等腰三角形
一、选择题
1．（2013山东德州，4，3分）如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD=CE,∠D=740, ，则∠B
的度数为（ ）
A 、680 B 、320 C 、220 D 、160 【答案】B.
【解析】在△CDE 中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°, ∴∠C=180°-2×74°=32°. ∵AB ∥CD ，∴∠B=∠C=32°.
【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和. 本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查. 注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质. 2．（2013山东日照，10，4分）如图，在△ABC 中，以BC 为圆的直径分别交边AC 、AB 于D 、E 两点，连接BD 、DE ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论不一定成立的是 A.BD ⊥AC B.AC 2=2AB·AE C. △ADE 是等腰三角形 D. BC＝
2AD.
【答案】D
【解析】∵BC 为圆的直径，∴∠BDC=90°, 即BD ⊥AC 。 ∵BD 平分∠ABC ，∴AD=DC. ∴△ABC 是等腰三角形。 由题意得∠ADE=∠ABC, ∠A 为公共角，∴△ADE ∽△ABC, ∴
AD AE
=, 即AD ⋅AC =AB ⋅AE , ∴AC 2=2AB·AE 。∴△ADE 是等腰三角形。 AB AC
故只有D 不一定正确。
【方法指导】本题是以圆为背景 的几何证明题，涉及到的知道点等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质。
3．(2013四川成都，4，3分) 如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AB ＝5，则AC 的长为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
B
第4题图
C
【答案】D ．
【解析】根据“等边对等角”可知，AC ＝AB ＝5．故选D ．
【方法指导】我们知道“等边对等角”、“等角对等边”．一个三角形中，边和角还有以下关系：“较大的边所对的角较大”、“较大的角所对边较大”． 4．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC 中，AB=AC，∠B=70°，则∠A 的度数是（ ） A ．70° B ．55° C ．50° D ．40°
【答案】：D ．
【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B =70°，再根据三角形内角和定理得∠A =180°-∠C -∠B =180°-70°-70°=40°. 故选D .
【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理. 等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.
6．（2013贵州毕节，7，3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等
A ．80° B ．50° C ．40° D ．20° 考点：等腰三角形的性质．
分析：根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解． 解答：解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为（180°－80°）＝50°．故选B ．
点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．
8．（2013上海市，6，4分）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中，
能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ）
（A ）∠BDC =∠BCD ；（B ）∠ABC =∠DAB ；（C ）∠ADB =∠DAC ；（D ）∠AOB =∠BOC ．
9．（2013河北省，8，3分）如图1，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，
它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的 距离为
A ．40海里 B ．60海里 C ．70海里 D ．80海里
答案：
D
解析：依题意，知MN ＝40×2＝80，又∠M ＝70°，∠N ＝40°， 所以，∠MPN ＝70°，从而NP ＝NM ＝80，选D ＞ .
二、填空题。
1. （2013湖北黄冈，11，3分）已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使
CE =CD =1，连接DE ，则DE ＝．
【答案】．
【解析】根据等边三角形的性质，易知∠ACB ＝60°，∠DBC ＝30°，BD ⊥AC ，所以BC ＝2CD ＝2，∠E ＝∠CDE ＝
1
∠ACB ＝30°，从而有BD
＝3，∠DBC ＝2
∠E ＝30°，所以DE ＝BD ＝．
【方法指导】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．上面解法的求解关键是发现DE ＝DB ，将问题转化为在Rt △BCD 中求DB ．求DB 时，还可根据tan ∠CBD ＝CD
直接求解．另外，也可以过点C 作CF ⊥DE ，根据DE ＝2EF ，将问题转化为求EF ，这BD
又可以通过在Rt △CEF 中运用勾股定理或锐角三角函数求解．
2．(2013湖北荆门，14，3分) 若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______．
【答案】50°或80°．
【解析】(1)若这个内角恰好是顶角，则顶角是50°；(2)若这个内角是底角，则顶角＝180°－2×50°＝80°． 【方法指导】当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论． 3．（2013山东滨州，15，4分）在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=______________． 【答案】：x =65．
【解析】利用等腰三角形等边对等角得到∠B =∠C ，再利用三角形内角和定理可求得
∠B =
11
(180︒-∠A ) =(180︒-50︒) =65︒. 22
【方法指导】本题主要考查了等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理，是基础
题型，较为容易.
4．（2013广东广州，11，3分）点P 在线段AB 的垂直平分线上，P A =7,则PB =______.
【答案】 7.
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
由图可知，PA=PB=7，故答案填7.
【方法指导】对于这类题，通常都是根据题意画出图形，由图形作答． 5．（2013山东菏泽，12，3分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”. “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”) .已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是______(写出1个即可).
(写出1个即可).
