第一章：集合
主要知识点：
1. 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的表示方法：列举法、描述法。
3. 集合间的基本关系：相等、子集、真子集、空集。 4. 集合的运算：交集、并集、补集。 5. 有限集子集个数的确定：
若一集合中的元素个数为n 个，则其子集的个数为2 非空子集的个数为2-1 真子集的个数为2-1 非空真子集的个数为2-2
n n n
n
1.1 集合的含义与表示
1．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素可构成△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是( ) ．
A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
2．集合A ＝{1，－3,5，－7,9，－11，„}，用描述法表示正确的是( ) ． (1){x |x ＝2n ±1，n ∈N }
(2){x |x ＝(－1) n (2n －1) ，n ∈N } (3){x |x ＝(－1) n (2n ＋1) ，n ∈N }
＋
(4){x |x ＝(－1) n 1(2n －1) ，n ∈N } A ．只有(4) B ．(1)(4) C ．(2)(4) D ．(3)(4)
3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) ． A ．2 B ．3
C ．0或3 D ．0,2,3均可
4．下列表示同一个集合的是( ) ． A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)，(2,3)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2} C ．M ＝{3,4}，N ＝{(3,4)}
D ．M ＝{y |y ＝x 2＋1}，N ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1} 5．若集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2,3)∈A ，且P (2,3)∉B ，则( ) ．
A ．m ＞－1，n ＜5 B ．m ＜－1，n ＜5 C ．m ＞－1，n ＞5 D ．m ＜－1，n ＞5
6．设集合A ＝⎨x |x =
⎧⎩1⎫, n ∈N ⎬，若x 1∈A ，x 2∈A ，则必有( ) ． n 3⎭
A ．x 1＋x 2∈A B ．x 1x 2∈A
x 1
∈A x 2
7．定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B 等于( ) ．
C ．x 1－x 2∈A D ．A ．{4,8} B ．{1,2,6,10} C ．{1} D ．{2,6,10}
8．已知集合A 中的元素满足性质：若a ∈A ，且a ≠1，则(1)若a ＝2，试探求集合A 中一定含有的另外元素；
1
∈A . 1-a
(2)说明集合A 不是单元素集．
1
∈A 可知 1-a
11111
=∈A (1)若2∈A ，则＝－1∈A ，于是＝2∈A ＝－1∈A ，„„
1-(-1) 21-21-21-2
1
故集合A 中一定含有－1，两个元素．
2
1
(2)若集合A 是单元素集，则a ＝，即a 2－a ＋1＝0，
1-a
解：由a ∈A ，a ≠1，则
此方程无实数解，这与已知矛盾． ∴a 与
9．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；
(2)求集合P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}．
1
都为集合A 的元素，故A 不是单元素集． 1-a
解：(1)当a ＝0
时，由条件可知，
当a ≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a ＝0，
9⎧4⎫，此时，A =⎨⎬. 8⎩3⎭
⎧2⎫
综上所述：当a ＝0时，A =⎨⎬；
⎩3⎭
9⎧4⎫当a =时，A =⎨⎬.
8⎩3⎭
⎧2⎫
(2)由(1)知，当a ＝0时，A =⎨⎬含有一个元素，符合题意．
⎩3⎭
即a
=
当a ≠0时，若a 使得A 至少含有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， ∴Δ＝9－8a ≥0，即a ≤
9. 8
⎧
9⎫a ≤⎬.
8⎭⎩
综上所述，P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}＝⎨a
答案：1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D
1.2集合的基本关系
1．下列命题：
①空集是任何集合的真子集；②若
A B ，B C ，则
A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果凡不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B .
其中，正确的是( ) ． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④
2．下列各式中，正确的个数是( ) ．
①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}⊆{1,2,3}；⑧{a ，b }⊆{b ，a }
A ．1 B ．2
C ．3 D ．4
3．若集合A ＝{1，3，x }，B ＝{x 2 ，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( ) ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．集合A ＝{1,2,3}的真子集的个数为( ) ． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
5．已知集合M ＝{x |5＜x ＜10}，集合P ＝{x |x ＜m ＋1}，且M ⊆P ，则实数m 的取值范围是( ) ．
A ．m ≥9 B ．m ＞9 C ．m ≥4 D ．m ＞4
6．设A 是非空集合，对于k ∈A ，如果
1
∈A ，那么称集合A 为“和谐集”，在集合k
11⎧⎫
M =⎨-1,0, , ,1,2,3,4⎬的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为( ) ．
32⎩⎭
A ．3 B ．7 C ．15 D ．31
7．已知三元素集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，求x 与y 的值．
答案：x ＝－1，y ＝－1.
8．已知A ＝{x ||2x －3|＜a }，B ＝{x ||x |≤10}，且
A B ，求实数a 的取值范围．
答案：实数a 的取值范围是a ≤17.
9. 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ，x ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围．
答案：a 的取值范围是a ≥1或a ＝0.
答案：1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C
1.3集合的基本运算
1．已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x |x ≤－3}，则M ∪N 等于( ) ． A ．∅ B ．{x |x ≥－3} C ．{x |x ≥1} D ．{x |x ＜1}
2．设集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(A ∪B ) ＝( ) ． A ．{2} B ．{3} C ．{1,2,4} D ．{1,4}
3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
4．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,3,5}，N ＝{2,5}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是( ) ．
A ．{5} B ．{1,3} C ．{2,4} D ．{2,3,4}
5．已知集合A ＝{3，a 2}，集合B ＝{0，b, 1－a }，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( ) ． A ．{0,1,3} B ．{1,2,4} C ．{0,1,2,3} D ．{0,1,2,3,4}
6．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“⊕”，满足X ⊕Y ＝(合X ，Y ，Z ，则X ⊕(Y ⊕Z ) ＝( ) ．
A ．(X ∪Y ) ∪
(
Z ) B ．(X ∩Y ) ∪
(
Z )
X ) ∪Y ，则对于任意集
C ．
[(X ) ∪(Y )]∩Z D ．
(X ) ∪(Y ) ∪Z
7．如图，I 是全集，M ，P ，S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) ．
A ．(M ∩P ) ∩S B ．(M ∩P ) ∪S C ．(M ∩P ) ∩
(I S ) D ．(M ∩P ) ∪
(I S )
8．设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
() ∩B ＝{3,7}，() ∩A ＝{2,8}，({1,5,6}，则集合A ＝__________，B ＝________.
