第１６卷第５期
２００６年１０月长春大学学报ＪＯＵＲＮＡＩ。ＯＦＣＨＡＮＧＣＨＵＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＶ０１．１６Ｎｏ．５Ｏｃｔ．２（）０１６文章编号：１００９—３９０７（２００６）０５－００１７—０４
关于积分因子的讨论
温启军１，张丽静２
（１．氏春大学理学院，吉林长春１３００２２；２．延吉市第三高中，吉林延吉１３３０００）
摘要：采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程一个重要手段，讨论
了积分因子存在的充要条件及确定若干特殊类型积分因子的准则；通过实例来说明准则的应用方
法。
关键词：微分方程；全微分方程；积分因子；存在准则
中图分类号：０１７５．１文献标识码：Ａ
０引言
一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求解。然而寻找积分因子不是容易的事情，一般的教科书只介绍了依据经验或者通过观察来寻找积分因子。这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若于特殊类型的积分因子的准则，最后通过实际例子来说明准则的应用方法。
１积分因子存在的充要条件
１．１积分因子
对于一阶微分方程Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＝０。（１）定义１：若方程左端恰好是Ｕ（ｘ，ｙ）的全微分，即有ｄｕ＝Ｐ池＋Ｑｄｙ＝警出＋等曲，称方程（１）是全微分方程，其通解是Ｖ（ｘ，Ｙ）＝ｃ…。并且，当Ｐ，Ｑ在平面内某单连通区域Ｇ内具有一阶连续偏导数时，要使方程（１）成为全微分方程的充要条件是芒：磐在Ｇ内恒成立。在Ｏ．Ｐ，ｏ＿。＿Ｑ＿的情形下ｄＶｄｘＯｙｄ石
积分因子Ⅲ。例如：７擢ｙｄｘ一戈ｄｙ＝ｏ不是全微分方程，但是由于ｄ（÷）＝学，可知砉是一个积分因子。可以验证土，｛也都是该方程的积分因子。
ｘｙ戈。定义２：如果存在不为零的函数肛（戈，Ｙ）使胪ｄｘ＋ｔｚＱｄｙ＝０成为全微分方程，则称肛（戈，ｙ）为方程（１）的
１．２积分因子存在的充要条件
命题１：对于方程（１），＝．，，Ｏ、Ｐ，Ｏ、Ｑ时，／ｚ（茗，，Ｊ）是其积分因子的充要条件是
收稿日期：２００６—０５—１４
基金项目：全国教育科学“十五”规划教育都重点课题（ＤＨＢ０１０６７８）
作者简介：温启军（］９７３一），男，ｌ匹ｌＪｉｌ省绵竹县人，长春大学理学院讲师，硕士，主要从事摹础数学的教学及课程与教学沦方向研究。
１８长春大学学报第１６卷
肛（筹一警）＝Ｑ詈一Ｐ丝Ｏｙ。（２）
证明：ｐ（算，ｙ）是积分因子铮丛笋＝丛笋邰筹＋Ｐ考＝ｐ警＋Ｑ詈邰（筹一警）＝Ｑ警一Ｐ亟Ｏｙ。
命题２：对于枣程（１），当蒡≠警时，ｐ（茗，，，）是其积分因子的充要条件是
（訾Ｑ—Ｏ妙ｌｎｌｚｐ＝筹一警。（３）
证明：肛（菇∽是积分因子铮警笋＝亟笋部筹＋Ｐ巫Ｏｙ＝肛警＋Ｑｍｏｘ’ｉ比㈧ｏ”ｙ‘Ｐ一五１０ｄ１石兰．Ｑ＝ａ缸Ｑ一望Ｏｙ甘ａｌ＿坐ｎａＱ—ａＪ＿坐ｅ：ａＰ一煦。ＯｘＯｙＯｙＯｘ。
２确定积分因子的若干准则
准则ｌ：若面ｌ、ｏａＰｙ一警）仅是关于石的函数，设万１。面ＯＰ—ａａ－等ｘ）＝妒（髫）则方程（１）有积分因子ｐ＝ｅｘｐ［』妒（菇）出］。（不定积分常数取Ｃ＝ｏ，下面各准则中均取Ｃ＝０）。
证明：如果弘＝ｐ（戈），则充要条件（２）中考＝ｏｊ吉警＝百１。万ＯＰ一等）等警＝面１（、ＯａＰｙ一警）。
