§7.2 球面平均法和泊松公式
一 本节主要思想
（1）对三维波动方程的初值问题，先假设已知空间某一点M (x , y , z ) 的振动u (x , y , z , t ) ，然后以M 点为发射子波的波源，根据球面波的对称性，可根据加权平均的思想来考察球面S r M 的平均振动u (r , t ) ，从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程，最后采用极限的思想，令r =0，即可得到M 点的振动u (x , y , z , t ) ．
（2）对二维波动方程的初值问题，采用将其上升到三维空间的思想，根据已有的三维波动方程的泊松公式，获得此问题的三维解，再采用降维法，最终获得二维解．
二 三维波动方程的初值问题，泊松公式
１三维波动方程初值问题解的泊松公式
考察三维波动方程的初值问题：
2⎧⎪u tt =a ∆u ⎨⎪⎩u t =0=ϕ(x , y , z ), u t t =0=ψ(x , y , z ) t >0, -∞
以S r M 表示以点M (x , y , z ) 为心，半径为r 的球面，以d ω表示S 1的面元，则S r 的面元dS =r 2d ω．
注：⎨⎧d ω=sin θd θd ϕ
2⎩dS =r sin θd θd ϕ⇒dS =r 2d ω
下面用加权平均的思想（即球面平均法）求函数u (x , y , z , t ) 在球面S r M 上的平均值u (r , t ) ：
u (r , t ) =1
4πr 2⎰⎰M s r u (ξ, η, ζ, t ) dS (3)
(ξ, η, ζ) ∈S r M , ξ=x +r α1, η=y +r α2, ζ=z +r α3,(4)
α1=sin θcos ϕ, α2=sin θsin ϕ, α3=cos θ．(5)
注：（4）、（5）实际上是球的参数方程的表达式
（3）式也可写成
u (r , t ) =
214π⎰⎰M s r u (x +r α1, y +r α2, z +r α3, t ) d ω， 2注：由于dS =r sin θd θd ϕ=r d ω不含dr , 故可将
由此可知u 12放入积分号中r ，与正好约掉． 2r r =0=u (x , y , z , t ) ，所以，为了求u 可以先求u 下面就来讨论如何求u ：
注意到r =
∂u ∂u ∂r ∂u x -ξ== ∂x ∂r ∂x ∂r r
∂2u r 2-(x -ξ) 2∂u (x -ξ) 2∂2u =+． 2322∂x r ∂r r ∂r
∂2u ∂2u 同理，可求出2和2，将他们相加，得到 ∂y ∂z
2∂u ∂2u 1∂2
+=(ru ) ． ∆u = r ∂r ∂r 2r ∂r 2
注： ∂∂u (ru ) =r +u ∂r ∂r
∂2∂∂u ∂u ∂2u (ru ) =(r +u ) =2+r 2 ∂r 2∂r ∂r ∂r ∂r
1∂22∂u ∂2u 2(ru ) =+r ∂r r ∂r ∂r 2
将方程（1）两端取球面平均，即得
a 2∂2
(ru ) u tt =a ∆u =r ∂r 22
等式两边同乘以r 得
∂2∂(ru ) -a (ru ) =0 （6） ∂t 2∂r 2
∂2
注：r 与时间t 无关，所以可将r 放入算子2中 ∂t
这是关于ru 的一维波动方程，其通解为
ru =f 1(r -at ) +f 2(r +at ) （7）
令r =0，得
0=f 1(-at ) +f 2(at )
从而知f 1(α) =-f 2(-α) ，故有
ru =f 1(r +at ) -f 2(at -r ) （8）
注：① α的取值范围应是(-∞,0)
② 我们所关心的是r -a t
r -at >0，表明振动还未传至所考察的球面，这样就无法考察M 点的振动． 为求u r =0，将上式对r 求导，得
∂∂u (ru ) =u +r =f 2' (r +at ) +f 2' (at -r ) （9） ∂r ∂r
令r =0，即得
u (x , y , z , t ) =u r =0=2f ' 2(at ) ． （10）
所以，为求u ，只需求f 2' ．为此将（8）式再对t 求导，得
∂' ' (ru ) =a ⎡f (r +at ) -f (at -r ) ⎤22⎣⎦． （11） ∂r
由（9）、（11）两式得
∂1∂' (r u ) +(r u =) 2(r a t ). （12） 2f +∂r a ∂t
在上式中令t =0，并注意到（3）式和初始条件（2）式，即得
1∂⎡∂⎤2f 2' (r ) =⎢ru (+) ru (⎥) a ∂t ⎣∂r ⎦t =0
1⎡∂u 1∂u ⎤dS +dS ⎥ =M M ⎰⎰⎰⎰⎢S S r r 4π⎣∂r r a ∂t r ⎦t =0
ϕ1∂ψ⎤⎡∂dS +dS ⎥．⎰⎰⎰⎰⎢S r M r S r M r ∂r a ∂t ⎣⎦
注意到（10）式，在上式中令r =at ，即得三维波动方程初值问题（1）、（2）的解为 =14π
) u (x , y , z , t =1
4πϕ(ξη, ζ, ) ψξ(ηζ, , ⎤) ⎡∂ （13） dS +dS ．M M ⎰⎰⎰⎰⎢⎥S S r at at ⎣∂t r ⎦
（13）式称为泊松公式．
