高中数学（必修一）重点难点解析
第一章 集合
§1.1 集合的概念与运算
一、知识导学
1. 集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
2. 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
3. 子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若a ∉A 则a ∈B ），则称
集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.
4. 集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，则A=B.
5. 补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 C s A .
6. 全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U.
7. 交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ⋂B.
8. 并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ⋃B.
9. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.
10. 有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.
11. 无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
12. 集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.
13. 常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N+或N ，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R.
二、疑难知识导析
1. 符号⊆，，⊇，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“=”*两种情况，同样“⊇”包括“”和“=”两种情况. 符号∈，∉表示元素与集合之间的关系. 要注意两类不同符号的区别.
2. 在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
3. 在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
4. 对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=Φ易漏掉的情况.
5. 若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.
6. 若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.
7. 在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、V enn 图等将有关集合直观地表示出来.
8. 要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.
9. 含有n 个元素的集合的所有子集个数为：2，所有真子集个数为：2-1
三、经典例题导讲
[例1] 已知集合M={y|y =x2＋1,x ∈R},N={y|y =x＋1,x ∈R}，则M∩N=（ ）
A ．（0，1），（1，2） B ．{（0，1），（1，2）}
C ．{y|y=1,或y=2} D ．{y|y≥1} n n
⎧y =x 2+1⎧x =0⎨⎨y =x +1y =1 或 错解：求M∩N及解方程组⎩ 得⎩⎧x =1⎨⎩y =2 ∴选B
错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M 、N 是数集而不是点集,
M 、N 分别表示函数y=x2＋1(x∈R) ，y=x＋1(x∈R) 的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 正解：M={y|y=x2＋1,x ∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x ∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D ．
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．
[例2] 已知A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|ax－2=0}且A ∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 错解：由x2－3x ＋2=0得x=1或2．
当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A ∪B=A.
当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
正解：∵A ∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x ＋2=0}={1，2}
1或{2} ∴C={0，1，2} ∴B=或{}
[例3]已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={x |x =2a , a ∈Z }，B={x |x =2a +1, a ∈Z }，又C={x |x =4a +1, a ∈Z }，则有： （ ）
A ．m+n∈A B. m+n∈B C.m+n∈C D. m+n不属于A ，B ，C 中任意一个 错解：∵m ∈A ，∴m=2a,a∈Z , 同理n=2a+1,a∈Z, ∴m+n=4a+1,故选C
错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.
正解：∵m ∈A, ∴设m=2a1,a1∈Z, 又∵n ∈B , ∴n=2a2+1,a2∈ Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2∈ Z , ∴m+n∈B, 故选B.
[例4］ 已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B
的取值范围． A ，求实数p
错解：由x2－3x －10≤0得－2≤x≤5．
欲使B ⎧-2≤p +1⇒-3≤p ≤3⎨2p -1≤5A ，只须⎩
∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了" 空集是任何集合的子集" 这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.
由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.
由－3≤p≤3.
∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p ＋1>2p－1p ＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A ∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
[例5] 已知集合A={a,a＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c 的值．
分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a ＋b=ac且a ＋2b=ac2，消去b 得：a ＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a ＋b=ac2且a ＋2b=ac，消去b 得：2ac2－ac －a=0，
∵a≠0，∴2c2－c －1=0，
1
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－2．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
1
[例6] 设A 是实数集，满足若a ∈A ，则1-a ∈A ，a ≠1且1∉A.
⑴若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.
⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.
1
⑶若a ∈A ，证明：1－a ∈A.
⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.
1
解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 2∈A ⇒ 2∈A
1
∴ A中至少还有两个元素：－1和2
1⑵如果A 为单元素集合，则a ＝1-a
2即a -a +1＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集
1
11-a 111-1-a ∈⑶a ∈A ⇒ 1-a ∈A ⇒ A ⇒1-a -1∈A ，即1－a ∈A
1111
⑷由⑶知a ∈A 时，1-a ∈A ， 1－a ∈A . 现在证明a,1－a , 1-a 三数互不相等. ①若a=11
1-a , 即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠1-a
11
②若a=1－a ，即a2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a
1111
③若1－a =1-a ，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a ≠1-a .
综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
22b b n +1k -4k +5, k ∈a a n [例7] 设集合A={|=, ∈N+}，集合B={|=N+}，试证：A
B ．
证明：任设a ∈A ，
2则a =n +1=(n ＋2)2－4(n ＋2) ＋5 (n ∈N+),
∵ n ∈N*，∴ n ＋2∈N*
∴ a ∈B 故 ①
2*∈A =a |a =n +1, n ∈N 显然，1，而由
22(k -2) +1，b b k b b k ∈k -4k +5B={|=, ∈N+}={|=N+}知1∈B ，于是A≠B ② {}
由①、② 得A B ．
点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．
（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．
四、典型习题导练
1．集合A={x|x2－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x2－x －6＞0， x∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ）
A ．16 B．14 C ．15 D．32
2．数集{1，2，x2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）
A ．{2，-2 } B．{－2，－ } C ．{±2，± } D．{5，－}
3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x ∈R}，则P∩Q等于（ ）
高中数学（必修一）重点难点解析
第一章 集合
§1.1 集合的概念与运算
一、知识导学
1. 集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
2. 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
3. 子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若a ∉A 则a ∈B ），则称
集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.
