中澳两国小学数学教材难度比较研究

中澳两国小学数学教材难度比较研究

——以人教版和Nelson 小学数学四年级教材为例 王 宽 明

（贵州师范大学数学与计算机科学学院 贵州贵阳 550001）

摘要：研究运用数学教材难度模型N =f (C 1,C 2,C 3)=0.2C 1+0.5C 2+0.3C 3，对澳大利亚Nelson 小学数学教材和我国人教版的小学数学教材进行难度比较，比较的对象都选择4年级数学教材. 研究发现：在内容广度上，澳教材（56个知识点）明显高于我国教材（48个知识点）；在内容深度上我国教材（难度为0.6840）高于澳教材（0.6042）；在习题难度上，我国教材（0.53）低于澳教材（难度为0.5797）. 结果表明：中、澳两国小学数学教材总体难度相当，但澳教材在各维度上难度较均衡，人教版教材难度在各维度上有一定的波动；澳小学数学教材内容宽而不浅；中国小学数学教材在内容深度上难度较高. 关键词：小学数学教材；内容广度；内容深度；习题难度

1. 问题提出

在众多的比较研究中，东亚地区（如新加坡、日本、韩国、中国台湾和中国香港）的学生在数学学科上都取得了显著高于西方发达国家学生的成绩，如2012年PISA 测试中中国上海地区的学生荣获第一. 世纪之初，我国中小学数学课程相继改革，引起国内外数学教育研究者的关注，但是也有不同的声音，如中国数学教育的悖论. 这反映了影响学生数学成绩的因素很多，诸如教学条件、教学手段以及师资力量等. 在众多的影响因素中，学生学习的载体——教科书是一个不可忽视的因素. 弗朗索瓦—玛丽·热拉尔和易克萨维耶·罗日叶认为教科书对于学生具有两大功能：第一，与学习有关的功能，包括传递知识、发展素质和能力、巩固学业、评价学业功能等；第二，与日常生活和职业生活的衔接功能，包括帮助整合学业获得、参考、社会和文化教育功能等．

因此，我们需要在教学内容上和国外进行比较，力求扬弃传统，辩证吸收国外一些先进的教育教学理念. 基于此，本研究通过对澳大利亚小学数学教材和我国的小学数学教材进行难度比较，以期为我国的数学课程改革进展提供现实的参考，同时也为教材编写、修订以及教材建设多样化提供参考，进而探索基础教育如何“减负提质”.

2研究方法 2.1 比较对象

研究比较的对象是人民教育出版社和维多利亚女王时代出版社出版的小学数学教材。选择人民教育出版社版的这套教科书，是因为人民教育出版社一直致力于教科书的研究，对教

[1]

科书的编写有着丰富的理论和实践经验，以下研究中“中国教材”均指人民教育出版社出版的小学四年级数学教材.

另一方面，Nelson 数学教材是维多利亚女王时代出版社按照澳大利亚政府颁布的数学指导性文件编写的，由Glenda Bradley主编、语言教育读物出版商威尔逊圣智公司2007年出版的，是学生独立和自我评估的任务书.Nelson 数学教材除了澳大利亚本土使用范围较广以外，在亚洲的韩国、新加坡等等，以及美国、加拿大等英语国家也有广泛的使用，威尔逊圣智公司是澳大利亚最大的语言教育方面的出版公司. 研究采用澳大利亚小学四年级Nelson 数学教材，以下均称之为“澳Nelson 教材”.

研究以小学四年级数学教材作为比较对象，因为四年级是第二学段的开始，学生通过第一学段学习后，已经具备了一定的知识经验基础. 按皮亚杰观点，其认知水平也发展到形象思维阶段. 因此，在此阶段的教材编排上可以充分体现两国的教育理念、教学任务、目标要求等. 笔者期望通过对两国小学四年级数学教材难度的分析，能够“窥一斑而见全豹”，在一定程度上了解两国小学数学教育的特点.

2.2教材难度测算维度

教材的难易度用内容广度、内容深度和习题难度三个方面来刻画. 内容广度直接根据知识点的数量进行统计. 内容深度用两个维度来刻画：概念呈现和法则（公式）的呈现. 其中概念呈现按照直观、描述、抽象三个水平来刻画其难易度；法则（公式）呈现按照了解、理解、综合应用三个水平来刻画其难易度. 习题难易度用两个维度来刻画：习题水平和习题背景. 其中习题水平按照模仿、迁移、探究三个水平刻画其难易度；习题背景按照无背景、生活背景、科学背景三个水平来刻画其难易水平. 各部分内容的难度划分见表1

表1 内容深度、习题难度划分

内容深度

维度 概念呈现 法则（公式）呈现

习题难度

习题水平 习题背景

难度（从易到难） 直观 了解 模仿 无背景

描述 理解 运用 生活背景

抽象 综合应用 探究 科学背景

1

2.3教材难度测算方法

本研究对教材难易度N 采用如下测算公式： 1

研究教材难度测算模型系宋乃庆、史宁中、曹一鸣等主持的全国教育科学“十二五”重点课题“中小学理科教科书国际比较研究”的相关研究成果.

N =f (C 1, C 2, E ) =α1C 1+α2C 2+α3E （, 0

S i αC +α22C 22

， C 2=2121, α21+α22=1

S 3

αE +α32E 2

, α31+α32=1 E =311

3

C 其中， 1表示内容广度，C 2表示内容深度，其中C 21表示概念呈现水平，C 22表示法则 C 1=

（公式）呈现水平，E 表示习题难度，E 1表示习题水平难度，E 2表示习题背景难度.

表2 各维度系数赋值

α1

0.2

α2

0.5 0.5 0.5

α

3

0.3 0.6 0.4

α21

α22

α31

α32

2.3.1内容广度测算

本研究中，内容广度测算通过计算判断出澳教材中的知识点数量，然后除以本研究中所有国家小学四年级数学教材中的知识点并集的数量，结果为本研究中四年级数学教材的内容广度.

表3 内容广度计算

澳大利亚教材知识点个数

本次研究知识点并集

内容广度

S

i

S

C 1

2.3.2内容深度测算

=

S i

S

因为“教科书编写在内容的呈现上对教学活动有着重要的导向作用. 是注重获得信息和结果，还是注重学生学习过程知识意义的建构，教科书有着不同的内容呈现方式．”

本研究中关于内容深度的测算，采用概念呈现和法则呈现两个维度，分别计算出相应水平的数量，最后代入本研究采用的公式计算.

