运筹学在物流合理化的应用
（华北水利水电大学 河南郑州）
摘要:这篇文章讲的是物流合理化分析与研究中的若干运筹学问题。主要有：物流中心选址问题；商品（产品）的配送路线问题等。模型涉及线性规划，整数规划，动态规划等。求解算法多为特色的启发式算法及某些新算法。 关键词：物流；运筹学；模型；最优解
Abstract :This article is talking about the logistics rationalization analysis and research in a number of operational issues. There are mainly: Logistics Center Site Selection issues; commodity (Product) of the delivery route, and so on. Models involving linear programming, integer programming, dynamic planning, and so on. The algorithm for more features of the Heuristic algorithms, and some of the new algorithm. Keywords: Logistics; Operational research; Model;Optimal solut 1 引言
1.1 运筹学
运筹学（Operational Research），原意是操作研究、作业研究、运用研究、作战研究，译作运筹学。现在普遍认为运筹学是在第二次世界大战期间首先在英美两国发展起来的，首先主要用于军事，后来随着经济的发展，运筹学又被运用到经济等领域。个人认为运筹学应定义为在实行管理的领域，运用数学方法和工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等），对需要进行管理的问题统筹规划人、财、物的组织、筹划调度等，作出决策使系统运行最优解而必须使用的的一门应用科学。根据其研究问题的特点，可分为确定型模型（线性规划、非线性规划、整数规划、图与网络和动态规划等）与概率型模型（概率型模型主要包括：对策论、排队论、存储论和决策论等）。其特点是：1. 运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；2. 运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；3. 它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。 1.2 物流学
物流译自英文Physical Distribution（实体分配）“物的流通”，简称PD. 简单的说，早期的物流概念就是指商品的实体存储与运输，即商品实体的空间位移。此概念最早源于没过，20世纪60年代中期为日本所引用，在我国曾一度叫做“商品储运”。而现代物流则使用Logistics “后勤”这个词。20世纪80年代物流的概念普遍用Logistics 取代PD. 1985年没过物流管理协会正式从名称National Council of Physical Distribution Management 改为National Council of Logistics
Management ，从而标志现代物流观念的确立, 以及对物流战略管理的统一化。Logistics 本来是作为军事用语，指的是战时物资补给等后方支持业务。日本的林周二对物流的定义是这样描述的：“物流是包括物料的废弃与还原，联结供给主体与需要主体，克服空间与时间距离，并创造一部分形质效果的物理性经济活动。具体包括运输、保管、包装、装卸、物流加工等活动以及有关的信息活动。”德国的R 尤尼曼对物流所下的定义为：“物流是研究对系统的物料流（material flow）及有关的信息流（information flow）所进行的规划与管理的科学理论。”在现阶段，“物流”作为最有代表性的定义，是全美物流管理协会的定义，即“物流是以适应顾客需要为目的的，对从产地到
消费地的原材料、半成品、成品和与之相关信息的专业保管进行有效率的计划、执行、管理等一系列过程”。与原有的物流概念相比, “后勤”的概念有所扩大，包括从原材料供给到消费的整个过程的管理。随着顾客需求的多样性、多品种、少量、多频度的商品供给以及经济的全球化现象，使后勤在企业的活动中相对重要性逐步提高，随着信息技术的发展，尤其是网络技术的发展，物流的范围已经超过了一个企业的界限，扩大到了多个企业。我国在2001年8月1日开始实施的国家标准《物流术语》中对物流作了如下规定：物流即物品从供应地向接收地的实体流动过程，根据实际需要，将运输、存储、装卸、搬运、包装、物流加工、配送、信息处理等基本功能实施有机的结合。
1.3 运筹学与物流的关系
物流与运筹学具有紧密的联系，它们作为科学概念都是起源于20世纪40年代的第二次世界大战，从开始起，两者就是互相渗透，交叉发展。然而，运筹学发展较快，已经形成了比较完备的理论体系和多种专业学科，而物流科学发展比较迟缓，理论体系尚不完备，包含的专业学科也很少。
从两者产生的时间来看，都是在二战时期为军事而所重视并利用发展起来的。同时产生必然有他们的联系性。
从功能上来说，运筹学是用来解决最优资源配置，而物流系统的主要功能（目标）也正是追求一种快速、及时、节约、库存合理的物流服务。这一点正好不谋而合。
为此，两者从一开始到现在都密切的联系在一起，并互相渗透和交叉发展。虽然后来一段时间，相对于运筹学物流发展滞后，但随着全球经济的不断发展，物流系统中运筹学的运用也不断扩大。运筹学的作业也不断凸显。 2 物流领域中的运筹学应用 2.1 数学规划论 2.1.1 数学规划论
数学规划论主要包括线性规划、非线性规划、整数规划、目标规划和动态规划。研究内容与生产活动中有限资源的分配有关，在组织生产的经营管理活动中，具有极为重要的地位和作用。他们解决的问题都有一个共同特点，即在给定的条件下，按照某一衡量指标来寻找最优方案，求解约束条件下目标函数的极值（极大值或极小值）问题。具体来讲，线性规划可解决物资调运、配送和人员分配等问题；整数规划可以求解完成工作所需的人数、机器设备台数和厂、库的选址等；动态规划可用来解决诸如最优路径、资源分配、生产调度、库存控制、设备更新等问题。 2.1.2 线性规划
线性规划是目前应用最广泛的一种优化法，他的理论已经十分成熟，可以应用于生产计划、物资调用、资源优化配置等问题。它研究的目的是以数学为工具，在一定人、财、物、时空、信息等资源条件下，研究如何合理安排，用最少的资料消耗，取得最大的经济效果。主要解决生产组织与计划问题，下料问题，运输问题，人员分派问题和投资方案问题，现以案例说明。 案例1：一个制造厂要把诺干单位的产品从A 1, A 2两个仓库发送到零售点B 1, B 2, B 3, B 4, 仓库
A i 能供应产品的数量为a i , i =1, 2; 零售点B j 所需产品的数量为b j , j =1, 2, 3, 4. 假设能供应的
问题等于需要的总量, 即
∑a =∑b
i i =1
j =1
24
j
, 且已知从仓库A i 运一个单位的产品到B j 的运价为c ij .