答案：A ＝{2,4,8,9}，B ＝{3,4,7,9}
9．已知集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |m ＜x ＜m ＋9}． (1)若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．
答案：(1)∵A ∪B ＝B ，
∴A ⊆B . 由数轴可得，⎨
) ∩(
) ＝
⎧m ≤-2,
⎩
m +9≥3,
解得－6≤m ≤－2.
(2)若A ∩B ＝∅，利用数轴可得m ＋9≤－2，或m ≥3. ∴m ≤－11，或m ≥
3.
∴满足A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |－11＜m ＜3}．
10．某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求出全班人数．
答案：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A ，B ，C ，由题意可知A ，B ，C 三集合中元素个数分别为27,25,27，A ∩B ，B ∩C ，A ∩C ，A ∩B ∩C 的元素个数分别为10,7,11,4. 画出Venn 图，如图所示．
可知全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55(人) ．
答案：1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C
第二章：函数
主要知识点：
1. 函数的三个要素：定义域、对应法则、值域
2. 判断两个函数是否相等，求函数的定义域、值域 3. 分段函数
4. 求函数的解析式 5. 函数图像的变换 （1）平移变换
a 个单位长度
y =f (x ) −向右平移−−−−−−→y =f (x -a ) a 个单位长度y =f (x ) −向左平移−−−−−−→y =f (x +a )
y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x ) +b
b 个单位长度y =f (x ) −向下平移−−−−−−→y =f (x ) -b
向上平移b 个单位长度
（2）对称变换
x 轴对称y =f (x ) −关于−−−−→y =-f (x ) y 轴对称y =f (x ) −关于−−−−→y =f (-x )
y =f (x ) y =f (x )
保留x 轴上方图像再把x 轴下方图像对称到上方
→y =f (x ) y =f (x )
保留y 轴右边的图像并把y 轴右边图像对称到y 轴右边
→
6. 函数的单调性与最值（复合函数的单调性，同增异减） 7. 二次函数的性质
8. 求二次函数的解析式、最值等 9. 常见幂函数的图像与性质，如
y =x , y =x , y =x , y =x , y =x -1
23
12
10. 函数的奇偶性：
（1）两个奇函数之和仍为奇函数 （2）两个奇函数之积是偶函数 （3）两个偶函数之和仍是偶函数 （4）两个偶函数之积仍是偶函数
（5）一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数
2.1 函数概念
1．设x 取实数，则f (x ) 与g (x ) 表示同一个函数的是( ) ． A ．f (x ) ＝x ，g (x )
B ．f (x )
g (x )
C ．f (x ) ＝1，g (x ) ＝(x －1) 0
x 2-9
D ．f (x ) ＝，g (x ) ＝x －3
x +3
2．函数f (x )
的定义域是( ) ．
A ．[－1,2] B ．[－1,0) ∪(0,2]
C ．[－2,0) D ．(0,2]
3．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( ) ．
A ．R B ．{x |x ＞0}
C ．{x |0＜x ＜5} D ．⎨x 4．函数y =
⎧5⎫
2x +1
的值域是( ) ． x -3
A ．(－∞，3) ∪(3，＋∞) B ．(－∞，2) ∪(2，＋∞) C ．R
D ．(－∞，2) ∪(3，＋∞)
5．下列各图中，可表示函数y ＝f (x ) 图像的只可能是( ) ．
6．已知函数y ＝f (x 2－4) 的定义域是[－1,5]，则函数y ＝f (2x ＋1) 的定义域为__________．
答案：⎢-
⎡5⎤
,10⎥ ⎣2⎦
7．已知f (x ) 的定义域是[0,1]，且f (x ＋m ) ＋f (x －m ) 的定义域是∅，则正数m 的取值范围是
________．
答案：m >
1 2
6
- x -1
8．已知函数f (x )
＝
(1)求函数f (x ) 的定义域； (2)求f (－1) ，f (12)的值； (3)若f (4－a ) －f (a －4)
答案：(1)要使函数f (x )
＝
0，求a 的值．
⎧x -1≠0, ⎧x ≠1, 6
-⎨即⎨∴x ≥－4，x -1⎩x +4≥0, ⎩x ≥-4,
且x ≠1.
∴函数f (x ) 的定义域为{x |x ≥－4，且x ≠1}．
6
=-3- -1-1638
-=-. f (12)
＝
12-111
66
-= (3)∵f (4－a )
＝
4-a -13-a
(2)f (－1)
＝
66
=-
a -4-1a -5
∴由f (4－a ) －f (a －4)
0得，
6666
-=0. -+0，即
3-a a -53-a a -5
6(2a -8)
=0，∴a ＝4. ∴
(3-a )(a -5)
f (a －4)
＝
9．已知函数f (x ) ＝(1)求f (2)与f
1. 1+x
⎛1⎫f ⎪. ⎝3⎭
⎛1⎫
⎪，f (3)与⎝2⎭
⎛1⎫
⎪有什么关系？并证明你的发现． ⎝x ⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋„＋f (2 013)＋f ⎪＋f ⎪＋„＋f ⎪.
232013⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1211111⎛1⎫
=，f ⎪==，答案：(1)∵f (x ) ＝，∴f (2)＝=，f (3)=1+231+341+x ⎝2⎭1+13
2
13⎛1⎫
f ⎪==. ⎝3⎭1+14
3
⎛1⎫
(2)由(1)中求得结果可发现f (x ) ＋f ⎪＝1，证明如下：
⎝x ⎭
111x 1+x ⎛1⎫
f (x ) +f ⎪=+=+==1.
1x 1+x 1+x 1+x 1+x ⎝⎭1+x
11⎛1⎫
=，由(2)知，f (2)＋f ⎪＝1， (3)f (1)＝
1+12⎝2⎭⎛1⎫⎛1⎫
f (3)＋f ⎪＝1，„，f (2 013)＋f ⎪＝1，
⎝3⎭⎝2013⎭
140251
∴原式＝+1+1++1＝+2 012=.
