嵌入式与SOC
文章编号:1008-0570(2011)01-0062-02
《微计算机信息》2011年第27卷第1期
双轮自平衡机器人的滑模变结构控制研究
The study on the sliding mode variable structure control for a two-wheeled self-balancing robot
(哈尔滨工业大学威海)
马传翔杨名利
MA Chuan-xiang YANG Ming-li
摘要:本文以双轮自平衡机器人为研究对象, 根据经典牛顿力学建立了数学模型, 针对传统极点配制方法无法克服机器人运
动过程中干扰大、参数变化的问题设计了一种滑模变结构控制算法, 并做出了相应的控制和仿真, 有效的解决了机器人的平衡控制问题。仿真实验分析表明, 滑模变结构控制算法使系统的跟踪速度更快、稳定性更高, 较有较高的实际应用价值。关键词:两轮自平衡机器人; 数学建模; 滑模变结构控制
文献标识码:A 中图分类号:TP242.6
技
术创新
Abstract:Based up on Newton dynamics mechanics theory, a mathematical model of linear system for a two-wheeled self-balancing robot was established. Aiming to the exterior disturbance and parameter uncertainty during the moving process, because the traditional pole assignment can ’t solve the balance problem, this article proposes a sliding mode variable structure control algorithm. Theoretical analysis and simulation show that this control algorithm causes the system that the track speed to be quicker, the stability is higher, and it has the high practical application value.
Key words:Two-wheeled self-balancing robot; Mathematical model; sliding mode variable structure control
引言
当今机器人的应用已经越来越广泛几乎渗透各个领域, 而双轮自平衡机器人具有运动灵活的特点, 能够在狭窄和有大转角的工作场合执行任务, 因此在工作环境复杂例如空间探索、地形侦察、危险品运输等领域具有广泛的应用前程。系统本身具有非线性、强耦合、多变量和自然不稳定特点, 其控制难度大, 控制算法复杂, 传统的控制理论很难解决这一问题, 是研究各种控制算法的一个理想平台。近几年来国内外许多学者开始关注双轮自平衡机器人的研究, 且相关的研究成果应用于日常生活中, 例如SEGWAY 机器人。
(1)
式(1)中T 为减速器的转矩输出, η为减速器的传动效率,k e
为电机反电势系数,k m 为电机电磁转矩系数,R 为电枢电阻, ωm 为转子转速,U a 为电枢电压,J m 为转子轴的转动惯量。
1双轮自平衡机器人建模
1.1双轮自平衡机器人的结构
双轮自平衡机器人的结构由车身和车轮组成, 整个机器人可以看作是车身和车轮两个钢体铰链而成。在车身上固定有左右两个电机, 左右两个电机分别驱动左右两个车轮。自平衡机器人通过两个电机驱动左右车轮来实现原地静止、加速状态和匀速运行三种运动状态, 并且可以通过左右车轮差速实现转弯运动。双轮自平衡机器人整体结构比较简单, 在实现平衡的状态下可以在各种路径上灵活运行。
图1车轮与车身受力分析
车轮的运动可以分解为沿斜坡方向前进和绕轮轴的转动。首先对单个车轮受力分析, 如图1所示, 地面给沿斜坡方向上车轮受到地面的摩擦力H f 和支撑力N, 车身对车轮的作用力H 、V 以及车轮重力。由牛顿力学定律得到如下运动方程为:
(2)
式(2)中ω为车轮转速,J n 为电机转子及车轮等效在电机轴上的转动惯量,m 为车轮的质量,r 为车轮的半径,H f 为地面对车轮的摩擦力,H 为车身对车轮的水平作用力,V 为车身对车轮的垂直作用力。由式(1)可知：
1.2系统模型的建立
关于双轮自平衡机器人的模型建立已经有很多学者进行了研究, 本节在以往的研究成果的基础上, 依据牛顿力学定律建立了双轮自平衡机器人的动力学模型。为了便于建模与分析, 建模时忽略了风的阻力影响。
本文中两驱动电机采用直流伺服电机, 该电机配有32:1的减速器, 根据参考文献可得到电机输出转矩也电枢电压的关系:马传翔:硕士研究生
