常微分方程小论文

课程小论文

论文名称：关于y''ay'b0的系数与解的研究

所属课程: 常微分方程

授课教师: **********

学院(系): **********

姓名: ******** 学号: **********

2010年1月

[摘要]

本文就关于方程y''ay'b0的解的相关性质与其系数的关系进行了研究，选取了4道例题作为相关题型的代表。

[正文]

关于y''ay'b0的系数与解的研究

方程y''ay'b0是在解高阶线性微分方程中经常遇到的一类方程，而关于其系数与解的题型也非常多。本文独辟蹊径，并不是给定系数，去计算其解的性质，而是针对各种对解的要求，来计算其系数。从这种观点来思考问题或许会对今后解这类题型有所帮助。

[例１]当a和b取何值时，方程y''ay'b0的所有解在整条数轴x上是有界

的？

a[解] 首先求出特征方程b

0的根。有1,222

的表达式的各种情形。

如果a4b，则通解是

y(C1C2x)e

如果a4b，则通解形如

yC1e1C2ex2x22ax2. （1）（2）

从（1）式得，无论a取什么值（实数或复数），所有解y都是无界的。事实上，如果Rea0，则函数y当x0时无界；如果Rea0，则函数y当x0时无界；如果Rea0，则函数y也显然无界。

现在研究用公式（2）表示的解。设Re10或Re20，则解（2）当x0时都

无界。设Re10或Re20，则（2）式的不是所有解当x0时有界。最后，如果Re1Re20，即如果1i1，2i2（12），则对于所有的x(,)，所有的解都是有界的。事实上，在这种情形，所有的解都可表示为有界函数sin1x，cos1x，sin2x，cos2x的任一线性组合的形式。

总之，为使所有的解有界，我们有条件

aa ， 

i1，i2（12）22从而求出

ai(12)，b12，

其中1和2是不同的任意实数。特别地，如果a是实参数，即12，则所有的解当b0（a0）时有界。

[例２]当a和b取何值时，方程y''ay'b0的解当x时趋向于0？

[解] 利用例１中解的表达式（1）和（2），在情形（1），如果Rea0，则当x时

所有的解趋向于0。在情形（2），如果同时有Re10和Re20，则当x时所有的解趋向于0。

0）特别地，如果a和b是实参数，则在情形（1）中，当a0（b，x4

时所有的解趋向于0。这些条件（a0，b0）对情形（2）也是有用的。实际上，如果b0，则根1或2之一不依赖于a，且是正的，即当x时，e1x或e2x。如果b0，则方程有解yC0，它不趋向于0。因此必须使b是正数。设b0，a0，则诸根之一（1或2）的实部一定是非负的，因此当x时，e1x或e2xa2

不趋向于0。再研究同时有a0和b0的情形。如果0b，4

则两个根都是负的，因此当x时y0。如果b，则根1，2是复共轭4

的，并且有负实部，因此当x时y0。

[例３]当a和b取何值时，方程y''ay'b0的解在点x的无限集合上变为0？

[解] 从例１中方程解的表达式（1）和（2）出发。显然，公式（1）不确定振荡解，对某

个a，此解在点x的无限集合上变为0.

考虑解（2）。如果1和2是实根，则众所周知，两个指数的和只能在有限个点x上变为0，设

aa12 22即4ba，则

xa

2yC1C2sine 

axAcose2 

可见在这种情形下，对于任意的数值A和，所有的解在点的无限集合xk变为0，其中



xkk

kZ.

[例４]当a和b取何值时，方程y''ay'b0的解当x时满足关系式yo(ex)？

[解] 我们应该求出参数a和b这样的值，使得对于所有值C1和C2（例１中方程的解（1）

和（2）中的任意常数），满足条件

xlimyxe0 (１) x

如果a4b，则根据（1）式有

a(1)xlimC1C2xe20 x2

显然，对于任意的C1和C2，只有在条件Re(1

才满足。

在12的情况下，条件（1）具有形式 a)0即Rea2时，这个关系式2

(11)x(21)xlimCeCe120 x

对于任意的C1和C2，此式等价于关系式

xlime(11)x0 和 lime(21)x0 (2) x

由此得，最后这两个关系式只有在不等式Re(11)0和Re(21)0同时成立时

才有可能。如果a和b是实参数，则最后两个不等式可以具体地写出。 a2

设b，则1和2是实根，如果10，则也有20。因此有两个条件 4

a2ab

，10 (3) 42此时，关系式（2）成立。同时解不等式（3），得出关系式（1）成立的条件

a2，a1b 4

aa2a设b

，则1,2，如果10，即a2，则关系式（2）242成立。

因此，如果a和b是实参数，则当a2和ba1，即2ab1时，题设条件中所指的关系式成立。

看了以上4个例题我们可以发现这类题型解题步骤相似，理清基础概念之后解这类题并不是非常难。我们把结论当条件用，把它们改成证明题来做之后发现，之前的那些做法依然可以沿用，所以弄明白这些题目的做法，并举一反三对学习非常有帮助。

通过这次小论文的写作，我们认为我们从中受益良多。由于时间仓促，如有不当之处敬请指教。

[参考资料]

1.《常微分方程教程》，丁同仁编，高等教育出版社。

2.《常微分方程习题集》，费利波夫著，上海科学技术出版社。