因此当上式右端仅为石的函数时，设为妒（石），方程（２）有积分因子肛＝ｅｘｐ［知（石）如］。
准则２：若与（ＯｄＰ＇，一警）仅是关于），的函数，设击（ＯｄＰｙ一警）＝妒（），），则方程（１）有积分因子弘＝ｅｘｐ［肺（），）ｄｙ］。（证明略）
准则３：，。Ｑ一１Ｐ、（Ｏ以Ｐ一警）仅是关于（石＋ｙ）的函数，设歹与（等一警）＝妒（石＋），），则方程（１）有积分因
子ｐ＝ｅｘｐ［』妒（茗＋Ｙ）ｄ（ｘ＋Ｙ）］。
证明：若肛仅是关于（戈＋，，）的函数，即ｐ＝ｐ（ｚ＋ｙ），设ｚ＝石＋，，；此时ｐ满足（３）式，有背％Ｑ一甓，Ｐ＝筹一盟Ｏｘ，也即警＝‘歹ｂ）（筹一警），因此，当上式右端仅是（ｘ＋，，）的函数时，设为妒（石＋ｙ），方程（１）有积分因子ｐ＝ｅｘｐ［，９（ｚ＋ｙ）ｄ（髫＋ｙ）］。类似地有：
准则４：若Ｆｂ‘面ＯＰ一警）仅是关于（石一），）的函数，设Ｆｂ（筹一警）＝妒（ｘ－ｙ），则方程（１）有积分因子ｐ＝ｅｘｐ［加（髫一ｙ）ｄ（ｘ—Ｙ）］。（证明略）准则５：若五嚣歹ｊ丢知（ＯｄＰｙ一警）仅是石ｍｙ８的函数时，
设瓦ｉ了ｊ可≥虿ｊ历两（箐一警）＝妒（戈“），“），则方程（１）有积分因子／ｘ＝ｅｘｐ［ｆ妒（戈“），“）ｄ（戈４），８）］。证明：设ｐ＝／ｘ（ｘ”Ｙ“），令ｚ＝戈”Ｙ“，则弘满足式（３），即訾妾Ｑ一静＝筹一署ｊ警［臌ｍ－－ｌｙｔｔＱ—ｗ“，，一１Ｐ］＝等一署ｊ业ｄｚ＝７
石ｍ－ＩＹ”１（ｍｙＱ一妒）、Ｏｙ１ｒ塑一煦、Ｏｘ７
因此，仅当上式右端是０ｙ“的函数时，设为妒（菇“），“），方程（１）有积分因子肛＝ｅｘｐ［ｆｑ，（茹“），８）ｄ（ｚ“ｙ“）］。
类似地有：
准则６．（ｙＱ－１ｘＰ）（等～警）仅是秒的函数时，设志（等一警）＝≯（衫）测方程（１）有积分因子
第５期温启军，等：关于积分因子的讨论１９弘＝ｅｘｐ［』ｑｏ（ｘｙ）ｄ（ｘｙ）］。（证明略）
易知，准则６是准则５中ｍ＝１，ｎ＝１的特殊情形。
准则７：２（ｘＱｌ（ｏＰ一警）仅是（戈２＋严）的函数时，畅苑毫两（箐一署）＝妒（戈２＋严），则方程（１）有积分因子肛＝ｅｘｐ［～（ｘ２＋ｙ２）ｄ（ｘ２＋ｙ２）．】。
证明：设ｐ＝ｐ（髫２＋ｙ２），令ｚ＝ｚ２＋ｙ２，则１．ｔ满足（３）式，即：
有絮絮Ｑ一絮争＝万ＯＰ一等等警［２加一２垆］＝石ＯＰ一署ｊ业ｄｚ＝（ＺｘＱ－２ｙＰ）Ｏｙ一盟缸。
因此，仅当上式右端为（ｘ２＋ｙ２）的函数时，设为妒（菇２＋ｙ２），则方程（１）有积分凼于／．ｔ＝ｅｘｐ［ｆｇ，（ｘ２＋ｙ２）ｄ（ｘ２＋广）］。
有积分因子肛＝ｅｘｐ［妒（石２一ｙ２）ｄ（ｘ２一ｙ２）］。（证明略）准则８：双面１一∥，（ＯｄＰｙ一警）仅是（石２一，）的函数时，设南（蒡一警）＝妒（ｘ２＋ｙ２），则方程（１）
准则９：夏手弓（等一鲁）（口≠ｏ）仅是（省２＋町）的函数时，设夏方；（筹一等）＝妒（戈２＋吖），则方程（１）有积分因子肛＝ｅｘｐ［１Ｉｉｖ（ｘ２＋ａｙ）ｄ（ｘ２＋町）］。
证明：设肛＝ｐ（ｘ２＋町），令ｚ＝ｘ２＋ａｙ，则弘满足（３）式，即：
絮氅Ｑ一等等Ｐ＝面ＯＰ一警ｊ警［２加一叩］＝筹一警ｊ警＝西丽１一叩，（ＯｄＰｙ一警）。
因此，仅当上式右端为（Ｘ２＋ａｙ）的函数时，设为妒（石２＋ａｙ），则方程（１）有积分因子’肛＝ｅｘｐ［妒（戈２＋ａｙ）ｄ（ｘ２＋ｏｙ）］。
准则１０：若面｛劢（筹一警）（口≠ｏ）仅是（ｙ２＋似）的函数时，设面｛驴（筹一蓑）＝妒（广＋似），则方程（１）有积分因子肛＝ｅｘｐ［／妒（ｙ２＋ａｘ）ｄ（ｙ２＋耐）］。
（证明略）
３应用举例
解：Ｐ＝），＋叫＋ｓｉｎｙ，Ｑ＝ｘ＋ｃｏｓｙ，由于万１Ｌ，面０Ｐ一警）＝Ｌ鼍掣＝１仅是），的函数，由准则２方程有