--/年：(3)
式(3)中入式(2)得:
, 为电机轴的转动速度, 将其代入式(3)再代
(4)
现场总线技术应用200例》
考虑车轮与地面间不打滑, 车轮移动速度和转动速度成比例关系, 有一项, 令
嵌入式与SOC
滑模变结构控制器的设计可以分成两个相对独立的步骤:
,
, 带入式(2)中, 将式(2)两方程消去得:
(5)
(1)设计切换函数s(x),使它所确定的滑动模态渐近稳定且具有良好的动态品质;
(2)设计滑动模态控制律u ±(x),使到达条件满足, 从而在切
换面上形成滑动模态区。
考虑下列线性时不变系统:且
如图1所示, 车身的运动分为以速度v 沿斜面向上的直线运动和绕质心点b 的转动。对车身受力分析, 其受自身重力和车轮对它的作用力。由牛顿力学定律可得到以下方程:
,
为可控对偶阵。对上述系统, 假设输入矩阵可分解为:
。由于, . 其中, ,
, 故存在非奇异线性变换使系统化为下列形式:
(12)
其中,
(6)
式(6)中,J o 为车身绕质心点b 的转动惯量,M 为车身包括电机定子的质量,C 为车轮加在车身上的反向等效扭矩。对车身的直线运动分析可知:
由此, 可以得到下列规范系统的表达式
等式(7)两边对
其中, 的切换函数为:
, , 为可逆方阵, 设计相应
(13)
(7)
进行两次微分代入式(6)与式(5)中化简得:
(8)
假设对于切换函数有如下形式:
(14)
(15)
(9)
式(8)与式(9)构成自平衡机器人直线运动的动力学方程。假设车身绕垂直轴的转动惯量J a 为定值, 并假定转向是在水平面上完成。车身的转向是由于受到左右车轮的水平作用力不等引起的, 令
。其中ω为车身转过的角速度, l 为
两边取导数对新得到的方程
采用Ackermann 公式得到C 值:
两轮中心距离。由于左右轮转速不等, 机器人车身开始转向。将
由上式可得滑模变结构控制律为:
(16)
根据上一节得到的线性状态方程, 取误差状态为
, 可得:
技术创新
(17)
(5)中θ取零度, 并对进行化简得到下式:
(10)
式(10)构成了双轮自平衡机器人的转向动力学方程。联立式(8)、(9)和(10),取
为系统状态,
为系
统输入, 取机器人前进的速度v 和转向的速度ω为系统输出。考虑利用线性系统理论设计系统控制器, 所以需要对模型线性化。本文研究的单轮机器人是在水平面上运动的, 所以将θ设为零, 使模型简单化。考虑φ在5度范围内取
。代入相应的参数可得到如下状态方程:
滑动模态控制律的设计采用基于趋近律的方法:
将其代入式(16)可得:
(18)
3机器人控制系统仿真
利用上面设计的滑模变结构控制器进行仿真分析。仿真同样基于第1节中建立的线性模型, 分别假设机器人在水平面上和斜面上两种情况下, 仿真分析控制器的控制效果。
图(2)与图(3)为在斜坡面上(θ=10°) 的平衡控制仿真图, 初始
, ,
(11)
状态为。通过仿真结果可知, 机器人可以迅速的实
现平衡, 但是控制输出量与线速度都存在明显的抖振现象, 其中线速度输出和控制输入量的抖振现象比较明显。
利用Matlab 对线性化系统状态方程进行能观能控分析, 得到系统是完全能观能控的。
2机器人控制系统设计
机器人动力学模型一般是非线性模型, 同时存在多种不可预见的外部干扰。由于滑模变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不敏感、无需系统在线辨识等优点, 所以在机器人控制领域可以得到很好的应用。本文将主要应用滑模变结构控制理论, 对自平衡机器人的平衡线速度控制系统进行研究。
图2车身倾角与线速度
图3控制器输出
(下转第98页)
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PLC 技术应用200例》
嵌入式与SOC
标签号信息, 即是对在监控范围内的标签先扫描作为监控目标。控件以不同的颜色显示不同的信息, 本系统设定若控件显示黄色则表示进入监测范围的监控目标, 若为绿色则表示罪犯一直在监控范围内, 若为红色则表示罪犯有可能已逃离监控范围, 但是考虑到数据冲突等问题只要不是多次长时间显示红色则可视为正常。
《微计算机信息》2011年第27卷第1期
(EngineeringInstitute of Engineer Corps PLA Univ of Sci &
Tech NanJing, 210007, China) HUANG Ying YIN Hong QI Xiu-li XU Ji-heng
通讯地址:(210007江苏省南京市海福巷1号工院军事仿真工程教研室) 黄瑛
(收稿日期:2010.06.23)(修稿日期:2010.09.23)
(上接第63页)
4结语