表4 内容深度赋值

C 21概念呈现 赋值 C 22法则呈现 赋值

直观 1 了解 1

描述 2 理解 2

抽象 3 综合运用 3

计算公式

[2]

n 1⨯1+n 2⨯2+n 3⨯3

n 1+n 2+n 3

2.3.2.1概念呈现

研究概念呈现的难易度从直观、描述／归纳、抽象三个水平来刻画，其刻画标准见表5

表5 概念呈现的划分标准

1

直观

以标本、模型、图片、图形、图表、算例等直接呈现知识点的属性、特征或内容，文字仅限于给出对象的名称.

2 3

描述／归纳 在对知识点进行直观呈示的基础上，用文字对直观呈示的内容进行归纳、描述. 抽象

用文字直接对知识点所含对象的属性或特征进行叙述，无直观呈示，或直观呈示只用于对文字叙述的说明.

2.3.2.2法则呈现

法则呈现的难易度分了解、理解、综合运用三个水平，每个水平的划分标准见表6

表6 法则呈现划分标准

1 2

了解 理解

知道知识点所含对象的主要特征，能从具体情景中辨识出对象.

知道知识点所含对象的由来，能描述对象的特征，能描述对象与相关对象的区别和联 系，明确对象的适用范围，能将对象运用到新的情景中.

3

掌握∕运用

在理解的基础上，能灵活、合理地运用知识点所含对象，或将对象与其他知识点进行综合应用，能将对象运用到较复杂的情景中.

2.3.3习题难度

研究关于习题水平的测算，采用概念呈现和法则呈现两个维度，分别计算出相应水平的数量，最后代入本研究采用的公式计算. 见表7

表7 习题水平赋值

E 1习题背景 赋值 E 2习题背景 赋值

模仿 1 无背景 1

运用 2 生活背景 2

探究 3 科学背景 3

计算公式

n 1⨯1+n 2⨯2+n 3⨯3

n 1+n 2+n 3

2.3.3.1习题水平

本研究中习题难度采用习题水平和习题背景两个纬度刻画. 其中，每个维度的具体划分方式见表8和表9.

表8 习题水平划分标准

1 模仿 对对应知识点中例题或示例的模仿. 题目的设问、要求，以及解题的方法、步骤都基本与例题一致.

2 运用 与对应知识点中的例题或示例相比，题目的设问、要求有所变化，或解题的方法有所改变、或解题的步骤有所增加. 主要是对应知识点的运用.

3 探究 没有直接对应的例题，题目的设问可能是开放性的，解题方法是非常规的，无固定解答步骤，多个知识点的综合运用，或对应知识点的延伸.

2.3.3.2习题背景

表9 习题背景划分标准

1 2

无背景 生活背景

只含有数学学科知识, 没有个人生活或科学相关的背景.

含有与学生熟悉的生活或公共常识相关的情景或背景，且在这些情景或背景中应包含有用于解答习题的内容. （学生能直接感知的）

3

科学背景

含有科学（地理、物理、生物、化学、信息技术等）实验的情境或背景知识，且背景知识中包含有需要进行数学化的内容，并用于习题的解答. （学生不能直接感知的）

3.3中、澳两国小学数学教材难度比较 3.1教材难度整体分布情况

表10 中国教材和澳Nelson 教材整体情况

比较维度

知识

内容要求 概念呈现

描述/归纳 38 79 17 30

抽

法则公式 了

理

掌握/

习题数量 习题水平 模仿

迁移

探

习题背景 无背

生活

科学

点 直

观

中国人教版 澳Nelson 教材

数量

48 10

21

象 解 解 运用 0 0 7

11 26 12 22 53 24 11 30 15

究 景 背景 背景 182 39 56 61

23 5 1 1

216 201 49 257 46 30 33

43 50 54

11 56 12 35 13 38

比例﹪ 数量

56 32

57

比例﹪ 13 20 54 27

由表10可知，中国教材知识点数量比澳教材少. 即在内容广度上，澳教材难度高于人教版教材. 在内容深度方面，中国教材概念呈现的方式主要集中于描述／归纳层次（79﹪），而澳教材在概念呈现方面由易到难存在一定的递减性，比例分别为57﹪,30﹪,13﹪；而对于法则公式的要求，中国教材和澳教材较为一致.

在习题难度方面，从习题水平看，中国教材比较集中于模仿（46﹪）、迁移（43﹪）水平两者约占习题总量的九成，而澳教材也主要集中于这两个层次，但澳教材中迁移水平的习题比例较大；从习题背景看，两者都集中在无背景、生活背景层次，但中国教材中无背景的习题比例较大（56﹪），而澳教材中生活背景的习题比例较大（61﹪）. 3.2内容广度比较

表11 中国教材和澳Nelson 教材知识点分布

澳Nelson 教材

共同的知识点 两国独立的知识点

计数单位，数位顺序表，用万、亿为单位表示数，大数的比较，近似数（万用图形表达数据和解释作单位），自然数的含义和特点，十进制计数法，计算工具的认识，用计算图形，数字模式，测量规器计算，认识直线、射线，角的定义及表示，角的度量，角的分类，用量角则和不规则图形的面积，器画角，三角形拼图，三角形的特性，三角形的分类，三角形的内角和，口容积，时间变化和指针角算（三位数乘一位数），估算( 三位数乘两位数) ，积的变化规律，时间、速度关系，用正式和非正式度、路程的关系，进位加法和退位减法，认识垂直、平行，画垂线、平行线，的方法测量体积，可能平行四边形，口算（除数是整十数），笔算（除数是两位数），策略优化，乘性，空间图形，体积计算，除混合运算，四则混合运算，确定位置，加法运算律，乘法运算律，加乘运确定位置（有序数对），算律的运用，小数的意义和计数单位，小数的数位顺序表和读写法，小数的测量质量.

性质，小数点位置移动引起小数大小变化的规律，小数的大小比较，小数和折线统计图（认识、绘十进复名数的相互改写，小数和分数互相转换近似数，小数加法，小数减法，制），条形统计图（复式），小数的加、减混合运算，总数和间隔数之间的关系问题.