2222012个
(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x ) 与f
答案：1.B 2.C 3.D 4.B 5.D
2.2 函数的表示法
⎧x 2+1, x ≤1, ⎪
1．函数f (x ) ＝⎨2则f (f (3))＝( ) ．
⎪, x >1, ⎩x
1213A ． B ．3 C ． D ．
539
2．已知函数f (x ) ＝2x ＋1(1≤x ≤3) ，则( ) ．
A ．f (x －1) ＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1) ＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1) ＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1) ＝－2x ＋1(2≤x ≤4)
3．已知f (x ) ＝kx ＋b (k ＜0) ，且f [f (x )]＝4x ＋1，则f (x ) ＝( ) ． A ．－2x －1 B ．－2x ＋1
1 2
⎧2x , x >0,
4．已知函数f (x ) ＝⎨若f (a ) ＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( ) ．
⎩x +1, x
C ．－x ＋1 D ．-2x -
A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
⎧x 2+bx +c , x ≤0,
5．设函数f (x ) ＝⎨若f (－4) ＝f (0)，f (－2) ＝－2，则关于x 的方程f (x ) ＝x
⎩2, x >0,
的解的个数为________．
答案：3
6．若定义运算a
b ＝⎨
⎧b , a ≥b ,
则函数f (x ) ＝
x
a , a
(2－x ) 的值域是______．
答案：(－∞，1]
7．已知函数f (x ) 满足2f (x ) ＋f (－x ) ＝3x ＋2，则f (x ) ＝________.
答案：3x +
2 3
⎧1
x -1, x ≥0, ⎪⎪2
8．设f (x ) ＝⎨若f (x ) ＞－1，则实数x 的取值范围为________．
⎪1, x
答案：(－∞，－1) ∪(0，＋∞)
9．当m 为怎样的实数时，方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个互不相等的实数根？
答案：1＜m ＜5
10．已知函数f (x ) 对任意的实数x ，y ，都有f (x ＋y ) ＝f (x ) ＋2y (x ＋y ) ，且f (1)＝1，求f (x ) 的解析式．
2
答案：f (x ) ＝2x －1
答案：1.D 2.B 3.A 4.A
2.3函数的单调性
1．已知函数y ＝ax 和y =-
b
在(0，＋∞) 上都是减函数，则函数f (x ) ＝bx ＋a 在R 上是( ) ． x
A ．减函数且f (0)＞0 B ．增函数且f (0)＞0 C ．减函数且f (0)＜0 D ．增函数且f (0)＜0
2．定义在R 上的函数f (x ) 对任意两个不等实数a ，b ，总有
f (a ) -f (b )
＞0成立，则必有
b -a
( ) ．
A ．函数f (x ) 是先增后减 B ．函数f (x ) 是先减后增 C ．f (x ) 在R 上是增函数 D ．f (x ) 在R 上是减函数
3．设函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的减函数，又若a ∈R ，则( ) ． A ．f (a ) ＞f (2a ) B ．f (a 2) ＜f (a ) C ．f (a 2＋a ) ＜f (a ) D ．f (a 2＋1) ＜f (a )
4．已知函数f (x ) 在(－∞，＋∞) 上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b ＞0，则有( ) ． A ．f (a ) ＋f (b ) ＞－f (a ) －f (b ) B ．f (a ) ＋f (b ) ＜－f (a ) －f (b ) C ．f (a ) ＋f (b ) ＞f (－a ) ＋f (－b ) D ．f (a ) ＋f (b ) ＜f (－a ) ＋f (－b )
5．若f (x ) ＝－x 2＋2ax 与g (x ) ＝
a
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) ． x +1
A ．(－1,0) ∪(0,1) B ．(－1,0) ∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1] 6．若函数f (x ) ＝x 2＋(a －1) x ＋a 在区间[2，＋∞) 上是增函数，则a 的取值范围是__________．
答案：a ≥－3
7．函数f (x ) ＝x |x －1|的单调增区间为__________．
答案： -∞, ⎥和[1，＋∞)
2
⎛⎝
1⎤⎦
8．已知函数f (x ) ＝
2
(x ∈[3,6])， x -2
(1)讨论函数f (x ) 在[3,6]上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数f (x ) 的最大值与最小值；
(3)若函数g (x ) ＝m 的图像恒在f (x ) 的图像的上方，求m 的取值范围．
答案：(1)函数f (x ) 在[3,6]上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f (x 1) －f (x 2) ＝
2(x 2-x 1) 22
＞0， -=
x 1-2x 2-2(x 1-2)(x 2-2)
即f (x 1) ＞f (x 2) ．
由单调函数的定义可知，函数f (x ) ＝(2)由(1)知，f (x ) max ＝f (3)＝2， f (x ) min ＝f (6)＝
2
在[3,6]上是减函数． x -2
1. 2
(3)若函数g (x ) ＝m 的图像恒在f (x ) 的图像的上方，则m 应不小于函数f (x ) 的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.
答案：1.C 2.D 3.D 4.C 5.D
2.4二次函数性质的再研究
1．函数y ＝x 2的图像向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为( ) ．
A ．y ＝(x ＋1) 2 B ．y ＝(x －1) 2 C ．y ＝x 2＋1 D ．y ＝x 2－1 2．二次函数y ＝f (x ) 满足f (3＋x ) ＝f (3－x ) ，且f (x ) ＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( ) ． A ．0 B ．3 C ．6 D ．不能确定
3．若函数f (x ) ＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝( ) ． A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2
4．二次函数f (x ) 满足f (2＋x ) ＝f (2－x ) ，又f (x ) 在[0,2]上是增函数，且f (a ) ≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( ) ．
A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]
C ．[0,4] D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
5. 已知二次函数f (x ) 满足f (2)＝－1，f (－1) ＝－1，且f (x ) 的最大值为8，试确定此二次函数的表达式
答案：所求二次函数为f (x ) ＝－4x 2＋4x ＋7.
6．已知函数f (x ) ＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞) 上是增函数，则f (1)的取值范围是________．
答案：[25，＋∞)
7．已知函数f (x ) ＝-答案：⎨
12
x +x 在区间[m ，n ]上的值域是[3m, 3n ]，则m ＝______，n ＝______. 2
⎧m =-4,
⎩n =0.
