1.1.1任意角教案

1.1.1任意角

一、教学目标

1、知识与技能

（1）使学生理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；

（2）能在0到360范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；

（3）能写出与任一已知角终边相同的角的集合；

2、过程与方法

通过创设情境，类比初中所学的角的概念，从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；

3、情感、态度、价值观

（1）通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分角的概念推广以后，知道角之间的关系；

（2）理解掌握终边相同角的表示方法，树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，学会运用运动变化的观点认识事物，并由此深刻理解推广后的角的概念。

二、教学重点和难点

重点：任意角的概念。

难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

三、教学任务分析

在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆

和类比初中所学角的概念，把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时，首先要弄清楚角的表示，以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

四、教学过程

1、问题情境：

1）思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

2）复习：初中是如何定义角的？

从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。

00[0,360]内。 3）情境：生活中很多实例不在范围

体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º

经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？

4）问题：这些例子不仅不在范围0,360，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？

2、建构理论：

1）角的概念的推广

①“旋转”形成角

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”

②“正角”与“负角”、“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成。

③意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1 角有正负之分，如：=210、=150、=660；

2 角可以任意大；

3 还有零角： 一条射线，没有旋转。

要注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．

2）“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）。

例如：30、390、330是第象一限角，300、60是第四象限角，585、1180是第三象限角，2000是第二象限角等。

3）终边相同的角

①观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 ②探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和：

390=30+360 (k1)

330=30360 (k1)

30=30+0×360 (k0)

1470=30+4×360 (k4)

1770=305×360 (k5)

③结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：

S|k360,kZ 

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

④注意以下四点：

a、kZ；

b、是任意角；

k3600与之间是“+”号，c、如k360030，应看成k3600(30)； d、终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

3、数学运用：

例1、在0º到360º度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角

(1)120(2)640(3)95012'

解：⑴∵-120º=-360º+240º，∴240º的角与-140º的角终边相同，它

是第三象限角．

⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．

⑶∵-950º12’=-3360º+129º48’，∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同，它是第三象限角．

例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360~720间的角写出来：（1）60 （2）21 （3）36314。

解：(1) S|60k360，kZ

S中在-360°～720间的角是-1×360°+60°=-280°；

0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°．

(2) S|21k360，kZ

S中在-360°～720间的角是0×360°-21°=-21°；

1×360°-21°=339°；2×360°-21°=699°．

(3) S|36314k360，kZ

S中在-360°～720°间的角是-2×360°+363º14’=-356º46’； -1×360°+363º14’=3º14’；0×360°+363º14’=363º14’．

4、课堂小结

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗？

（2）象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?

（3）你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在轴、轴、直线上的角的集合。

五、课后作业

第106页第1题的（1）、（2）、（3）和第2题。

1.1.1任意角

一、教学目标

1、知识与技能

（1）使学生理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；

（2）能在0到360范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；

（3）能写出与任一已知角终边相同的角的集合；

2、过程与方法

通过创设情境，类比初中所学的角的概念，从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；

3、情感、态度、价值观

（1）通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分角的概念推广以后，知道角之间的关系；

（2）理解掌握终边相同角的表示方法，树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，学会运用运动变化的观点认识事物，并由此深刻理解推广后的角的概念。

二、教学重点和难点

重点：任意角的概念。

难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

三、教学任务分析

在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆

和类比初中所学角的概念，把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时，首先要弄清楚角的表示，以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

四、教学过程

1、问题情境：

1）思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

2）复习：初中是如何定义角的？

从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。

00[0,360]内。 3）情境：生活中很多实例不在范围

体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º

经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？

4）问题：这些例子不仅不在范围0,360，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？

2、建构理论：

1）角的概念的推广

①“旋转”形成角

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”

②“正角”与“负角”、“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成。

③意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1 角有正负之分，如：=210、=150、=660；

2 角可以任意大；

3 还有零角： 一条射线，没有旋转。

要注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．

2）“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）。

例如：30、390、330是第象一限角，300、60是第四象限角，585、1180是第三象限角，2000是第二象限角等。

3）终边相同的角

①观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 ②探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和：

390=30+360 (k1)

330=30360 (k1)

30=30+0×360 (k0)

1470=30+4×360 (k4)

1770=305×360 (k5)

③结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：

S|k360,kZ 

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

④注意以下四点：

a、kZ；

b、是任意角；

k3600与之间是“+”号，c、如k360030，应看成k3600(30)； d、终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

3、数学运用：

例1、在0º到360º度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角

(1)120(2)640(3)95012'

解：⑴∵-120º=-360º+240º，∴240º的角与-140º的角终边相同，它

是第三象限角．

⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．

⑶∵-950º12’=-3360º+129º48’，∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同，它是第三象限角．

例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360~720间的角写出来：（1）60 （2）21 （3）36314。

解：(1) S|60k360，kZ

S中在-360°～720间的角是-1×360°+60°=-280°；

0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°．

(2) S|21k360，kZ

S中在-360°～720间的角是0×360°-21°=-21°；

1×360°-21°=339°；2×360°-21°=699°．

(3) S|36314k360，kZ

S中在-360°～720°间的角是-2×360°+363º14’=-356º46’； -1×360°+363º14’=3º14’；0×360°+363º14’=363º14’．

4、课堂小结

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗？

（2）象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?

（3）你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在轴、轴、直线上的角的集合。

五、课后作业

第106页第1题的（1）、（2）、（3）和第2题。