椭圆中的一组“定值”命题
江苏省泰州市第三高级中学 周淦利 （225300）
圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。笔者在长时间的教学实践中，以椭圆为载体，探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题，当然属于瀚宇之探微，现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助，也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中，能够利用类比的方法，探索总结出相关的结论。
x2y2
命题1 经过原点的直线l与椭圆2+2=1(a>b>0)相交于M、N两点，P是椭圆上的动点，
ab
直线PM、PN的斜率都存在，则kPM
b2
⋅kPN为定值-2.
a
2
y0-y1y0+y1y0-y12
*），=⋅=2
2
x0-x1x0+x1x0-x1
证明：设P(x0,y0)，则kPM⋅kPNM(x1,y1)，N(-x1,-y1)，
2
x0x12x2y22222
而点P、M均在椭圆2+2=1上，故y0=b(1-2)，y1=b(1-2)，代入（*）便可得到
abaa
kPM⋅kPN
b2
=-2.
a
x2y2
+=1的左右两个顶点，P是椭圆上异于A、B的任意一练习： 已知A、B分别是椭圆
169
点，则kPA⋅kPB=. （答案：-
9
）. 16
x2y2
命题2 设A、B、C是椭圆2+2=1(a>b>0)上的三个不同点，B、C关于x轴对称，直
ab
线AB、AC分别与x轴交于M、N两点，则OM⋅ON为定值a.
证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x2,-y2)，则
2
直线AB的方程为y-y1=得
M
点
y1-y2
(x-x1)，令y=0x1-x2
的
横
坐
标
xM=-y1⋅
x1-x2xy-x2y1
，同理可得N+x1=12
y1-y2y2-y1
，由
于
222
x1y2+x2y1x12y2-x2y1
点的横坐标xN=，于是OM⋅ON=xM⋅xN=2
y2+y1y2-y12
22
⎧x12y12⎧x12y2y12y22
+=1+=y2222⎪⎪x12y2-x2y1⎪a2b2⎪a2b222
⇒⇒=y-y⎨2⎨21222222
a⎪x2+y2=1⎪x2y1+y2y1=y2
1⎪⎪b2⎩a2b2⎩a2
，因此有
OM⋅ON=xM⋅xN
222
x12y2-x2y12
. ==a22
y2-y1
x2y2
+=1的上下两个顶点，P是椭圆上异于B1，B2的动点，练习： 设B1，B2分别是椭圆
2516
直线PB1，PB2分别交x轴于M、N两点，则OM⋅ON=. （答案：25）.
x2y2
命题3 过椭圆2+2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)任意作两条斜率互为相反数的直线交
ab
b2x0
椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值2.
ay0
证明：设直线PM的方程为y-y0=k(x-x0)，则直线PN的方程为y-y0=-k(x-x0)，
联立
y-y0=k(x-x0)
和
x2y2
+2=1组成方程组，消去2ab
y可得
(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，则
2a2k(y0-kx0)
x1+x0=-
a2k2+b2
，
可
得
(a2k2-b2)x0-2a2ky0
x1=
a2k2+b2
，同理可得
(a2k2-b2)x0+2a2ky02(a2k2-b2)x0-4a2ky0
x2=， 则x1+x2=， x1-x2=22，于是2222222
ak+bak+bak+b-4b2kx0
y1-y2=k(x1-x0)+y0+k(x2-x0)-y0=k(x1+x2)-2kx0=22， 故直线MN的斜
ak+b2
y1-y2b2x0
率为. =
x1-x2a2y0
x2+y2=1，过点A(-2,)作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，练习： 已知椭圆162
分别交椭圆于P、Q两点，则直线PQ的斜率为 . （答案：-
）. 12
x2y2
',y0')作两条斜率互为相反数命题4分别过椭圆2+2=1(a>b>0)上两点P(x0,y0),Q(x0
ab
的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值
')b2(x0+x0
. 2
')a(y0+y0
证明：设直线PM的方程为y-y0=k(x-x0)，联
x2y2