答案：1.C 2.C 3.B 4.C
2.5简单的幂函数
1．下列函数是幂函数的是( ) ．
－
①y ＝x 3 ②y ＝x 0 ③y ＝－2x 2 ④y ＝3x ⑤y ＝x 2＋1 A ．①② B ．①③
C ．①③④ D ．①②③④
－
2．若幂函数f (x ) ＝x m 1在(0，＋∞) 上是减函数，则( ) ． A ．m ＞1 B ．不能确定 C ．m ＝1 D ．m ＜1 3．函数f (x ) ＝
1
-x 的奇偶性为( ) ． x
A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 4．f (x ) 是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x ) 是增函数，则f (－π)，f (3)，f (－5) 的大小关系是( ) ． A ．f (3)＜f (－π)＜f (－5) B ．f (－π)＜f (－5) ＜f (3) C ．f (3)＜f (－5) ＜f (－π) D ．f (－5) ＜f (－π)＜f (3)
－
5．如果幂函数y ＝(m 2－9m ＋19) x 2m 7的图像不过原点，则( ) ． A ．m
7
B ．m ＝3 2
C ．m ＝3或6 D ．m 不存在 6．下列说法中，不正确的是( ) ．
A ．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数 B ．奇函数的图像一定经过原点
C ．偶函数的图像若不经过原点，则它与x 轴交点个数一定是偶数
D ．图像关于y 轴对称的函数一定是偶函数
7．已知函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a ＋1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为( ) ．
A ．-1111 B ． C ．- D ． 3322
8．定义在R 的偶函数f (x ) 满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2) ，有(x 2－x 1)[f (x 2) －f (x 1)]＞0，则n ∈N ＋时，有( ) ．
A ．f (－n ) ＜f (n －1) ＜f (n ＋1)
B ．f (n －1) ＜f (－n ) ＜f (n ＋1)
C ．f (n ＋1) ＜f (－n ) ＜f (n －1)
D ．f (n ＋1) ＜f (n －1) ＜f (－n )
9. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2) ＝－f (x ) ，又知当0＜x ≤1时，f (x ) ＝x ，则f (7.5)的值为________．
答案：f (7.5)＝－f (0.5)＝－0.5.
10．已知函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，已知当x ≤0时，f (x ) ＝x 2＋4x ＋3.
(1)求函数f (x ) 的解析式；
(2)画出函数f (x ) 的图像，并写出函数f (x ) 的单调递增区间．
答案：(1)∵函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，
∴对任意的x ∈R 都有f (－x ) ＝f (x ) 成立，
∴当x ＞0时，－x ＜0，
即f (x ) ＝f (－x ) ＝(－x ) 2＋4(－x ) ＋3＝x 2－4x ＋3，
⎧x 2-4x +3, x >0, ∴f (x ) ＝⎨2
⎩x +4x +3, x ≤0.
(2)图像如图所示，函数f (x ) 的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞) ．(写成开区间也可以
)
11．已知函数f (x ) 对一切a ，b 都有f (ab ) ＝bf (a ) ＋af (b ) ．
(1)求f (0)；
(2)求证：f (x ) 是奇函数；
(3)若F (x ) ＝af (x ) ＋bx 5＋cx 3＋2x 2＋dx ＋3，已知F (－5) ＝7，求F (5)．
答案：(1)∵函数f (x ) 对一切a ，b 都有f (ab ) ＝bf (a ) ＋af (b ) ，
∴令a ＝b ＝0得f (0×0) ＝0×f (0)＋0×f (0)，
即f (0)＝0.
(2)证明：令a ＝b ＝1得，f (1×1) ＝1×f (1)＋1×f (1)，即f (1)＝0.
令a ＝b ＝－1得，f [(－1) ×(－1)]＝(－1) ×f (－1) ＋(－1) ×f (－1) ，即f (－1) ＝0.
令a ＝－1，b ＝x 得，f [(－1) ×x ]＝xf (－1) ＋(－1) f (x ) ，
即f (－x ) ＝xf (－1) －f (x ) ，
∵f (－1) ＝0，∴f (－x ) ＝－f (x ) ，
∴f (x ) 是奇函数．
(3)∵f (x ) 是奇函数，
∴f (－5) ＝－f (5)．
∵F (x ) ＝af (x ) ＋bx 5＋cx 3＋2x 2＋dx ＋3，且F (－5) ＝7，
∴af (－5) ＋b ×(－5) 5＋c ×(－5) 3＋2×(－5) 2＋d ×(－5) ＋3＝7，
即af (5)＋b ×55＋c ×53＋d ×5＝46.
∴F (5)＝af (5)＋b ×55＋c ×53＋2×52＋d ×5＋3＝46＋50＋3＝99.
12．函数f (x ) ＝ax +b 是定义在(－1,1) 上的奇函数，且21+x ⎛1⎫2f ⎪=. ⎝2⎭5
(1)求函数f (x ) 的解析式；
(2)证明函数f (x ) 在(－1,1) 上是单调增函数；
(3)解不等式f (m －1) ＋f (m ) ＜0.
