二. 本周教学重、难点：
1. 复合函数的求导法则
设
在点
处有导数
，
在点
的对应点
处有导数
，则
在点
处也有导数，且
或
2. 对数函数的导数
（1）
（2）
3. 指数函数的导数
（1）
（2）
【典型例题】
[例1] 求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
[例2] 若
，
解不等式
解：
∵
∴
∴
∴
或
∵ 两函数定义域为
∴
∴ 解集为（5，
）
[例3] 设曲线
在点M（
）处的切线
与
轴围成的三角形面积为
，求切线
的方程。
解：
∴
∴
∴
[例4] 曲线
在（0，1）处的切线与
的距离为
，求
的方程。
解：
∴ 曲线在（0，1）处的切线的斜率
∴ 切线方程为
设
的方程为
∴
∴
或6
当
时，
为：
当
时，
为：
[例5] 将水注入锥形容器中，其速度为
，设锥形容器的高为
，顶口直径为
，求当水深为
时，水面上升的速度。
解：设注入水
后，水深为
，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为
，这时水的体积为
由于水面高度
随时间
而变化，因而
是
的函数
由此可得水的体积关于时间
的导数为
由假设，注水速度为
∴
即
∴ 当
时，水面上升的速度为：
[例6] 求下列函数的导数
（1）
（2）
解：
（1）∵
∴ 两边取对数得
两边求导得：
∴
（2）∵
∴ 两边取对数：
在上式两边求导得
整理后得
[例7] 已知曲线
与
，其中
，且都为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。
证明：设两曲线公共点为（
）则
，
即
∴
∴
∴
（
）
对
有
对
有
∵
∴
∴ 两曲线彼此相切
[例8] 设曲线
在
处的切线为
，数列
中
，且点（
）在
上。
（1）求证：数列
是等比数列，并求
；
（2）求
的前
项和
。
（1）证明：由
得
时，
又 ∵
∴ 切线方程为
即
∵（
）在切线
上 ∴
则
即
∴
是以
为首项，2为公比的等比数列
∴
即
（2）解：由（1）知
∴
的前
项和
[例9] 已知
求
的反函数
及
解：设
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【模拟试题】
一. 选择：
1. 函数
的导数是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知
，则
等于（ ）
A.
B. 2 C.
D. 0
3. 函数
的导数是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.
在
处的切线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 若
，则
等于（ ）
A. 5 B. 20 C. 40 D. 0
6. 已知
，则
等于（ ）
A. 0 B. 1 C.
D.
7. 已知某函数的导数是
，则这个函数可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 函数
的导数
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
二. 解答：
1. 首先指出下列函数是怎样复合的，然后求导：
（1）
；（2）
；（3）
2. 求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
（4）
3. 已知曲线C1：
与C2：
，直线
与C1、C2都相切，求直线
的方程。
【试题答案】
一.
1. D
2. D
解析：
∴
3. C
解析：
4. B
解析：
，
时，
∴ 切线方程为
5. D
解析：
∴
6. D
解析：
∴
7. C
8. C
解析：
二.
1.
（1）解：设
，则
∴
（2）解：设
，则
∴
（3）解：设
2.
解：
（1）
（2）由对数运算性质，有
（3）
（4）
3.
解：依题意，可设直线
与
相切于点
与
相切于点
，对于
，则与
相切于点P的切线方程为
，即
，对于
，则与
相切于点Q的切线方程为
，即
∵ 两切线重合 ∴
解得
或
∴ 直线
的方程为
或
二. 本周教学重、难点：
1. 复合函数的求导法则
设
在点
处有导数
，
在点
的对应点
处有导数
，则
在点
处也有导数，且
或
2. 对数函数的导数
（1）
（2）
3. 指数函数的导数
（1）
（2）
【典型例题】
[例1] 求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
[例2] 若
，
解不等式
解：
∵
∴
∴
∴
或
∵ 两函数定义域为
∴
∴ 解集为（5，
）
[例3] 设曲线
在点M（
）处的切线
与
轴围成的三角形面积为
，求切线
的方程。
解：
∴
∴
∴
[例4] 曲线
在（0，1）处的切线与
的距离为
，求
的方程。
解：
∴ 曲线在（0，1）处的切线的斜率
∴ 切线方程为
设
的方程为
∴
∴
或6
当
时，
为：
当
时，
为：
[例5] 将水注入锥形容器中，其速度为
，设锥形容器的高为
，顶口直径为
，求当水深为
时，水面上升的速度。
解：设注入水
后，水深为
，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为
，这时水的体积为
由于水面高度
随时间
而变化，因而
是
的函数
由此可得水的体积关于时间
的导数为
由假设，注水速度为
∴
即
∴ 当
时，水面上升的速度为：
[例6] 求下列函数的导数
（1）
（2）
解：
（1）∵
∴ 两边取对数得
两边求导得：
∴
（2）∵
∴ 两边取对数：
在上式两边求导得
整理后得
[例7] 已知曲线
与
，其中
，且都为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。
证明：设两曲线公共点为（
）则
，
即
∴
∴
∴
（
）
对
有
对
有
∵
∴
∴ 两曲线彼此相切
[例8] 设曲线
在
处的切线为
，数列
中
，且点（
）在
上。
（1）求证：数列
是等比数列，并求
；
（2）求
的前
项和
。
（1）证明：由
得
时，
又 ∵
∴ 切线方程为
即
∵（
）在切线
上 ∴
则
即
∴
是以
为首项，2为公比的等比数列
∴
即
（2）解：由（1）知
∴
的前
项和
[例9] 已知
求
的反函数
及
解：设
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【模拟试题】
一. 选择：
1. 函数
的导数是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知
，则
等于（ ）
A.
B. 2 C.
D. 0
3. 函数
的导数是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.
在
处的切线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 若
，则
等于（ ）
A. 5 B. 20 C. 40 D. 0
6. 已知
，则
等于（ ）
A. 0 B. 1 C.
D.
7. 已知某函数的导数是
，则这个函数可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 函数
的导数
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
二. 解答：
1. 首先指出下列函数是怎样复合的，然后求导：
（1）
；（2）
；（3）
2. 求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
（4）
3. 已知曲线C1：
与C2：
，直线
与C1、C2都相切，求直线
的方程。
【试题答案】
一.
1. D
2. D
解析：
∴
3. C
解析：
4. B
解析：
，
时，
∴ 切线方程为
5. D
解析：
∴
6. D
解析：
∴
7. C
8. C
解析：
二.
1.
（1）解：设
，则
∴
（2）解：设
，则
∴
（3）解：设
2.
解：
（1）
（2）由对数运算性质，有
（3）
（4）
3.
解：依题意，可设直线
与
相切于点
与
相切于点
，对于
，则与
相切于点P的切线方程为
，即
，对于
，则与
相切于点Q的切线方程为
，即
∵ 两切线重合 ∴
解得
或
∴ 直线
的方程为
或