梯形.

中国教材

由表11可知，在澳Nelson 教材56个知识点、中国教材48个知识点中，两国共同的知识点数量有45个. 其中，中国教材具有而澳Nelson 教材没有的知识点为3个；澳Nelson 教材具有而中国教材没有的知识点为11个. 知识点并集总数的计算，研究采用宋乃庆、史宁中、曹一鸣等主持的全国教育科学“十二五”重点课题“中小学理科教科书国际比较研究”的相关研究成果——中、美、俄、德、韩、日、法、新加坡等十三国小学数学教材知识点并集，总数为110个，故得澳教材的内容广度： C 1=

S i 56

=≈0.5091S 110

同理，可计算中国教材内容广度为0.4364. 因而，中国教材内容广度上低于澳教材. 表12 两国小学数学教材知识点在不同模块间的分布

中国教材 澳教材

数与代数 30（62.5﹪） 30（53.5﹪）

图形与几何 14（29.2﹪） 19（33.9﹪）

概率与统计 2（4.2﹪） 1（1.8﹪）

综合实践 2（4.2﹪）

难度 0.4364

6（10.7﹪） 0.5091

由表12可知，两国小学四年级数学教材在内容安排上，均偏向“数与代数”、“图形与几何”. 但在不同模块学习中要求略有差异，中国教材“数与代数”安排的比例达62.5﹪，而澳教材安排的内容略有降低（53.5﹪）. 而在图形与几何、综合实践两个模块中，澳教材安排的比例较中国教材高. 在概率与统计学习中，中国教材安排两个统计方面的知识点学习，而澳教材也只安排了一个知识点——可能性的学习. 虽然“世界各国都将‘统计与概率’的初步知识作为数学素养的一部分引入小学至高中的课程中”．

但是在小学阶段，中国教材学习了两个统计方面的知识点，澳教材安排了一个可能性的知识点，说明中澳两国对该部分内容处理都是比较谨慎的.

3.3内容深度

[3]

研究内容深度采用概念呈现和法则呈现两个纬度进行刻画. 3.3.1 概念呈现方式

根据表10，以及本研究采用的内容深度计算公式，在概念呈现水平上，澳教材难易程

n ⨯1+n 2⨯2+n 3⨯332⨯1+17⨯2+7⨯3度： C 21=1=≈1.5536

n 1+n 2+n 3

32+17+7

n ⨯1+n 2⨯2+n 3⨯311⨯1+30⨯2+15⨯3

法则呈现水平：C 22=1=≈2.0714.

n 1+n 2+n 311+30+15

故澳教材的内容深度为：

C 2=

0.5C 21+0.5C 220.5⨯1.5536+0.5⨯2.0714=≈0.6042.

33

同理，中国教材内容深度为0.684.

图1 中、澳两国小学四年级数学教材在概念呈现方面的比例（单位：﹪） 由图1可知，在概念呈现的难度上，中国数学教材比较集中于归纳／描述层次，直观层次的概念呈现较少，而澳教材难度在各个水平都占有一定的比例. 其中，直观层次的概念呈现占有较大的比例. 这说明，澳教材在概念呈现更加合理，因为“学生在产生表象上的活动 是一种基础活动，是必不可少的”，而“数学概念的理解，是一种活动和反省抽象的过程．活动是反省的基础，缺少了活动，反省就无法实现”．

3.3.2 法则呈现

两国数学教材在法则呈现上所占比例见图

2.

[4]

图2 中、澳两国小学四年级数学教材在法则公式呈现方面的比例（单位：﹪）

由图2知，两国在法则公式呈现水平的比例方面比较接近，都充分考虑到数学知识的特点以及儿童的认知规律. 3.4习题难度

本研究习题难度分为两个水平来衡量：习题水平和习题背景。在习题难易程度上，澳教材的习题水平难度为：

习题背景难度为： E

32=

E 31=

n 1⨯1+n 2⨯2+n 3⨯330⨯1+50⨯2+12⨯3

=≈1.8043

n 1+n 2+n 330+50+12n 1⨯1+n 2⨯2+n 3⨯335⨯1+56⨯2+1⨯3

=≈1.6304

n 1+n 2+n 335+56+1

故澳教材习题难度为：

E =

α31E 1+α32E 2

3

0.6⨯1.8043+0.4⨯1.6304=≈0.5782

3

同理，可计算出中国数学教材习题难度为0.53. 3.4.1习题水平

图3 中、澳两国小学四年级数学教材中不同水平的习题数量（单位：题）

由图3可知，中国教材的习题数量远高于澳大利亚教材，说明中国数学教学注重练习，“常常具体为解决数学问题的技术手段和工具, 也就成为以‘解题基础训练见长’的中国数学教学的常规行为, 而且比较富有成效”，强调对知识的记忆和巩固.

但是大量的练习也会挤压学生自主活动的空间，这就可能导致中国学生的学业负担过重. 两国教材中习题数量在不同水平上的比例见图5

[5]

图5 中、澳两国小学数学教材在习题水平方面的比例（单位：﹪）

由图5可知，虽然澳教材的习题数量很少，但是迁移、探究水平的习题比例却略高于中国教材. 这说明澳大利亚小学数学教学比较注重练习的质量. 3.4.2习题背景

习题背景也是影响教材的难度之一. 中澳两国数学教材的习题背景大致可分为无背景、生活背景和科学背景三个水平

.

图5 中、澳两国小学四年级数学教材习题在不同背景方面的数量（单位：题） 由图5知，中国数学教材在所有背景方面的习题数量均超过澳教材. 但在具体呈现特点上，中国教材在这三个水平上依次递减，而澳教材在生活背景上的习题相对较多. 但两国教材均“重视学生的生活经验，密切数学与现实的联系”.