答案：(1)∵f (x ) ＝ax +b 是定义在(－1,1) 上的奇函数， 21+x
∴f (x ) 在x ＝0处有意义，且f (0)＝0. a ⨯0+b =0，即b ＝0. 1+02
1a +02⎛1⎫2又∵f ⎪=，∴， =2255⎝⎭⎛1⎫1+ ⎪⎝2⎭
x ∴a ＝1. 故f (x ) ＝. 1+x 2∴(2)任取x 1，x 2∈(－1,1) ，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，x 1x 2＜1. ∴f (x 1) －f (x 2) ＝x 1x 2(x 1-x 2)(1-x 1x 2) ＜0， -=22221+x 11+x 2(1+x 1) ⋅(1+x 2)
即f (x 1) ＜f (x 2) ．
由单调函数的定义可知，函数f (x ) 在(－1,1) 上是单调增函数．
(3)由f (m －1) ＋f (m ) ＜0得，f (m －1) ＜－f (m ) ．
∵函数f (x ) 是奇函数，∴f (－m ) ＝－f (m ) ，
∴f (m －1) ＜f (－m ) ．
∵f (x ) 是(－1,1) 上的单调增函数，
⎧-1
⎪m -1
1解得0＜m ＜. 2
答案：1.A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.A 8.C
第一章：集合
主要知识点：
1. 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的表示方法：列举法、描述法。
3. 集合间的基本关系：相等、子集、真子集、空集。 4. 集合的运算：交集、并集、补集。 5. 有限集子集个数的确定：
若一集合中的元素个数为n 个，则其子集的个数为2 非空子集的个数为2-1 真子集的个数为2-1 非空真子集的个数为2-2
n n n
n
1.1 集合的含义与表示
1．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素可构成△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是( ) ．
A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
2．集合A ＝{1，－3,5，－7,9，－11，„}，用描述法表示正确的是( ) ． (1){x |x ＝2n ±1，n ∈N }
(2){x |x ＝(－1) n (2n －1) ，n ∈N } (3){x |x ＝(－1) n (2n ＋1) ，n ∈N }
＋
(4){x |x ＝(－1) n 1(2n －1) ，n ∈N } A ．只有(4) B ．(1)(4) C ．(2)(4) D ．(3)(4)
3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) ． A ．2 B ．3
C ．0或3 D ．0,2,3均可
4．下列表示同一个集合的是( ) ． A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)，(2,3)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2} C ．M ＝{3,4}，N ＝{(3,4)}
D ．M ＝{y |y ＝x 2＋1}，N ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1} 5．若集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2,3)∈A ，且P (2,3)∉B ，则( ) ．
A ．m ＞－1，n ＜5 B ．m ＜－1，n ＜5 C ．m ＞－1，n ＞5 D ．m ＜－1，n ＞5
6．设集合A ＝⎨x |x =
⎧⎩1⎫, n ∈N ⎬，若x 1∈A ，x 2∈A ，则必有( ) ． n 3⎭
A ．x 1＋x 2∈A B ．x 1x 2∈A
x 1
∈A x 2
7．定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B 等于( ) ．
C ．x 1－x 2∈A D ．A ．{4,8} B ．{1,2,6,10} C ．{1} D ．{2,6,10}
8．已知集合A 中的元素满足性质：若a ∈A ，且a ≠1，则(1)若a ＝2，试探求集合A 中一定含有的另外元素；
1
∈A . 1-a
(2)说明集合A 不是单元素集．
1
∈A 可知 1-a
11111
=∈A (1)若2∈A ，则＝－1∈A ，于是＝2∈A ＝－1∈A ，„„
1-(-1) 21-21-21-2
1
故集合A 中一定含有－1，两个元素．
2
1
(2)若集合A 是单元素集，则a ＝，即a 2－a ＋1＝0，
1-a
解：由a ∈A ，a ≠1，则
此方程无实数解，这与已知矛盾． ∴a 与
9．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；
(2)求集合P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}．
1
都为集合A 的元素，故A 不是单元素集． 1-a
解：(1)当a ＝0
时，由条件可知，
当a ≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a ＝0，
9⎧4⎫，此时，A =⎨⎬. 8⎩3⎭
⎧2⎫
综上所述：当a ＝0时，A =⎨⎬；
⎩3⎭
9⎧4⎫当a =时，A =⎨⎬.
8⎩3⎭
⎧2⎫
(2)由(1)知，当a ＝0时，A =⎨⎬含有一个元素，符合题意．
⎩3⎭
即a
=
当a ≠0时，若a 使得A 至少含有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， ∴Δ＝9－8a ≥0，即a ≤
9. 8
⎧
9⎫a ≤⎬.
8⎭⎩
综上所述，P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}＝⎨a
答案：1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D
1.2集合的基本关系
1．下列命题：
①空集是任何集合的真子集；②若
A B ，B C ，则
A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果凡不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B .
其中，正确的是( ) ． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④
2．下列各式中，正确的个数是( ) ．
①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}⊆{1,2,3}；⑧{a ，b }⊆{b ，a }
A ．1 B ．2
C ．3 D ．4
3．若集合A ＝{1，3，x }，B ＝{x 2 ，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( ) ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．集合A ＝{1,2,3}的真子集的个数为( ) ． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
5．已知集合M ＝{x |5＜x ＜10}，集合P ＝{x |x ＜m ＋1}，且M ⊆P ，则实数m 的取值范围是( ) ．
A ．m ≥9 B ．m ＞9 C ．m ≥4 D ．m ＞4
6．设A 是非空集合，对于k ∈A ，如果
1
∈A ，那么称集合A 为“和谐集”，在集合k
11⎧⎫
M =⎨-1,0, , ,1,2,3,4⎬的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为( ) ．
32⎩⎭
A ．3 B ．7 C ．15 D ．31
7．已知三元素集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，求x 与y 的值．
答案：x ＝－1，y ＝－1.
8．已知A ＝{x ||2x －3|＜a }，B ＝{x ||x |≤10}，且
A B ，求实数a 的取值范围．
答案：实数a 的取值范围是a ≤17.
9. 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ，x ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围．
答案：a 的取值范围是a ≥1或a ＝0.
答案：1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C
1.3集合的基本运算
1．已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x |x ≤－3}，则M ∪N 等于( ) ． A ．∅ B ．{x |x ≥－3} C ．{x |x ≥1} D ．{x |x ＜1}
2．设集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(A ∪B ) ＝( ) ． A ．{2} B ．{3} C ．{1,2,4} D ．{1,4}
3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
4．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,3,5}，N ＝{2,5}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是( ) ．
A ．{5} B ．{1,3} C ．{2,4} D ．{2,3,4}
5．已知集合A ＝{3，a 2}，集合B ＝{0，b, 1－a }，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( ) ． A ．{0,1,3} B ．{1,2,4} C ．{0,1,2,3} D ．{0,1,2,3,4}
6．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“⊕”，满足X ⊕Y ＝(合X ，Y ，Z ，则X ⊕(Y ⊕Z ) ＝( ) ．
A ．(X ∪Y ) ∪
(
Z ) B ．(X ∩Y ) ∪
(
Z )
X ) ∪Y ，则对于任意集
C ．
[(X ) ∪(Y )]∩Z D ．
(X ) ∪(Y ) ∪Z
7．如图，I 是全集，M ，P ，S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) ．
A ．(M ∩P ) ∩S B ．(M ∩P ) ∪S C ．(M ∩P ) ∩
(I S ) D ．(M ∩P ) ∪
(I S )
8．设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
() ∩B ＝{3,7}，() ∩A ＝{2,8}，({1,5,6}，则集合A ＝__________，B ＝________.
