第3讲 正弦、余弦、正切函数的图象与性质
★学习指导★
1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．
2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题．
3．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用． ★基础梳理★ 1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π⎫3π
1，(π，0) ，⎛1⎫，(2π，0) ． (0,0)，⎛⎝2⎭⎝2⎭(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π⎫3π
0，(π，－1) ，⎛0⎫，(2π，1) ． (0,1)，⎛⎝2⎭⎝2⎭2．三角函数的图象和性质
1
两条性质
(1)周期性
2ππ
函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为y ＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
|ω||ω|(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y ＝Asin ωx或y ＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y ＝Acos ωx＋b 的形式． 三种方法
求三角函数值域(最值) 的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题．
双基自测
π
x ＋⎫，x ∈R( ) ． 1．(人教A 版教材习题改编) 函数y ＝cos ⎛⎝3⎭A ．是奇函数 B ．是偶函数
C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 π⎫
2．函数y ＝tan ⎛⎝4x ⎭的定义域为( ) ．
π
x≠kπ＋ ，k ∈Z C. x ⎪4⎪
⎩
⎭
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
⎧⎫π
x≠kπ－，k ∈Z ⎬ A. ⎨x ⎪4⎪⎧⎫π
x≠2kπ－k ∈Z ⎬ B. ⎨x ⎪4⎪⎩
⎭
⎧⎫π
x≠2kπ＋，k ∈Z ⎬ D. ⎨x ⎪4⎪⎩
⎭
2
3. 函数f (x ) =sin(ωx+
π
4
) (ω>0) 的周期是
2π
，则ω=_________3
4、在[0,2π]上, 满足
sin x ≥
1
2的x 取值范围是( ).
⎡π⎤⎡π5π⎤⎡π2π⎤⎡5π⎤0, , , , π⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢666636⎦ B. ⎣⎦ C. ⎣⎦ D. ⎣⎦. A. ⎣
y =sin
5、函数
x
a (a≠0) 的定义域为（ ）
⎡11⎤-, ⎥⎢-1,1][ A ．R B. C. ⎣33⎦ D.[-3,3]
例题解析
【例1】(1)求函数y ＝lg sin 2x9－x2的定义域．
y =tan(
(2)函数
π
4
-x )
的定义域是（ ）
A 、{x |x ∈R 且
x ≠-
π
4} B 、{x |x ∈R 且
x ≠
3π
4}
3π
, k ∈z 4}
C 、{x |x ∈R 且
x ≠k π-
π
4
, k ∈z
} D 、{x |x ∈R 且
x ≠k π+
【训练1】 (1)求函数y ＝sin x－cos x的定义域．
π
x －－1是( ) ． 【例2】(2011·大同模拟) 函数y ＝2cos2⎛⎝4A ．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 ππ
C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为
22(2)函数y =tan 3πx 的最小正周期是（ ）
1263
A 、3 B 、3 C 、π D 、π
3
【训练2】(1)求下列三角函数的周期： ①y =3cos x ②y =sin 2x （3）y =2sin(x -
12
π
6
) ，
x ∈R ．
(2)设a ≠0，则函数y =sin(ax +3) 的最小正周期为 （ ）
A 、
π2ππ2π
B 、 C 、 D 、
a a |a ||a |
kx π
+) -1的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（ ） 43
(3)函数f (x ) =2cos(
A 、13 B 、12 C 、11 D 、10 (4)已知函数y =-3sin(
k π
x -) +1, (k ≠0) 36
（1）求最小正整数k ，使函数周期不大于2；
（2）当k 取上述最小正整数时，求函数取得最大值时相应x 的值.
【例3】下列函数有最值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别为什么？
(1)y =cos x +1, x ∈R
(2)y =-3sin 2x , x ∈R
【训练3】
4
【例4】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
⎛π⎫
⎪与sin -⎪; ⎝18⎭⎝10⎭
23π⎫⎛17π
(2)cos ⎛ -⎪与cos -
5⎭4⎝⎝
(1)sin ⎛ -
π⎫
⎫
⎪. ⎭
【训练4】
2函数y=sinx，求y ≥1/2时自变量x 的集合是_________________.