[6]

图6 中、澳两国小学数学教材在不同习题背景方面的比例（单位：﹪）

由图6知，中国教材中，无背景的习题比例较高，但是也有相当数量的生活背景的习题和科学背景的习题，兼顾了不同生活经验的学生；而澳教材比较偏向于生活背景的习题. 将以上各维度难度值带入公式：N =f (C 1,C 2,C 3)=0.2C 1+0.5C 2+0.3C 3，结果为：中国教材总体难度为0.5883，而澳教材总体难度为0.5778. 4研究结论

4.1中、澳两国小学数学教材总体难度相当，但澳教材在各维度上难度较均衡，人教版教材难度在各维度上有一定的波动

本研究得出，中国教材总体难度为0.5883，而澳教材总体难度为0.5778. 表明中国教材和澳教材相比，难度略高，但相差无几. 因而，两国小学数学教材难度总体相当. 两国教材在各维度上难度见图7

图7 中、澳两国小学四年级数学教材难度在各维度分布情况

由图1可知，澳教材难度总体上比人教版略低，在内容广度、习题难度方面，其难度高于中国教材，而在内容深度上低于中国，但各维度难度比较平稳. 中国数学教材在三个维度上，难度相对起伏较大.

4.2澳小学数学教材内容宽而不浅

澳小学数学教材的知识点56个，而中国小学数学教材知识点是48个，这意味着澳大利亚小学四年级学生要比中国同年级学生学习的内容要多出16.7﹪. 在概念呈现上，描述／归纳层次、抽象层次的比例都较中国小学数学教材多；在法则呈现水平上，两国教材在各难度水平上比例相当；就习题水平而言，虽然澳教材的习题数量远低于中国数学教材，但在习题设置上，迁移、探究水平的习题的比例高于中国数学教材。这样，“学生可以减少在大量繁杂的运算中花费的时间，在问题解决中的思考、探索上投入更大的精力”；在习题背景方面，澳教材生活背景方面的习题比例也较高. 因此，澳小学数学教材宽而不浅. 而且，最后难度计算的结果也可看出，澳教材在总体难度上接近中国数学教材.

4.3中国小学数学教材在内容深度上难度较高

中国教材在内容深度上难度为0.684，澳为0.6042，这表明中国教材的难度较澳教材的难度高. 结合图1、图2知，中国教材的难度高主要表现为其概念的呈现方式，而在法则呈现上难度相差无几.

在概念呈现方面，中国教材难度在直观和归纳/描述层次的比例约为1:4，概念呈现没有抽象层次，中国教材着眼于学生整体水平的提高；而澳教材在直观、归纳/描述、抽象这三

[7]

个层次的比例约为6:3:1.因而澳教材能够更好地照顾到不同层次学生的学习需求，但是在总体方面偏容易，以直观的方式呈现概念达57﹪，中国教材仅21﹪. 而且中国教材在代数内容方面相对较多，而澳教材在几何方面的内容相对较多（见表11）. 因而，在概念呈现方面，中国教材的概念呈现方式以归纳/描述为主（79﹪），而澳教材以直观的方式呈现较多. 本研究表明，中国小学数学教材难度略高于澳教材，但是总体上两国小学数学教材难度比较接近. 但是在具体维度上，中澳两国小学数学教材难度各有特点：澳教材知识点更多，习题难度也略高，但中国教材在内容深度上难度更大些. 但中国小学数学教材的编写结构程“由浅入深、循序渐进、螺旋上升；突出知识之间的互相联系与综合；重视问题情境”等特点.

由于“教师对课程的认识与教师有效教学存在密切联系” [9～10]，而且“课程显著影响教师教学性解释的质量”，本研究通过对中澳小学数学教材难度的比较，对于我国小学数学教材编写有一定的启示，即立足本土，借鉴国外的小学数学教材优点，所以本研究可以进一步完善小学数学教师教材观以及深化对教育的认识. 但在具体实施过程中，尚需要教师把“实施的外部教学事件与学生的内部学习过程联系起来”.

参考文献：

[1] 弗朗索瓦—玛丽·热拉尔，易克萨维耶·罗日叶．为了学习的教科书编写、评估、使用[M].汪凌，周振平译. 上海：华东师范大学出版社，2009．

[2]于波. 基于学生发展的教科书编写与使用[J].数学教育学报，2013（2）：77～79.

[3]刘曌，杨光伟，唐恒钧. 中日两国小学数学课程统计与概率的比较研究[J].数学教育学报，2013（3）:63～66.

[4]吴骏. 小学四年级学生对平均数概念理解的发展过程[J].数学教育学报，2011（3）:39～41.

[5]宁连华，涂荣豹. 中国数学基础教育的继承与发展[J].数学教育学报，2012（6）:6～9.

[6]杭州现代小学数学教育研究中心课题组. 小学数学教材建设的实践与反思[J].中国教育学刊，2006（1）：69～71.

[7]张文宇，傅海伦. 新加坡小学数学教材的特色及启示[J].数学教育学报，2011（4）:63～66.

[8] Cohen D K, Hill H C. Instructional Policy and Classroom Performance: the Mathematics Reform in California

[J].Teachers College Record, 2000, (102): 294-343.

[9]孔企平. 小学数学课程与教学论[M].杭州：浙江教育出版社，2003.27.

[10]黄兴丰，马云鹏．美国数学教师学科知识评价方法的述评[J]．数学教育学报，2013，22（1）：55-60．

[11]李小青, 倪玉菁. 小学数学课堂的教师教学质量研究[J].数学教育学报,2013(4):54-57. [11][8]

Comparative study of primary school mathematics textbooks between China and Australia

—— to pep and Nelson the fourth grade primary school mathematics textbooks as an example

Wang kuan-ming

( School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001) Abstract: Study on the use of mathematical curriculum difficulty models, the Australian Nelson primary school mathematics textbook and Chinese teaching of primary school mathematics textbook version of the difficulty, the object of comparison are 4 grade

mathematics teaching. The study found: in the breadth of content, Australia textbook (56 points) was significantly higher than that of Chinese textbook (48 knowledge points); in the 11

depth of the contents of textbooks in China (DC 0.6840) higher than the Australian

teaching material (0.6042); in the difficulty of exercises, Chinese teaching material (0.53) is lower than the Australian textbook (DC 0.5797). The results show that: in Australian primary school mathematics textbooks, the overall difficulty, but the Australian teaching material in the various dimensions of difficulty a more balanced, the PEP Textbooks have certain fluctuations in each dimension; primary school mathematics textbook content

Australia wide but shallow; primary school mathematics textbooks Chinese difficulty in the depth of the contents is higher.