积分因子肛＝ｅｘｐ（Ｊｄｙ）＝ｅ７。
例２：求方程（２石３＋３ｘ２Ｙ＋），２一ｙ３）ｄｘ＋（２广＋３矿＋石２一石３）ｄｙ＝ｏ的积分因子。
解：Ｐ：２茗３＋３ｘ２ｙ＋广一广，Ｑ＝２），３＋３石ｙ２ｄ－．，２－－３由于歹与（筹一誓）＝ｉ专仅是（石＋），）的函数，由准则３，方程有积分因子／．ｔ－－－－ｅｘｐ［』（ｉ专）ｄ（ｚ＋ｙ）］＝（石＋ｙ）～。
例３：求黎卡提（Ｒ洳神方程口］），’＝一广一去的积分因子。
影的函数，由准则６，方程有积分因子ｐ＝ｅｘｐ［ｆ‘夏弓‰）ｄ（形）］＝（２夥－１）～．ｅｘｐ（器）ｏ解：方程变形龇２＋去）以＋以＝０，Ｐ＝广＋壶，Ｑ＝１，由于丽与（筹一署）＝砑啬知仅是’４茁Ｖ一４芏Ｖ＋ｌ－一，‘解．Ｐ＝考＿３ｘ２，Ｑ＿１号，由于矿尹知（茜一警）＝例４：求方程（考一３茗２）出＋（１一Ｘｙ）ｄｙ２０的积分因子。
１
万了～（ｍｙ—ｍｘ３～ｎｙ＋３ｎｘ３）（÷＋等）＝万而二３ｘ）３ｘ＋，ｙ而
ｄ（ｘ２令譬二三３ｊ｛竺，从而￡式右端ｘ去ｙ是关“ｙ２的函数，因此由准则５，方程有积分因子ｐ：ｅｘｐ［』击ｄ（茗３ｙ２）］＝戈３，，２。解：Ｐ＝ｙ，Ｑ＝一（ｘ２＋ｙ２＋ｘ），由于赤（等一警）＝瓦毒药仅是（戈２＋广）的函数，因此由准则例５：求方程ｙｄｘ一（戈２＋ｙ２＋ｘ）ｄｙ＝ｏ的积分因子。ｚＹ７，方程有移＇，分Ｂ：Ｉ－Ｔ－／２，＝ｅｘｐ［’瓦‘－万１ｊ２）］＝百‘１一ｙ～２）。
例６：求克莱罗（Ｃｌａｉｒ８ｍ）方程‘４３Ｙ＝ｚ，．’＋ｙ应的积分因子。
赤仅是ｘ２＋４ｙ
参考文献：
［１］
［２］
ｆ５］解：方程变形为（ｘ＋￣／ｘｘ２－＋４一ｙ）ｄｘ＋２ｄｙ＝０，Ｐ…∥巧肛２，由于南（等一警）尘ｆ１．（Ｊ数，由准则９，方程有积分因子／，ｔ＝ｅｘｐ［ｆ端］＝
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎ。曙—而１同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２：２８２—２８３・丁同仁，李承秉．常微分方程教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．ｆ３］王高雄．常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８７．｛４１刘志权．常微分方程讲义［Ｍ］．西安：陕西师范大学出版社，１９８１．刘会民，王新．有关一阶微分方程积分因予的订“算［Ｊ］．辽宁师范大学学报：自然科学版，２００３，２６（３）：２３７—３４０・责任编辑：王晓阳ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｓ
ＷＥＮＱｉ－ｊｕｎｌ，ＺＨＡＮＧＬｉ－ｊｉｎ９２
（１．ＳｃｉｅｎｃｅＣｏｌｌｅｇｅ，ＣｈａｎｇｃｈｕｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００２２，Ｃｈｉｎａ；
２．ＴｈｅＴｈｉｒｄＳｅｎｊ（１ｒＭｉｄｄｌｅＳｃｈｏ｛）ｌｏｆＹａｎｊｉ，Ｙａｎｊｉ１３３０００，Ｃｈｉｎａ）
ｆａｃｔｏ璐ｉ８姐ｉｍｐ。ｒＬ锄ｔＡｂｓｔ船ｃｔ：ＴｒａｎｓｆｏｒＨｌｉｎｇｆｉｒｓｔ。ｒｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ。ｑｕａｔｉｏｎｔ。ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉ。ｎｂｙｔｈｅｗａｙｏｆｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ
ｎｅｃｅｓｓａｒｙｔｈｅｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｍｅａｎｓｔ。ｓｅｅｋｓ。ｌｕｔｉ。ｎｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉ。ｎｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓ
ｆａｃｔ。ｒｓａｎｄ
ｒｕｌｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｌｅｔｅｃ。ｎｄｉｔｉ。ｎｆｏｒｅｘｉｓｔｅｎｔｅ。ｆｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｍｌｅｓ。ｆｄｅｔｅｍＩｉｎｉｎｇｓ。ｍｅｓｐｅｃｉａｌｋｉｎｄｓｏｆｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔ。ｒｓ．Ｉｔａｌｓ。ｔａｋｅｓｓ。Ｈｉｅａｅｔｕａｌｅ］【ａｍｐｌｅｓｔ。ｅｘｐｌａｉｎｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉ。ｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｒｇｒａｔｉ“ｇｆａｃ￡ｏｒ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅｒｕｌｅｓ
关于积分因子的讨论
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：温启军， 张丽静， WEN Qi-jun， ZHANG Li-jing温启军,WEN Qi-jun(长春大学,理学院,吉林,长春,130022)， 张丽静,ZHANG Li-jing(延吉市第三高中,吉林,延吉,133000)长春大学学报（自然科学版）JOURNAL OF CHANGCHUN UNIVERSITY2006，16(5)0次
参考文献(5条)
1. 同济大学数学教研室 高等数学 2002
2. 丁同仁. 李承治 常微分方程教程 2002
3. 王高雄. 周之铭 常微分方程 1987
4. 刘志权 常微分方程讲义 1981
5. 刘会民. 王新 有关一阶微分方程积分因子的计算[期刊论文]-辽宁师范大学学报(自然科学版) 2003(03)
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4.期刊论文 徐安农. 段复建 全微分方程与积分因子法 -桂林电子工业学院学报2002,22(2)
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0 引言
一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(1)形式后,如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy那么方程(1)就叫做全微分方程.这里(u)/(x)=P(x,y), (u)/(y)=Q(x,y)方程(1)就是du(x,y)=0,其通解为:u(x,y)=C (C为常数)可见,解全微分方程的关键在于求原函数u(x,y).因此,本文将提供一种求原函数u(x,y)的简捷方法,并给出证明.