【解析】1）根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高h ，h =与一边平行的线段（如图），设DE=x，因为△ADE 与四边形 DBCE 面积要相等，根据三角形相似性质，有（）=
22-12=3；（2）
x
2
2
1. 2
解得
综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系.
【方法指导】根据规定内容的定义，思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分的直线存在有两种情形：（1）高（中线、角平分线）所在线；（2）与一边平行的线. 要把一个三角形面积进行两等份，这样的直线有无数条，都过这个三角形三边中线的交点（重心）. 经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形. 6．（2013江西，14，3分）平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB =120°，∠ACB =60°，AO =BO =2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是． 【答案】2，3，4 【解析】由∠AOB =120°，AO =BO =2画出一个顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，由60︒与120︒互补，60︒是120︒的一半，点C 是动点想到构造圆来解决此题．
【方法指导】本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探究能力． 2．（2013白银，13，4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为
.
三、解答题
1．(2013湖北荆门，19，9分) 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在
AD 上．
(1)求证：BE ＝CE ；
(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变． 求证：△AEF ≌△BCF ．
B D C (第19题图1)
【思路分析】(1)证△ABE ≌△ACE 即可．
(2)△AEF 和△BCF 已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC ＝45°可知ABF 为等腰直角三角形，于是找到对应边AF ，BF 相等． 【解】证明：(1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE ＝∠CAE ． 在△ABE 和△ACE 中， ∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ， △ABE ≌△ACE ． ∴BE ＝CE ． (2)∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形．∴AF ＝BF ． 由(1)知AD ⊥BC ，∴∠EAF ＝∠CBF ． 在△AEF 和△BCF 中，AF ＝BF ，∠AFE ＝∠BFC ＝90°，∠EAF ＝∠CBF ， ∴△AEF ≌△BCF ．
B D C
(第19题图2)
【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （HL 为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.
3
2. （2013上海市，18，4分）如图5，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8， tan C = 2 ，如果将△ABC
沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ， 那么BD 的长为__________．
3. （2013四川巴中，17，3分）方程x 2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，
则这个等腰三角形的周长为 15 ．
D 、E 在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．
4
. （2013上海市，23，12分）如图8，在△ABC 中，∠ABC =90， ∠B >∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，
CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ． （1）求证：DE =EF ；
（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的 延长线于点G ，求证：∠B =∠A +∠DGC ．
图8
5（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE．
．
等腰三角形
一、选择题
1．（2013山东德州，4，3分）如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD=CE,∠D=740, ，则∠B
的度数为（ ）
A 、680 B 、320 C 、220 D 、160 【答案】B.
【解析】在△CDE 中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°, ∴∠C=180°-2×74°=32°. ∵AB ∥CD ，∴∠B=∠C=32°.
【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和. 本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查. 注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质. 2．（2013山东日照，10，4分）如图，在△ABC 中，以BC 为圆的直径分别交边AC 、AB 于D 、E 两点，连接BD 、DE ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论不一定成立的是 A.BD ⊥AC B.AC 2=2AB·AE C. △ADE 是等腰三角形 D. BC＝
2AD.
【答案】D
【解析】∵BC 为圆的直径，∴∠BDC=90°, 即BD ⊥AC 。 ∵BD 平分∠ABC ，∴AD=DC. ∴△ABC 是等腰三角形。 由题意得∠ADE=∠ABC, ∠A 为公共角，∴△ADE ∽△ABC, ∴
AD AE
=, 即AD ⋅AC =AB ⋅AE , ∴AC 2=2AB·AE 。∴△ADE 是等腰三角形。 AB AC
故只有D 不一定正确。
【方法指导】本题是以圆为背景 的几何证明题，涉及到的知道点等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质。
3．(2013四川成都，4，3分) 如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AB ＝5，则AC 的长为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
B
第4题图
C
【答案】D ．
【解析】根据“等边对等角”可知，AC ＝AB ＝5．故选D ．
【方法指导】我们知道“等边对等角”、“等角对等边”．一个三角形中，边和角还有以下关系：“较大的边所对的角较大”、“较大的角所对边较大”． 4．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC 中，AB=AC，∠B=70°，则∠A 的度数是（ ） A ．70° B ．55° C ．50° D ．40°
【答案】：D ．
【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B =70°，再根据三角形内角和定理得∠A =180°-∠C -∠B =180°-70°-70°=40°. 故选D .
【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理. 等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.