本文研究双轮自平衡机器人行走的运动控制问题, 利用牛顿力学建立了系统的数学模型, 并将其线性化得到系统的线性状态方程。针对机器人运动过程中干扰大、参数变化的特点提出了滑模变结构控制算法, 并做出了相应的控制和仿真, 结果表明这种控制算法可以使双轮自平衡机器人平衡行走, 但也存在状态抖动的问题, 还需在以后的工作中研究解决。
本文作者创新点:从力学的角度分析两轮自平衡小车的模
图5监控管理系统中监控界面
型, 包括小车在平面与斜面上的直行和转向模式。采用滑模变结构的控制算法控制小车的姿态与速度, 使小车的抗干扰能力加强。
技术创新
5结语
该系统结合RFID 技术和信息管理系统的双重优点, 监控区域采用RFID 的读写器和电子标签获取基本信息, 采用MC35i 模块加强数据传输距离与监控中心通信; 监控中心开发以大型关系数据库SQL Server 为依托, 运用具有良好可视化界面的Delphi 作为数据库开发工具实现远程实时监控及信息管理。本设计还有很大的开发潜力, 对于RFID 部分研究可以向移动方便, 使用灵活, 可以满足很多场合的需要和多功能需要的手持式读写器发展; 在电子标签的防冲突算法上也可改进从而实现更多更大范围的信息交互; 而监控管理系统则可以以这个管理应用为基础开发更全面更完美应用范围更广的信息管理系统。这些也是以后进一步研究和提高的地方。
本文创新点:将RFID 技术和信息管理系统有机的结合, 实现了在一定范围内的实时监控并使标签的相关信息得到有效
该套系统也可用于像矿井人员的监控定位及信息管理的扩展。
以及旅游业方面对团员的有效管理等, 为特定领域的管理科学化、规范化提供有力的技术保障。参考文献
[1]郭帅. 远距离RFID 读卡器设计:[硕士学位论文].大连理工大学, 大连:2005
[2]刘文吉, 李建, 孙运强. 基于射频收发芯片nRF2401A 的近距离射频研究[J].自动化与仪表2006(1):75-78
[3]梅大成, 杨大千, 周勇, 李新献. 嵌入式无线视频监控系统设计[J].微计算机信息,2007,20:19-20,25
[4]袁建伟, 刘从新, 曾维鲁. 构建GPRS 工业监控系统的关键技术研究[J].工业控制计算机,2004,17(6)
[5]张崇, 于晓琳, 刘建平. 单片2.45GHZ 无线收发一体芯片nRF2401及其应用[J].国外电子元器件,2004,6:34-36
作者简介:黄瑛(1983-),女(汉族), 湖南邵阳人, 硕士研究生, 助教, 研究方向:系统仿真与设计, 三维可视化建模与设计。Biography:HUANG Ying(1983-),male(Chinese),The Shaoyang of Hunan province, master, Research orientation:system simula -tion and design, modeling and design of 3D Visualization.
(210007南京解放军理工大学工程兵工程学院) 黄瑛殷宏
綦秀利许继恒
--/年：参考文献
[1]SegwayHuman Transporter (2004).[EB/OL].http://www.segway.com.
[2]屠运武, 徐俊艳, 张培仁等. 自平衡控制系统的建模与仿真[J].系统仿真学报.2004,16(4):839~841.
[3]Pathak,K,Franch,J, Agrawal,S.K.. Velocity and position control of a wheeled inverted pendulum by partial feedback linearization [J].IEEE Transactions on Robotics. 2005, 21(3):505~513.
[4]李发海. 电机与拖动基础[M].北京清华大学出版社,2005:8~22.[5]郑大仲. 线性系统理论[M].北京:清华大学出版社,2002:16~27.[6]刘金琨. 滑模变结构控制MATLAB 仿真[M].清华大学出版社, 2005:3~15.
[7]ZhengYan, Jing Yuan-wei, Yang Guang-hong. Design of Ap －proximation Law for Discrete-time Variable Structure Control Sys －tems [C].IEEE Conference on Decision and Control, San Diego, 2006,45:4969~4973.
[8]裴丽艳等. 基于协调优化算法的滑模变结构控制研究[J].微计算机信息.2009,9-1:73-74.
[9]张跃宝. 两轮不稳定小车的建模与变结构控制研究[D].陕西:西安电子科技大学. 2007.
[10]张志勇. 精通MATLAB[M].北京:北京航空航天大学出版社, 2003:69~78.