问如何组织运输才能使总的运输费用最小？ 解：
假定运费与运量成正比，一般地，采用不同的调动方案，总运费很可能不一样。设x ij , i=1,2,3,4表示从仓库A i 运往零售点B j 的产品数量。从A 1, A 2两仓库运往四地的产品数量总和应该分别是a 1单位和a 2单位，所以x ij 应满足
x 11+x 12+x 13+x 14=a 1 x 21+x 22+x 23+x 24=a 2
又运输到B 1, B 2, B 3, B 4四地的产品数量应该分别满足他们的需求量，即x ij 还应该满足以下条件 x 11+x 21=b 1
x 12+x 22=b 2 x 13+x 23=b 3 x 14+x 24=b 4
最后，x ij 表示运量，不能取负值，即x ij ≥0（i=1,2;j=1,2,3,4）. 我们希望在满足供需要求的条件下，求x ij , i=1,2;j=1, 2, 3, 4, 使总运量最省。总的运输费用为
⎧min z =c 11x 11+c 12x 12+c 13x 13+c 14x 14+c 21x 21+c 22x 22+c 23x 23+c 24x 24⎪s . t . x +x +x x =a
111213141⎪
⎪x 21+x 22+x 23+x 24=a 2⎪
⎪x 11+x 21=b 1
⎨
x +x =b 222⎪12
⎪x 13+x 23=b 3⎪
⎪x 14+x 24=b 4
⎪x ≥0, i =1, 2; j =1, 2, 3, 4⎩ij
2.1.3 线性代数
物流运输问题是物流运筹学中的一类重要问题，其主要的解决方法是表上作业法，要完全理解表上作业法，必须搞清楚运输问题与线性规划问题之间的关系，理清楚表上作业法与单纯形法
之间的关系，从本质上讲，必须理清方法后面所隐藏的数学知识。 物流运输问题与线性规划的关系 （1）线性规划问题的标准形式
线性规划问题主要研究的是在一组线性不等式（或等式）组成的约束条件下，某个线性函数的最值问题，即用最合理的方式、有限的资源达到最满意的效果（一般是花费最小或收益最大）。其标准形式如下：
目标函数max （min ）Z=c 1x 1+c2x 2+…+cn x n 满足的约束条件
⎧a 11x 1+a 12x 2+a 1n x n ≤(=, ≥)b 1,
⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+a 2n x n ≤(=, ≥)b 2, ⎪
s.t. ⎨
⎪a x +a x +a x ≤(=, ≥)b
m 22mn n m ,
⎪m 11⎪⎩x 1, x 2, , x n ≥0.
上式中a ij , b i , c j (i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ) 为已知常数，其中c j 称为价值系数；b i 称为限定系数；a ij 称为技术系数. （2）物流运输问题的数学模型
设有某种物资需要从m 个产地A 1, A 2, , A m 运到n 个销地B 1, B 2, , B n , 其中每个产地A i
的产量为a i (i =1, 2, , m ), 每个销地B j 的销量为b j
(j =1, 2, , n ). 设从产地
A i 到销地B j 的单位运价为C ij , 用x ij 表示从产地A i 到销地B j 的物资运量，则有数学模型： min Z =∑∑c ij x ij
i =1j =1m
n
⎧n
⎪∑x ij =(≤, ≥)a i (i =1, 2, , m ), ⎪j =1
n ⎪⎪m
s.t. ⎨∑x ij =b j (j =1, 2, , n ), 其中当∑x ij =a i 时，为产销平衡问题，否则为产
j =1⎪i =1
⎪x ij ≥0(i =1, 2, , m , j =1, 2, , n ). ⎪⎪⎩
销不平衡问题。
（3）物流运输问题与线性规划问题之间的关系
由线性规划问题和运输问题的模型，可以看出运输问题是线性规划问题的特殊情形，这种关系不仅体现在形式上，而且也体现在二者所解决问题的范畴和方法上。单纯形法是解决线性规划
问题的一种重要方法，而应用于解决运输问题的简单方法——表上作业法，其实也是单纯刑法的一种变式。 2.2 存储论
存储论又称库存论，主要是研究物资库存策略的理论，即确定物资存储量、捕获频率和一次补货量。合理的库存是生产和生活顺利进行的必要保障，可以减少资金的占用，减少费用支出和不必要的周转环节，缩短物资流通周期，加速再生产的过程等。在物流领域的各节点：工厂、港口、配送中心、物流中心、仓库、零售店等都或多或少地保有库存，为了实现物流活动总成本最小或利益最大化，大多数人们都运用了存储理论的相关知识，以辅助决策。并且在各种情况下都能灵活套用相应的模型求解，如常见的库存控制模型分确定型存储模型和随机型存储模型，其中确定型存储模型又可分为几种情况：不允许缺货，一次性补货；不允许缺货，连续补货；允许缺货，一次性补货；允许缺货，连续补货。随机型存储模型也可分为：一次性订货的离散型随机型存储模型和一次性订货的连续型随机存储模型。常见的库存补货策略也可分为以下四种基本情况：连续检查，固定订货量，固定订货点的（Q, R）策略周期性检查的（T, S）策略以及综合库存的（T, R, S）策略。针对库存物资的特性，选用相应库存控制模型和补货策略，制定一个包含合理存储量、合理存储时间、合理存储结构和合理存储网络的存储系统。 2.3 图（网络）论