§7.2 球面平均法和泊松公式
一 本节主要思想
（1）对三维波动方程的初值问题，先假设已知空间某一点M (x , y , z ) 的振动u (x , y , z , t ) ，然后以M 点为发射子波的波源，根据球面波的对称性，可根据加权平均的思想来考察球面S r M 的平均振动u (r , t ) ，从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程，最后采用极限的思想，令r =0，即可得到M 点的振动u (x , y , z , t ) ．
（2）对二维波动方程的初值问题，采用将其上升到三维空间的思想，根据已有的三维波动方程的泊松公式，获得此问题的三维解，再采用降维法，最终获得二维解．
二 三维波动方程的初值问题，泊松公式
１三维波动方程初值问题解的泊松公式
考察三维波动方程的初值问题：
2⎧⎪u tt =a ∆u ⎨⎪⎩u t =0=ϕ(x , y , z ), u t t =0=ψ(x , y , z ) t >0, -∞
以S r M 表示以点M (x , y , z ) 为心，半径为r 的球面，以d ω表示S 1的面元，则S r 的面元dS =r 2d ω．
注：⎨⎧d ω=sin θd θd ϕ
2⎩dS =r sin θd θd ϕ⇒dS =r 2d ω
下面用加权平均的思想（即球面平均法）求函数u (x , y , z , t ) 在球面S r M 上的平均值u (r , t ) ：
u (r , t ) =1
4πr 2⎰⎰M s r u (ξ, η, ζ, t ) dS (3)
(ξ, η, ζ) ∈S r M , ξ=x +r α1, η=y +r α2, ζ=z +r α3,(4)
α1=sin θcos ϕ, α2=sin θsin ϕ, α3=cos θ．(5)
注：（4）、（5）实际上是球的参数方程的表达式
（3）式也可写成
u (r , t ) =
214π⎰⎰M s r u (x +r α1, y +r α2, z +r α3, t ) d ω， 2注：由于dS =r sin θd θd ϕ=r d ω不含dr , 故可将
由此可知u 12放入积分号中r ，与正好约掉． 2r r =0=u (x , y , z , t ) ，所以，为了求u 可以先求u 下面就来讨论如何求u ：
注意到r =
∂u ∂u ∂r ∂u x -ξ== ∂x ∂r ∂x ∂r r
∂2u r 2-(x -ξ) 2∂u (x -ξ) 2∂2u =+． 2322∂x r ∂r r ∂r
∂2u ∂2u 同理，可求出2和2，将他们相加，得到 ∂y ∂z
2∂u ∂2u 1∂2
+=(ru ) ． ∆u = r ∂r ∂r 2r ∂r 2
注： ∂∂u (ru ) =r +u ∂r ∂r
∂2∂∂u ∂u ∂2u (ru ) =(r +u ) =2+r 2 ∂r 2∂r ∂r ∂r ∂r
1∂22∂u ∂2u 2(ru ) =+r ∂r r ∂r ∂r 2
将方程（1）两端取球面平均，即得
a 2∂2
(ru ) u tt =a ∆u =r ∂r 22
等式两边同乘以r 得
∂2∂(ru ) -a (ru ) =0 （6） ∂t 2∂r 2
∂2
注：r 与时间t 无关，所以可将r 放入算子2中 ∂t
这是关于ru 的一维波动方程，其通解为
ru =f 1(r -at ) +f 2(r +at ) （7）
令r =0，得
0=f 1(-at ) +f 2(at )
从而知f 1(α) =-f 2(-α) ，故有
ru =f 1(r +at ) -f 2(at -r ) （8）
注：① α的取值范围应是(-∞,0)
② 我们所关心的是r -a t
r -at >0，表明振动还未传至所考察的球面，这样就无法考察M 点的振动． 为求u r =0，将上式对r 求导，得
∂∂u (ru ) =u +r =f 2' (r +at ) +f 2' (at -r ) （9） ∂r ∂r
令r =0，即得
u (x , y , z , t ) =u r =0=2f ' 2(at ) ． （10）
所以，为求u ，只需求f 2' ．为此将（8）式再对t 求导，得
∂' ' (ru ) =a ⎡f (r +at ) -f (at -r ) ⎤22⎣⎦． （11） ∂r
由（9）、（11）两式得
∂1∂' (r u ) +(r u =) 2(r a t ). （12） 2f +∂r a ∂t
在上式中令t =0，并注意到（3）式和初始条件（2）式，即得
1∂⎡∂⎤2f 2' (r ) =⎢ru (+) ru (⎥) a ∂t ⎣∂r ⎦t =0
1⎡∂u 1∂u ⎤dS +dS ⎥ =M M ⎰⎰⎰⎰⎢S S r r 4π⎣∂r r a ∂t r ⎦t =0
ϕ1∂ψ⎤⎡∂dS +dS ⎥．⎰⎰⎰⎰⎢S r M r S r M r ∂r a ∂t ⎣⎦
注意到（10）式，在上式中令r =at ，即得三维波动方程初值问题（1）、（2）的解为 =14π
) u (x , y , z , t =1
4πϕ(ξη, ζ, ) ψξ(ηζ, , ⎤) ⎡∂ （13） dS +dS ．M M ⎰⎰⎰⎰⎢⎥S S r at at ⎣∂t r ⎦
（13）式称为泊松公式．