作者简介:马传翔(1985-),男, 山东威海人, 哈尔滨工业大学硕士研究生, 主要研究领域为机器人运动控制。
Biography:MA Chuan -xiang (1985-), male, Shan Dong province, Harbin Institute of Technology, master, Research on Motion Control of Robots.
(264209山东威海哈尔滨工业大学(威海)) 马传翔杨名利
(HarbinInstitute of Technology at Weihai, Weihai 264209, China) MA Chuan-xiang YANG Ming-li
通讯地址:(264209山东威海哈尔滨工业大学(威海)) 马传翔
(收稿日期:2010.06.21)(修稿日期:2010.09.21)
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嵌入式与SOC
文章编号:1008-0570(2011)01-0062-02
《微计算机信息》2011年第27卷第1期
双轮自平衡机器人的滑模变结构控制研究
The study on the sliding mode variable structure control for a two-wheeled self-balancing robot
(哈尔滨工业大学威海)
马传翔杨名利
MA Chuan-xiang YANG Ming-li
摘要:本文以双轮自平衡机器人为研究对象, 根据经典牛顿力学建立了数学模型, 针对传统极点配制方法无法克服机器人运
动过程中干扰大、参数变化的问题设计了一种滑模变结构控制算法, 并做出了相应的控制和仿真, 有效的解决了机器人的平衡控制问题。仿真实验分析表明, 滑模变结构控制算法使系统的跟踪速度更快、稳定性更高, 较有较高的实际应用价值。关键词:两轮自平衡机器人; 数学建模; 滑模变结构控制
文献标识码:A 中图分类号:TP242.6
技
术创新
Abstract:Based up on Newton dynamics mechanics theory, a mathematical model of linear system for a two-wheeled self-balancing robot was established. Aiming to the exterior disturbance and parameter uncertainty during the moving process, because the traditional pole assignment can ’t solve the balance problem, this article proposes a sliding mode variable structure control algorithm. Theoretical analysis and simulation show that this control algorithm causes the system that the track speed to be quicker, the stability is higher, and it has the high practical application value.
Key words:Two-wheeled self-balancing robot; Mathematical model; sliding mode variable structure control
引言
当今机器人的应用已经越来越广泛几乎渗透各个领域, 而双轮自平衡机器人具有运动灵活的特点, 能够在狭窄和有大转角的工作场合执行任务, 因此在工作环境复杂例如空间探索、地形侦察、危险品运输等领域具有广泛的应用前程。系统本身具有非线性、强耦合、多变量和自然不稳定特点, 其控制难度大, 控制算法复杂, 传统的控制理论很难解决这一问题, 是研究各种控制算法的一个理想平台。近几年来国内外许多学者开始关注双轮自平衡机器人的研究, 且相关的研究成果应用于日常生活中, 例如SEGWAY 机器人。
(1)
式(1)中T 为减速器的转矩输出, η为减速器的传动效率,k e
为电机反电势系数,k m 为电机电磁转矩系数,R 为电枢电阻, ωm 为转子转速,U a 为电枢电压,J m 为转子轴的转动惯量。
1双轮自平衡机器人建模
1.1双轮自平衡机器人的结构
双轮自平衡机器人的结构由车身和车轮组成, 整个机器人可以看作是车身和车轮两个钢体铰链而成。在车身上固定有左右两个电机, 左右两个电机分别驱动左右两个车轮。自平衡机器人通过两个电机驱动左右车轮来实现原地静止、加速状态和匀速运行三种运动状态, 并且可以通过左右车轮差速实现转弯运动。双轮自平衡机器人整体结构比较简单, 在实现平衡的状态下可以在各种路径上灵活运行。
图1车轮与车身受力分析