自从上世纪50年代以后，图论就广泛应用于解决工程系统和管理问题，将复杂的问题用图与网络进行描述简化后再求解。图与网络理论有很强的构模能力，描述问题直观，模型易于计算实现，很方便地将一些复杂的问题分解或转化为可能求解的子问题。图与网络在物流中的应用也很显著，其中最明显的应用是运输问题、物流网点间的物资调运和车辆调度时运输路线的选择、配送中心的送货、逆向物流中心产品的回收等，运用了图论中的最小生成树、最短路、最大流、最小费用等知识，求得运输所学时间最少或路线最短或费用最省的路线。另外，工厂、仓库、配送中心等物流设施的选址问题，物流网点内部工种、任务、人员的指派问题，设备更新问题，也可以运用图论的知识辅助决策者进行最优的安排。 2.4 排队论
排队论也称随机服务理论，主要研究各种系统的排队队长、等待时间和服务等参数，解决系统服务设施和服务水平之间的平衡问题，以较低的投入求得更好的服务。排队现象现实生活中普遍存在，物流领域中也多见，如工厂生产线上的产品等待加工，在制品、产成品排队等待出入库作业，运输场站车辆进出站的排队，客服务中心顾客电话排队的服务设施数量、系统容量、顾客到达时间间隔的分布、服务时间的分布特征，可分为（M/M/1/ ）, （M/M/1/k）, （M/M/1/m）, (M/M/s/k), （M/M/s/m）几种不同情况，不同情形套用相应的模型可以求解。
2.5 对策论、决策论
对策论也称博弈论，对策即是在竞争环境中做出的决策，决策论即研究决策的问题，对策论可归属为决策论，它们最终都是要做出决策。决策普遍存在于人类的各种活动之中，物流中的决策就是在占有充分资料的基础上，根据物流系统的客观环境，借助于科学的数学分析，实验仿真或经验判断，在己提出的若干物流系统方案中，选择一个合理、满意方案的决断行为。如制定投资计划、生产计划、物资调运计划、选择自建仓库或租赁公共仓库、自购车辆或租赁车辆等等。物流决策多种多样，有复杂有简单，按照不同的标准可化分为很多种类型，其中按决策问题目标的多少可分为单目标决策和多目标决策。单目标决策目标单一，相对简单，求解方法也很多，如线性规划、非线性规划、动态规划等。多目标决策相对而言复杂得多。如要开发一块土地建设物流中心，既要考虑设施的配套性、先进性，还要考虑投资大小问题等，这些目标有时相互冲突，这时就要综合考虑。解决这类复杂的多目标决策问题现行用的较多的，行之有效的方法之一是层次分析法，一种将定性和定量相结合的方法。
3动态批量问题
在“补充-存储-消耗”的物流问题中，核心问题之一是依据各方面的信息进行合理的补充和存储。随着经济的发展，这个过程的时变性要求日益提高。如果模型中包含这些因素，则更接近实际情况，更有利于应用。
这类问题，他们统称为动态批量问题（The Dynamic Lot-sizing Problem）现已构成了一系列的模型与算法。
动态批量问题的运筹学模型 1. 基本假设
（1）n 中产品（或商品），T 个时段； （2）各产品在各时段的需求量为已知； （3）前置期为0；
（4）初始及终结存储量为0；
（5）购置费函数为凹函数（考虑批量折扣）。 2. 符号及模型
X ik 表示时段i 对产品k 的订货量； Y ik 表示时段i 对产品k 的终存储量； d ik 表示时段i 对产品k 的需求量；
H ik （y ik ）表示时段i 中产品k 的存储费函数； C ik （x ik ）表示时段i 中产品k 的购置费函数； Si 表示时段i 的联合整备费。
多产品、多时段、具有联合整备费的动态批量模型如下： min f（x ，y ）=f（x1，y1）+f（x2，y2）+„„f （x T ，y T ） y i-1，k +xik -y ik =dik y ik ≥0,x ik ≥0 yok =yTk =0
以上，i=1，2，„，T ；k=1，2，„，K f i （x i ，y i ）=Fi （x i ）+∑[Cik (xik )+Hik (yik )]
若∑x ik =0，F i （x i ）=0； 若∑x ik >0, Fi (xi )=Si
C ik （x ik ）为x ik 的单调递增凹函数。 H ik （y ik ）=hik y ik
H ik 为单位储存费（与i ，k 有关的参数）
4 物流问题的实际应用 4.1 问题的提出