答案：A ＝{2,4,8,9}，B ＝{3,4,7,9}
9．已知集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |m ＜x ＜m ＋9}． (1)若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．
答案：(1)∵A ∪B ＝B ，
∴A ⊆B . 由数轴可得，⎨
) ∩(
) ＝
⎧m ≤-2,
⎩
m +9≥3,
解得－6≤m ≤－2.
(2)若A ∩B ＝∅，利用数轴可得m ＋9≤－2，或m ≥3. ∴m ≤－11，或m ≥
3.
∴满足A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |－11＜m ＜3}．
10．某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求出全班人数．
答案：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A ，B ，C ，由题意可知A ，B ，C 三集合中元素个数分别为27,25,27，A ∩B ，B ∩C ，A ∩C ，A ∩B ∩C 的元素个数分别为10,7,11,4. 画出Venn 图，如图所示．
可知全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55(人) ．
答案：1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C
第二章：函数
主要知识点：
1. 函数的三个要素：定义域、对应法则、值域
2. 判断两个函数是否相等，求函数的定义域、值域 3. 分段函数
4. 求函数的解析式 5. 函数图像的变换 （1）平移变换
a 个单位长度
y =f (x ) −向右平移−−−−−−→y =f (x -a ) a 个单位长度y =f (x ) −向左平移−−−−−−→y =f (x +a )
y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x ) +b
b 个单位长度y =f (x ) −向下平移−−−−−−→y =f (x ) -b
向上平移b 个单位长度
（2）对称变换
x 轴对称y =f (x ) −关于−−−−→y =-f (x ) y 轴对称y =f (x ) −关于−−−−→y =f (-x )
y =f (x ) y =f (x )
保留x 轴上方图像再把x 轴下方图像对称到上方
→y =f (x ) y =f (x )
保留y 轴右边的图像并把y 轴右边图像对称到y 轴右边
→
6. 函数的单调性与最值（复合函数的单调性，同增异减） 7. 二次函数的性质
8. 求二次函数的解析式、最值等 9. 常见幂函数的图像与性质，如
y =x , y =x , y =x , y =x , y =x -1
23
12
10. 函数的奇偶性：
（1）两个奇函数之和仍为奇函数 （2）两个奇函数之积是偶函数 （3）两个偶函数之和仍是偶函数 （4）两个偶函数之积仍是偶函数
（5）一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数
2.1 函数概念
1．设x 取实数，则f (x ) 与g (x ) 表示同一个函数的是( ) ． A ．f (x ) ＝x ，g (x )
B ．f (x )
g (x )
C ．f (x ) ＝1，g (x ) ＝(x －1) 0
x 2-9
D ．f (x ) ＝，g (x ) ＝x －3
x +3
2．函数f (x )
的定义域是( ) ．
A ．[－1,2] B ．[－1,0) ∪(0,2]
C ．[－2,0) D ．(0,2]
3．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( ) ．
A ．R B ．{x |x ＞0}
C ．{x |0＜x ＜5} D ．⎨x 4．函数y =
⎧5⎫
2x +1
的值域是( ) ． x -3
A ．(－∞，3) ∪(3，＋∞) B ．(－∞，2) ∪(2，＋∞) C ．R
D ．(－∞，2) ∪(3，＋∞)
5．下列各图中，可表示函数y ＝f (x ) 图像的只可能是( ) ．
6．已知函数y ＝f (x 2－4) 的定义域是[－1,5]，则函数y ＝f (2x ＋1) 的定义域为__________．
答案：⎢-
⎡5⎤
,10⎥ ⎣2⎦
7．已知f (x ) 的定义域是[0,1]，且f (x ＋m ) ＋f (x －m ) 的定义域是∅，则正数m 的取值范围是
________．
答案：m >
1 2
6
- x -1
8．已知函数f (x )
＝
(1)求函数f (x ) 的定义域； (2)求f (－1) ，f (12)的值； (3)若f (4－a ) －f (a －4)
答案：(1)要使函数f (x )
＝
0，求a 的值．
⎧x -1≠0, ⎧x ≠1, 6
-⎨即⎨∴x ≥－4，x -1⎩x +4≥0, ⎩x ≥-4,
且x ≠1.
∴函数f (x ) 的定义域为{x |x ≥－4，且x ≠1}．
6
=-3- -1-1638
-=-. f (12)
＝
12-111
66
-= (3)∵f (4－a )
＝
4-a -13-a
(2)f (－1)
＝
66
=-
a -4-1a -5
∴由f (4－a ) －f (a －4)
0得，
6666
-=0. -+0，即
3-a a -53-a a -5
6(2a -8)
=0，∴a ＝4. ∴
(3-a )(a -5)
f (a －4)
＝
9．已知函数f (x ) ＝(1)求f (2)与f
1. 1+x
⎛1⎫f ⎪. ⎝3⎭
⎛1⎫
⎪，f (3)与⎝2⎭
⎛1⎫
⎪有什么关系？并证明你的发现． ⎝x ⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋„＋f (2 013)＋f ⎪＋f ⎪＋„＋f ⎪.
232013⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1211111⎛1⎫
=，f ⎪==，答案：(1)∵f (x ) ＝，∴f (2)＝=，f (3)=1+231+341+x ⎝2⎭1+13
2
13⎛1⎫
f ⎪==. ⎝3⎭1+14
3
⎛1⎫
(2)由(1)中求得结果可发现f (x ) ＋f ⎪＝1，证明如下：
⎝x ⎭
111x 1+x ⎛1⎫
f (x ) +f ⎪=+=+==1.
1x 1+x 1+x 1+x 1+x ⎝⎭1+x
11⎛1⎫
=，由(2)知，f (2)＋f ⎪＝1， (3)f (1)＝
1+12⎝2⎭⎛1⎫⎛1⎫
f (3)＋f ⎪＝1，„，f (2 013)＋f ⎪＝1，
⎝3⎭⎝2013⎭
140251
∴原式＝+1+1++1＝+2 012=.
