案例四 监理公司人员配置问题
某监理公司侧重于国家大中型项目的监理。每项工程安排多少监理工程师进驻工地，一般是根据工程的投资、建筑规模、使用功能、施工的形象进度、施工阶段来决定，监理工程师的配置数量随着变化。由于监理工程师从事的专业不同，他们每人承担的工作量也是不等的。有的专业一个工地就需要三人以上，而有的专业一人则可以兼管三个以上的工地。因为从事监理业的专业多达几十个，仅以高层民用建筑为例就涉及到建筑学专业、工民建（结构）专业、给水排水专业、采暖通风专业、强电专业、弱电专业、自动控制专业、技术经济专业、总图专业、合同和信息管理专业等，这就需要我们合理配置这些人力资源。为了方便计算，我们把所涉及的专业技术人员按总平均人数来计算，工程的施工形象进度按标准施工期和高峰施工期来划分。通常标准施工期需求的人数教容易确定。但高峰施工期就比较难确定了，原因有两点：
（1）高峰施工期各工地不是同时来到，是可以事先预测的，在同一个城市里相距不远的工地，就存在着各工地的监理工程师如何交错使用的运筹问题。
（2）各工地总监在高峰施工期到来的时候要向公司要人，如果每个工地都按高峰施工期配置监理工程师的数量，将造成极大的人力资源浪费。
因此，为了达到高峰施工期监理工程师配置数量最优，人员合理地交错使用，遏制人为因素，根据历年来的经验对高峰施工期的监理工程师数量在合理交错发挥作用的前提下限定了范围。另经统计测得，全年平均标准施工期占7个月，人均年成本4万元；高峰施工期占5个月，人均年成本7万元。
标准施工期所需监理工程师如表1所示。
表1
另外在高峰施工期各工地所需监理工程师的数量要求如下： 第1和第2工地的总人数不少于14人； 第2和第3工地的总人数不少于13人； 第3和第4工地的总人数不少于11人； 第4和第5工地的总人数不少于10人； 第5和第6工地的总人数不少于9人； 第6和第7工地的总人数不少于7人； 第7和第1工地的总人数不少于14人。 问题：
（1） 高峰施工期公司最好配置多少个监理工程师？ （2） 监理工程师年耗费的总成本是多少？
解： （1）用建立数学模型加以描述， 即：设高峰期的监工人数为X,工地数为i，(i=1,2,3,4,5,6,7)，每个工地高峰期监工人数为xi,求高峰施工期公司配置的最少的监理工程师人数，即求
Min Z=x1x2x3x4x5x6x7=xi 有根据标准施工期时，
i17
工程1所需最少监理师人数为5，则有x1≥5； 工程2所需最少监理师人数为4，则有x2≥4； 工程3所需最少监理师人数为4，则有x3≥4； 工程4所需最少监理师人数为3，则有x4≥3； 工程5所需最少监理师人数为3，则有x5≥3； 工程6所需最少监理师人数为2，则有x6≥2； 工程7所需最少监理师人数为2，则有x7≥2；
又根据在高峰施工期个工地所需监理工程师的数量要求： 第1和第2工地的总人数不少于14人，则有x1+x2≥14； 第2和第3工地的总人数不少于13人，则有x2+x3≥13； 第3和第4工地的总人数不少于11人，则有x3+x4≥11； 第4和第5工地的总人数不少于10人，则有x4+x5≥10； 第5和第6工地的总人数不少于9人，则有x5+x6≥9； 第6和第7工地的总人数不少于7人，则有x6+x7≥7； 第7和第1工地的总人数不少于14人，则有x7+x1≥14； 综上所述，即得到了数学模型：
Min Z=x1x2x3x4x5x6x7=xi
i17
满足约束条件：
x1≥5； x2≥4；
x3≥4；
x4≥3；
x5≥3； x6≥2； x7≥2；
x1+x2≥14；
x2+x3≥13；
x3+x4≥11；
x4+x5≥10；
x5+x6≥9； x6+x7≥7； x7+x1≥14；
根据计算机软件对线性规划问题进行求解，得到：
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 39
变量 最优解 相差值 ------- -------- -------- x1 9 0 x2 5 0 x3 8 0 x4 3 0 x5 7 0 x6 2 0 x7 5 0
则 x1=9 x2=5 x3=8 x4=3 x5=7 x6=2 x7=5