运输问题有产销平衡和产销不平衡两种，产销不平衡问题在实际生产中占绝大部分，但是考虑其处理方法和产销问题类似，这里只就产销平衡问题的解决方法加以说明，探讨出其中所蕴含的数学方法。表上作业法是求解产销平衡问题的一种简便方法，其基本思路是：（1）找出初始基本可行解；（2）在表上计算非基变量的检验数，判别是否达到最优解（非基变量是和基变量相对的，基变量可简单理解为能用相同的变量线性表示的那些变量，或者进一步可理解为其系数向量性无关的那些变量）；（3）确定换入变量和换出变量，找出新的基本可行解，在表上用闭回路法进行调整；（4）重复（2）和（3），直到得到最优解为止。为便于理解和简单起见，下面用具体的例子解进行说明。
例：某公司有三个加工厂A 1, A 2, A 3生产某产品，每日的产量分别为7t ，4t ，9t ，该公司把这些产品分别运往四个销售点B 1, B 2, B 3, B 4, 各销售点每日销量分别为3t ，6t ，5t ，6t 。从各工厂到各销售点的单位运价如5-1表所示。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要量的前提下，使总运费最少？
表4-1 公司调运产品前提
4.2 问题的分析 则可建立下面数学模型：
min Z =3x 11+11x 12+10x 14+x 21+9x 22+2x 23+8x 24+7x 31+4x 32+10x 33+5x 34
因为是产销平衡问题，所以若记x ij 表示从产地A i 到销地B j 的运量（i=1，2;j=1，2，3，4），
⎧x 11+x 12+x 13+x 14=7, ⎪x +x +x +x =4,
222324⎪21
⎪x 31+x 32+x 33+x 34=9, ⎪
⎪x 11+x 21+x 31=3, s.t. ⎨ （1）
⎪x 12+x 22+x 32=6, ⎪x 13+x 23+x 33=5, ⎪
⎪x 14+x 24+x 34=6, ⎪x ij ≥0. ⎩
表4-2 解题表格
表4-2左下角数字表示从工厂A i 到销地B j 的单位运价。 4.3 问题的解决
考虑到约束方程组（1）的增广矩阵的秩为6（后面给出推导），因此在下面寻找初始可行解时所选的基变量个数为6。因为目标函数是求最小运费，故初始可行解可从c ij 中最小的数字开始逐次确定，且使单位运费小的数值所对应的运量尽可能的大（该运量用加括号的方法表示），同时规定对同样小的数值，任取其中一个，当某一行或列对应的发量或收量已经满足时，该行或列其余位置处的运量划“×”。最后得到一个调运方案，如表4-3所示
表4-3 调运方案
由上表可知，初始基变量为：x 11, x 12, x 22, x 13, x 14, x 21, x 23, x 32, x 34; 非基变量为：
x 24, x 31, x 33.
该方案的总费用：1⨯3+4⨯6+3⨯4+2⨯1+10⨯3+5⨯3=86
然后确定打“×”处变量即非基变量所对应的检验数，判断上面解是否最优解。此时的判断方法是用闭回路法或位势法等简单方法，但实际上只是单纯形法的变式而已，最终只要判断所有的检验数是否全部大于等于0即可（后面给出解释），若是，则说明已经是最优解，否则要重新换基。利用闭回路法求得非基变量的检验数如表4-4所示（在闭回路法中，检验数由回路上的变量对应的单位运价按“+”，“-”相间求和得到）：
表4-4 检验数表格
其中x 24的检验数小于0, 故上面的解不是最优解。
接下来换基，将x 24作为基变量，以x 24作为出发点找闭回路：x 24→x 14→x 13→x 23（此时，原来的基变量x 23成为非基变量），按“+”“-”相间的方法计算得到调整后的方案如表4-5所示：
表4-5 调整后的调运方案
此时重新计算所有非基变量的检验数可以发现全部大于等于0, 因此, 此时的解为最优解, 计算得总费用为：85。 4.4 问题的总结
通过上面方法解决的问题，可以看到利用了线性方程组的解的相关概念，向量的线性无关性或者矩阵的秩的概念，用到了矩阵的初等变换法，矩阵的乘法运算，矩阵转置的概念等线性代数中的概念和方法。物流中产生的问题通过线性方程组等运筹学方法的解决，使得运筹学跟物流更紧密的联系了在一起。 5 结束语
运筹学的研究内容非常广泛，根据其研究问题的特点，可分为两大类，确定模型与概率型模型。其中确定模型模型中主要包括：线性规划、非线性规划、整数规划、图（网络）论和动态规划等；概率型模型主要包括：对策论、排队论、存储论和决策论等。与物流管理学有密切联系，运筹学为物流提供了更有效的管理，对物流成本的系统化管理研究、有效减少或消除生产经营过程中不必要的物流作业成本。因此，对于当前许多企业、部门，应该加强对管理者、决策者的理论实践教育，使之意识到运筹学这门有用的决策工具。 参考文献
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化研究中心,2005（12）:176-177页.
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社,2006.
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大学出版社, 2007:25-99.
[6] 黄平, 孟永钢. 最优化理论与方法[M ]. 北京:清华大学出版社,2009:3-30.
