【摘要】 本文从一道高考模拟题引发的思考说开去，推导出极昼地区正午太阳高度、子夜太阳高度和直射点纬度之间关系的计算公式，并且进行推论得出较为实用的地理结论与原理，降低该部分知识的学习难度，用图示巩固了很多地理概念，对于太阳视运动的知识是一个补充和提高，同时提高学生的地理空间思维能力。
【关键词】 极昼 正午太阳高度 子夜太阳高度 直射点纬度
【中图分类号】 G633.55 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）04-001-03
一、一道高考模拟题引发的思考
近年来高考中对于正午太阳高度的计算与应用能力的测试成为一大亮点，如合理楼距的计算、太阳热水器的安装、室内光线的照射、影子长度的计算等等。正午太阳高度角计算公式H=90o-|φ-δ|已为大家所熟知，当我遇到了这样一道高考模拟题时，却引发了我对极昼地区子夜太阳高度的许多思考。
如图1所示是某地一天中两个不同时刻太阳光线与地面的夹角，据此判断1～2题。
1.该地的纬度位置是（ ）
A.70°N B.75°N C.70°S D.75°S
2.这一天，太阳直射点的纬度位置是（ ）
A.15°N B.20°N C.15°S D. 20°S
由于出现极昼的最低纬度与太阳直射点互余，最低纬度处子夜太阳高度为0，a地子夜太阳高度为5°，可设直射点纬度为X，a地纬度为Y，则：Y=90-X+5.根据正午太阳高度计算公式可得a地：35=90-（Y-X）由此两个方程也可求解。这种方法学生理解起来比较困难，于是，我和学生一起做了如下探究：由图分析该点太阳高度35°时（b光线），太阳位于该点正南方向，太阳高度5°时（a光线），太阳位于该点正北方向，而图表示的是该点一天中太阳不同时刻的高度，因此根据太阳视运动特征，可知该点只有在北极圈到北极点之间，并且出现极昼时才有可能出现图示状况（用图2演示，便于学生理解）。
但是，只利用正午太阳高度公式，根据图中所给信息同时求得太阳直射点与该点的地理纬度，是完全没有可能的。是不是存在子夜太阳高度公式呢？答案是肯定的，但是我查阅了很多资料，并没有找到现成的相关的计算公式。
二、经过证明推导出公式和结论
经过一番思考之后，我认为如果将正午太阳高度看成是一地地方时12点时的太阳高度，那么当一个地点在出现极昼的时间内，该地地方时零点时的太阳高度就为子夜太阳高度，那么二者之间是否存在内在关系的呢？我试着用平面几何知识进行了推导和证明，过程如下：
1. 既然某地区能够出现极昼，那么该地和太阳直射点必然位于同一（南、北）半球；
2. 一天当中太阳高度的最大值出现在正午时刻；
3. 现在我们重点是解决该天最小太阳高度角（h）的问题。
现在来推导其计算公式，根据题意画图（以北半球为例）：
图3中O为地心，AOB为赤道，EF、DH、CJ为三组太阳平行光线，EF的延长线经过地心O，为太阳直射光线，F为太阳直射光线和地球表面的交点，为太阳直射点，∠FOB为太阳直射点的纬度（复习地理纬度的定义），设为α；由太阳直射点的定义可知：DFBK所在的经线地方时为12：00，CA所在经线的地方时为0：00；CD纬线上出现了极昼现象，∠AOC=∠DOB且为该地的纬度，设为X；分别过C和D点做出其地平面（圆的切线）CI、DG，∠GDH为CD纬线上该日的正午太阳高度（图中复习太阳高度和正午太阳高度的定义），设为H，∠ICJ为子夜太阳高度，设为h（如图3所示）。
∵∠FOB=α（直射点的纬度） ，∠AOC= X （纬度的定义）
∴∠FOK=α+X
∵CO⊥CI（地平面的定义）
∴∠JCO=90°+h
∵太阳光线EF∥CJ
∴∠JCO =∠FOK （同位角相等）
∴90°+h =α+X ①
又∵H=90°-（X -α）（正午太阳高度的计算公式）②
联合①②解方程组，不难得出结论H+h=2α（结论一：出现极昼的某地正午太阳高度与子夜太阳高度的和为直射点纬度的两倍），推导过程虽然比较繁琐（其实高三学生的数学知识完全能够解决），但是能让学生在推理过程中充分理解并把以下地理知识转化到图中：直射光线的画法、纬度的定义、（正午）太阳高度的定义、地平面的定义，更为重要的是，结论浅显易懂，可很大程度上降低学生的空间想象难度，提高解题的速度，解决我们上面的问题就容易多了：
