，且g(x)=f(x-1),则f(2011)+f(2013)的值为？ 解：g(x)=f(x-1)=>g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)
f(2011)=g(2012)
f(2013)=g(-2012)
f （2011）+f（2013）=0
16. 若函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=___”
解:f(x)+g(x)=1/（x －1） （1）
f(-x)+g(-x)=-1/（x+1） （2）
由f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)可知
f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（x+1） （3）
（1）和（3）相加则有
2f(x)=-1/（x －1）-1/（x+1）
则f(x)=1/(x^2-1)
17. 函数f(x)对任意实数x1,x2, 总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x>0时,f(x)>3
(1).求证:f(x)在R 上是增函数
(2).若f(3)=6,解不等式f(a^2-3a-9)
(1).证明：任取x1,x2, 且x1
∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>3,
∴f(x2)= f[(x2-x1)+x1]= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+[f(x2-x1)-3]>f(x1),
∴对任意x1
(2)由f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=[f(1)+f(1)-3]+f(1)-3=3f(1)-6=6,
得f(1)=4,
∴f(a^2-3a-9)
f(x)在R 上为增函数，a^2-3a-9
解得-2
18. 若定义在R 上的函数f （x ）对任意的x1，x2属于R ，都有f （x1＋x2）＝f （x1）＋f （x2）－1成立，且当x>0时，f （x ）>1.
(1)求证：[f（x ）－1]＋[f（-x ）－1]＝0；
(2)证：f(x)是R 上的增函数 - 9 -
(1)证明：令x1=x，x2=0 ∴f(x)=f(0)+f(x)-1 即f(0)=1
又令x1=x，x2=-x 则f(0)=f(x)+f(-x)-1
又∵f(0)=1 ∴f(x)+f(-x)=2 ∴ [f（x ）－1]＋[f（-x ）－1]＝0
(2)证明：设 x10
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1
∵当x>0时，f （x ）>1 ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1>1（注：已知条件）
即是f(x2)+f(-x1)>2
又∵f(x)+f(-x)=2（注：已证明） ∴f(x2)+2-f(x1)>2 整理得：f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)＜f(x2) 在实数R 上，存在有任意x1
19.设f(x)是定义在R 上的函数，对任意x,y 属于R 有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时有f(x)>1,且f(3)=4
1. 求f(1),f(4)的值
2. 判断并证明f(X)的单调性
3. 若关于x 的不等式f(ax-1)
解：（1）令x=y=1可得f （1+1）=f（1）+ f（1）—1 ①
令x=1 y=2可得f （1+2）= f（1）+f（2）—1②
已知f(3)=4③ 联立上式得f （1）=2
令x=1 y=3得f （1+3）= f（1）+ f(3)—1=5
（2）令y=1 带入已知的抽象函数f （x+1）=f（x ）+f（1）—1 移项得f （x+1）—f （x ）=1 所以函数f （x ）为增函数
（3）由（2）知函数f （x ）为增函数，所以有ax-1﹤f （4）x 由题意知不等式（a-5）x-1﹤0的解集为x ﹤3（因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x ﹤3，这里你要想明白） 所以问题可以转化为对任意的x ﹤3都有（a-5）x-1﹤0 成立 令函数
f （x ）=（a-5）x-1 要满足任意的x ﹤3都有 f（x ）﹤0 ①当a≠0时，只要函数为增函数且f
（3）﹤0就行 有a-5 ﹥0 且 f（3）﹤0推出 5﹤ a﹤16 3
②当a=5时，f （x ）=－1，显然f （x ）﹤0的解集不是x ﹤3，不合题意。
综上a 的取值范围为5﹤ a﹤16. 3
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