立y-y0=k(x-x0)和2+2=1组成方程组，消去y
ab
可得(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2)，则
2a2k(y0-kx0)
x1+x0=-
a2k2+b2'+2a2ky0'(a2k2-b2)x0
x2=
a2k2+b2
，可得
(a2k2-b2)x0-2a2ky0
x1=
a2k2+b2
，同理可得
，则
'+x0)+2a2k(y0'-y0)(a2k2-b2)(x0
x1+x2=
a2k2+b2
，
于
是
，
')-2a2k(y0+y0')(a2k2-b2)(x0-x0
x1-x2=
a2k2+b2
有
')+y0'=k(x1-x2)+k(x0'-x0)+y0'+y0y1+y2=k(x1-x0)+y0-k(x2-x0
22
'-x0)-(a2k2-b2)(y0'+y0)2b2k(x0x0y0
=. 因为点P、Q都在椭圆上，所以2+2=1，
a2k2+b2ab
'2y0'2'-y0')x0y1-y2b2(x1+x2)y0b2(x0+x0
+2=1，两式相减可得，同理可得，令=-2=-2
'-x0')a2bx1-x2x0a(y0+y0a(y1+y2)
'-y0=tb2(x0+x0')y0
①，
'-x0=-ta2(y0+y0')x0
②，则
'+x0)+2a2k(y0'-y0)]b2[(a2k2-b2)(x0y1-y2b2(x1+x2)
，将①、②代入便有=-2=-22
222
''x1-x2a(y1+y2)a[2bk(x0-x0)-(ak-b)(y0+y0)]')')b2(x0+x0y1-y2b2(x0+x0
，即直线MN的斜率为定值2. =
')')x1-x2a2(y0+y0a(y0+y0
x2y2
+=1上两点A(2,2),B(6,-1)作两条倾斜角互补且不平行于坐标练习： 分别过椭圆84
轴的直线，交椭圆于另外两点P、Q，则直线PQ的斜率为 . （6+23+22+2
）.
2
椭圆中的一组“定值”命题
江苏省泰州市第三高级中学 周淦利 （225300）
圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。笔者在长时间的教学实践中，以椭圆为载体，探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题，当然属于瀚宇之探微，现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助，也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中，能够利用类比的方法，探索总结出相关的结论。
x2y2
命题1 经过原点的直线l与椭圆2+2=1(a>b>0)相交于M、N两点，P是椭圆上的动点，
ab
直线PM、PN的斜率都存在，则kPM
b2
⋅kPN为定值-2.
a
2
y0-y1y0+y1y0-y12
*），=⋅=2
2
x0-x1x0+x1x0-x1
证明：设P(x0,y0)，则kPM⋅kPNM(x1,y1)，N(-x1,-y1)，
2
x0x12x2y22222
而点P、M均在椭圆2+2=1上，故y0=b(1-2)，y1=b(1-2)，代入（*）便可得到
abaa
kPM⋅kPN
b2
=-2.
a
x2y2
+=1的左右两个顶点，P是椭圆上异于A、B的任意一练习： 已知A、B分别是椭圆
169
点，则kPA⋅kPB=. （答案：-
9
）. 16
x2y2
命题2 设A、B、C是椭圆2+2=1(a>b>0)上的三个不同点，B、C关于x轴对称，直
ab
线AB、AC分别与x轴交于M、N两点，则OM⋅ON为定值a.
证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x2,-y2)，则
2
直线AB的方程为y-y1=得
M
点
y1-y2
(x-x1)，令y=0x1-x2
的
横
坐
标
xM=-y1⋅
x1-x2xy-x2y1
，同理可得N+x1=12
y1-y2y2-y1
，由
于
222
x1y2+x2y1x12y2-x2y1
点的横坐标xN=，于是OM⋅ON=xM⋅xN=2
y2+y1y2-y12
22
⎧x12y12⎧x12y2y12y22
+=1+=y2222⎪⎪x12y2-x2y1⎪a2b2⎪a2b222
⇒⇒=y-y⎨2⎨21222222
a⎪x2+y2=1⎪x2y1+y2y1=y2
1⎪⎪b2⎩a2b2⎩a2
，因此有
OM⋅ON=xM⋅xN
222
x12y2-x2y12
. ==a22
y2-y1
x2y2
+=1的上下两个顶点，P是椭圆上异于B1，B2的动点，练习： 设B1，B2分别是椭圆
2516
直线PB1，PB2分别交x轴于M、N两点，则OM⋅ON=. （答案：25）.