[7] 胡运权，郭耀煌. 运筹学教程[M].北京：清华大学出版社，2012.11,293-493.
正文: 运筹学在物流中的应用
11
运筹学在物流合理化的应用
（华北水利水电大学 河南郑州）
摘要:这篇文章讲的是物流合理化分析与研究中的若干运筹学问题。主要有：物流中心选址问题；商品（产品）的配送路线问题等。模型涉及线性规划，整数规划，动态规划等。求解算法多为特色的启发式算法及某些新算法。 关键词：物流；运筹学；模型；最优解
Abstract :This article is talking about the logistics rationalization analysis and research in a number of operational issues. There are mainly: Logistics Center Site Selection issues; commodity (Product) of the delivery route, and so on. Models involving linear programming, integer programming, dynamic planning, and so on. The algorithm for more features of the Heuristic algorithms, and some of the new algorithm. Keywords: Logistics; Operational research; Model;Optimal solut 1 引言
1.1 运筹学
运筹学（Operational Research），原意是操作研究、作业研究、运用研究、作战研究，译作运筹学。现在普遍认为运筹学是在第二次世界大战期间首先在英美两国发展起来的，首先主要用于军事，后来随着经济的发展，运筹学又被运用到经济等领域。个人认为运筹学应定义为在实行管理的领域，运用数学方法和工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等），对需要进行管理的问题统筹规划人、财、物的组织、筹划调度等，作出决策使系统运行最优解而必须使用的的一门应用科学。根据其研究问题的特点，可分为确定型模型（线性规划、非线性规划、整数规划、图与网络和动态规划等）与概率型模型（概率型模型主要包括：对策论、排队论、存储论和决策论等）。其特点是：1. 运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；2. 运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；3. 它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。 1.2 物流学
物流译自英文Physical Distribution（实体分配）“物的流通”，简称PD. 简单的说，早期的物流概念就是指商品的实体存储与运输，即商品实体的空间位移。此概念最早源于没过，20世纪60年代中期为日本所引用，在我国曾一度叫做“商品储运”。而现代物流则使用Logistics “后勤”这个词。20世纪80年代物流的概念普遍用Logistics 取代PD. 1985年没过物流管理协会正式从名称National Council of Physical Distribution Management 改为National Council of Logistics
Management ，从而标志现代物流观念的确立, 以及对物流战略管理的统一化。Logistics 本来是作为军事用语，指的是战时物资补给等后方支持业务。日本的林周二对物流的定义是这样描述的：“物流是包括物料的废弃与还原，联结供给主体与需要主体，克服空间与时间距离，并创造一部分形质效果的物理性经济活动。具体包括运输、保管、包装、装卸、物流加工等活动以及有关的信息活动。”德国的R 尤尼曼对物流所下的定义为：“物流是研究对系统的物料流（material flow）及有关的信息流（information flow）所进行的规划与管理的科学理论。”在现阶段，“物流”作为最有代表性的定义，是全美物流管理协会的定义，即“物流是以适应顾客需要为目的的，对从产地到
消费地的原材料、半成品、成品和与之相关信息的专业保管进行有效率的计划、执行、管理等一系列过程”。与原有的物流概念相比, “后勤”的概念有所扩大，包括从原材料供给到消费的整个过程的管理。随着顾客需求的多样性、多品种、少量、多频度的商品供给以及经济的全球化现象，使后勤在企业的活动中相对重要性逐步提高，随着信息技术的发展，尤其是网络技术的发展，物流的范围已经超过了一个企业的界限，扩大到了多个企业。我国在2001年8月1日开始实施的国家标准《物流术语》中对物流作了如下规定：物流即物品从供应地向接收地的实体流动过程，根据实际需要，将运输、存储、装卸、搬运、包装、物流加工、配送、信息处理等基本功能实施有机的结合。
1.3 运筹学与物流的关系
物流与运筹学具有紧密的联系，它们作为科学概念都是起源于20世纪40年代的第二次世界大战，从开始起，两者就是互相渗透，交叉发展。然而，运筹学发展较快，已经形成了比较完备的理论体系和多种专业学科，而物流科学发展比较迟缓，理论体系尚不完备，包含的专业学科也很少。
从两者产生的时间来看，都是在二战时期为军事而所重视并利用发展起来的。同时产生必然有他们的联系性。
从功能上来说，运筹学是用来解决最优资源配置，而物流系统的主要功能（目标）也正是追求一种快速、及时、节约、库存合理的物流服务。这一点正好不谋而合。
为此，两者从一开始到现在都密切的联系在一起，并互相渗透和交叉发展。虽然后来一段时间，相对于运筹学物流发展滞后，但随着全球经济的不断发展，物流系统中运筹学的运用也不断扩大。运筹学的作业也不断凸显。 2 物流领域中的运筹学应用 2.1 数学规划论 2.1.1 数学规划论
数学规划论主要包括线性规划、非线性规划、整数规划、目标规划和动态规划。研究内容与生产活动中有限资源的分配有关，在组织生产的经营管理活动中，具有极为重要的地位和作用。他们解决的问题都有一个共同特点，即在给定的条件下，按照某一衡量指标来寻找最优方案，求解约束条件下目标函数的极值（极大值或极小值）问题。具体来讲，线性规划可解决物资调运、配送和人员分配等问题；整数规划可以求解完成工作所需的人数、机器设备台数和厂、库的选址等；动态规划可用来解决诸如最优路径、资源分配、生产调度、库存控制、设备更新等问题。 2.1.2 线性规划
线性规划是目前应用最广泛的一种优化法，他的理论已经十分成熟，可以应用于生产计划、物资调用、资源优化配置等问题。它研究的目的是以数学为工具，在一定人、财、物、时空、信息等资源条件下，研究如何合理安排，用最少的资料消耗，取得最大的经济效果。主要解决生产组织与计划问题，下料问题，运输问题，人员分派问题和投资方案问题，现以案例说明。 案例1：一个制造厂要把诺干单位的产品从A 1, A 2两个仓库发送到零售点B 1, B 2, B 3, B 4, 仓库
A i 能供应产品的数量为a i , i =1, 2; 零售点B j 所需产品的数量为b j , j =1, 2, 3, 4. 假设能供应的
问题等于需要的总量, 即
∑a =∑b
i i =1
j =1
24
j
, 且已知从仓库A i 运一个单位的产品到B j 的运价为c ij .