Keywords: primary school mathematics textbooks; content breadth; depth of content; the difficulty of exercises

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中澳两国小学数学教材难度比较研究

——以人教版和Nelson 小学数学四年级教材为例 王 宽 明

（贵州师范大学数学与计算机科学学院 贵州贵阳 550001）

摘要：研究运用数学教材难度模型N =f (C 1,C 2,C 3)=0.2C 1+0.5C 2+0.3C 3，对澳大利亚Nelson 小学数学教材和我国人教版的小学数学教材进行难度比较，比较的对象都选择4年级数学教材. 研究发现：在内容广度上，澳教材（56个知识点）明显高于我国教材（48个知识点）；在内容深度上我国教材（难度为0.6840）高于澳教材（0.6042）；在习题难度上，我国教材（0.53）低于澳教材（难度为0.5797）. 结果表明：中、澳两国小学数学教材总体难度相当，但澳教材在各维度上难度较均衡，人教版教材难度在各维度上有一定的波动；澳小学数学教材内容宽而不浅；中国小学数学教材在内容深度上难度较高. 关键词：小学数学教材；内容广度；内容深度；习题难度

1. 问题提出

在众多的比较研究中，东亚地区（如新加坡、日本、韩国、中国台湾和中国香港）的学生在数学学科上都取得了显著高于西方发达国家学生的成绩，如2012年PISA 测试中中国上海地区的学生荣获第一. 世纪之初，我国中小学数学课程相继改革，引起国内外数学教育研究者的关注，但是也有不同的声音，如中国数学教育的悖论. 这反映了影响学生数学成绩的因素很多，诸如教学条件、教学手段以及师资力量等. 在众多的影响因素中，学生学习的载体——教科书是一个不可忽视的因素. 弗朗索瓦—玛丽·热拉尔和易克萨维耶·罗日叶认为教科书对于学生具有两大功能：第一，与学习有关的功能，包括传递知识、发展素质和能力、巩固学业、评价学业功能等；第二，与日常生活和职业生活的衔接功能，包括帮助整合学业获得、参考、社会和文化教育功能等．

因此，我们需要在教学内容上和国外进行比较，力求扬弃传统，辩证吸收国外一些先进的教育教学理念. 基于此，本研究通过对澳大利亚小学数学教材和我国的小学数学教材进行难度比较，以期为我国的数学课程改革进展提供现实的参考，同时也为教材编写、修订以及教材建设多样化提供参考，进而探索基础教育如何“减负提质”.

2研究方法 2.1 比较对象

研究比较的对象是人民教育出版社和维多利亚女王时代出版社出版的小学数学教材。选择人民教育出版社版的这套教科书，是因为人民教育出版社一直致力于教科书的研究，对教

[1]

科书的编写有着丰富的理论和实践经验，以下研究中“中国教材”均指人民教育出版社出版的小学四年级数学教材.

另一方面，Nelson 数学教材是维多利亚女王时代出版社按照澳大利亚政府颁布的数学指导性文件编写的，由Glenda Bradley主编、语言教育读物出版商威尔逊圣智公司2007年出版的，是学生独立和自我评估的任务书.Nelson 数学教材除了澳大利亚本土使用范围较广以外，在亚洲的韩国、新加坡等等，以及美国、加拿大等英语国家也有广泛的使用，威尔逊圣智公司是澳大利亚最大的语言教育方面的出版公司. 研究采用澳大利亚小学四年级Nelson 数学教材，以下均称之为“澳Nelson 教材”.

研究以小学四年级数学教材作为比较对象，因为四年级是第二学段的开始，学生通过第一学段学习后，已经具备了一定的知识经验基础. 按皮亚杰观点，其认知水平也发展到形象思维阶段. 因此，在此阶段的教材编排上可以充分体现两国的教育理念、教学任务、目标要求等. 笔者期望通过对两国小学四年级数学教材难度的分析，能够“窥一斑而见全豹”，在一定程度上了解两国小学数学教育的特点.

2.2教材难度测算维度

教材的难易度用内容广度、内容深度和习题难度三个方面来刻画. 内容广度直接根据知识点的数量进行统计. 内容深度用两个维度来刻画：概念呈现和法则（公式）的呈现. 其中概念呈现按照直观、描述、抽象三个水平来刻画其难易度；法则（公式）呈现按照了解、理解、综合应用三个水平来刻画其难易度. 习题难易度用两个维度来刻画：习题水平和习题背景. 其中习题水平按照模仿、迁移、探究三个水平刻画其难易度；习题背景按照无背景、生活背景、科学背景三个水平来刻画其难易水平. 各部分内容的难度划分见表1

表1 内容深度、习题难度划分

内容深度

维度 概念呈现 法则（公式）呈现

习题难度

习题水平 习题背景

难度（从易到难） 直观 了解 模仿 无背景

描述 理解 运用 生活背景

抽象 综合应用 探究 科学背景

1

2.3教材难度测算方法

本研究对教材难易度N 采用如下测算公式： 1

研究教材难度测算模型系宋乃庆、史宁中、曹一鸣等主持的全国教育科学“十二五”重点课题“中小学理科教科书国际比较研究”的相关研究成果.

N =f (C 1, C 2, E ) =α1C 1+α2C 2+α3E （, 0

S i αC +α22C 22

， C 2=2121, α21+α22=1

S 3

αE +α32E 2

, α31+α32=1 E =311

3

C 其中， 1表示内容广度，C 2表示内容深度，其中C 21表示概念呈现水平，C 22表示法则 C 1=

（公式）呈现水平，E 表示习题难度，E 1表示习题水平难度，E 2表示习题背景难度.

表2 各维度系数赋值

α1

0.2

α2

0.5 0.5 0.5

α

3

0.3 0.6 0.4

α21

α22

α31

α32

2.3.1内容广度测算

本研究中，内容广度测算通过计算判断出澳教材中的知识点数量，然后除以本研究中所有国家小学四年级数学教材中的知识点并集的数量，结果为本研究中四年级数学教材的内容广度.

表3 内容广度计算

澳大利亚教材知识点个数

本次研究知识点并集

内容广度

S

i

S

C 1

2.3.2内容深度测算

=

S i

S

因为“教科书编写在内容的呈现上对教学活动有着重要的导向作用. 是注重获得信息和结果，还是注重学生学习过程知识意义的建构，教科书有着不同的内容呈现方式．”

本研究中关于内容深度的测算，采用概念呈现和法则呈现两个维度，分别计算出相应水平的数量，最后代入本研究采用的公式计算.