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第１６卷第５期
２００６年１０月长春大学学报ＪＯＵＲＮＡＩ。ＯＦＣＨＡＮＧＣＨＵＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＶ０１．１６Ｎｏ．５Ｏｃｔ．２（）０１６文章编号：１００９—３９０７（２００６）０５－００１７—０４
关于积分因子的讨论
温启军１，张丽静２
（１．氏春大学理学院，吉林长春１３００２２；２．延吉市第三高中，吉林延吉１３３０００）
摘要：采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程一个重要手段，讨论
了积分因子存在的充要条件及确定若干特殊类型积分因子的准则；通过实例来说明准则的应用方
法。
关键词：微分方程；全微分方程；积分因子；存在准则
中图分类号：０１７５．１文献标识码：Ａ
０引言
一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求解。然而寻找积分因子不是容易的事情，一般的教科书只介绍了依据经验或者通过观察来寻找积分因子。这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若于特殊类型的积分因子的准则，最后通过实际例子来说明准则的应用方法。
１积分因子存在的充要条件
１．１积分因子
对于一阶微分方程Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＝０。（１）定义１：若方程左端恰好是Ｕ（ｘ，ｙ）的全微分，即有ｄｕ＝Ｐ池＋Ｑｄｙ＝警出＋等曲，称方程（１）是全微分方程，其通解是Ｖ（ｘ，Ｙ）＝ｃ…。并且，当Ｐ，Ｑ在平面内某单连通区域Ｇ内具有一阶连续偏导数时，要使方程（１）成为全微分方程的充要条件是芒：磐在Ｇ内恒成立。在Ｏ．Ｐ，ｏ＿。＿Ｑ＿的情形下ｄＶｄｘＯｙｄ石
积分因子Ⅲ。例如：７擢ｙｄｘ一戈ｄｙ＝ｏ不是全微分方程，但是由于ｄ（÷）＝学，可知砉是一个积分因子。可以验证土，｛也都是该方程的积分因子。
ｘｙ戈。定义２：如果存在不为零的函数肛（戈，Ｙ）使胪ｄｘ＋ｔｚＱｄｙ＝０成为全微分方程，则称肛（戈，ｙ）为方程（１）的
１．２积分因子存在的充要条件
命题１：对于方程（１），＝．，，Ｏ、Ｐ，Ｏ、Ｑ时，／ｚ（茗，，Ｊ）是其积分因子的充要条件是
收稿日期：２００６—０５—１４
基金项目：全国教育科学“十五”规划教育都重点课题（ＤＨＢ０１０６７８）
作者简介：温启军（］９７３一），男，ｌ匹ｌＪｉｌ省绵竹县人，长春大学理学院讲师，硕士，主要从事摹础数学的教学及课程与教学沦方向研究。
１８长春大学学报第１６卷
肛（筹一警）＝Ｑ詈一Ｐ丝Ｏｙ。（２）
证明：ｐ（算，ｙ）是积分因子铮丛笋＝丛笋邰筹＋Ｐ考＝ｐ警＋Ｑ詈邰（筹一警）＝Ｑ警一Ｐ亟Ｏｙ。
命题２：对于枣程（１），当蒡≠警时，ｐ（茗，，，）是其积分因子的充要条件是
（訾Ｑ—Ｏ妙ｌｎｌｚｐ＝筹一警。（３）
证明：肛（菇∽是积分因子铮警笋＝亟笋部筹＋Ｐ巫Ｏｙ＝肛警＋Ｑｍｏｘ’ｉ比㈧ｏ”ｙ‘Ｐ一五１０ｄ１石兰．Ｑ＝ａ缸Ｑ一望Ｏｙ甘ａｌ＿坐ｎａＱ—ａＪ＿坐ｅ：ａＰ一煦。ＯｘＯｙＯｙＯｘ。
２确定积分因子的若干准则