车轮的运动可以分解为沿斜坡方向前进和绕轮轴的转动。首先对单个车轮受力分析, 如图1所示, 地面给沿斜坡方向上车轮受到地面的摩擦力H f 和支撑力N, 车身对车轮的作用力H 、V 以及车轮重力。由牛顿力学定律得到如下运动方程为:
(2)
式(2)中ω为车轮转速,J n 为电机转子及车轮等效在电机轴上的转动惯量,m 为车轮的质量,r 为车轮的半径,H f 为地面对车轮的摩擦力,H 为车身对车轮的水平作用力,V 为车身对车轮的垂直作用力。由式(1)可知：
1.2系统模型的建立
关于双轮自平衡机器人的模型建立已经有很多学者进行了研究, 本节在以往的研究成果的基础上, 依据牛顿力学定律建立了双轮自平衡机器人的动力学模型。为了便于建模与分析, 建模时忽略了风的阻力影响。
本文中两驱动电机采用直流伺服电机, 该电机配有32:1的减速器, 根据参考文献可得到电机输出转矩也电枢电压的关系:马传翔:硕士研究生
--/年：(3)
式(3)中入式(2)得:
, 为电机轴的转动速度, 将其代入式(3)再代
(4)
现场总线技术应用200例》
考虑车轮与地面间不打滑, 车轮移动速度和转动速度成比例关系, 有一项, 令
嵌入式与SOC
滑模变结构控制器的设计可以分成两个相对独立的步骤:
,
, 带入式(2)中, 将式(2)两方程消去得:
(5)
(1)设计切换函数s(x),使它所确定的滑动模态渐近稳定且具有良好的动态品质;
(2)设计滑动模态控制律u ±(x),使到达条件满足, 从而在切
换面上形成滑动模态区。
考虑下列线性时不变系统:且
如图1所示, 车身的运动分为以速度v 沿斜面向上的直线运动和绕质心点b 的转动。对车身受力分析, 其受自身重力和车轮对它的作用力。由牛顿力学定律可得到以下方程:
,
为可控对偶阵。对上述系统, 假设输入矩阵可分解为:
。由于, . 其中, ,
, 故存在非奇异线性变换使系统化为下列形式:
(12)
其中,
(6)
式(6)中,J o 为车身绕质心点b 的转动惯量,M 为车身包括电机定子的质量,C 为车轮加在车身上的反向等效扭矩。对车身的直线运动分析可知:
由此, 可以得到下列规范系统的表达式
等式(7)两边对
其中, 的切换函数为:
, , 为可逆方阵, 设计相应
(13)
(7)
进行两次微分代入式(6)与式(5)中化简得:
(8)
假设对于切换函数有如下形式:
(14)
(15)
(9)
式(8)与式(9)构成自平衡机器人直线运动的动力学方程。假设车身绕垂直轴的转动惯量J a 为定值, 并假定转向是在水平面上完成。车身的转向是由于受到左右车轮的水平作用力不等引起的, 令
。其中ω为车身转过的角速度, l 为
两边取导数对新得到的方程
采用Ackermann 公式得到C 值:
两轮中心距离。由于左右轮转速不等, 机器人车身开始转向。将
由上式可得滑模变结构控制律为:
(16)
根据上一节得到的线性状态方程, 取误差状态为
, 可得:
技术创新
(17)
(5)中θ取零度, 并对进行化简得到下式:
(10)
式(10)构成了双轮自平衡机器人的转向动力学方程。联立式(8)、(9)和(10),取
为系统状态,
为系
统输入, 取机器人前进的速度v 和转向的速度ω为系统输出。考虑利用线性系统理论设计系统控制器, 所以需要对模型线性化。本文研究的单轮机器人是在水平面上运动的, 所以将θ设为零, 使模型简单化。考虑φ在5度范围内取
。代入相应的参数可得到如下状态方程:
滑动模态控制律的设计采用基于趋近律的方法:
将其代入式(16)可得:
(18)
3机器人控制系统仿真
利用上面设计的滑模变结构控制器进行仿真分析。仿真同样基于第1节中建立的线性模型, 分别假设机器人在水平面上和斜面上两种情况下, 仿真分析控制器的控制效果。
图(2)与图(3)为在斜坡面上(θ=10°) 的平衡控制仿真图, 初始
, ,
(11)
状态为。通过仿真结果可知, 机器人可以迅速的实
现平衡, 但是控制输出量与线速度都存在明显的抖振现象, 其中线速度输出和控制输入量的抖振现象比较明显。
利用Matlab 对线性化系统状态方程进行能观能控分析, 得到系统是完全能观能控的。
2机器人控制系统设计
机器人动力学模型一般是非线性模型, 同时存在多种不可预见的外部干扰。由于滑模变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不敏感、无需系统在线辨识等优点, 所以在机器人控制领域可以得到很好的应用。本文将主要应用滑模变结构控制理论, 对自平衡机器人的平衡线速度控制系统进行研究。
图2车身倾角与线速度
图3控制器输出
(下转第98页)
邮局订阅号：82-946120/年-63-
PLC 技术应用200例》
嵌入式与SOC
标签号信息, 即是对在监控范围内的标签先扫描作为监控目标。控件以不同的颜色显示不同的信息, 本系统设定若控件显示黄色则表示进入监测范围的监控目标, 若为绿色则表示罪犯一直在监控范围内, 若为红色则表示罪犯有可能已逃离监控范围, 但是考虑到数据冲突等问题只要不是多次长时间显示红色则可视为正常。
《微计算机信息》2011年第27卷第1期
(EngineeringInstitute of Engineer Corps PLA Univ of Sci &