表4 内容深度赋值

C 21概念呈现 赋值 C 22法则呈现 赋值

直观 1 了解 1

描述 2 理解 2

抽象 3 综合运用 3

计算公式

[2]

n 1⨯1+n 2⨯2+n 3⨯3

n 1+n 2+n 3

2.3.2.1概念呈现

研究概念呈现的难易度从直观、描述／归纳、抽象三个水平来刻画，其刻画标准见表5

表5 概念呈现的划分标准

1

直观

以标本、模型、图片、图形、图表、算例等直接呈现知识点的属性、特征或内容，文字仅限于给出对象的名称.

2 3

描述／归纳 在对知识点进行直观呈示的基础上，用文字对直观呈示的内容进行归纳、描述. 抽象

用文字直接对知识点所含对象的属性或特征进行叙述，无直观呈示，或直观呈示只用于对文字叙述的说明.

2.3.2.2法则呈现

法则呈现的难易度分了解、理解、综合运用三个水平，每个水平的划分标准见表6

表6 法则呈现划分标准

1 2

了解 理解

知道知识点所含对象的主要特征，能从具体情景中辨识出对象.

知道知识点所含对象的由来，能描述对象的特征，能描述对象与相关对象的区别和联 系，明确对象的适用范围，能将对象运用到新的情景中.

3

掌握∕运用

在理解的基础上，能灵活、合理地运用知识点所含对象，或将对象与其他知识点进行综合应用，能将对象运用到较复杂的情景中.

2.3.3习题难度

研究关于习题水平的测算，采用概念呈现和法则呈现两个维度，分别计算出相应水平的数量，最后代入本研究采用的公式计算. 见表7

表7 习题水平赋值

E 1习题背景 赋值 E 2习题背景 赋值

模仿 1 无背景 1

运用 2 生活背景 2

探究 3 科学背景 3

计算公式

n 1⨯1+n 2⨯2+n 3⨯3

n 1+n 2+n 3

2.3.3.1习题水平

本研究中习题难度采用习题水平和习题背景两个纬度刻画. 其中，每个维度的具体划分方式见表8和表9.

表8 习题水平划分标准

1 模仿 对对应知识点中例题或示例的模仿. 题目的设问、要求，以及解题的方法、步骤都基本与例题一致.

2 运用 与对应知识点中的例题或示例相比，题目的设问、要求有所变化，或解题的方法有所改变、或解题的步骤有所增加. 主要是对应知识点的运用.

3 探究 没有直接对应的例题，题目的设问可能是开放性的，解题方法是非常规的，无固定解答步骤，多个知识点的综合运用，或对应知识点的延伸.

2.3.3.2习题背景

表9 习题背景划分标准

1 2

无背景 生活背景

只含有数学学科知识, 没有个人生活或科学相关的背景.

含有与学生熟悉的生活或公共常识相关的情景或背景，且在这些情景或背景中应包含有用于解答习题的内容. （学生能直接感知的）

3

科学背景

含有科学（地理、物理、生物、化学、信息技术等）实验的情境或背景知识，且背景知识中包含有需要进行数学化的内容，并用于习题的解答. （学生不能直接感知的）

3.3中、澳两国小学数学教材难度比较 3.1教材难度整体分布情况

表10 中国教材和澳Nelson 教材整体情况

比较维度

知识

内容要求 概念呈现

描述/归纳 38 79 17 30

抽

法则公式 了

理

掌握/

习题数量 习题水平 模仿

迁移

探

习题背景 无背

生活

科学

点 直

观

中国人教版 澳Nelson 教材

数量

48 10

21

象 解 解 运用 0 0 7

11 26 12 22 53 24 11 30 15

究 景 背景 背景 182 39 56 61

23 5 1 1

216 201 49 257 46 30 33

43 50 54

11 56 12 35 13 38

比例﹪ 数量

56 32

57

比例﹪ 13 20 54 27

由表10可知，中国教材知识点数量比澳教材少. 即在内容广度上，澳教材难度高于人教版教材. 在内容深度方面，中国教材概念呈现的方式主要集中于描述／归纳层次（79﹪），而澳教材在概念呈现方面由易到难存在一定的递减性，比例分别为57﹪,30﹪,13﹪；而对于法则公式的要求，中国教材和澳教材较为一致.

在习题难度方面，从习题水平看，中国教材比较集中于模仿（46﹪）、迁移（43﹪）水平两者约占习题总量的九成，而澳教材也主要集中于这两个层次，但澳教材中迁移水平的习题比例较大；从习题背景看，两者都集中在无背景、生活背景层次，但中国教材中无背景的习题比例较大（56﹪），而澳教材中生活背景的习题比例较大（61﹪）. 3.2内容广度比较

表11 中国教材和澳Nelson 教材知识点分布

澳Nelson 教材

共同的知识点 两国独立的知识点

计数单位，数位顺序表，用万、亿为单位表示数，大数的比较，近似数（万用图形表达数据和解释作单位），自然数的含义和特点，十进制计数法，计算工具的认识，用计算图形，数字模式，测量规器计算，认识直线、射线，角的定义及表示，角的度量，角的分类，用量角则和不规则图形的面积，器画角，三角形拼图，三角形的特性，三角形的分类，三角形的内角和，口容积，时间变化和指针角算（三位数乘一位数），估算( 三位数乘两位数) ，积的变化规律，时间、速度关系，用正式和非正式度、路程的关系，进位加法和退位减法，认识垂直、平行，画垂线、平行线，的方法测量体积，可能平行四边形，口算（除数是整十数），笔算（除数是两位数），策略优化，乘性，空间图形，体积计算，除混合运算，四则混合运算，确定位置，加法运算律，乘法运算律，加乘运确定位置（有序数对），算律的运用，小数的意义和计数单位，小数的数位顺序表和读写法，小数的测量质量.

性质，小数点位置移动引起小数大小变化的规律，小数的大小比较，小数和折线统计图（认识、绘十进复名数的相互改写，小数和分数互相转换近似数，小数加法，小数减法，制），条形统计图（复式），小数的加、减混合运算，总数和间隔数之间的关系问题.