准则ｌ：若面ｌ、ｏａＰｙ一警）仅是关于石的函数，设万１。面ＯＰ—ａａ－等ｘ）＝妒（髫）则方程（１）有积分因子ｐ＝ｅｘｐ［』妒（菇）出］。（不定积分常数取Ｃ＝ｏ，下面各准则中均取Ｃ＝０）。
证明：如果弘＝ｐ（戈），则充要条件（２）中考＝ｏｊ吉警＝百１。万ＯＰ一等）等警＝面１（、ＯａＰｙ一警）。
因此当上式右端仅为石的函数时，设为妒（石），方程（２）有积分因子肛＝ｅｘｐ［知（石）如］。
准则２：若与（ＯｄＰ＇，一警）仅是关于），的函数，设击（ＯｄＰｙ一警）＝妒（），），则方程（１）有积分因子弘＝ｅｘｐ［肺（），）ｄｙ］。（证明略）
准则３：，。Ｑ一１Ｐ、（Ｏ以Ｐ一警）仅是关于（石＋ｙ）的函数，设歹与（等一警）＝妒（石＋），），则方程（１）有积分因
子ｐ＝ｅｘｐ［』妒（茗＋Ｙ）ｄ（ｘ＋Ｙ）］。
证明：若肛仅是关于（戈＋，，）的函数，即ｐ＝ｐ（ｚ＋ｙ），设ｚ＝石＋，，；此时ｐ满足（３）式，有背％Ｑ一甓，Ｐ＝筹一盟Ｏｘ，也即警＝‘歹ｂ）（筹一警），因此，当上式右端仅是（ｘ＋，，）的函数时，设为妒（石＋ｙ），方程（１）有积分因子ｐ＝ｅｘｐ［，９（ｚ＋ｙ）ｄ（髫＋ｙ）］。类似地有：
准则４：若Ｆｂ‘面ＯＰ一警）仅是关于（石一），）的函数，设Ｆｂ（筹一警）＝妒（ｘ－ｙ），则方程（１）有积分因子ｐ＝ｅｘｐ［加（髫一ｙ）ｄ（ｘ—Ｙ）］。（证明略）准则５：若五嚣歹ｊ丢知（ＯｄＰｙ一警）仅是石ｍｙ８的函数时，
设瓦ｉ了ｊ可≥虿ｊ历两（箐一警）＝妒（戈“），“），则方程（１）有积分因子／ｘ＝ｅｘｐ［ｆ妒（戈“），“）ｄ（戈４），８）］。证明：设ｐ＝／ｘ（ｘ”Ｙ“），令ｚ＝戈”Ｙ“，则弘满足式（３），即訾妾Ｑ一静＝筹一署ｊ警［臌ｍ－－ｌｙｔｔＱ—ｗ“，，一１Ｐ］＝等一署ｊ业ｄｚ＝７
石ｍ－ＩＹ”１（ｍｙＱ一妒）、Ｏｙ１ｒ塑一煦、Ｏｘ７
因此，仅当上式右端是０ｙ“的函数时，设为妒（菇“），“），方程（１）有积分因子肛＝ｅｘｐ［ｆｑ，（茹“），８）ｄ（ｚ“ｙ“）］。
类似地有：
准则６．（ｙＱ－１ｘＰ）（等～警）仅是秒的函数时，设志（等一警）＝≯（衫）测方程（１）有积分因子
第５期温启军，等：关于积分因子的讨论１９弘＝ｅｘｐ［』ｑｏ（ｘｙ）ｄ（ｘｙ）］。（证明略）
易知，准则６是准则５中ｍ＝１，ｎ＝１的特殊情形。
准则７：２（ｘＱｌ（ｏＰ一警）仅是（戈２＋严）的函数时，畅苑毫两（箐一署）＝妒（戈２＋严），则方程（１）有积分因子肛＝ｅｘｐ［～（ｘ２＋ｙ２）ｄ（ｘ２＋ｙ２）．】。
证明：设ｐ＝ｐ（髫２＋ｙ２），令ｚ＝ｚ２＋ｙ２，则１．ｔ满足（３）式，即：
有絮絮Ｑ一絮争＝万ＯＰ一等等警［２加一２垆］＝石ＯＰ一署ｊ业ｄｚ＝（ＺｘＱ－２ｙＰ）Ｏｙ一盟缸。
因此，仅当上式右端为（ｘ２＋ｙ２）的函数时，设为妒（菇２＋ｙ２），则方程（１）有积分凼于／．ｔ＝ｅｘｐ［ｆｇ，（ｘ２＋ｙ２）ｄ（ｘ２＋广）］。
有积分因子肛＝ｅｘｐ［妒（石２一ｙ２）ｄ（ｘ２一ｙ２）］。（证明略）准则８：双面１一∥，（ＯｄＰｙ一警）仅是（石２一，）的函数时，设南（蒡一警）＝妒（ｘ２＋ｙ２），则方程（１）
准则９：夏手弓（等一鲁）（口≠ｏ）仅是（省２＋町）的函数时，设夏方；（筹一等）＝妒（戈２＋吖），则方程（１）有积分因子肛＝ｅｘｐ［１Ｉｉｖ（ｘ２＋ａｙ）ｄ（ｘ２＋町）］。
证明：设肛＝ｐ（ｘ２＋町），令ｚ＝ｘ２＋ａｙ，则弘满足（３）式，即：
絮氅Ｑ一等等Ｐ＝面ＯＰ一警ｊ警［２加一叩］＝筹一警ｊ警＝西丽１一叩，（ＯｄＰｙ一警）。
