第１４卷第１期
２０１１年２月Ｊｏｕｒｎａｌ扬州大学学报（自然科学版）ｏｆＹａｎｇｚｈｏｕＶ０１．１４Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０１ｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
一种自适应极坐标变换的旋转图像配准方法
刘彩云，杜宇人’
（扬州大学信息工程学院。江苏扬州２２５００９）
摘要：对数极坐标变换具有较好的旋转不变性，但是同时存在采样不均匀的问题：在靠近中心处的过采
样和靠近边缘处的欠采样．针对这一问题。提出一种自适应极坐标变换的方法，从笛卡尔坐标系转换到极
坐标系时，实现图像的均匀采样．其采样点数目与对数极坐标变换相比，减少近５０％，计算量大幅度减少．
为了保持对数极坐标变换的旋转不变性，采用投影变换方法将极坐标变换后的图像从二维降到一维．实验
表明该算法实时性好、精度高．
关键词：图像配准；自适应极坐标变换；投影变换
中图分类号：ＴＰ３９１．４１文献标志码：Ａ文章编号：１００７—８２４Ｘ（２０１１）０１—００６５一０５
图像配准是将不同时间、不同视角、不同传感器以及不同拍摄条件下获取的两幅或多幅图像进行匹配．Ｄ－２３配准的主要目的是寻找两幅或多幅图像之间的几何变换，使得对照同一参考帧可以变换、比较和分析图像．在需要结合多个图像数据源的图像分析任务中，图像配准是最关键的一步，如遥感、图像融合、计算机图形、计算机视觉、环境监测、地图绘制和医学成像等．［３３
在实际应用中，用于匹配的两幅图像可能存在一定角度的旋转，这给匹配过程带来了很大困难．在基于灰度的配准方法中比较常用的是归一化互相关法‘４１和相位相关法‘引．ＬＵ等‘６１认为，当图像旋转大于５。时，其相关峰值迅速衰减；因此，人们［７＿９］提出利用相位相关和对数极坐标变换相结合的方法，将图像从笛卡尔坐标系转换到对数极坐标系，这样图像的旋转运动变成了平移运动（沿极轴的平移），通过相位相关求得旋转参数；但是，对数极坐标变换存在采样不均匀的问题：一是由于靠近中心处的过采样而造成计算上的浪费，二是因靠近边缘处的欠采样而导致信息的丢失．针对这一问题，本文提出一种自适应极坐标变换‘１０］的方法，以实现图像从笛卡尔坐标系转换到极坐标系时的均匀采样．
１自适应极坐标变换
１．１对数极坐标变换
对数极坐标变换（１０９—ｐｏｌａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＬＰＴ）是将图像从笛卡尔坐标系转换到对数极坐标系，这样笛卡尔坐标系下的图像匹配则为对数极坐标下的图像匹配．
图像ｆ（ｘ，ｙ）到ｇ（ｐ，口）的对数极坐标变换定义为
ｐ—ｌｏ＆￣／（ｚ—ｚｏ）２＋（ｙ－－ｙｏ）２，
口＝ａｒｃｔａｎｆｙ－－ｙｏ１，
、Ｘ——ＸＯ／（１）（２）
式中Ｊ０，０分别对应对数极坐标系的极径和极角；ｚ。，Ｙ。是笛卡尔坐标系的变换中心；ｚ，Ｙ是笛卡尔坐标系的像素点．对数极坐标变换关系如图１所示．由图１（ａ）可见，沿半径方向采样呈现指数级增
收稿日期：２０１０—０７—１１
基金项目：国家自然科学基金资助项目（２０２９９０３０）ｌ扬州大学自然科学基金资助项目（ＫＫ０３１３０９０）＊联系人，Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｚｄｙｒ＠１６３．ｃｏｍ
＊Ｍ女＃＃ｍ（＾＃¨。＃ｍ
长．拄每一条半径Ｌ，ｉ｛｝角度方向取同样的
采样点数．Ⅲ此靠近中心点的像粜键过采
洋．而远离中心点的像豢被ｋ采样