在前面分析的基础上我们可知该地位于北极圈内，直射点也在北半球，再运用我们推导出来的结论，很快就能求出直射点为20°N，当地的正午太阳高度为35°，设当地纬度为X，根据正午太阳高度的计算公式可得35°=90°-（X -20°），很快就能解出当地的纬度为75°N。
三、由推导的结论进行变式、拓展训练，提升学生的地理空间思维能力
下面的变式训练可以让学生继续巩固结论的运用。
变式训练1：图4是80°N某地夏半年某日太阳高度角随时间的变化状况，读图回答下列问题：
（1）说出此时全球各地正午太阳高度随纬度的分布规律；
（2）计算此日当地的正午太阳高度角H的值；
（3）说明南半球各地该日的昼夜长短状况；
（4）计算太阳直射点的地理坐标。
解题指导：由于80°N整条纬线上最小太阳高度为10°，故该地出现了极昼现象，设该日太阳直射点纬度为α，则依据结论一可知：
10°+H=2α①
H=90°-（80°-α）（正午太阳高度的计算公式）② 联合方程①②不难求出α为20°N，H=30°，那么所有问题都可以解决了。
参考答案：（1）从20°N向南北两侧递减
（2）H=90-（80-20）=30°
（3）昼短夜长（4）20°N，0°
结论一还可继续延伸出结论二：恰好出现极昼现象的纬度地区（切点）的正午太阳高度是太阳直射点的纬度值的2倍（因为恰好出现极昼现象的纬度地区的子夜太阳高度为0，带入结论一中即可得出结论二）
变式训练2：图5所示区域在北半球，弧线M为纬线，弧线N为晨昏线，阴影为黑夜；甲乙两地所在经线的经度为120°E，甲地此日正午太阳高度为40°.读图回答1～2题：
1. 此时太阳直射点的地理坐标是 。
2.若乙地此时的太阳高度为10°，则乙地的地理纬度是
，正午太阳高度是 。
解题指导：由题意可知，甲地为切点，甲乙所在的经线平分了夜半球，地方时为0：00，故直射点的经度为60°W.根据图示可知北极附近出现了极昼，所以太阳直射点的纬度为20°N.而乙地此时为0：00，此时的太阳高度为子夜太阳高度，据结论一可以计算出乙地的正午太阳高度为30°，进一步据正午太阳高度的计算公式得出乙地的地理纬度为80°N.
参考答案：1. （20°N，60°W） 2. 80°N 30°
极点由于位于自转轴上，太阳高度一天没有变化，其子夜太阳高度等于正午太阳高度。由此，我们可以引导学生推导出结论三：极点一天中太阳高度值（包括正午太阳高度H与子夜太阳高度h）与太阳直射点的纬度值相等（依据正午太阳高度的计算公式可知H=90°-（90°-太阳直射点的纬度值），故H=太阳直射点的纬度值）。
变式训练3：图6中N为北极点，AB为晨昏线的一段，且B为晨昏线与某一纬线的切点，这一天B点最大太阳高度为40°，B、C在同一经线上。读图回答9～11题：
9.A点位于：（ ）
A.昏线上
B.晨线上
C.可能在昏线上，也可能在晨线上
D.昏线和晨线的交点上
10.B点的纬度是：（ ）
A.66.5° B.70° C.75° D.80°
11.位于NB之间的任意点C此时太阳高度可能是：（ ）
①小于0° ②5° ③15° ④25°
A.① B.②③ C.③④ D.②③④
解题指导：由题意可知，B（北半球）所在的纬线圈内出现了极昼现象，再根据自转方向（逆时针）可判断出A点位于昏线上，直射点的纬度为切点正午太阳高度的一半，即20°N，而切点B与直射点的纬度互余（可用二分二至日的情况简单推导），所以B点的纬度为70°，此时BC所在的经线为0：00，故C点此时的太阳高度为子夜太阳高度（h），而C点的正午太阳高度H应该介于B和N点（极点的正午太阳高度等于直射点的纬度数）的正午太阳高度之间（20° 参考答案：9.A 10.B 11.B
变式训练4：图7中L表示南半球某地太阳高度日变化图，该日杭州（约30°N）的正午太阳高度约为：（ ）
A. 39° B. 81°
C. 29° D. 71°