梯形.

中国教材

由表11可知，在澳Nelson 教材56个知识点、中国教材48个知识点中，两国共同的知识点数量有45个. 其中，中国教材具有而澳Nelson 教材没有的知识点为3个；澳Nelson 教材具有而中国教材没有的知识点为11个. 知识点并集总数的计算，研究采用宋乃庆、史宁中、曹一鸣等主持的全国教育科学“十二五”重点课题“中小学理科教科书国际比较研究”的相关研究成果——中、美、俄、德、韩、日、法、新加坡等十三国小学数学教材知识点并集，总数为110个，故得澳教材的内容广度： C 1=

S i 56

=≈0.5091S 110

同理，可计算中国教材内容广度为0.4364. 因而，中国教材内容广度上低于澳教材. 表12 两国小学数学教材知识点在不同模块间的分布

中国教材 澳教材

数与代数 30（62.5﹪） 30（53.5﹪）

图形与几何 14（29.2﹪） 19（33.9﹪）

概率与统计 2（4.2﹪） 1（1.8﹪）

综合实践 2（4.2﹪）

难度 0.4364

6（10.7﹪） 0.5091

由表12可知，两国小学四年级数学教材在内容安排上，均偏向“数与代数”、“图形与几何”. 但在不同模块学习中要求略有差异，中国教材“数与代数”安排的比例达62.5﹪，而澳教材安排的内容略有降低（53.5﹪）. 而在图形与几何、综合实践两个模块中，澳教材安排的比例较中国教材高. 在概率与统计学习中，中国教材安排两个统计方面的知识点学习，而澳教材也只安排了一个知识点——可能性的学习. 虽然“世界各国都将‘统计与概率’的初步知识作为数学素养的一部分引入小学至高中的课程中”．

但是在小学阶段，中国教材学习了两个统计方面的知识点，澳教材安排了一个可能性的知识点，说明中澳两国对该部分内容处理都是比较谨慎的.

3.3内容深度

[3]

研究内容深度采用概念呈现和法则呈现两个纬度进行刻画. 3.3.1 概念呈现方式

根据表10，以及本研究采用的内容深度计算公式，在概念呈现水平上，澳教材难易程

n ⨯1+n 2⨯2+n 3⨯332⨯1+17⨯2+7⨯3度： C 21=1=≈1.5536

n 1+n 2+n 3

32+17+7

n ⨯1+n 2⨯2+n 3⨯311⨯1+30⨯2+15⨯3

法则呈现水平：C 22=1=≈2.0714.

n 1+n 2+n 311+30+15

故澳教材的内容深度为：

C 2=

0.5C 21+0.5C 220.5⨯1.5536+0.5⨯2.0714=≈0.6042.

33

同理，中国教材内容深度为0.684.

图1 中、澳两国小学四年级数学教材在概念呈现方面的比例（单位：﹪） 由图1可知，在概念呈现的难度上，中国数学教材比较集中于归纳／描述层次，直观层次的概念呈现较少，而澳教材难度在各个水平都占有一定的比例. 其中，直观层次的概念呈现占有较大的比例. 这说明，澳教材在概念呈现更加合理，因为“学生在产生表象上的活动 是一种基础活动，是必不可少的”，而“数学概念的理解，是一种活动和反省抽象的过程．活动是反省的基础，缺少了活动，反省就无法实现”．

3.3.2 法则呈现

两国数学教材在法则呈现上所占比例见图

2.

[4]

图2 中、澳两国小学四年级数学教材在法则公式呈现方面的比例（单位：﹪）

由图2知，两国在法则公式呈现水平的比例方面比较接近，都充分考虑到数学知识的特点以及儿童的认知规律. 3.4习题难度

本研究习题难度分为两个水平来衡量：习题水平和习题背景。在习题难易程度上，澳教材的习题水平难度为：

习题背景难度为： E

32=

E 31=

n 1⨯1+n 2⨯2+n 3⨯330⨯1+50⨯2+12⨯3

=≈1.8043

n 1+n 2+n 330+50+12n 1⨯1+n 2⨯2+n 3⨯335⨯1+56⨯2+1⨯3

=≈1.6304

n 1+n 2+n 335+56+1

故澳教材习题难度为：

E =

α31E 1+α32E 2

3

0.6⨯1.8043+0.4⨯1.6304=≈0.5782

3

同理，可计算出中国数学教材习题难度为0.53. 3.4.1习题水平

图3 中、澳两国小学四年级数学教材中不同水平的习题数量（单位：题）

由图3可知，中国教材的习题数量远高于澳大利亚教材，说明中国数学教学注重练习，“常常具体为解决数学问题的技术手段和工具, 也就成为以‘解题基础训练见长’的中国数学教学的常规行为, 而且比较富有成效”，强调对知识的记忆和巩固.

但是大量的练习也会挤压学生自主活动的空间，这就可能导致中国学生的学业负担过重. 两国教材中习题数量在不同水平上的比例见图5

[5]

图5 中、澳两国小学数学教材在习题水平方面的比例（单位：﹪）

由图5可知，虽然澳教材的习题数量很少，但是迁移、探究水平的习题比例却略高于中国教材. 这说明澳大利亚小学数学教学比较注重练习的质量. 3.4.2习题背景

习题背景也是影响教材的难度之一. 中澳两国数学教材的习题背景大致可分为无背景、生活背景和科学背景三个水平

.

图5 中、澳两国小学四年级数学教材习题在不同背景方面的数量（单位：题） 由图5知，中国数学教材在所有背景方面的习题数量均超过澳教材. 但在具体呈现特点上，中国教材在这三个水平上依次递减，而澳教材在生活背景上的习题相对较多. 但两国教材均“重视学生的生活经验，密切数学与现实的联系”.