刺川对数擞唑标藿换．将笛卡尔坐标
景下的旋转运动转化对极芈标系在角度方
向的平移运动如ｌｑ２所斫崩２（ａ）是朦
始阿像闭２（ｂ）是网２（ｎ）旋转后的罔像．
向．列代表半径／Ｊ
半移运动Ⅲｉ目§”ｍｎ女＃§＆ｉｔ目ｒｌｅＩＬ；岬ｄａｒＩｒａｎｓｆｗｍｍａｐｐｉｎｌ＝阿２¨）和圈２（ｄ）分别是圈２（ａ）和冈２（ｂ）时应的对数槛Ⅲ标变换圈对数板ｍ标系的行１ｔ丧舶虚打Ｆ，Ｊ从阿２可以看出，僻卡尔坐标系ＦｆｆＪｆ鼬＃Ａ＃］Ｂ转化为槛坐标系ｎ角度＾向帕
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时一地映射刊微生怀系Ｖ１、；此时¨Ｆ．～目２目懈目＆☆女标变＃ｉ目观加＂。．ｍ丹刺丧示半径方向、角度方向的束样点数．Ｒ…表示半径址大值勾丁保证值ｋ尔坐际系，｛，曲像素不会在承样过程中丢失．边缘上册像荣必颁
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１幅２５６像采ｘ２５６像素的阿像映射到计数槭坐际系．奠半张打向和角瘦＾向麻挪足ｌ｛／２１个震样点艟硼易Ｍ．柏对ｒ锛母尔坐标系ｔ１，的原婧罔像．承样点数Ｈ赶多
Ｉ２自适应投坐标变换
针时对数檄坐标班换存在的埘个主蜚ｎｄ题褴幅ｌ目像的不均卅采样和靠近巾心处的过采样时敛的计算浪费，琶瞢槛ｆ１１一种新的ｒ１适府撇啦怀变按Ｌａｄａｐｄｗ，ｐｏｌａｒｔⅢ１，ｆｏｒｎ１ＡＩ’Ｔ）疗法
Ⅲｍ，‰分别丧＊芈往订向、角度打向的采样点敬假澎要把１幅２Ｒ．。。。×！Ｒ。、旧旧像利刚ｌ：ｌ适商微奄标聋按法从筒＃尔坐标系转换到强坐标系．錾数”成谶大于一日≮于ｋ。“耽川Ｒ是币泵样点，处的半径Ｋ度Ｕ，表不半径为Ｒ．的唧所刈应的周长．Ｉ目此Ｒ—ｔ×Ｒ；．、／ｎ．ｎ・ｆ０坑的计数饭世标变换一ｈ用同定的点数‰对ｕ．进行采样为了有效地耐陌悔进行采样．毒数～臆泼是ｌⅡ变的ｍ于每个周长包含大约！ｗＲ个像素点闲此对Ｊ。＃耗方向的矗｜十采样点ｉ所对啦的币噬ｎ向的采样点虚诙是”．为丁汁算简单．１ｑ定义２＃Ｒ，≈８Ｒ：这样川，‰一日雌表ｍ为
Ｈ—Ｒ…．ｍ８ＲＬ７，’
在ｎ适应极坐标崔按－ｈ角度矗时采样点的数¨随莆半径的业化ｌＭ业化．形状‘＾阶梯状．加罔３（ｈ）所示这样．采样点数日与罔２（ｂ）的对数擞生｛蕾变换州比．少ｒ时。（｝Ⅳ．计算丛大州度砘巾
锥】柳刘私“等一＂ｒＩ遁№＆№杯变＃的《＃Ｊ目像Ｒ￥ｉ＆
对于Ｉ幅Ｚ５６像索×２５６像裘的原始图
像．其采用ＦＩ适应极芈标进行变换的结果
姐同４昕示托自适应擞坐标峦换图巾Ｌ＝
角边缘为梯形市连续点．忸嘲～闭像１Ｆ柽方
ＩＩ】向的采样点数较当．故其说世效果是连续¨’’
的本文方法同样适用于攫际旋转中心畸目３自％＆日女＃§女ｉ女目
Ｆｉｇ３
变换中心小符的情况．斟为实际旋转中心和Ａｄａｐｔｉｖｅｐｏｌａｒ…ｎ，ｎ¨ｍａｐｐｉｎｇ
阿像ｔ１１■仅存柱一个平移｛｜｝．币彬响『目像的旋转不变性
ＩＩ＿Ｉ『¨＆＃Ｒ∞『ｑｍｉｄ１＆＃ｉ目镕∞ｎ∞ｎｍｍ“ｔ＃目
目４目§自镕＆ｍ女＃女女ｉⅧ
Ｆｉｇ４Ｅｘａｍｐｌｅｓｌｒ∞ｓｎＩ…ｅｄｏｒ＾１１Ｉｆａ）ｔｈｅ
ｍｑ＃ｅ●．ｆ（ｕ）Ｉ－ｎｄ（ｄ）ｔｈｅ＾门ｔｒ．Ｉｎｓｎ…ｄｏｒｉｇｉ．．Ｉｉｍａｇｅ（ｂ㈨ｔｈｅａＩ“ｉｍａｇｅ‘口ｆＨ１（¨ｔｈｅＡｆｆｌ
ｉｍａｇｅ●Ⅱ（ｂｊ
２投影变换
