利用基本不等式求最值导学案

基本不等式复习导学案

学习目标：1.掌握基本不等式及其相关内容

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

3.进一步培养学生化未知为已知以及，发现问题，解决问题的能力

重点：用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

难点：用基本不等式求最值

预习案：

一、几个重要的基本不等式 a2b2

(a、bR)，1ab2abab.当且仅当a = b时，“=”号成立； 222

ab2.ab2abab当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、bR)，2

ab2a2b23..若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”） )222

4．最值定理：已知x,yR,x+y=s,xy=p.

①若p为定值，那么当且仅当 时，s=x+y有

②若s为定值，那么当且仅当 时，p=xy有

注：① 注意运用基本不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：2

abab2a2b2 2

自我检测：

1. 已知a，b∈R，下列不等式中不正确的是( )

a＋b422A．a＋b≥2ab B.2ab C．a2＋4≥4a b＋b2≥41 2．已知f(x)＝x＋x－2(x＞0)，则f(x)有( )

A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4

3．设x，y∈R，且x＋y＝4，则5x＋5y的最小值是( )

A．9 B．25 C．50 D．162

4．设想，x，y都是正数，且x+4y=40，则lgxlgy的最大值是( )

A.. 40 B. 10 C. 4 D. 2

15.已知0

1ab)， 6．若ab1,Plgalgb,Q(lgalgb),Rlg(22

则P,Q,R的大小关系是_______

探究案：

探究Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1 当x0时，求y2x

练习1.已知x5，求函数y4x21的最大值。 44x58-3的最小值 x

规律总结：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 探究Ⅱ：求几个正数积的最大值。

例2、当

练习2 设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。 2时，求yx(82x)的最大值。

规律总结：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

探究Ⅲ：条件最值问题。

例3、已知x,yR且

141，求uxy的最小值 xy

练习3 .已知正数x、y满足8

x1

y1，求xy和x2y的最小值。

规律总结：注意“1”的妙用

2

拓展1 求yx5

x24(xR)的最小值。

解：因为yx252

x24x41

x242x24x242，

ymin2

思考：上述解法对吗？如果不对，说出原因，并改正

拓展2 .已知正数x、y满足xyxy3，试求xy、xy的范围。

拓展3.求函数yx4x9

x的最值。

所以

综上所述，应用基本不等式求最值要注意：

一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。 巩固练习：

1、已知：x2y2a,m2n2b且ab，则mxny的最大值为( ) aba2b2a2b2

(A)ab (B) (C) (D) 222

2、若a,x,yR，且xyaxy恒成立，则a的最小值是( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1

3、已知下列不等式：①x332x(xR)②a5b5a3b2a2b3(a,bR)；③a2b22(ab1).其中正确的个数是( )

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

4、设a,bR，则下列不等式中不成立的是( ) 112ab1a2b2

ab 2 (D)(A) (ab)()4 (B)2ab (C)ababababab

5、设a,bR且2ab1,S2ab4a2b2的最大值是( ) (A)21 (B)2121 (C)21 (D) 22

2211xy6、若x,y是正数，则的最小值是（ ） 2y2x

(A)．3 (B)．7 2 (C)．4 (D).9 2

7、若x,yR,且2xy1，则11的最小值为xy

8.若0a1,0b1,且ab,则ab,2ab,a2b2,2ab中最大的是.

9、已知x0,y0，且x2y21，则xy的最大值等于_____________

10．设x,y是满足2xy20的正数，则lgxlgy的最大值是 .

基本不等式复习导学案

学习目标：1.掌握基本不等式及其相关内容

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

3.进一步培养学生化未知为已知以及，发现问题，解决问题的能力

重点：用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

难点：用基本不等式求最值

预习案：

一、几个重要的基本不等式 a2b2

(a、bR)，1ab2abab.当且仅当a = b时，“=”号成立； 222

ab2.ab2abab当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、bR)，2

ab2a2b23..若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”） )222

4．最值定理：已知x,yR,x+y=s,xy=p.

①若p为定值，那么当且仅当 时，s=x+y有

②若s为定值，那么当且仅当 时，p=xy有

注：① 注意运用基本不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：2

abab2a2b2 2

自我检测：

1. 已知a，b∈R，下列不等式中不正确的是( )

a＋b422A．a＋b≥2ab B.2ab C．a2＋4≥4a b＋b2≥41 2．已知f(x)＝x＋x－2(x＞0)，则f(x)有( )

A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4

3．设x，y∈R，且x＋y＝4，则5x＋5y的最小值是( )

A．9 B．25 C．50 D．162

4．设想，x，y都是正数，且x+4y=40，则lgxlgy的最大值是( )

A.. 40 B. 10 C. 4 D. 2

15.已知0

1ab)， 6．若ab1,Plgalgb,Q(lgalgb),Rlg(22

则P,Q,R的大小关系是_______

探究案：

探究Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1 当x0时，求y2x

练习1.已知x5，求函数y4x21的最大值。 44x58-3的最小值 x

规律总结：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 探究Ⅱ：求几个正数积的最大值。

例2、当

练习2 设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。 2时，求yx(82x)的最大值。

规律总结：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

探究Ⅲ：条件最值问题。

例3、已知x,yR且

141，求uxy的最小值 xy

练习3 .已知正数x、y满足8

x1

y1，求xy和x2y的最小值。

规律总结：注意“1”的妙用

2

拓展1 求yx5

x24(xR)的最小值。

解：因为yx252

x24x41

x242x24x242，

ymin2

思考：上述解法对吗？如果不对，说出原因，并改正

拓展2 .已知正数x、y满足xyxy3，试求xy、xy的范围。

拓展3.求函数yx4x9

x的最值。

所以

综上所述，应用基本不等式求最值要注意：

一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。 巩固练习：

1、已知：x2y2a,m2n2b且ab，则mxny的最大值为( ) aba2b2a2b2

(A)ab (B) (C) (D) 222

2、若a,x,yR，且xyaxy恒成立，则a的最小值是( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1

3、已知下列不等式：①x332x(xR)②a5b5a3b2a2b3(a,bR)；③a2b22(ab1).其中正确的个数是( )

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

4、设a,bR，则下列不等式中不成立的是( ) 112ab1a2b2

ab 2 (D)(A) (ab)()4 (B)2ab (C)ababababab

5、设a,bR且2ab1,S2ab4a2b2的最大值是( ) (A)21 (B)2121 (C)21 (D) 22

2211xy6、若x,y是正数，则的最小值是（ ） 2y2x

(A)．3 (B)．7 2 (C)．4 (D).9 2

7、若x,yR,且2xy1，则11的最小值为xy

8.若0a1,0b1,且ab,则ab,2ab,a2b2,2ab中最大的是.

9、已知x0,y0，且x2y21，则xy的最大值等于_____________

10．设x,y是满足2xy20的正数，则lgxlgy的最大值是 .