勾股定理全章题型总结

勾股定理全章知识点及典型题归类

一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C90

，

则c

，b

，a

）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2

，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 6：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；

2n1,2n2

2n,2n2

2n1（n

为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n

为正整数） 二、典型题归类 类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。 （1）求AB的长； （2）求CD的长。

类型二：面积问题

【例题】如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数

A

25

B

169

B

【练2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴

【练3】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高 为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？

2

类型四：判断三角形的形状

【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

影部分的面积是______.

【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是

类型三：距离最短问题

【例题】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B

的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成【练1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判这件事情所走的最短路程是多少？ 断△ABC是否为直角三角形.

【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的

22222

直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短【练2】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a－b)(a+b－c)＝0，则它的路程． 形状为（ ）三角形A.直角 B.等腰 C.等腰直角D.等腰或直角

22

(ab)c2ab 【练3】三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形

（A）等边（B）钝角（C） 直角（D）锐角

类型五：直接考查勾股定理

【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，

b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。 【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外

表面爬到B顶点的最短路程是（ ）

A、3 B

、 C、 D、1

2

2

2

类型六：构造应用勾股定理 【 练习 1 】等边三角形的边长为 2 ，求它的面积。

【例题】如图，已知：在中，，，. 求：

BC的长.

2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是

，求这个三角形的面积．

类型九：生活问题

【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________练：△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长． 米．

【练1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为

12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。

【练2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷

类型七：利用勾股定理作长为n的线段

径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 例1在数轴上表示的点。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，

作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为【练习】在数轴上表示的点。

类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

。

【练3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米. 类型十：翻折问题

【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向22

【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，

AD=5，求AC的长。

如图，

把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点

落在点

处。

（1）求证：

（2）设

，试猜想

之间的一种关系，并给予证明．

0千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，

风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

如图所示， 的位置，若 P BP= 为正方形 ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBEa ，求：以

PE为边长的正方形的面积

如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．

（1班）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高 为20cm，点B到点C的距离为5cm，

勾股定理全章知识点及典型题归类

2013-3-10 [1**********]（李老师） 姓名：

典型题归类 类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。 （1）求AB的长；

（2）求CD的长。

类型二：面积问题

【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数

【练2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE ，且

A

AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______.

B

类型三：距离最短问题

【例题】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而

他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外

表面爬到B顶点的最短路程是（ ）

A、3 B、 C、 D、1

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？

2

类型四：判断三角形的形状 【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2

+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

【练1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

类型六：构造应用勾股定理 【例题】如图，已知：在中，

，

，

. 求：

BC的长.

练：△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．

类型十：翻折问题

类型七：利用勾股定理作长为n的线段 在数轴上表示13的点。

类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积．

例：如图，把矩形纸片沿点落在点处。（1）求证：（2）设予证明．

折叠，使点

，试猜想

落在边

上的点

处，

之间的一种关系，并给

练习：如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，

求AC的长。

类型九：生活问题

【练1】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8 米，

一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.

【练2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形

成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方

向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千类型十一：旋转问题 米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方例题：如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称旋转90到CBE的位置，若BP=a，求：以PE为边长的正方形为受台风影响.（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由. 的面积 （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

练习：如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．

勾股定理全章知识点及典型题归类

一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C90

，

则c

，b

，a

）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2

，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 6：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；

2n1,2n2

2n,2n2

2n1（n

为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n

为正整数） 二、典型题归类 类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。 （1）求AB的长； （2）求CD的长。

类型二：面积问题

【例题】如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数

A

25

B

169

B

【练2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴

【练3】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高 为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？

2

类型四：判断三角形的形状

【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

影部分的面积是______.

【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是

类型三：距离最短问题

【例题】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B

的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成【练1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判这件事情所走的最短路程是多少？ 断△ABC是否为直角三角形.

【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的

22222

直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短【练2】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a－b)(a+b－c)＝0，则它的路程． 形状为（ ）三角形A.直角 B.等腰 C.等腰直角D.等腰或直角

22

(ab)c2ab 【练3】三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形

（A）等边（B）钝角（C） 直角（D）锐角

类型五：直接考查勾股定理

【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，

b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。 【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外

表面爬到B顶点的最短路程是（ ）

A、3 B

、 C、 D、1

2

2

2

类型六：构造应用勾股定理 【 练习 1 】等边三角形的边长为 2 ，求它的面积。

【例题】如图，已知：在中，，，. 求：

BC的长.

2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是

，求这个三角形的面积．

类型九：生活问题

【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________练：△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长． 米．

【练1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为

12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。

【练2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷

类型七：利用勾股定理作长为n的线段

径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 例1在数轴上表示的点。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，

作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为【练习】在数轴上表示的点。

类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

。

【练3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米. 类型十：翻折问题

【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向22

【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，

AD=5，求AC的长。

如图，

把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点

落在点

处。

（1）求证：

（2）设

，试猜想

之间的一种关系，并给予证明．

0千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，

风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

如图所示， 的位置，若 P BP= 为正方形 ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBEa ，求：以

PE为边长的正方形的面积

如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．

（1班）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高 为20cm，点B到点C的距离为5cm，

勾股定理全章知识点及典型题归类

2013-3-10 [1**********]（李老师） 姓名：

典型题归类 类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。 （1）求AB的长；

（2）求CD的长。

类型二：面积问题

【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数

【练2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE ，且

A

AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______.

B

类型三：距离最短问题

【例题】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而

他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外

表面爬到B顶点的最短路程是（ ）

A、3 B、 C、 D、1

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？

2

类型四：判断三角形的形状 【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2

+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

【练1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

类型六：构造应用勾股定理 【例题】如图，已知：在中，

，

，

. 求：

BC的长.

练：△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．

类型十：翻折问题

类型七：利用勾股定理作长为n的线段 在数轴上表示13的点。

类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积．

例：如图，把矩形纸片沿点落在点处。（1）求证：（2）设予证明．

折叠，使点

，试猜想

落在边

上的点

处，

之间的一种关系，并给

练习：如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，

求AC的长。

类型九：生活问题

【练1】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8 米，

一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.

【练2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形

成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方

向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千类型十一：旋转问题 米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方例题：如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称旋转90到CBE的位置，若BP=a，求：以PE为边长的正方形为受台风影响.（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由. 的面积 （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

练习：如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．