如图４（ｃ）．‘ｄ／所玳．ｒ４适应擞坐标变换的结果不再保持对数檄坐标变换的旋转不变性为了保持对数极举标变换的旋转不变性，现刘变换后罔像在１ｆ径方向和角度方向分别作投影变换．然后计算旋转参数定义ｆｌ适府空换后刚像的投影变换如下：假定变换后的图像ｇ（ｐ．口）¨ｌ“十采样集合组成．每一个采样肇合的长度为＂。．Ⅱｉ＝１．…．ｍⅢｎ。．Ｒ．乖分州表币崔Ｒ，一Ｒ…时沿角度方向的采样点数、半径坐标轴Ｌ的投蟛和角度坐标轴Ｅ的投影．其投影变换的数学表逃式如下
Ｒ（ｆ）一ｎ。∑“ｇ（ｊ．ｍ（６）
ｏ（Ｊ）＝∑■ｈｇ（…ｕｌ（ｎ‘ｕＩ）））＋（１ｕ。）鲥，ｃｅｉｌ（ｏ，１（Ｊ）））］，（７）
其‘ｌ。Ⅱ。一ｎ．（Ｊ１）ｆ１。ｏｒｒｎ（Ｊ１）一．』∈［１．．¨：．』∈［Ｊ．．ｎ口］．ｎ．一ｎ。７ｍ．Ｅ（，．０）＝０．ｖ（Ｉ帅“Ａ）采坼取小于啦等于Ａ的蛙小髓数经过擞啦变换岳，＊骷Ｒ，ｏ的维数分州是‰，日一为Ｊ＋避免把照对变换的影响，对ｌ‘谜２十向蚺进行归一化，Ｒ的投影计算简单．不需要捕值；０的¨肄抽式《７）所示．需要一维捅慷
投彬变换的结＊如ｌ目５（ａ）．（１，）所永．可眦藉｝Ｉ｛前１；尔唑标系的旋转时Ｒ投影没有影响．而在０投批中丧现为平移
扬“大｛｝“（ｎ＃＃｛《第１４＃
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ｒ碌５Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｐ州＂ｔｌｏｎＲａｎｄｐｍＪｅｃ｛ｉｏｎｅ
４５。ｍｂｔｌ叽：‘日）ｔｈｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎＭ１ｈｅｒａｄｉＢｃｏｃｃｄｉ耻｝ｅ．‘¨ｔｈｅｐｍＪｅｃｌｌｏｎ椰ｔｈｅｃｏｒ懈ｐ蛆ｄ＿ｎＰ㈣ｒ∞ｉｍａＥｅｈｂｎａｎｇｕ］ａｒａｎｄａｎｅｒｃ００Ｈｉｎ４ｔｃ
３实验结果
为了检验本文所提算法的有效性，现将图ｚ（ａ）所示田幛每隔３０。旋转一次．得到１２幅不同旋转币度的图像．如图６所示；并将这转图像接从左刊右、从ｒ到下的顺序编号．然后分别用自适应擞坐标变换和对数极坐标变换求其旋转角度，结果见表ｌ占Ｌ表ｌ可以看山，两种箅法的精度枇差不大，误差部在１。姒内；但是－自适麻楹坐标变换的采样数目比对数板坐标变换的采样数日小得多例如．埘ｌ幅２ｓ６像素×２５６像索的图像琏行变换，其自适应扳坐标乐中的ｍ和“，分别为ｌ２８和１０２１．１＾】对数槛举标变换的Ｈ，和‰则为１０２４和１０２４
一一Ｊ，■’
目６１２＊｛目＆＃自＆∞目＊
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第１期刘彩云等：一种自适应极坐标变换的旋转图像配准方法６９参考文献：
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ｔｈｅｈｉｇｈ－ｏｒｄｅｒＳＶＤａｎｄｐｈａｓｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓｏｎＩｍａｇｅＰｒｏｃｅｓｓ，２００５，１４（７）：８８４—８８９．
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ＶＬＣｄｏｍａｉｎ［ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ１６ｔｈＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＰａｔｔｅｒｎＲｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ．ＱｕｅｂｅｃＣｉｔｙ，ＱＣ：Ｉｓ．ｎ．］，２００２，２：５５２—５５５．