2222012个
(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x ) 与f
答案：1.B 2.C 3.D 4.B 5.D
2.2 函数的表示法
⎧x 2+1, x ≤1, ⎪
1．函数f (x ) ＝⎨2则f (f (3))＝( ) ．
⎪, x >1, ⎩x
1213A ． B ．3 C ． D ．
539
2．已知函数f (x ) ＝2x ＋1(1≤x ≤3) ，则( ) ．
A ．f (x －1) ＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1) ＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1) ＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1) ＝－2x ＋1(2≤x ≤4)
3．已知f (x ) ＝kx ＋b (k ＜0) ，且f [f (x )]＝4x ＋1，则f (x ) ＝( ) ． A ．－2x －1 B ．－2x ＋1
1 2
⎧2x , x >0,
4．已知函数f (x ) ＝⎨若f (a ) ＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( ) ．
⎩x +1, x
C ．－x ＋1 D ．-2x -
A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
⎧x 2+bx +c , x ≤0,
5．设函数f (x ) ＝⎨若f (－4) ＝f (0)，f (－2) ＝－2，则关于x 的方程f (x ) ＝x
⎩2, x >0,
的解的个数为________．
答案：3
6．若定义运算a
b ＝⎨
⎧b , a ≥b ,
则函数f (x ) ＝
x
a , a
(2－x ) 的值域是______．
答案：(－∞，1]
7．已知函数f (x ) 满足2f (x ) ＋f (－x ) ＝3x ＋2，则f (x ) ＝________.
答案：3x +
2 3
⎧1
x -1, x ≥0, ⎪⎪2
8．设f (x ) ＝⎨若f (x ) ＞－1，则实数x 的取值范围为________．
⎪1, x
答案：(－∞，－1) ∪(0，＋∞)
9．当m 为怎样的实数时，方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个互不相等的实数根？
答案：1＜m ＜5
10．已知函数f (x ) 对任意的实数x ，y ，都有f (x ＋y ) ＝f (x ) ＋2y (x ＋y ) ，且f (1)＝1，求f (x ) 的解析式．
2
答案：f (x ) ＝2x －1
答案：1.D 2.B 3.A 4.A
2.3函数的单调性
1．已知函数y ＝ax 和y =-
b
在(0，＋∞) 上都是减函数，则函数f (x ) ＝bx ＋a 在R 上是( ) ． x
A ．减函数且f (0)＞0 B ．增函数且f (0)＞0 C ．减函数且f (0)＜0 D ．增函数且f (0)＜0
2．定义在R 上的函数f (x ) 对任意两个不等实数a ，b ，总有
f (a ) -f (b )
＞0成立，则必有
b -a
( ) ．
A ．函数f (x ) 是先增后减 B ．函数f (x ) 是先减后增 C ．f (x ) 在R 上是增函数 D ．f (x ) 在R 上是减函数
3．设函数f (x ) 是(－∞，＋∞) 上的减函数，又若a ∈R ，则( ) ． A ．f (a ) ＞f (2a ) B ．f (a 2) ＜f (a ) C ．f (a 2＋a ) ＜f (a ) D ．f (a 2＋1) ＜f (a )
4．已知函数f (x ) 在(－∞，＋∞) 上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b ＞0，则有( ) ． A ．f (a ) ＋f (b ) ＞－f (a ) －f (b ) B ．f (a ) ＋f (b ) ＜－f (a ) －f (b ) C ．f (a ) ＋f (b ) ＞f (－a ) ＋f (－b ) D ．f (a ) ＋f (b ) ＜f (－a ) ＋f (－b )
5．若f (x ) ＝－x 2＋2ax 与g (x ) ＝
a
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) ． x +1
A ．(－1,0) ∪(0,1) B ．(－1,0) ∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1] 6．若函数f (x ) ＝x 2＋(a －1) x ＋a 在区间[2，＋∞) 上是增函数，则a 的取值范围是__________．
答案：a ≥－3
7．函数f (x ) ＝x |x －1|的单调增区间为__________．
答案： -∞, ⎥和[1，＋∞)
2
⎛⎝
1⎤⎦
8．已知函数f (x ) ＝
2
(x ∈[3,6])， x -2
(1)讨论函数f (x ) 在[3,6]上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数f (x ) 的最大值与最小值；
(3)若函数g (x ) ＝m 的图像恒在f (x ) 的图像的上方，求m 的取值范围．
答案：(1)函数f (x ) 在[3,6]上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f (x 1) －f (x 2) ＝
2(x 2-x 1) 22
＞0， -=
x 1-2x 2-2(x 1-2)(x 2-2)
即f (x 1) ＞f (x 2) ．
由单调函数的定义可知，函数f (x ) ＝(2)由(1)知，f (x ) max ＝f (3)＝2， f (x ) min ＝f (6)＝
2
在[3,6]上是减函数． x -2
1. 2
(3)若函数g (x ) ＝m 的图像恒在f (x ) 的图像的上方，则m 应不小于函数f (x ) 的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.
答案：1.C 2.D 3.D 4.C 5.D
2.4二次函数性质的再研究
1．函数y ＝x 2的图像向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为( ) ．
A ．y ＝(x ＋1) 2 B ．y ＝(x －1) 2 C ．y ＝x 2＋1 D ．y ＝x 2－1 2．二次函数y ＝f (x ) 满足f (3＋x ) ＝f (3－x ) ，且f (x ) ＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( ) ． A ．0 B ．3 C ．6 D ．不能确定
3．若函数f (x ) ＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝( ) ． A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2
4．二次函数f (x ) 满足f (2＋x ) ＝f (2－x ) ，又f (x ) 在[0,2]上是增函数，且f (a ) ≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( ) ．
A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]
C ．[0,4] D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
5. 已知二次函数f (x ) 满足f (2)＝－1，f (－1) ＝－1，且f (x ) 的最大值为8，试确定此二次函数的表达式
答案：所求二次函数为f (x ) ＝－4x 2＋4x ＋7.
6．已知函数f (x ) ＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞) 上是增函数，则f (1)的取值范围是________．
答案：[25，＋∞)
7．已知函数f (x ) ＝-答案：⎨
12
x +x 在区间[m ，n ]上的值域是[3m, 3n ]，则m ＝______，n ＝______. 2
⎧m =-4,
⎩n =0.