Tech NanJing, 210007, China) HUANG Ying YIN Hong QI Xiu-li XU Ji-heng
通讯地址:(210007江苏省南京市海福巷1号工院军事仿真工程教研室) 黄瑛
(收稿日期:2010.06.23)(修稿日期:2010.09.23)
(上接第63页)
4结语
本文研究双轮自平衡机器人行走的运动控制问题, 利用牛顿力学建立了系统的数学模型, 并将其线性化得到系统的线性状态方程。针对机器人运动过程中干扰大、参数变化的特点提出了滑模变结构控制算法, 并做出了相应的控制和仿真, 结果表明这种控制算法可以使双轮自平衡机器人平衡行走, 但也存在状态抖动的问题, 还需在以后的工作中研究解决。
本文作者创新点:从力学的角度分析两轮自平衡小车的模
图5监控管理系统中监控界面
型, 包括小车在平面与斜面上的直行和转向模式。采用滑模变结构的控制算法控制小车的姿态与速度, 使小车的抗干扰能力加强。
技术创新
5结语
该系统结合RFID 技术和信息管理系统的双重优点, 监控区域采用RFID 的读写器和电子标签获取基本信息, 采用MC35i 模块加强数据传输距离与监控中心通信; 监控中心开发以大型关系数据库SQL Server 为依托, 运用具有良好可视化界面的Delphi 作为数据库开发工具实现远程实时监控及信息管理。本设计还有很大的开发潜力, 对于RFID 部分研究可以向移动方便, 使用灵活, 可以满足很多场合的需要和多功能需要的手持式读写器发展; 在电子标签的防冲突算法上也可改进从而实现更多更大范围的信息交互; 而监控管理系统则可以以这个管理应用为基础开发更全面更完美应用范围更广的信息管理系统。这些也是以后进一步研究和提高的地方。
本文创新点:将RFID 技术和信息管理系统有机的结合, 实现了在一定范围内的实时监控并使标签的相关信息得到有效
该套系统也可用于像矿井人员的监控定位及信息管理的扩展。
以及旅游业方面对团员的有效管理等, 为特定领域的管理科学化、规范化提供有力的技术保障。参考文献
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[4]袁建伟, 刘从新, 曾维鲁. 构建GPRS 工业监控系统的关键技术研究[J].工业控制计算机,2004,17(6)
[5]张崇, 于晓琳, 刘建平. 单片2.45GHZ 无线收发一体芯片nRF2401及其应用[J].国外电子元器件,2004,6:34-36
作者简介:黄瑛(1983-),女(汉族), 湖南邵阳人, 硕士研究生, 助教, 研究方向:系统仿真与设计, 三维可视化建模与设计。Biography:HUANG Ying(1983-),male(Chinese),The Shaoyang of Hunan province, master, Research orientation:system simula -tion and design, modeling and design of 3D Visualization.
(210007南京解放军理工大学工程兵工程学院) 黄瑛殷宏
綦秀利许继恒
--/年：参考文献
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[7]ZhengYan, Jing Yuan-wei, Yang Guang-hong. Design of Ap －proximation Law for Discrete-time Variable Structure Control Sys －tems [C].IEEE Conference on Decision and Control, San Diego, 2006,45:4969~4973.
[8]裴丽艳等. 基于协调优化算法的滑模变结构控制研究[J].微计算机信息.2009,9-1:73-74.
[9]张跃宝. 两轮不稳定小车的建模与变结构控制研究[D].陕西:西安电子科技大学. 2007.
[10]张志勇. 精通MATLAB[M].北京:北京航空航天大学出版社, 2003:69~78.
作者简介:马传翔(1985-),男, 山东威海人, 哈尔滨工业大学硕士研究生, 主要研究领域为机器人运动控制。
Biography:MA Chuan -xiang (1985-), male, Shan Dong province, Harbin Institute of Technology, master, Research on Motion Control of Robots.
(264209山东威海哈尔滨工业大学(威海)) 马传翔杨名利
(HarbinInstitute of Technology at Weihai, Weihai 264209, China) MA Chuan-xiang YANG Ming-li
通讯地址:(264209山东威海哈尔滨工业大学(威海)) 马传翔
(收稿日期:2010.06.21)(修稿日期:2010.09.21)
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