问如何组织运输才能使总的运输费用最小？ 解：
假定运费与运量成正比，一般地，采用不同的调动方案，总运费很可能不一样。设x ij , i=1,2,3,4表示从仓库A i 运往零售点B j 的产品数量。从A 1, A 2两仓库运往四地的产品数量总和应该分别是a 1单位和a 2单位，所以x ij 应满足
x 11+x 12+x 13+x 14=a 1 x 21+x 22+x 23+x 24=a 2
又运输到B 1, B 2, B 3, B 4四地的产品数量应该分别满足他们的需求量，即x ij 还应该满足以下条件 x 11+x 21=b 1
x 12+x 22=b 2 x 13+x 23=b 3 x 14+x 24=b 4
最后，x ij 表示运量，不能取负值，即x ij ≥0（i=1,2;j=1,2,3,4）. 我们希望在满足供需要求的条件下，求x ij , i=1,2;j=1, 2, 3, 4, 使总运量最省。总的运输费用为
⎧min z =c 11x 11+c 12x 12+c 13x 13+c 14x 14+c 21x 21+c 22x 22+c 23x 23+c 24x 24⎪s . t . x +x +x x =a
111213141⎪
⎪x 21+x 22+x 23+x 24=a 2⎪
⎪x 11+x 21=b 1
⎨
x +x =b 222⎪12
⎪x 13+x 23=b 3⎪
⎪x 14+x 24=b 4
⎪x ≥0, i =1, 2; j =1, 2, 3, 4⎩ij
2.1.3 线性代数
物流运输问题是物流运筹学中的一类重要问题，其主要的解决方法是表上作业法，要完全理解表上作业法，必须搞清楚运输问题与线性规划问题之间的关系，理清楚表上作业法与单纯形法
之间的关系，从本质上讲，必须理清方法后面所隐藏的数学知识。 物流运输问题与线性规划的关系 （1）线性规划问题的标准形式
线性规划问题主要研究的是在一组线性不等式（或等式）组成的约束条件下，某个线性函数的最值问题，即用最合理的方式、有限的资源达到最满意的效果（一般是花费最小或收益最大）。其标准形式如下：
目标函数max （min ）Z=c 1x 1+c2x 2+…+cn x n 满足的约束条件
⎧a 11x 1+a 12x 2+a 1n x n ≤(=, ≥)b 1,
⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+a 2n x n ≤(=, ≥)b 2, ⎪
s.t. ⎨
⎪a x +a x +a x ≤(=, ≥)b
m 22mn n m ,
⎪m 11⎪⎩x 1, x 2, , x n ≥0.
上式中a ij , b i , c j (i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ) 为已知常数，其中c j 称为价值系数；b i 称为限定系数；a ij 称为技术系数. （2）物流运输问题的数学模型
设有某种物资需要从m 个产地A 1, A 2, , A m 运到n 个销地B 1, B 2, , B n , 其中每个产地A i
的产量为a i (i =1, 2, , m ), 每个销地B j 的销量为b j
(j =1, 2, , n ). 设从产地
A i 到销地B j 的单位运价为C ij , 用x ij 表示从产地A i 到销地B j 的物资运量，则有数学模型： min Z =∑∑c ij x ij
i =1j =1m
n
⎧n
⎪∑x ij =(≤, ≥)a i (i =1, 2, , m ), ⎪j =1
n ⎪⎪m
s.t. ⎨∑x ij =b j (j =1, 2, , n ), 其中当∑x ij =a i 时，为产销平衡问题，否则为产
j =1⎪i =1
⎪x ij ≥0(i =1, 2, , m , j =1, 2, , n ). ⎪⎪⎩
销不平衡问题。
（3）物流运输问题与线性规划问题之间的关系
由线性规划问题和运输问题的模型，可以看出运输问题是线性规划问题的特殊情形，这种关系不仅体现在形式上，而且也体现在二者所解决问题的范畴和方法上。单纯形法是解决线性规划
问题的一种重要方法，而应用于解决运输问题的简单方法——表上作业法，其实也是单纯刑法的一种变式。 2.2 存储论
存储论又称库存论，主要是研究物资库存策略的理论，即确定物资存储量、捕获频率和一次补货量。合理的库存是生产和生活顺利进行的必要保障，可以减少资金的占用，减少费用支出和不必要的周转环节，缩短物资流通周期，加速再生产的过程等。在物流领域的各节点：工厂、港口、配送中心、物流中心、仓库、零售店等都或多或少地保有库存，为了实现物流活动总成本最小或利益最大化，大多数人们都运用了存储理论的相关知识，以辅助决策。并且在各种情况下都能灵活套用相应的模型求解，如常见的库存控制模型分确定型存储模型和随机型存储模型，其中确定型存储模型又可分为几种情况：不允许缺货，一次性补货；不允许缺货，连续补货；允许缺货，一次性补货；允许缺货，连续补货。随机型存储模型也可分为：一次性订货的离散型随机型存储模型和一次性订货的连续型随机存储模型。常见的库存补货策略也可分为以下四种基本情况：连续检查，固定订货量，固定订货点的（Q, R）策略周期性检查的（T, S）策略以及综合库存的（T, R, S）策略。针对库存物资的特性，选用相应库存控制模型和补货策略，制定一个包含合理存储量、合理存储时间、合理存储结构和合理存储网络的存储系统。 2.3 图（网络）论