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ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓｏｎＩｍａｇｅＰｒｏｃｅｓｓ，２００５，１４（１０）：１４２２—１４３４．
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ＴｒａｎｓｏｎＩｍａｇｅＰｒｏｃｅｓｓ，２００９，１８（１０）：２３４０—２３５４．
Ｒｏｔａｔｅｄｉｍａｇｅｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎｕｓｉｎｇａｄａｐｔｉｖｅｐｏｌａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ
ＬＩＵＣａｉ—ｙｕｎ，ＤＵＹｕ—ｒｅｎ。
（ＳｃｈｏｆＩｎｆＥｎｇｉｎ，ＹａｎｇｚｈｏｕＵｎｉｖ，Ｙａｎｇｚｈｏｕ２２５００９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｏｇ—ｐｏｌａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＬＰＴ）ｉｓａｗｅｌｌｋｎｏｗｎｔｏｏｌｆｏｒｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｆｏｒｉｔｓｒｏｔａｔｉｏｎｉｎｖａｒｉａｎｔｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｉｔｓｕｆｆｅｒｓｆｒｏｍｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍｓａｍｐｌｉｎｇｅ．ｇ．ｏｖｅｒｓａｍｐｌｉｎｇａｔｔｈｅｆｏｖｅａａｒｅａａｎｄｕｎｄｅｒｓａｍｐｌｉｎｇａｔｔｈｅｐｅｒｉｐｈｅｒａｌａｒｅａ．Ａｉｍｉｎｇａｔｔｈｅｓｅｑｕｅｓｔｉｏｎｓ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓａｄａｐｔｉｖｅｐｏｌａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＡＰＴ）ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｉｎｔｈｅｓｐａｔｉａｌｄｏｍａｉｎ．ＡｐｐｌｙｉｎｇｔｈｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｔｒａｎｓｆｏｒｍｔｈｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｉｍａｇｅｉＳｒｅｄｕｃｅｄｆｒｏｍ２一Ｄｔｏ１一Ｄｖｅｃｔｏｒ．ＴｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｙｉｅｌｄｓｒｅａｌｔｉｍｅａｎｄｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎｔｈａｎｔｈａｔｏｆｔｈｅＬＰＴ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎ；ａｄａｐｔｉｖｅｐｏｌａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ
（责任编辑史实）
第１４卷第１期
２０１１年２月Ｊｏｕｒｎａｌ扬州大学学报（自然科学版）ｏｆＹａｎｇｚｈｏｕＶ０１．１４Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０１ｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
一种自适应极坐标变换的旋转图像配准方法
刘彩云，杜宇人’
（扬州大学信息工程学院。江苏扬州２２５００９）
摘要：对数极坐标变换具有较好的旋转不变性，但是同时存在采样不均匀的问题：在靠近中心处的过采
样和靠近边缘处的欠采样．针对这一问题。提出一种自适应极坐标变换的方法，从笛卡尔坐标系转换到极
坐标系时，实现图像的均匀采样．其采样点数目与对数极坐标变换相比，减少近５０％，计算量大幅度减少．
为了保持对数极坐标变换的旋转不变性，采用投影变换方法将极坐标变换后的图像从二维降到一维．实验
表明该算法实时性好、精度高．
关键词：图像配准；自适应极坐标变换；投影变换
中图分类号：ＴＰ３９１．４１文献标志码：Ａ文章编号：１００７—８２４Ｘ（２０１１）０１—００６５一０５
图像配准是将不同时间、不同视角、不同传感器以及不同拍摄条件下获取的两幅或多幅图像进行匹配．Ｄ－２３配准的主要目的是寻找两幅或多幅图像之间的几何变换，使得对照同一参考帧可以变换、比较和分析图像．在需要结合多个图像数据源的图像分析任务中，图像配准是最关键的一步，如遥感、图像融合、计算机图形、计算机视觉、环境监测、地图绘制和医学成像等．［３３
在实际应用中，用于匹配的两幅图像可能存在一定角度的旋转，这给匹配过程带来了很大困难．在基于灰度的配准方法中比较常用的是归一化互相关法‘４１和相位相关法‘引．ＬＵ等‘６１认为，当图像旋转大于５。时，其相关峰值迅速衰减；因此，人们［７＿９］提出利用相位相关和对数极坐标变换相结合的方法，将图像从笛卡尔坐标系转换到对数极坐标系，这样图像的旋转运动变成了平移运动（沿极轴的平移），通过相位相关求得旋转参数；但是，对数极坐标变换存在采样不均匀的问题：一是由于靠近中心处的过采样而造成计算上的浪费，二是因靠近边缘处的欠采样而导致信息的丢失．针对这一问题，本文提出一种自适应极坐标变换‘１０］的方法，以实现图像从笛卡尔坐标系转换到极坐标系时的均匀采样．
１自适应极坐标变换
１．１对数极坐标变换
对数极坐标变换（１０９—ｐｏｌａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＬＰＴ）是将图像从笛卡尔坐标系转换到对数极坐标系，这样笛卡尔坐标系下的图像匹配则为对数极坐标下的图像匹配．
图像ｆ（ｘ，ｙ）到ｇ（ｐ，口）的对数极坐标变换定义为
ｐ—ｌｏ＆￣／（ｚ—ｚｏ）２＋（ｙ－－ｙｏ）２，
口＝ａｒｃｔａｎｆｙ－－ｙｏ１，
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式中Ｊ０，０分别对应对数极坐标系的极径和极角；ｚ。，Ｙ。是笛卡尔坐标系的变换中心；ｚ，Ｙ是笛卡尔坐标系的像素点．对数极坐标变换关系如图１所示．由图１（ａ）可见，沿半径方向采样呈现指数级增
收稿日期：２０１０—０７—１１
基金项目：国家自然科学基金资助项目（２０２９９０３０）ｌ扬州大学自然科学基金资助项目（ＫＫ０３１３０９０）＊联系人，Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｚｄｙｒ＠１６３．ｃｏｍ
＊Ｍ女＃＃ｍ（＾＃¨。＃ｍ