（2）设每年监理工程师的耗费的总成本为C；标准施工期所需监理工程师耗费成本为c1,高峰施工期所需监理工程师耗费成本为c2，由经统计测算得知，全年平均标准施工期占7个月，人均年成本4万元；高峰施工期占5个月，人均年成本7万元，则有：
(5443322)*4*7minZ*7*523*4*739*7*52009
C=c1+c2=+=+ =
1212121212
≈167.42
则每年监理工程师的耗费的总成本为167.42万元。
结果分析
在计算高峰施工期公司配置最少工程师人数时，要考虑到标准施工期每个工地最少需要监理工程师人数，还要考虑到高峰施工期个工地所需监理工程师的数量要求，只有当着两个约束条件同时满足时，才能算出结果。然后经过线性规划的软件得出最优解的表格。
从变量、最优解、相差值一栏中知道最优解为工地1监理工程师人数为9，工地2监理工程师人数为5，工地3监理工程师人数为8，工地4监理工程师人数为3，工地5监理工程师人数为7，工地6监理工程师人数为2，工地7监理工程师人数为5。
在约束、松弛/剩余变量、对偶价格这一栏，有的工地人数对偶价格为-1，说明每增加一名监理工程师，总利润就减少1万元。
在目标函数系数范围内变化一栏中，所谓的当前值是指在目标函数中决策变量的当前系数值。例如，x1的当前值为1。所谓的的上限与下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内变化时，其线性规划得最优解不变。如系数 0≤c3≤+∞时，最优解都保持不变。
在计算监理工程师年耗费的总成本时，应是高峰期和标准期两个时间段各所耗费的成本之和，从而求出最优解前提下的，监理工程师年耗费的中成本为167.42万元。
提出建议
建议石华建设监理公司最少配备39名监理工程师，达到最优的人员配置。工地1配备9名监理工程师，工地2配备5名监理工程师，工地3配备8名监理工程师，工地4配备3名监理工程师，工地5配备7名监理工程师，工地6配备2名监理工程师，工地7配备5名监理工程师，此时，每年监理工程师的耗费的总成本为167.42万元。
案例四 监理公司人员配置问题
某监理公司侧重于国家大中型项目的监理。每项工程安排多少监理工程师进驻工地，一般是根据工程的投资、建筑规模、使用功能、施工的形象进度、施工阶段来决定，监理工程师的配置数量随着变化。由于监理工程师从事的专业不同，他们每人承担的工作量也是不等的。有的专业一个工地就需要三人以上，而有的专业一人则可以兼管三个以上的工地。因为从事监理业的专业多达几十个，仅以高层民用建筑为例就涉及到建筑学专业、工民建（结构）专业、给水排水专业、采暖通风专业、强电专业、弱电专业、自动控制专业、技术经济专业、总图专业、合同和信息管理专业等，这就需要我们合理配置这些人力资源。为了方便计算，我们把所涉及的专业技术人员按总平均人数来计算，工程的施工形象进度按标准施工期和高峰施工期来划分。通常标准施工期需求的人数教容易确定。但高峰施工期就比较难确定了，原因有两点：
（1）高峰施工期各工地不是同时来到，是可以事先预测的，在同一个城市里相距不远的工地，就存在着各工地的监理工程师如何交错使用的运筹问题。
（2）各工地总监在高峰施工期到来的时候要向公司要人，如果每个工地都按高峰施工期配置监理工程师的数量，将造成极大的人力资源浪费。
因此，为了达到高峰施工期监理工程师配置数量最优，人员合理地交错使用，遏制人为因素，根据历年来的经验对高峰施工期的监理工程师数量在合理交错发挥作用的前提下限定了范围。另经统计测得，全年平均标准施工期占7个月，人均年成本4万元；高峰施工期占5个月，人均年成本7万元。
标准施工期所需监理工程师如表1所示。
表1
另外在高峰施工期各工地所需监理工程师的数量要求如下： 第1和第2工地的总人数不少于14人； 第2和第3工地的总人数不少于13人； 第3和第4工地的总人数不少于11人； 第4和第5工地的总人数不少于10人； 第5和第6工地的总人数不少于9人； 第6和第7工地的总人数不少于7人； 第7和第1工地的总人数不少于14人。 问题：
（1） 高峰施工期公司最好配置多少个监理工程师？ （2） 监理工程师年耗费的总成本是多少？