自从上世纪50年代以后，图论就广泛应用于解决工程系统和管理问题，将复杂的问题用图与网络进行描述简化后再求解。图与网络理论有很强的构模能力，描述问题直观，模型易于计算实现，很方便地将一些复杂的问题分解或转化为可能求解的子问题。图与网络在物流中的应用也很显著，其中最明显的应用是运输问题、物流网点间的物资调运和车辆调度时运输路线的选择、配送中心的送货、逆向物流中心产品的回收等，运用了图论中的最小生成树、最短路、最大流、最小费用等知识，求得运输所学时间最少或路线最短或费用最省的路线。另外，工厂、仓库、配送中心等物流设施的选址问题，物流网点内部工种、任务、人员的指派问题，设备更新问题，也可以运用图论的知识辅助决策者进行最优的安排。 2.4 排队论
排队论也称随机服务理论，主要研究各种系统的排队队长、等待时间和服务等参数，解决系统服务设施和服务水平之间的平衡问题，以较低的投入求得更好的服务。排队现象现实生活中普遍存在，物流领域中也多见，如工厂生产线上的产品等待加工，在制品、产成品排队等待出入库作业，运输场站车辆进出站的排队，客服务中心顾客电话排队的服务设施数量、系统容量、顾客到达时间间隔的分布、服务时间的分布特征，可分为（M/M/1/ ）, （M/M/1/k）, （M/M/1/m）, (M/M/s/k), （M/M/s/m）几种不同情况，不同情形套用相应的模型可以求解。
2.5 对策论、决策论
对策论也称博弈论，对策即是在竞争环境中做出的决策，决策论即研究决策的问题，对策论可归属为决策论，它们最终都是要做出决策。决策普遍存在于人类的各种活动之中，物流中的决策就是在占有充分资料的基础上，根据物流系统的客观环境，借助于科学的数学分析，实验仿真或经验判断，在己提出的若干物流系统方案中，选择一个合理、满意方案的决断行为。如制定投资计划、生产计划、物资调运计划、选择自建仓库或租赁公共仓库、自购车辆或租赁车辆等等。物流决策多种多样，有复杂有简单，按照不同的标准可化分为很多种类型，其中按决策问题目标的多少可分为单目标决策和多目标决策。单目标决策目标单一，相对简单，求解方法也很多，如线性规划、非线性规划、动态规划等。多目标决策相对而言复杂得多。如要开发一块土地建设物流中心，既要考虑设施的配套性、先进性，还要考虑投资大小问题等，这些目标有时相互冲突，这时就要综合考虑。解决这类复杂的多目标决策问题现行用的较多的，行之有效的方法之一是层次分析法，一种将定性和定量相结合的方法。
3动态批量问题
在“补充-存储-消耗”的物流问题中，核心问题之一是依据各方面的信息进行合理的补充和存储。随着经济的发展，这个过程的时变性要求日益提高。如果模型中包含这些因素，则更接近实际情况，更有利于应用。
这类问题，他们统称为动态批量问题（The Dynamic Lot-sizing Problem）现已构成了一系列的模型与算法。
动态批量问题的运筹学模型 1. 基本假设
（1）n 中产品（或商品），T 个时段； （2）各产品在各时段的需求量为已知； （3）前置期为0；
（4）初始及终结存储量为0；
（5）购置费函数为凹函数（考虑批量折扣）。 2. 符号及模型
X ik 表示时段i 对产品k 的订货量； Y ik 表示时段i 对产品k 的终存储量； d ik 表示时段i 对产品k 的需求量；
H ik （y ik ）表示时段i 中产品k 的存储费函数； C ik （x ik ）表示时段i 中产品k 的购置费函数； Si 表示时段i 的联合整备费。
多产品、多时段、具有联合整备费的动态批量模型如下： min f（x ，y ）=f（x1，y1）+f（x2，y2）+„„f （x T ，y T ） y i-1，k +xik -y ik =dik y ik ≥0,x ik ≥0 yok =yTk =0
以上，i=1，2，„，T ；k=1，2，„，K f i （x i ，y i ）=Fi （x i ）+∑[Cik (xik )+Hik (yik )]
若∑x ik =0，F i （x i ）=0； 若∑x ik >0, Fi (xi )=Si
C ik （x ik ）为x ik 的单调递增凹函数。 H ik （y ik ）=hik y ik
H ik 为单位储存费（与i ，k 有关的参数）
4 物流问题的实际应用 4.1 问题的提出