4. 集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，则A=B.
5. 补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 C s A .
6. 全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U.
7. 交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ⋂B.
8. 并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ⋃B.
9. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.
10. 有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.
11. 无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
12. 集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.
13. 常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N+或N ，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R.
二、疑难知识导析
1. 符号⊆，，⊇，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“=”*两种情况，同样“⊇”包括“”和“=”两种情况. 符号∈，∉表示元素与集合之间的关系. 要注意两类不同符号的区别.
2. 在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
3. 在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
4. 对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=Φ易漏掉的情况.
5. 若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.
6. 若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.
7. 在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、V enn 图等将有关集合直观地表示出来.
8. 要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.
9. 含有n 个元素的集合的所有子集个数为：2，所有真子集个数为：2-1
三、经典例题导讲
[例1] 已知集合M={y|y =x2＋1,x ∈R},N={y|y =x＋1,x ∈R}，则M∩N=（ ）
A ．（0，1），（1，2） B ．{（0，1），（1，2）}
C ．{y|y=1,或y=2} D ．{y|y≥1} n n
⎧y =x 2+1⎧x =0⎨⎨y =x +1y =1 或 错解：求M∩N及解方程组⎩ 得⎩⎧x =1⎨⎩y =2 ∴选B
错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M 、N 是数集而不是点集,
M 、N 分别表示函数y=x2＋1(x∈R) ，y=x＋1(x∈R) 的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 正解：M={y|y=x2＋1,x ∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x ∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D ．
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．
[例2] 已知A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|ax－2=0}且A ∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 错解：由x2－3x ＋2=0得x=1或2．
当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A ∪B=A.
当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
正解：∵A ∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x ＋2=0}={1，2}
1或{2} ∴C={0，1，2} ∴B=或{}
[例3]已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={x |x =2a , a ∈Z }，B={x |x =2a +1, a ∈Z }，又C={x |x =4a +1, a ∈Z }，则有： （ ）
A ．m+n∈A B. m+n∈B C.m+n∈C D. m+n不属于A ，B ，C 中任意一个 错解：∵m ∈A ，∴m=2a,a∈Z , 同理n=2a+1,a∈Z, ∴m+n=4a+1,故选C
错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.
正解：∵m ∈A, ∴设m=2a1,a1∈Z, 又∵n ∈B , ∴n=2a2+1,a2∈ Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2∈ Z , ∴m+n∈B, 故选B.
[例4］ 已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B
的取值范围． A ，求实数p
错解：由x2－3x －10≤0得－2≤x≤5．
欲使B ⎧-2≤p +1⇒-3≤p ≤3⎨2p -1≤5A ，只须⎩
∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了" 空集是任何集合的子集" 这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.
由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.
由－3≤p≤3.
∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p ＋1>2p－1p ＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A ∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
[例5] 已知集合A={a,a＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c 的值．
分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a ＋b=ac且a ＋2b=ac2，消去b 得：a ＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a ＋b=ac2且a ＋2b=ac，消去b 得：2ac2－ac －a=0，
∵a≠0，∴2c2－c －1=0，
1
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－2．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
1
[例6] 设A 是实数集，满足若a ∈A ，则1-a ∈A ，a ≠1且1∉A.
⑴若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.
⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.
1
⑶若a ∈A ，证明：1－a ∈A.
⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.
1
解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 2∈A ⇒ 2∈A
1
∴ A中至少还有两个元素：－1和2
1⑵如果A 为单元素集合，则a ＝1-a
2即a -a +1＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集
1
11-a 111-1-a ∈⑶a ∈A ⇒ 1-a ∈A ⇒ A ⇒1-a -1∈A ，即1－a ∈A
1111
⑷由⑶知a ∈A 时，1-a ∈A ， 1－a ∈A . 现在证明a,1－a , 1-a 三数互不相等. ①若a=11
1-a , 即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠1-a
11
②若a=1－a ，即a2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a
1111
③若1－a =1-a ，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a ≠1-a .
综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
22b b n +1k -4k +5, k ∈a a n [例7] 设集合A={|=, ∈N+}，集合B={|=N+}，试证：A
B ．
证明：任设a ∈A ，
2则a =n +1=(n ＋2)2－4(n ＋2) ＋5 (n ∈N+),
∵ n ∈N*，∴ n ＋2∈N*
∴ a ∈B 故 ①
2*∈A =a |a =n +1, n ∈N 显然，1，而由
22(k -2) +1，b b k b b k ∈k -4k +5B={|=, ∈N+}={|=N+}知1∈B ，于是A≠B ② {}
由①、② 得A B ．
点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．
（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．
四、典型习题导练
1．集合A={x|x2－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x2－x －6＞0， x∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ）
A ．16 B．14 C ．15 D．32
2．数集{1，2，x2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）
A ．{2，-2 } B．{－2，－ } C ．{±2，± } D．{5，－}
3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x ∈R}，则P∩Q等于（ ）