平行四边形、菱形
【多边形】
1. 多边形的内角和： 2. 多边形的外角和：
【平行四边形】 一、知识梳理
1. 平行四边形的性质定理
（1） 边： （2）角： （3）对角线： （4）对称性： 2. 平行四边形的判定定理
（1） 两组对边 的四边形是平行四边形 （2） 两组对边 的四边形是平行四边形 （3） 一组对边 的四边形是平行四边形 （4） 对角线 的四边形是平行四边形 （5） 两组对角 的四边形是平行四边形 3．夹在两条平行线间的平行线段。 二、例题讲解
例1 已知：如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF.
求证：∠BAE=∠DCF.
1
例2 已知：如图，□ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
三、练习巩固
1. 已知平行四边形一组邻边分别为4㎝和6㎝，它们的夹角为30°，则这个平行四边形的面积
为 。
2. 已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________. 3. 用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的长边为________，短
边长为__________.
4. 如图所示，在□ABCD中，∠B=130°,延长AD到F,延长CD到E，则∠E+∠F等于
5. 如图所示，在
平面直角坐标系中，
□
ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是（0，0）（5，0）（2，3），则顶点C的坐标是 。 6. 平行四边形的两条对角线和一边长可依次取（ ）
（A）6、6、6 （B）6、4、3 （C）6、4、6 （D）3、2、3
7. 平行四边形一条边长为10,一条对角线长为6,则另一条对角线的长x的取值范围是( )
A.4
A. 周长； B. 一腰的长； C. 周长的一半； D. 两腰的和
9. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长等于等腰
三角形的 ( )
A. 1：2：3：4 B. 2：2：3：3 C. 2：3：2：3 D. 2：3：3：
2
2
10. 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( )
A．平行四边形
B．菱形 C．矩形 D．正方形
11. 如图,在△MNB中,BM=6，点A,C,D分别在MB,NB,MN上,四边形ABCD是平行四边形, ∠NDC=∠
N
MDA,那么□ABCD的周长是( )
D
C A.24 B.18 C.16 D.12
B
12. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。若
PE=PF,且AP+AE=CP+CF （1）求证：PA=PC;
（2）若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积.
13. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=2CD,∠B=60°，M、N分别是边BC、AD的中点，连接AC、
MN。求证：MN与AC互相垂直平分。
14. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
D′
3
B
M
C
A
N
D
F D
15. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线
上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，设点Q的横坐标为n，求平行四边形OPCQ周长（周长用n的代数式表示），并写出其最小值．
4
第25题图1
第25题图2
【菱形】 一、知识梳理
1. 菱形的性质定理
（1）菱形的四条边都______ ．
（2）菱形的对角线__________ ，并且每一条对角线平分_________ ．
（3）菱形的对称性 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形有____条对称轴，对称轴是__________所在的直线． 2. 菱形的判定定理
（1）有一组邻边_______ 的平行四边形叫菱形． （2）四条边都______ 的四边形是菱形． （3）对角线________ 的平行四边形是菱形．
二、例题讲解
例1 下列命题中，假命题是（ ）． （A ）矩形的两条对角线互相平分且相等； （B ）菱形的对角线互相平分且垂直；
（C ）矩形的两条对角线把矩形分成四个直角三角形； （D ）菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形．
例2 如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF//BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC = 2 AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC = 2DG．
5
三、练习巩固
1. 已知菱形的一个内角为120°，周长为24，则较短的对角线长为 2. 菱形的一个内角为60°，较长的对角线为5㎝，则菱形的面积为。 3. 在菱形ABCD中，AE=AH=CF=CG.
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若菱形的边长为1，∠A=120°，AE=x，四边形EFGH的面积为y。写出y与x之间的函数关系式，及函数的定义域。
A
B
H
F
C
D
4. 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，
交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y． （1）求证：△APQ是等边三角形；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值．
6
D
6. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE
会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
7. 如图，在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 4，E是AB边上的一动点，过点E作EF⊥AB交AD的
延长线于点F，交BD于点M、DC于点N． （1）请判断△DMF的形状，并说明理由；
（2）设EB = x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）当x取何值时，S△DMF3
7
A
E
F
M
N
B
D
8. 图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出8
自变量t的取值范围）；
9. 如图1，在ABC中，AB = BC = 5，AC = 6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC
和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由．
（2）如图2，P是线段BC上的一动点（图2），（点P不与B、C重合），连PO并延长交线段AE于点
Q，QR⊥BD，垂足为R．
① 四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．
② 当P在线段BC上运动时，是否有△PQR与△BOC全等？若全等，求BP的长；若不全等，请叙述理由．
图１
图２
备用图
9
平行四边形、菱形
【多边形】
1. 多边形的内角和： 2. 多边形的外角和：
【平行四边形】 一、知识梳理
1. 平行四边形的性质定理
（1） 边： （2）角： （3）对角线： （4）对称性： 2. 平行四边形的判定定理
（1） 两组对边 的四边形是平行四边形 （2） 两组对边 的四边形是平行四边形 （3） 一组对边 的四边形是平行四边形 （4） 对角线 的四边形是平行四边形 （5） 两组对角 的四边形是平行四边形 3．夹在两条平行线间的平行线段。 二、例题讲解
例1 已知：如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF.