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向的平移运动如ｌｑ２所斫崩２（ａ）是朦
始阿像闭２（ｂ）是网２（ｎ）旋转后的罔像．
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可“表ｍ成
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１幅２５６像采ｘ２５６像素的阿像映射到计数槭坐际系．奠半张打向和角瘦＾向麻挪足ｌ｛／２１个震样点艟硼易Ｍ．柏对ｒ锛母尔坐标系ｔ１，的原婧罔像．承样点数Ｈ赶多
Ｉ２自适应投坐标变换
针时对数檄坐标班换存在的埘个主蜚ｎｄ题褴幅ｌ目像的不均卅采样和靠近巾心处的过采样时敛的计算浪费，琶瞢槛ｆ１１一种新的ｒ１适府撇啦怀变按Ｌａｄａｐｄｗ，ｐｏｌａｒｔⅢ１，ｆｏｒｎ１ＡＩ’Ｔ）疗法
Ⅲｍ，‰分别丧＊芈往订向、角度打向的采样点敬假澎要把１幅２Ｒ．。。。×！Ｒ。、旧旧像利刚ｌ：ｌ适商微奄标聋按法从筒＃尔坐标系转换到强坐标系．錾数”成谶大于一日≮于ｋ。“耽川Ｒ是币泵样点，处的半径Ｋ度Ｕ，表不半径为Ｒ．的唧所刈应的周长．Ｉ目此Ｒ—ｔ×Ｒ；．、／ｎ．ｎ・ｆ０坑的计数饭世标变换一ｈ用同定的点数‰对ｕ．进行采样为了有效地耐陌悔进行采样．毒数～臆泼是ｌⅡ变的ｍ于每个周长包含大约！ｗＲ个像素点闲此对Ｊ。＃耗方向的矗｜十采样点ｉ所对啦的币噬ｎ向的采样点虚诙是”．为丁汁算简单．１ｑ定义２＃Ｒ，≈８Ｒ：这样川，‰一日雌表ｍ为
Ｈ—Ｒ…．ｍ８ＲＬ７，’
在ｎ适应极坐标崔按－ｈ角度矗时采样点的数¨随莆半径的业化ｌＭ业化．形状‘＾阶梯状．加罔３（ｈ）所示这样．采样点数日与罔２（ｂ）的对数擞生｛蕾变换州比．少ｒ时。（｝Ⅳ．计算丛大州度砘巾
锥】柳刘私“等一＂ｒＩ遁№＆№杯变＃的《＃Ｊ目像Ｒ￥ｉ＆
对于Ｉ幅Ｚ５６像索×２５６像裘的原始图
像．其采用ＦＩ适应极芈标进行变换的结果
姐同４昕示托自适应擞坐标峦换图巾Ｌ＝
角边缘为梯形市连续点．忸嘲～闭像１Ｆ柽方
ＩＩ】向的采样点数较当．故其说世效果是连续¨’’
的本文方法同样适用于攫际旋转中心畸目３自％＆日女＃§女ｉ女目
Ｆｉｇ３
变换中心小符的情况．斟为实际旋转中心和Ａｄａｐｔｉｖｅｐｏｌａｒ…ｎ，ｎ¨ｍａｐｐｉｎｇ
阿像ｔ１１■仅存柱一个平移｛｜｝．币彬响『目像的旋转不变性
ＩＩ＿Ｉ『¨＆＃Ｒ∞『ｑｍｉｄ１＆＃ｉ目镕∞ｎ∞ｎｍｍ“ｔ＃目
目４目§自镕＆ｍ女＃女女ｉⅧ
Ｆｉｇ４Ｅｘａｍｐｌｅｓｌｒ∞ｓｎＩ…ｅｄｏｒ＾１１Ｉｆａ）ｔｈｅ
ｍｑ＃ｅ●．ｆ（ｕ）Ｉ－ｎｄ（ｄ）ｔｈｅ＾门ｔｒ．Ｉｎｓｎ…ｄｏｒｉｇｉ．．Ｉｉｍａｇｅ（ｂ㈨ｔｈｅａＩ“ｉｍａｇｅ‘口ｆＨ１（¨ｔｈｅＡｆｆｌ
ｉｍａｇｅ●Ⅱ（ｂｊ
２投影变换
如图４（ｃ）．‘ｄ／所玳．ｒ４适应擞坐标变换的结果不再保持对数檄坐标变换的旋转不变性为了保持对数极举标变换的旋转不变性，现刘变换后罔像在１ｆ径方向和角度方向分别作投影变换．然后计算旋转参数定义ｆｌ适府空换后刚像的投影变换如下：假定变换后的图像ｇ（ｐ．口）¨ｌ“十采样集合组成．每一个采样肇合的长度为＂。．Ⅱｉ＝１．…．ｍⅢｎ。．Ｒ．乖分州表币崔Ｒ，一Ｒ…时沿角度方向的采样点数、半径坐标轴Ｌ的投蟛和角度坐标轴Ｅ的投影．其投影变换的数学表逃式如下
Ｒ（ｆ）一ｎ。∑“ｇ（ｊ．ｍ（６）
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投彬变换的结＊如ｌ目５（ａ）．（１，）所永．可眦藉｝Ｉ｛前１；尔唑标系的旋转时Ｒ投影没有影响．而在０投批中丧现为平移