6．（2013贵州毕节，7，3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等
A ．80° B ．50° C ．40° D ．20° 考点：等腰三角形的性质．
分析：根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解． 解答：解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为（180°－80°）＝50°．故选B ．
点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．
8．（2013上海市，6，4分）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中，
能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ）
（A ）∠BDC =∠BCD ；（B ）∠ABC =∠DAB ；（C ）∠ADB =∠DAC ；（D ）∠AOB =∠BOC ．
9．（2013河北省，8，3分）如图1，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，
它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的 距离为
A ．40海里 B ．60海里 C ．70海里 D ．80海里
答案：
D
解析：依题意，知MN ＝40×2＝80，又∠M ＝70°，∠N ＝40°， 所以，∠MPN ＝70°，从而NP ＝NM ＝80，选D ＞ .
二、填空题。
1. （2013湖北黄冈，11，3分）已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使
CE =CD =1，连接DE ，则DE ＝．
【答案】．
【解析】根据等边三角形的性质，易知∠ACB ＝60°，∠DBC ＝30°，BD ⊥AC ，所以BC ＝2CD ＝2，∠E ＝∠CDE ＝
1
∠ACB ＝30°，从而有BD
＝3，∠DBC ＝2
∠E ＝30°，所以DE ＝BD ＝．
【方法指导】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．上面解法的求解关键是发现DE ＝DB ，将问题转化为在Rt △BCD 中求DB ．求DB 时，还可根据tan ∠CBD ＝CD
直接求解．另外，也可以过点C 作CF ⊥DE ，根据DE ＝2EF ，将问题转化为求EF ，这BD
又可以通过在Rt △CEF 中运用勾股定理或锐角三角函数求解．
2．(2013湖北荆门，14，3分) 若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______．
【答案】50°或80°．
【解析】(1)若这个内角恰好是顶角，则顶角是50°；(2)若这个内角是底角，则顶角＝180°－2×50°＝80°． 【方法指导】当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论． 3．（2013山东滨州，15，4分）在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=______________． 【答案】：x =65．
【解析】利用等腰三角形等边对等角得到∠B =∠C ，再利用三角形内角和定理可求得
∠B =
11
(180︒-∠A ) =(180︒-50︒) =65︒. 22
【方法指导】本题主要考查了等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理，是基础
题型，较为容易.
4．（2013广东广州，11，3分）点P 在线段AB 的垂直平分线上，P A =7,则PB =______.
【答案】 7.
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
由图可知，PA=PB=7，故答案填7.
【方法指导】对于这类题，通常都是根据题意画出图形，由图形作答． 5．（2013山东菏泽，12，3分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”. “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”) .已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是______(写出1个即可).
(写出1个即可).
【解析】1）根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高h ，h =与一边平行的线段（如图），设DE=x，因为△ADE 与四边形 DBCE 面积要相等，根据三角形相似性质，有（）=
22-12=3；（2）
x
2
2
1. 2
解得
综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系.
【方法指导】根据规定内容的定义，思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分的直线存在有两种情形：（1）高（中线、角平分线）所在线；（2）与一边平行的线. 要把一个三角形面积进行两等份，这样的直线有无数条，都过这个三角形三边中线的交点（重心）. 经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形. 6．（2013江西，14，3分）平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB =120°，∠ACB =60°，AO =BO =2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是． 【答案】2，3，4 【解析】由∠AOB =120°，AO =BO =2画出一个顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，由60︒与120︒互补，60︒是120︒的一半，点C 是动点想到构造圆来解决此题．
【方法指导】本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探究能力． 2．（2013白银，13，4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为
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三、解答题
1．(2013湖北荆门，19，9分) 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在
AD 上．
(1)求证：BE ＝CE ；
(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变． 求证：△AEF ≌△BCF ．
B D C (第19题图1)
【思路分析】(1)证△ABE ≌△ACE 即可．
(2)△AEF 和△BCF 已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC ＝45°可知ABF 为等腰直角三角形，于是找到对应边AF ，BF 相等． 【解】证明：(1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE ＝∠CAE ． 在△ABE 和△ACE 中， ∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ， △ABE ≌△ACE ． ∴BE ＝CE ． (2)∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形．∴AF ＝BF ． 由(1)知AD ⊥BC ，∴∠EAF ＝∠CBF ． 在△AEF 和△BCF 中，AF ＝BF ，∠AFE ＝∠BFC ＝90°，∠EAF ＝∠CBF ， ∴△AEF ≌△BCF ．
B D C
(第19题图2)
【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （HL 为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.
3
2. （2013上海市，18，4分）如图5，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8， tan C = 2 ，如果将△ABC
沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ， 那么BD 的长为__________．
3. （2013四川巴中，17，3分）方程x 2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，
则这个等腰三角形的周长为 15 ．
D 、E 在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．
4
. （2013上海市，23，12分）如图8，在△ABC 中，∠ABC =90， ∠B >∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，
CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ． （1）求证：DE =EF ；
（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的 延长线于点G ，求证：∠B =∠A +∠DGC ．
图8
5（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE．
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