解题指导：该地一天24小时太阳高度保持不变，故地处南极点，由结论三可知直射点的纬度为21°S，再据正午太阳高度的计算公式可计算出该日杭州的正午太阳高度为39°。
参考答案：A
变式训练5：图8为北半球甲乙两地某日“太阳视运动路线图”，圆O为地平圈，箭头为太阳视运动方向，∠1=∠2=22°，读图回答18～20题。
18. 甲地的地理纬度为（ ）
A.23.5°N B.66.5°N C.22°N D.90°N
19. 乙地的正午太阳高度为（ ）
A.22° B.44° C.11° D.68°
20. 该日，下列说法中不正确的是（ ）
A.澳大利亚北部盛行西北风 B.尼罗河河水泛滥
C.巴西高原草原一片枯黄 D.北极考察的好时机
解题指导：由图可知乙地的太阳在24小时内一直没有落到地平线下，刚落到地平线又升起来了，则此地刚刚发生极昼现象，乙地位于切点上，根据太阳东升西落可确定地平面上的方向（如图9所示），可知正午时太阳位于乙地的正南方，故乙地位于北极圈内。甲地正午太阳高度和子夜太阳高度相等（∠1=∠2=22°），故甲地位于北极点，所以太阳直射点的纬度为22°N，乙地的正午太阳高度为直射点纬度的2倍，即44°.那么20题也就不难了。
参考答案：18. D 19. B 20. A
由此可见，在地球运动的教学中，引导学生从基本的概念和知识入手，绘制基本的空间图形，将基本概念用地图表达出来，引导学生进行推理、证明，对知识进行归纳和拓展，既有利于基础知识的巩固，同时也能可以降低知识的难度，提升学生的地理空间思维能力，而且还可以破除学生的畏难情绪，培养学生勇于探索自然奥秘的精神。子夜的太阳，你不再神秘！
[ 参 考 文 献 ]
[1] 历年各地高考模拟考试文科综合试卷.
[2] 新课标高考总复习.《三维设计・地理》.
【摘要】 本文从一道高考模拟题引发的思考说开去，推导出极昼地区正午太阳高度、子夜太阳高度和直射点纬度之间关系的计算公式，并且进行推论得出较为实用的地理结论与原理，降低该部分知识的学习难度，用图示巩固了很多地理概念，对于太阳视运动的知识是一个补充和提高，同时提高学生的地理空间思维能力。
【关键词】 极昼 正午太阳高度 子夜太阳高度 直射点纬度
【中图分类号】 G633.55 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）04-001-03
一、一道高考模拟题引发的思考
近年来高考中对于正午太阳高度的计算与应用能力的测试成为一大亮点，如合理楼距的计算、太阳热水器的安装、室内光线的照射、影子长度的计算等等。正午太阳高度角计算公式H=90o-|φ-δ|已为大家所熟知，当我遇到了这样一道高考模拟题时，却引发了我对极昼地区子夜太阳高度的许多思考。
如图1所示是某地一天中两个不同时刻太阳光线与地面的夹角，据此判断1～2题。
1.该地的纬度位置是（ ）
A.70°N B.75°N C.70°S D.75°S
2.这一天，太阳直射点的纬度位置是（ ）
A.15°N B.20°N C.15°S D. 20°S
由于出现极昼的最低纬度与太阳直射点互余，最低纬度处子夜太阳高度为0，a地子夜太阳高度为5°，可设直射点纬度为X，a地纬度为Y，则：Y=90-X+5.根据正午太阳高度计算公式可得a地：35=90-（Y-X）由此两个方程也可求解。这种方法学生理解起来比较困难，于是，我和学生一起做了如下探究：由图分析该点太阳高度35°时（b光线），太阳位于该点正南方向，太阳高度5°时（a光线），太阳位于该点正北方向，而图表示的是该点一天中太阳不同时刻的高度，因此根据太阳视运动特征，可知该点只有在北极圈到北极点之间，并且出现极昼时才有可能出现图示状况（用图2演示，便于学生理解）。
但是，只利用正午太阳高度公式，根据图中所给信息同时求得太阳直射点与该点的地理纬度，是完全没有可能的。是不是存在子夜太阳高度公式呢？答案是肯定的，但是我查阅了很多资料，并没有找到现成的相关的计算公式。
二、经过证明推导出公式和结论