3把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________ 4 ， 5 ， 32， 5
-cos πcos πsin πsin π
41255
【例5】
【训练5】
5
作业
6
第3讲 正弦、余弦、正切函数的图象与性质
★学习指导★
1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．
2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题．
3．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用． ★基础梳理★ 1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π⎫3π
1，(π，0) ，⎛1⎫，(2π，0) ． (0,0)，⎛⎝2⎭⎝2⎭(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π⎫3π
0，(π，－1) ，⎛0⎫，(2π，1) ． (0,1)，⎛⎝2⎭⎝2⎭2．三角函数的图象和性质
1
两条性质
(1)周期性
2ππ
函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为y ＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
|ω||ω|(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y ＝Asin ωx或y ＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y ＝Acos ωx＋b 的形式． 三种方法
求三角函数值域(最值) 的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题．
双基自测
π
x ＋⎫，x ∈R( ) ． 1．(人教A 版教材习题改编) 函数y ＝cos ⎛⎝3⎭A ．是奇函数 B ．是偶函数
C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 π⎫
2．函数y ＝tan ⎛⎝4x ⎭的定义域为( ) ．
π
x≠kπ＋ ，k ∈Z C. x ⎪4⎪
⎩
⎭
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
⎧⎫π
x≠kπ－，k ∈Z ⎬ A. ⎨x ⎪4⎪⎧⎫π
x≠2kπ－k ∈Z ⎬ B. ⎨x ⎪4⎪⎩
⎭
⎧⎫π
x≠2kπ＋，k ∈Z ⎬ D. ⎨x ⎪4⎪⎩
⎭
2
3. 函数f (x ) =sin(ωx+
π
4
) (ω>0) 的周期是
2π
，则ω=_________3
4、在[0,2π]上, 满足
sin x ≥
1
2的x 取值范围是( ).
⎡π⎤⎡π5π⎤⎡π2π⎤⎡5π⎤0, , , , π⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢666636⎦ B. ⎣⎦ C. ⎣⎦ D. ⎣⎦. A. ⎣
y =sin
5、函数
x
a (a≠0) 的定义域为（ ）
⎡11⎤-, ⎥⎢-1,1][ A ．R B. C. ⎣33⎦ D.[-3,3]
例题解析
【例1】(1)求函数y ＝lg sin 2x9－x2的定义域．
y =tan(
(2)函数
π
4
-x )
的定义域是（ ）
A 、{x |x ∈R 且
x ≠-
π
4} B 、{x |x ∈R 且
x ≠
3π
4}
3π
, k ∈z 4}
C 、{x |x ∈R 且
x ≠k π-
π
4
, k ∈z
} D 、{x |x ∈R 且
x ≠k π+
【训练1】 (1)求函数y ＝sin x－cos x的定义域．
π
x －－1是( ) ． 【例2】(2011·大同模拟) 函数y ＝2cos2⎛⎝4A ．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 ππ
C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为
22(2)函数y =tan 3πx 的最小正周期是（ ）
1263
A 、3 B 、3 C 、π D 、π
3
【训练2】(1)求下列三角函数的周期： ①y =3cos x ②y =sin 2x （3）y =2sin(x -
12
π
6
) ，
x ∈R ．
(2)设a ≠0，则函数y =sin(ax +3) 的最小正周期为 （ ）
A 、
π2ππ2π
B 、 C 、 D 、
a a |a ||a |
kx π
+) -1的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（ ） 43
(3)函数f (x ) =2cos(
A 、13 B 、12 C 、11 D 、10 (4)已知函数y =-3sin(
k π
x -) +1, (k ≠0) 36
（1）求最小正整数k ，使函数周期不大于2；
（2）当k 取上述最小正整数时，求函数取得最大值时相应x 的值.
【例3】下列函数有最值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别为什么？
(1)y =cos x +1, x ∈R
(2)y =-3sin 2x , x ∈R
【训练3】
4
【例4】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
⎛π⎫
⎪与sin -⎪; ⎝18⎭⎝10⎭
23π⎫⎛17π
(2)cos ⎛ -⎪与cos -
5⎭4⎝⎝
(1)sin ⎛ -
π⎫
⎫
⎪. ⎭
【训练4】
2函数y=sinx，求y ≥1/2时自变量x 的集合是_________________.
3把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________ 4 ， 5 ， 32， 5
-cos πcos πsin πsin π
41255
【例5】
【训练5】
5
作业
6