因此，仅当上式右端为（Ｘ２＋ａｙ）的函数时，设为妒（石２＋ａｙ），则方程（１）有积分因子’肛＝ｅｘｐ［妒（戈２＋ａｙ）ｄ（ｘ２＋ｏｙ）］。
准则１０：若面｛劢（筹一警）（口≠ｏ）仅是（ｙ２＋似）的函数时，设面｛驴（筹一蓑）＝妒（广＋似），则方程（１）有积分因子肛＝ｅｘｐ［／妒（ｙ２＋ａｘ）ｄ（ｙ２＋耐）］。
（证明略）
３应用举例
解：Ｐ＝），＋叫＋ｓｉｎｙ，Ｑ＝ｘ＋ｃｏｓｙ，由于万１Ｌ，面０Ｐ一警）＝Ｌ鼍掣＝１仅是），的函数，由准则２方程有
积分因子肛＝ｅｘｐ（Ｊｄｙ）＝ｅ７。
例２：求方程（２石３＋３ｘ２Ｙ＋），２一ｙ３）ｄｘ＋（２广＋３矿＋石２一石３）ｄｙ＝ｏ的积分因子。
解：Ｐ：２茗３＋３ｘ２ｙ＋广一广，Ｑ＝２），３＋３石ｙ２ｄ－．，２－－３由于歹与（筹一誓）＝ｉ专仅是（石＋），）的函数，由准则３，方程有积分因子／．ｔ－－－－ｅｘｐ［』（ｉ专）ｄ（ｚ＋ｙ）］＝（石＋ｙ）～。
例３：求黎卡提（Ｒ洳神方程口］），’＝一广一去的积分因子。
影的函数，由准则６，方程有积分因子ｐ＝ｅｘｐ［ｆ‘夏弓‰）ｄ（形）］＝（２夥－１）～．ｅｘｐ（器）ｏ解：方程变形龇２＋去）以＋以＝０，Ｐ＝广＋壶，Ｑ＝１，由于丽与（筹一署）＝砑啬知仅是’４茁Ｖ一４芏Ｖ＋ｌ－一，‘解．Ｐ＝考＿３ｘ２，Ｑ＿１号，由于矿尹知（茜一警）＝例４：求方程（考一３茗２）出＋（１一Ｘｙ）ｄｙ２０的积分因子。
１
万了～（ｍｙ—ｍｘ３～ｎｙ＋３ｎｘ３）（÷＋等）＝万而二３ｘ）３ｘ＋，ｙ而
ｄ（ｘ２令譬二三３ｊ｛竺，从而￡式右端ｘ去ｙ是关“ｙ２的函数，因此由准则５，方程有积分因子ｐ：ｅｘｐ［』击ｄ（茗３ｙ２）］＝戈３，，２。解：Ｐ＝ｙ，Ｑ＝一（ｘ２＋ｙ２＋ｘ），由于赤（等一警）＝瓦毒药仅是（戈２＋广）的函数，因此由准则例５：求方程ｙｄｘ一（戈２＋ｙ２＋ｘ）ｄｙ＝ｏ的积分因子。ｚＹ７，方程有移＇，分Ｂ：Ｉ－Ｔ－／２，＝ｅｘｐ［’瓦‘－万１ｊ２）］＝百‘１一ｙ～２）。
例６：求克莱罗（Ｃｌａｉｒ８ｍ）方程‘４３Ｙ＝ｚ，．’＋ｙ应的积分因子。
赤仅是ｘ２＋４ｙ
参考文献：
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［２］
ｆ５］解：方程变形为（ｘ＋￣／ｘｘ２－＋４一ｙ）ｄｘ＋２ｄｙ＝０，Ｐ…∥巧肛２，由于南（等一警）尘ｆ１．（Ｊ数，由准则９，方程有积分因子／，ｔ＝ｅｘｐ［ｆ端］＝
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关于积分因子的讨论
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英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：温启军， 张丽静， WEN Qi-jun， ZHANG Li-jing温启军,WEN Qi-jun(长春大学,理学院,吉林,长春,130022)， 张丽静,ZHANG Li-jing(延吉市第三高中,吉林,延吉,133000)长春大学学报（自然科学版）JOURNAL OF CHANGCHUN UNIVERSITY2006，16(5)0次
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0 引言
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