经过一番思考之后，我认为如果将正午太阳高度看成是一地地方时12点时的太阳高度，那么当一个地点在出现极昼的时间内，该地地方时零点时的太阳高度就为子夜太阳高度，那么二者之间是否存在内在关系的呢？我试着用平面几何知识进行了推导和证明，过程如下：
1. 既然某地区能够出现极昼，那么该地和太阳直射点必然位于同一（南、北）半球；
2. 一天当中太阳高度的最大值出现在正午时刻；
3. 现在我们重点是解决该天最小太阳高度角（h）的问题。
现在来推导其计算公式，根据题意画图（以北半球为例）：
图3中O为地心，AOB为赤道，EF、DH、CJ为三组太阳平行光线，EF的延长线经过地心O，为太阳直射光线，F为太阳直射光线和地球表面的交点，为太阳直射点，∠FOB为太阳直射点的纬度（复习地理纬度的定义），设为α；由太阳直射点的定义可知：DFBK所在的经线地方时为12：00，CA所在经线的地方时为0：00；CD纬线上出现了极昼现象，∠AOC=∠DOB且为该地的纬度，设为X；分别过C和D点做出其地平面（圆的切线）CI、DG，∠GDH为CD纬线上该日的正午太阳高度（图中复习太阳高度和正午太阳高度的定义），设为H，∠ICJ为子夜太阳高度，设为h（如图3所示）。
∵∠FOB=α（直射点的纬度） ，∠AOC= X （纬度的定义）
∴∠FOK=α+X
∵CO⊥CI（地平面的定义）
∴∠JCO=90°+h
∵太阳光线EF∥CJ
∴∠JCO =∠FOK （同位角相等）
∴90°+h =α+X ①
又∵H=90°-（X -α）（正午太阳高度的计算公式）②
联合①②解方程组，不难得出结论H+h=2α（结论一：出现极昼的某地正午太阳高度与子夜太阳高度的和为直射点纬度的两倍），推导过程虽然比较繁琐（其实高三学生的数学知识完全能够解决），但是能让学生在推理过程中充分理解并把以下地理知识转化到图中：直射光线的画法、纬度的定义、（正午）太阳高度的定义、地平面的定义，更为重要的是，结论浅显易懂，可很大程度上降低学生的空间想象难度，提高解题的速度，解决我们上面的问题就容易多了：
在前面分析的基础上我们可知该地位于北极圈内，直射点也在北半球，再运用我们推导出来的结论，很快就能求出直射点为20°N，当地的正午太阳高度为35°，设当地纬度为X，根据正午太阳高度的计算公式可得35°=90°-（X -20°），很快就能解出当地的纬度为75°N。
三、由推导的结论进行变式、拓展训练，提升学生的地理空间思维能力
下面的变式训练可以让学生继续巩固结论的运用。
变式训练1：图4是80°N某地夏半年某日太阳高度角随时间的变化状况，读图回答下列问题：
（1）说出此时全球各地正午太阳高度随纬度的分布规律；
（2）计算此日当地的正午太阳高度角H的值；
（3）说明南半球各地该日的昼夜长短状况；
（4）计算太阳直射点的地理坐标。
解题指导：由于80°N整条纬线上最小太阳高度为10°，故该地出现了极昼现象，设该日太阳直射点纬度为α，则依据结论一可知：
10°+H=2α①
H=90°-（80°-α）（正午太阳高度的计算公式）② 联合方程①②不难求出α为20°N，H=30°，那么所有问题都可以解决了。
参考答案：（1）从20°N向南北两侧递减
（2）H=90-（80-20）=30°
（3）昼短夜长（4）20°N，0°
结论一还可继续延伸出结论二：恰好出现极昼现象的纬度地区（切点）的正午太阳高度是太阳直射点的纬度值的2倍（因为恰好出现极昼现象的纬度地区的子夜太阳高度为0，带入结论一中即可得出结论二）
变式训练2：图5所示区域在北半球，弧线M为纬线，弧线N为晨昏线，阴影为黑夜；甲乙两地所在经线的经度为120°E，甲地此日正午太阳高度为40°.读图回答1～2题：
1. 此时太阳直射点的地理坐标是 。
2.若乙地此时的太阳高度为10°，则乙地的地理纬度是
，正午太阳高度是 。
解题指导：由题意可知，甲地为切点，甲乙所在的经线平分了夜半球，地方时为0：00，故直射点的经度为60°W.根据图示可知北极附近出现了极昼，所以太阳直射点的纬度为20°N.而乙地此时为0：00，此时的太阳高度为子夜太阳高度，据结论一可以计算出乙地的正午太阳高度为30°，进一步据正午太阳高度的计算公式得出乙地的地理纬度为80°N.