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３实验结果
为了检验本文所提算法的有效性，现将图ｚ（ａ）所示田幛每隔３０。旋转一次．得到１２幅不同旋转币度的图像．如图６所示；并将这转图像接从左刊右、从ｒ到下的顺序编号．然后分别用自适应擞坐标变换和对数极坐标变换求其旋转角度，结果见表ｌ占Ｌ表ｌ可以看山，两种箅法的精度枇差不大，误差部在１。姒内；但是－自适麻楹坐标变换的采样数目比对数板坐标变换的采样数日小得多例如．埘ｌ幅２ｓ６像素×２５６像索的图像琏行变换，其自适应扳坐标乐中的ｍ和“，分别为ｌ２８和１０２１．１＾】对数槛举标变换的Ｈ，和‰则为１０２４和１０２４
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ＬＩＵＣａｉ—ｙｕｎ，ＤＵＹｕ—ｒｅｎ。
（ＳｃｈｏｆＩｎｆＥｎｇｉｎ，ＹａｎｇｚｈｏｕＵｎｉｖ，Ｙａｎｇｚｈｏｕ２２５００９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｏｇ—ｐｏｌａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＬＰＴ）ｉｓａｗｅｌｌｋｎｏｗｎｔｏｏｌｆｏｒｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｆｏｒｉｔｓｒｏｔａｔｉｏｎｉｎｖａｒｉａｎｔｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｉｔｓｕｆｆｅｒｓｆｒｏｍｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍｓａｍｐｌｉｎｇｅ．ｇ．ｏｖｅｒｓａｍｐｌｉｎｇａｔｔｈｅｆｏｖｅａａｒｅａａｎｄｕｎｄｅｒｓａｍｐｌｉｎｇａｔｔｈｅｐｅｒｉｐｈｅｒａｌａｒｅａ．Ａｉｍｉｎｇａｔｔｈｅｓｅｑｕｅｓｔｉｏｎｓ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓａｄａｐｔｉｖｅｐｏｌａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＡＰＴ）ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｉｎｔｈｅｓｐａｔｉａｌｄｏｍａｉｎ．ＡｐｐｌｙｉｎｇｔｈｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｔｒａｎｓｆｏｒｍｔｈｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｉｍａｇｅｉＳｒｅｄｕｃｅｄｆｒｏｍ２一Ｄｔｏ１一Ｄｖｅｃｔｏｒ．ＴｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｙｉｅｌｄｓｒｅａｌｔｉｍｅａｎｄｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎｔｈａｎｔｈａｔｏｆｔｈｅＬＰＴ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎ；ａｄａｐｔｉｖｅｐｏｌａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ
（责任编辑史实）