[6]

图6 中、澳两国小学数学教材在不同习题背景方面的比例（单位：﹪）

由图6知，中国教材中，无背景的习题比例较高，但是也有相当数量的生活背景的习题和科学背景的习题，兼顾了不同生活经验的学生；而澳教材比较偏向于生活背景的习题. 将以上各维度难度值带入公式：N =f (C 1,C 2,C 3)=0.2C 1+0.5C 2+0.3C 3，结果为：中国教材总体难度为0.5883，而澳教材总体难度为0.5778. 4研究结论

4.1中、澳两国小学数学教材总体难度相当，但澳教材在各维度上难度较均衡，人教版教材难度在各维度上有一定的波动

本研究得出，中国教材总体难度为0.5883，而澳教材总体难度为0.5778. 表明中国教材和澳教材相比，难度略高，但相差无几. 因而，两国小学数学教材难度总体相当. 两国教材在各维度上难度见图7

图7 中、澳两国小学四年级数学教材难度在各维度分布情况

由图1可知，澳教材难度总体上比人教版略低，在内容广度、习题难度方面，其难度高于中国教材，而在内容深度上低于中国，但各维度难度比较平稳. 中国数学教材在三个维度上，难度相对起伏较大.

4.2澳小学数学教材内容宽而不浅

澳小学数学教材的知识点56个，而中国小学数学教材知识点是48个，这意味着澳大利亚小学四年级学生要比中国同年级学生学习的内容要多出16.7﹪. 在概念呈现上，描述／归纳层次、抽象层次的比例都较中国小学数学教材多；在法则呈现水平上，两国教材在各难度水平上比例相当；就习题水平而言，虽然澳教材的习题数量远低于中国数学教材，但在习题设置上，迁移、探究水平的习题的比例高于中国数学教材。这样，“学生可以减少在大量繁杂的运算中花费的时间，在问题解决中的思考、探索上投入更大的精力”；在习题背景方面，澳教材生活背景方面的习题比例也较高. 因此，澳小学数学教材宽而不浅. 而且，最后难度计算的结果也可看出，澳教材在总体难度上接近中国数学教材.

4.3中国小学数学教材在内容深度上难度较高

中国教材在内容深度上难度为0.684，澳为0.6042，这表明中国教材的难度较澳教材的难度高. 结合图1、图2知，中国教材的难度高主要表现为其概念的呈现方式，而在法则呈现上难度相差无几.

在概念呈现方面，中国教材难度在直观和归纳/描述层次的比例约为1:4，概念呈现没有抽象层次，中国教材着眼于学生整体水平的提高；而澳教材在直观、归纳/描述、抽象这三

[7]

个层次的比例约为6:3:1.因而澳教材能够更好地照顾到不同层次学生的学习需求，但是在总体方面偏容易，以直观的方式呈现概念达57﹪，中国教材仅21﹪. 而且中国教材在代数内容方面相对较多，而澳教材在几何方面的内容相对较多（见表11）. 因而，在概念呈现方面，中国教材的概念呈现方式以归纳/描述为主（79﹪），而澳教材以直观的方式呈现较多. 本研究表明，中国小学数学教材难度略高于澳教材，但是总体上两国小学数学教材难度比较接近. 但是在具体维度上，中澳两国小学数学教材难度各有特点：澳教材知识点更多，习题难度也略高，但中国教材在内容深度上难度更大些. 但中国小学数学教材的编写结构程“由浅入深、循序渐进、螺旋上升；突出知识之间的互相联系与综合；重视问题情境”等特点.

由于“教师对课程的认识与教师有效教学存在密切联系” [9～10]，而且“课程显著影响教师教学性解释的质量”，本研究通过对中澳小学数学教材难度的比较，对于我国小学数学教材编写有一定的启示，即立足本土，借鉴国外的小学数学教材优点，所以本研究可以进一步完善小学数学教师教材观以及深化对教育的认识. 但在具体实施过程中，尚需要教师把“实施的外部教学事件与学生的内部学习过程联系起来”.

参考文献：

[1] 弗朗索瓦—玛丽·热拉尔，易克萨维耶·罗日叶．为了学习的教科书编写、评估、使用[M].汪凌，周振平译. 上海：华东师范大学出版社，2009．

[2]于波. 基于学生发展的教科书编写与使用[J].数学教育学报，2013（2）：77～79.

[3]刘曌，杨光伟，唐恒钧. 中日两国小学数学课程统计与概率的比较研究[J].数学教育学报，2013（3）:63～66.

[4]吴骏. 小学四年级学生对平均数概念理解的发展过程[J].数学教育学报，2011（3）:39～41.

[5]宁连华，涂荣豹. 中国数学基础教育的继承与发展[J].数学教育学报，2012（6）:6～9.

[6]杭州现代小学数学教育研究中心课题组. 小学数学教材建设的实践与反思[J].中国教育学刊，2006（1）：69～71.

[7]张文宇，傅海伦. 新加坡小学数学教材的特色及启示[J].数学教育学报，2011（4）:63～66.

[8] Cohen D K, Hill H C. Instructional Policy and Classroom Performance: the Mathematics Reform in California

[J].Teachers College Record, 2000, (102): 294-343.

[9]孔企平. 小学数学课程与教学论[M].杭州：浙江教育出版社，2003.27.

[10]黄兴丰，马云鹏．美国数学教师学科知识评价方法的述评[J]．数学教育学报，2013，22（1）：55-60．

[11]李小青, 倪玉菁. 小学数学课堂的教师教学质量研究[J].数学教育学报,2013(4):54-57. [11][8]

Comparative study of primary school mathematics textbooks between China and Australia

—— to pep and Nelson the fourth grade primary school mathematics textbooks as an example

Wang kuan-ming

( School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001) Abstract: Study on the use of mathematical curriculum difficulty models, the Australian Nelson primary school mathematics textbook and Chinese teaching of primary school mathematics textbook version of the difficulty, the object of comparison are 4 grade

mathematics teaching. The study found: in the breadth of content, Australia textbook (56 points) was significantly higher than that of Chinese textbook (48 knowledge points); in the 11

depth of the contents of textbooks in China (DC 0.6840) higher than the Australian

teaching material (0.6042); in the difficulty of exercises, Chinese teaching material (0.53) is lower than the Australian textbook (DC 0.5797). The results show that: in Australian primary school mathematics textbooks, the overall difficulty, but the Australian teaching material in the various dimensions of difficulty a more balanced, the PEP Textbooks have certain fluctuations in each dimension; primary school mathematics textbook content

Australia wide but shallow; primary school mathematics textbooks Chinese difficulty in the depth of the contents is higher.

Keywords: primary school mathematics textbooks; content breadth; depth of content; the difficulty of exercises

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