运输问题有产销平衡和产销不平衡两种，产销不平衡问题在实际生产中占绝大部分，但是考虑其处理方法和产销问题类似，这里只就产销平衡问题的解决方法加以说明，探讨出其中所蕴含的数学方法。表上作业法是求解产销平衡问题的一种简便方法，其基本思路是：（1）找出初始基本可行解；（2）在表上计算非基变量的检验数，判别是否达到最优解（非基变量是和基变量相对的，基变量可简单理解为能用相同的变量线性表示的那些变量，或者进一步可理解为其系数向量性无关的那些变量）；（3）确定换入变量和换出变量，找出新的基本可行解，在表上用闭回路法进行调整；（4）重复（2）和（3），直到得到最优解为止。为便于理解和简单起见，下面用具体的例子解进行说明。
例：某公司有三个加工厂A 1, A 2, A 3生产某产品，每日的产量分别为7t ，4t ，9t ，该公司把这些产品分别运往四个销售点B 1, B 2, B 3, B 4, 各销售点每日销量分别为3t ，6t ，5t ，6t 。从各工厂到各销售点的单位运价如5-1表所示。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要量的前提下，使总运费最少？
表4-1 公司调运产品前提
4.2 问题的分析 则可建立下面数学模型：
min Z =3x 11+11x 12+10x 14+x 21+9x 22+2x 23+8x 24+7x 31+4x 32+10x 33+5x 34
因为是产销平衡问题，所以若记x ij 表示从产地A i 到销地B j 的运量（i=1，2;j=1，2，3，4），
⎧x 11+x 12+x 13+x 14=7, ⎪x +x +x +x =4,
222324⎪21
⎪x 31+x 32+x 33+x 34=9, ⎪
⎪x 11+x 21+x 31=3, s.t. ⎨ （1）
⎪x 12+x 22+x 32=6, ⎪x 13+x 23+x 33=5, ⎪
⎪x 14+x 24+x 34=6, ⎪x ij ≥0. ⎩
表4-2 解题表格
表4-2左下角数字表示从工厂A i 到销地B j 的单位运价。 4.3 问题的解决
考虑到约束方程组（1）的增广矩阵的秩为6（后面给出推导），因此在下面寻找初始可行解时所选的基变量个数为6。因为目标函数是求最小运费，故初始可行解可从c ij 中最小的数字开始逐次确定，且使单位运费小的数值所对应的运量尽可能的大（该运量用加括号的方法表示），同时规定对同样小的数值，任取其中一个，当某一行或列对应的发量或收量已经满足时，该行或列其余位置处的运量划“×”。最后得到一个调运方案，如表4-3所示
表4-3 调运方案
由上表可知，初始基变量为：x 11, x 12, x 22, x 13, x 14, x 21, x 23, x 32, x 34; 非基变量为：
x 24, x 31, x 33.
该方案的总费用：1⨯3+4⨯6+3⨯4+2⨯1+10⨯3+5⨯3=86
然后确定打“×”处变量即非基变量所对应的检验数，判断上面解是否最优解。此时的判断方法是用闭回路法或位势法等简单方法，但实际上只是单纯形法的变式而已，最终只要判断所有的检验数是否全部大于等于0即可（后面给出解释），若是，则说明已经是最优解，否则要重新换基。利用闭回路法求得非基变量的检验数如表4-4所示（在闭回路法中，检验数由回路上的变量对应的单位运价按“+”，“-”相间求和得到）：
表4-4 检验数表格
其中x 24的检验数小于0, 故上面的解不是最优解。
接下来换基，将x 24作为基变量，以x 24作为出发点找闭回路：x 24→x 14→x 13→x 23（此时，原来的基变量x 23成为非基变量），按“+”“-”相间的方法计算得到调整后的方案如表4-5所示：
表4-5 调整后的调运方案
此时重新计算所有非基变量的检验数可以发现全部大于等于0, 因此, 此时的解为最优解, 计算得总费用为：85。 4.4 问题的总结
通过上面方法解决的问题，可以看到利用了线性方程组的解的相关概念，向量的线性无关性或者矩阵的秩的概念，用到了矩阵的初等变换法，矩阵的乘法运算，矩阵转置的概念等线性代数中的概念和方法。物流中产生的问题通过线性方程组等运筹学方法的解决，使得运筹学跟物流更紧密的联系了在一起。 5 结束语
运筹学的研究内容非常广泛，根据其研究问题的特点，可分为两大类，确定模型与概率型模型。其中确定模型模型中主要包括：线性规划、非线性规划、整数规划、图（网络）论和动态规划等；概率型模型主要包括：对策论、排队论、存储论和决策论等。与物流管理学有密切联系，运筹学为物流提供了更有效的管理，对物流成本的系统化管理研究、有效减少或消除生产经营过程中不必要的物流作业成本。因此，对于当前许多企业、部门，应该加强对管理者、决策者的理论实践教育，使之意识到运筹学这门有用的决策工具。 参考文献
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正文: 运筹学在物流中的应用
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