参考答案：1. （20°N，60°W） 2. 80°N 30°
极点由于位于自转轴上，太阳高度一天没有变化，其子夜太阳高度等于正午太阳高度。由此，我们可以引导学生推导出结论三：极点一天中太阳高度值（包括正午太阳高度H与子夜太阳高度h）与太阳直射点的纬度值相等（依据正午太阳高度的计算公式可知H=90°-（90°-太阳直射点的纬度值），故H=太阳直射点的纬度值）。
变式训练3：图6中N为北极点，AB为晨昏线的一段，且B为晨昏线与某一纬线的切点，这一天B点最大太阳高度为40°，B、C在同一经线上。读图回答9～11题：
9.A点位于：（ ）
A.昏线上
B.晨线上
C.可能在昏线上，也可能在晨线上
D.昏线和晨线的交点上
10.B点的纬度是：（ ）
A.66.5° B.70° C.75° D.80°
11.位于NB之间的任意点C此时太阳高度可能是：（ ）
①小于0° ②5° ③15° ④25°
A.① B.②③ C.③④ D.②③④
解题指导：由题意可知，B（北半球）所在的纬线圈内出现了极昼现象，再根据自转方向（逆时针）可判断出A点位于昏线上，直射点的纬度为切点正午太阳高度的一半，即20°N，而切点B与直射点的纬度互余（可用二分二至日的情况简单推导），所以B点的纬度为70°，此时BC所在的经线为0：00，故C点此时的太阳高度为子夜太阳高度（h），而C点的正午太阳高度H应该介于B和N点（极点的正午太阳高度等于直射点的纬度数）的正午太阳高度之间（20° 参考答案：9.A 10.B 11.B
变式训练4：图7中L表示南半球某地太阳高度日变化图，该日杭州（约30°N）的正午太阳高度约为：（ ）
A. 39° B. 81°
C. 29° D. 71°
解题指导：该地一天24小时太阳高度保持不变，故地处南极点，由结论三可知直射点的纬度为21°S，再据正午太阳高度的计算公式可计算出该日杭州的正午太阳高度为39°。
参考答案：A
变式训练5：图8为北半球甲乙两地某日“太阳视运动路线图”，圆O为地平圈，箭头为太阳视运动方向，∠1=∠2=22°，读图回答18～20题。
18. 甲地的地理纬度为（ ）
A.23.5°N B.66.5°N C.22°N D.90°N
19. 乙地的正午太阳高度为（ ）
A.22° B.44° C.11° D.68°
20. 该日，下列说法中不正确的是（ ）
A.澳大利亚北部盛行西北风 B.尼罗河河水泛滥
C.巴西高原草原一片枯黄 D.北极考察的好时机
解题指导：由图可知乙地的太阳在24小时内一直没有落到地平线下，刚落到地平线又升起来了，则此地刚刚发生极昼现象，乙地位于切点上，根据太阳东升西落可确定地平面上的方向（如图9所示），可知正午时太阳位于乙地的正南方，故乙地位于北极圈内。甲地正午太阳高度和子夜太阳高度相等（∠1=∠2=22°），故甲地位于北极点，所以太阳直射点的纬度为22°N，乙地的正午太阳高度为直射点纬度的2倍，即44°.那么20题也就不难了。
参考答案：18. D 19. B 20. A
由此可见，在地球运动的教学中，引导学生从基本的概念和知识入手，绘制基本的空间图形，将基本概念用地图表达出来，引导学生进行推理、证明，对知识进行归纳和拓展，既有利于基础知识的巩固，同时也能可以降低知识的难度，提升学生的地理空间思维能力，而且还可以破除学生的畏难情绪，培养学生勇于探索自然奥秘的精神。子夜的太阳，你不再神秘！
[ 参 考 文 献 ]
[1] 历年各地高考模拟考试文科综合试卷.
[2] 新课标高考总复习.《三维设计・地理》.