求证：∠BAE=∠DCF.
1
例2 已知：如图，□ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
三、练习巩固
1. 已知平行四边形一组邻边分别为4㎝和6㎝，它们的夹角为30°，则这个平行四边形的面积
为 。
2. 已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________. 3. 用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的长边为________，短
边长为__________.
4. 如图所示，在□ABCD中，∠B=130°,延长AD到F,延长CD到E，则∠E+∠F等于
5. 如图所示，在
平面直角坐标系中，
□
ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是（0，0）（5，0）（2，3），则顶点C的坐标是 。 6. 平行四边形的两条对角线和一边长可依次取（ ）
（A）6、6、6 （B）6、4、3 （C）6、4、6 （D）3、2、3
7. 平行四边形一条边长为10,一条对角线长为6,则另一条对角线的长x的取值范围是( )
A.4
A. 周长； B. 一腰的长； C. 周长的一半； D. 两腰的和
9. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长等于等腰
三角形的 ( )
A. 1：2：3：4 B. 2：2：3：3 C. 2：3：2：3 D. 2：3：3：
2
2
10. 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( )
A．平行四边形
B．菱形 C．矩形 D．正方形
11. 如图,在△MNB中,BM=6，点A,C,D分别在MB,NB,MN上,四边形ABCD是平行四边形, ∠NDC=∠
N
MDA,那么□ABCD的周长是( )
D
C A.24 B.18 C.16 D.12
B
12. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。若
PE=PF,且AP+AE=CP+CF （1）求证：PA=PC;
（2）若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积.
13. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=2CD,∠B=60°，M、N分别是边BC、AD的中点，连接AC、
MN。求证：MN与AC互相垂直平分。
14. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
D′
3
B
M
C
A
N
D
F D
15. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线
上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，设点Q的横坐标为n，求平行四边形OPCQ周长（周长用n的代数式表示），并写出其最小值．
4
第25题图1
第25题图2
【菱形】 一、知识梳理
1. 菱形的性质定理
（1）菱形的四条边都______ ．
（2）菱形的对角线__________ ，并且每一条对角线平分_________ ．
（3）菱形的对称性 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形有____条对称轴，对称轴是__________所在的直线． 2. 菱形的判定定理
（1）有一组邻边_______ 的平行四边形叫菱形． （2）四条边都______ 的四边形是菱形． （3）对角线________ 的平行四边形是菱形．
二、例题讲解
例1 下列命题中，假命题是（ ）． （A ）矩形的两条对角线互相平分且相等； （B ）菱形的对角线互相平分且垂直；
（C ）矩形的两条对角线把矩形分成四个直角三角形； （D ）菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形．
例2 如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF//BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC = 2 AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC = 2DG．
5
三、练习巩固
1. 已知菱形的一个内角为120°，周长为24，则较短的对角线长为 2. 菱形的一个内角为60°，较长的对角线为5㎝，则菱形的面积为。 3. 在菱形ABCD中，AE=AH=CF=CG.
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若菱形的边长为1，∠A=120°，AE=x，四边形EFGH的面积为y。写出y与x之间的函数关系式，及函数的定义域。
A
B
H
F
C
D
4. 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，
交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y． （1）求证：△APQ是等边三角形；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值．
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D
6. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE
会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
7. 如图，在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 4，E是AB边上的一动点，过点E作EF⊥AB交AD的
延长线于点F，交BD于点M、DC于点N． （1）请判断△DMF的形状，并说明理由；
（2）设EB = x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）当x取何值时，S△DMF3
7
A
E
F
M
N
B
D
8. 图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出8
自变量t的取值范围）；
9. 如图1，在ABC中，AB = BC = 5，AC = 6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC
和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由．
（2）如图2，P是线段BC上的一动点（图2），（点P不与B、C重合），连PO并延长交线段AE于点
Q，QR⊥BD，垂足为R．
① 四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．
② 当P在线段BC上运动时，是否有△PQR与△BOC全等？若全等，求BP的长；若不全等，请叙述理由．
图１
图２
备用图
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