x2y2
命题3 过椭圆2+2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)任意作两条斜率互为相反数的直线交
ab
b2x0
椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值2.
ay0
证明：设直线PM的方程为y-y0=k(x-x0)，则直线PN的方程为y-y0=-k(x-x0)，
联立
y-y0=k(x-x0)
和
x2y2
+2=1组成方程组，消去2ab
y可得
(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，则
2a2k(y0-kx0)
x1+x0=-
a2k2+b2
，
可
得
(a2k2-b2)x0-2a2ky0
x1=
a2k2+b2
，同理可得
(a2k2-b2)x0+2a2ky02(a2k2-b2)x0-4a2ky0
x2=， 则x1+x2=， x1-x2=22，于是2222222
ak+bak+bak+b-4b2kx0
y1-y2=k(x1-x0)+y0+k(x2-x0)-y0=k(x1+x2)-2kx0=22， 故直线MN的斜
ak+b2
y1-y2b2x0
率为. =
x1-x2a2y0
x2+y2=1，过点A(-2,)作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，练习： 已知椭圆162
分别交椭圆于P、Q两点，则直线PQ的斜率为 . （答案：-
）. 12
x2y2
',y0')作两条斜率互为相反数命题4分别过椭圆2+2=1(a>b>0)上两点P(x0,y0),Q(x0
ab
的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值
')b2(x0+x0
. 2
')a(y0+y0
证明：设直线PM的方程为y-y0=k(x-x0)，联
x2y2
立y-y0=k(x-x0)和2+2=1组成方程组，消去y
ab
可得(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2)，则
2a2k(y0-kx0)
x1+x0=-
a2k2+b2'+2a2ky0'(a2k2-b2)x0
x2=
a2k2+b2
，可得
(a2k2-b2)x0-2a2ky0
x1=
a2k2+b2
，同理可得
，则
'+x0)+2a2k(y0'-y0)(a2k2-b2)(x0
x1+x2=
a2k2+b2
，
于
是
，
')-2a2k(y0+y0')(a2k2-b2)(x0-x0
x1-x2=
a2k2+b2
有
')+y0'=k(x1-x2)+k(x0'-x0)+y0'+y0y1+y2=k(x1-x0)+y0-k(x2-x0
22
'-x0)-(a2k2-b2)(y0'+y0)2b2k(x0x0y0
=. 因为点P、Q都在椭圆上，所以2+2=1，
a2k2+b2ab
'2y0'2'-y0')x0y1-y2b2(x1+x2)y0b2(x0+x0
+2=1，两式相减可得，同理可得，令=-2=-2
'-x0')a2bx1-x2x0a(y0+y0a(y1+y2)
'-y0=tb2(x0+x0')y0
①，
'-x0=-ta2(y0+y0')x0
②，则
'+x0)+2a2k(y0'-y0)]b2[(a2k2-b2)(x0y1-y2b2(x1+x2)
，将①、②代入便有=-2=-22
222
''x1-x2a(y1+y2)a[2bk(x0-x0)-(ak-b)(y0+y0)]')')b2(x0+x0y1-y2b2(x0+x0
，即直线MN的斜率为定值2. =
')')x1-x2a2(y0+y0a(y0+y0
x2y2
+=1上两点A(2,2),B(6,-1)作两条倾斜角互补且不平行于坐标练习： 分别过椭圆84
轴的直线，交椭圆于另外两点P、Q，则直线PQ的斜率为 . （6+23+22+2
）.
2