解： （1）用建立数学模型加以描述， 即：设高峰期的监工人数为X,工地数为i，(i=1,2,3,4,5,6,7)，每个工地高峰期监工人数为xi,求高峰施工期公司配置的最少的监理工程师人数，即求
Min Z=x1x2x3x4x5x6x7=xi 有根据标准施工期时，
i17
工程1所需最少监理师人数为5，则有x1≥5； 工程2所需最少监理师人数为4，则有x2≥4； 工程3所需最少监理师人数为4，则有x3≥4； 工程4所需最少监理师人数为3，则有x4≥3； 工程5所需最少监理师人数为3，则有x5≥3； 工程6所需最少监理师人数为2，则有x6≥2； 工程7所需最少监理师人数为2，则有x7≥2；
又根据在高峰施工期个工地所需监理工程师的数量要求： 第1和第2工地的总人数不少于14人，则有x1+x2≥14； 第2和第3工地的总人数不少于13人，则有x2+x3≥13； 第3和第4工地的总人数不少于11人，则有x3+x4≥11； 第4和第5工地的总人数不少于10人，则有x4+x5≥10； 第5和第6工地的总人数不少于9人，则有x5+x6≥9； 第6和第7工地的总人数不少于7人，则有x6+x7≥7； 第7和第1工地的总人数不少于14人，则有x7+x1≥14； 综上所述，即得到了数学模型：
Min Z=x1x2x3x4x5x6x7=xi
i17
满足约束条件：
x1≥5； x2≥4；
x3≥4；
x4≥3；
x5≥3； x6≥2； x7≥2；
x1+x2≥14；
x2+x3≥13；
x3+x4≥11；
x4+x5≥10；
x5+x6≥9； x6+x7≥7； x7+x1≥14；
根据计算机软件对线性规划问题进行求解，得到：
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 39
变量 最优解 相差值 ------- -------- -------- x1 9 0 x2 5 0 x3 8 0 x4 3 0 x5 7 0 x6 2 0 x7 5 0
则 x1=9 x2=5 x3=8 x4=3 x5=7 x6=2 x7=5
（2）设每年监理工程师的耗费的总成本为C；标准施工期所需监理工程师耗费成本为c1,高峰施工期所需监理工程师耗费成本为c2，由经统计测算得知，全年平均标准施工期占7个月，人均年成本4万元；高峰施工期占5个月，人均年成本7万元，则有：
(5443322)*4*7minZ*7*523*4*739*7*52009
C=c1+c2=+=+ =
1212121212
≈167.42
则每年监理工程师的耗费的总成本为167.42万元。
结果分析
在计算高峰施工期公司配置最少工程师人数时，要考虑到标准施工期每个工地最少需要监理工程师人数，还要考虑到高峰施工期个工地所需监理工程师的数量要求，只有当着两个约束条件同时满足时，才能算出结果。然后经过线性规划的软件得出最优解的表格。
从变量、最优解、相差值一栏中知道最优解为工地1监理工程师人数为9，工地2监理工程师人数为5，工地3监理工程师人数为8，工地4监理工程师人数为3，工地5监理工程师人数为7，工地6监理工程师人数为2，工地7监理工程师人数为5。
在约束、松弛/剩余变量、对偶价格这一栏，有的工地人数对偶价格为-1，说明每增加一名监理工程师，总利润就减少1万元。
在目标函数系数范围内变化一栏中，所谓的当前值是指在目标函数中决策变量的当前系数值。例如，x1的当前值为1。所谓的的上限与下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内变化时，其线性规划得最优解不变。如系数 0≤c3≤+∞时，最优解都保持不变。
在计算监理工程师年耗费的总成本时，应是高峰期和标准期两个时间段各所耗费的成本之和，从而求出最优解前提下的，监理工程师年耗费的中成本为167.42万元。
提出建议
建议石华建设监理公司最少配备39名监理工程师，达到最优的人员配置。工地1配备9名监理工程师，工地2配备5名监理工程师，工地3配备8名监理工程师，工地4配备3名监理工程师，工地5配备7名监理工程师，工地6配备2名监理工程师，工地7配备5名监理工程师，此时，每年监理工程师的耗费的总成本为167.42万元。