答案：1.C 2.C 3.B 4.C
2.5简单的幂函数
1．下列函数是幂函数的是( ) ．
－
①y ＝x 3 ②y ＝x 0 ③y ＝－2x 2 ④y ＝3x ⑤y ＝x 2＋1 A ．①② B ．①③
C ．①③④ D ．①②③④
－
2．若幂函数f (x ) ＝x m 1在(0，＋∞) 上是减函数，则( ) ． A ．m ＞1 B ．不能确定 C ．m ＝1 D ．m ＜1 3．函数f (x ) ＝
1
-x 的奇偶性为( ) ． x
A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 4．f (x ) 是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x ) 是增函数，则f (－π)，f (3)，f (－5) 的大小关系是( ) ． A ．f (3)＜f (－π)＜f (－5) B ．f (－π)＜f (－5) ＜f (3) C ．f (3)＜f (－5) ＜f (－π) D ．f (－5) ＜f (－π)＜f (3)
－
5．如果幂函数y ＝(m 2－9m ＋19) x 2m 7的图像不过原点，则( ) ． A ．m
7
B ．m ＝3 2
C ．m ＝3或6 D ．m 不存在 6．下列说法中，不正确的是( ) ．
A ．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数 B ．奇函数的图像一定经过原点
C ．偶函数的图像若不经过原点，则它与x 轴交点个数一定是偶数
D ．图像关于y 轴对称的函数一定是偶函数
7．已知函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a ＋1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为( ) ．
A ．-1111 B ． C ．- D ． 3322
8．定义在R 的偶函数f (x ) 满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2) ，有(x 2－x 1)[f (x 2) －f (x 1)]＞0，则n ∈N ＋时，有( ) ．
A ．f (－n ) ＜f (n －1) ＜f (n ＋1)
B ．f (n －1) ＜f (－n ) ＜f (n ＋1)
C ．f (n ＋1) ＜f (－n ) ＜f (n －1)
D ．f (n ＋1) ＜f (n －1) ＜f (－n )
9. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2) ＝－f (x ) ，又知当0＜x ≤1时，f (x ) ＝x ，则f (7.5)的值为________．
答案：f (7.5)＝－f (0.5)＝－0.5.
10．已知函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，已知当x ≤0时，f (x ) ＝x 2＋4x ＋3.
(1)求函数f (x ) 的解析式；
(2)画出函数f (x ) 的图像，并写出函数f (x ) 的单调递增区间．
答案：(1)∵函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，
∴对任意的x ∈R 都有f (－x ) ＝f (x ) 成立，
∴当x ＞0时，－x ＜0，
即f (x ) ＝f (－x ) ＝(－x ) 2＋4(－x ) ＋3＝x 2－4x ＋3，
⎧x 2-4x +3, x >0, ∴f (x ) ＝⎨2
⎩x +4x +3, x ≤0.
(2)图像如图所示，函数f (x ) 的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞) ．(写成开区间也可以
)
11．已知函数f (x ) 对一切a ，b 都有f (ab ) ＝bf (a ) ＋af (b ) ．
(1)求f (0)；
(2)求证：f (x ) 是奇函数；
(3)若F (x ) ＝af (x ) ＋bx 5＋cx 3＋2x 2＋dx ＋3，已知F (－5) ＝7，求F (5)．
答案：(1)∵函数f (x ) 对一切a ，b 都有f (ab ) ＝bf (a ) ＋af (b ) ，
∴令a ＝b ＝0得f (0×0) ＝0×f (0)＋0×f (0)，
即f (0)＝0.
(2)证明：令a ＝b ＝1得，f (1×1) ＝1×f (1)＋1×f (1)，即f (1)＝0.
令a ＝b ＝－1得，f [(－1) ×(－1)]＝(－1) ×f (－1) ＋(－1) ×f (－1) ，即f (－1) ＝0.
令a ＝－1，b ＝x 得，f [(－1) ×x ]＝xf (－1) ＋(－1) f (x ) ，
即f (－x ) ＝xf (－1) －f (x ) ，
∵f (－1) ＝0，∴f (－x ) ＝－f (x ) ，
∴f (x ) 是奇函数．
(3)∵f (x ) 是奇函数，
∴f (－5) ＝－f (5)．
∵F (x ) ＝af (x ) ＋bx 5＋cx 3＋2x 2＋dx ＋3，且F (－5) ＝7，
∴af (－5) ＋b ×(－5) 5＋c ×(－5) 3＋2×(－5) 2＋d ×(－5) ＋3＝7，
即af (5)＋b ×55＋c ×53＋d ×5＝46.
∴F (5)＝af (5)＋b ×55＋c ×53＋2×52＋d ×5＋3＝46＋50＋3＝99.
12．函数f (x ) ＝ax +b 是定义在(－1,1) 上的奇函数，且21+x ⎛1⎫2f ⎪=. ⎝2⎭5
(1)求函数f (x ) 的解析式；
(2)证明函数f (x ) 在(－1,1) 上是单调增函数；
(3)解不等式f (m －1) ＋f (m ) ＜0.
答案：(1)∵f (x ) ＝ax +b 是定义在(－1,1) 上的奇函数， 21+x
∴f (x ) 在x ＝0处有意义，且f (0)＝0. a ⨯0+b =0，即b ＝0. 1+02
1a +02⎛1⎫2又∵f ⎪=，∴， =2255⎝⎭⎛1⎫1+ ⎪⎝2⎭
x ∴a ＝1. 故f (x ) ＝. 1+x 2∴(2)任取x 1，x 2∈(－1,1) ，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，x 1x 2＜1. ∴f (x 1) －f (x 2) ＝x 1x 2(x 1-x 2)(1-x 1x 2) ＜0， -=22221+x 11+x 2(1+x 1) ⋅(1+x 2)
即f (x 1) ＜f (x 2) ．
由单调函数的定义可知，函数f (x ) 在(－1,1) 上是单调增函数．
(3)由f (m －1) ＋f (m ) ＜0得，f (m －1) ＜－f (m ) ．
∵函数f (x ) 是奇函数，∴f (－m ) ＝－f (m ) ，
∴f (m －1) ＜f (－m ) ．
∵f (x ) 是(－1,1) 上的单调增函数，
⎧-1
⎪m -1
1解得0＜m ＜. 2
答案：1.A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.A 8.C