一
维热传导方 程昀推导
郑 州幼儿 师 范高等 专科 学校 贾海峰
［ 摘 要］ 热传导 方程是一个重要 的偏微分 方程 ， 它主要 用于描述一 个区域 内的温度如何 随时 间变化 。热传 导方程也是 最简单 的一 种 抛物型 方程 ， 也常被称作 扩散 方程 。热传导方程在许 多数 学模 型中 出现——热传 导、 金 融现 象、 粒子扩散 等。 完成热 方程 的推 导 意义重大。本文分别 用两种方 法通过 考虑物体 内的热流率给 出热传导方程的推导 ， 然后 比较这 两种方法得到的热传导方程。
［ 关键 词 ］ 一维热传导方程
１ ． 介 绍
推导
关 。为 ｒ 证 明这 是 正 确 的 ， 我 们需 要 表 不 出 区域 Ｕ的 热量 ， Ｕ的边界 是 ：
ｎ＝ ｚ：０ ． ｂ： ａ＋ 。
在 我 们开 始关 于 热方 程 的数学 讨论 之 前 ， 我们 必须 先 确定 术语 “ 热” 的意义 是什 么。一个很 常见的误解术 语“ 热” 的例子 ， 非 常经典 的 物理 问题 ： 一盆温水 和一杯 开水 ， 哪个含的热量多 ？我们 都知道一杯开 水有较高 的温度 ， 但没有一盆温水 的热量多 。 因此 ， 在计 算关 于热 的 问题 时 ， 我们必 须区分这两 个度量 ： 温度 的 度量 跟物体所含热量 的度量。在这里提到 的热都是关 于物体所含热量
的。 ２ ． 热方 程的推 导
如果温度 “ 十 ， ） ＞ ｕ （ ａ ， ｔ ） ， 那么 △ Ｑ将 是负的。这是合理 的， 因 为 如果 ｂ 处 的温度 高于 ａ 处的 ， 热 量会从 ｂ 流向 ａ ， 导致热量 流出细杆 。 让（ ２ — ６ ） 式中△ ｚ — ｏ， 差商项将 接近 。那么通 过ａ 处 的热流速度可
以表示为 ：
一
ｃ （ ） ｓ
（ ２ — ７ ）
研究某 一物体 内的热 流率 有两种方法 。一种是考虑研 究对象的物 质 的属性ｎ ， 另一种是考虑热量通过研究对象边界 的速度。 ２ ． １ 方法一 实验计算 表明 ： ｔ 时刻 △ 内的热量 Ｑ 可以 由下面式子给 出。
Ｌ ｘ Ｑ＝ｃ ｐ ｕ ＡＶ （ ２ － １ ）
根据 同样 的讨论 ， 我们可 以得到 ｂ 处 的热流速度为 ： ｃ Ｏ Ｕ （ ６ｆ
，
（ ２ — ８ ）
于是 ， ｔ 时刻 Ｕ所含的热量可以表示为 ：
ｄ Ｑ
＝
其中ｅ 是 比热 ， Ｐ 是密度 ， ｕ 是温度 ， △ 是体积元 。考 虑这样一根 细杆 ， 如图 １ 。由单一材料组成 ， 沿着杆长 的边界 完全绝热 ， 热量只能通 过两 端流 入或 流 出。沿着杆 长 的任 意一 点标记 为 Ｘ ， 杆 的总长度 记作 Ｌ， 则： ０ Ｘ Ｌ 。 由此 我们发现温度 Ｉ １ 只和位置 ｘ 、
时间ｔ 有关 。于是有 ：
△Ｑ＝ｃ ｐ ｕ （ ｘ， ｔ ） ＡＶ （ ２ － ２ ）
Ｃ ［ ￣ ｚ Ｕ － （ ｂ ， ￡ ） ＿ ａ ｕ （ ｎ ， ￡ ） Ｉ ｓ
ｂ ｄ
（ ２ － ９ ）
如果我们对 （ ２ — ９ ） 式应 用微分 基本定 理 ， 可以得 到：
ｄ Ｑ
＝
Ｌ
Ｏ ｕｓ ） 出
由于我们考 虑的是单一物质组成 、 有 固定 的横截面积 的细杆 ， 我们 可 以说 Ｃ、 Ｓ 是常数 。于是表达式可 以改写为 ：
＝
ｃ
（ ２ － １ ｏ ）
３ ． 比较两种方法
现在我们有两个等式来表示进 出区域 Ｕ热量的流速。
图 １长为 Ｌ 的均匀细杆 现在考 虑细杆的一小段区域 ｕ ， 如 图２ 。从 ｘ ＝ ａ ， 到ｘ ＝ ｂ 的间隔段 。
方法一 ：
＝
￡ ｃ ｐ 出 Ｓ
｜
图 ２ 区域 Ｕ 其横截 面积 记作 ｓ ， 长度元记作 ， 如图 ３ 。得 到 ： Ａ Ｖ＝ Ｓ Ａ ｘ。
方法二 ：
一
ｃ 象
出Ｓ （ ２ － １ １ ）
由于两个等式都 模拟 了通 过某 一细杆 的热流速度 ， 我 们令这两等 式相等 。
Ｃ
图３微元
移项到等式 同一边 ， 消去公共项 。
ｃ 一 ：ｏ
我们现 在可以将所选元的热量表示 为：
△Ｑ＝ｃ ｐ ｕ （ ｘ， ｔ ） Ｓ ＆ｒ （ ２ － ３ ） （ ２ — ４ ）
即：
为得 到 ｔ 时刻区域 ｕ的热 量 ， 我们 取积分 ：
Ｄ
Ｑ（ ｆ ）
ｃ ｐ ｕ （ ｘ， ｔ ） Ｓ ｄ ｘ
（ ｃ
一叩
＝ｏ
由于杆是 均匀的 ， ｓ 不随时间改变 。而且 我们 考虑的是单一材料组 成 的细杆 ， 比热 ｃ ， 密度 Ｐ 都跟 时间无关 所 以两边微分 ， 右边则 是 ｕ 的 偏微分 ， 得到热 量关 于时间的变化为 ：
：
但是 ， 只有 当被积 函数等 于零 时积分才恒等于零 。于是有 ：
ｃ 一 鲁＝ ｏ
等式两边 同时 除以 ｃ ｐ 得：
—
ⅡＺ
ｆ 。 ｄ ｚ Ｓ
口 ｆ
（ ２ － ５ ）
２ ． ２ 方法二 我们 研究热 量随时 问变 化 的第 二种方法也 是根据 实验 的， 考 虑跟 方法 一 中类 似的细杆 。通过 ｕ的热 流速度 跟 Ｕ的长度成 反 比， 而 与其 横截面积成 正 比。这是合理 的 ， 因为杆越长 ， 热量通过它所 花的时间就 越长 。如果 你有两根细杆 ， 一 根直 径大 ， 另一根直径较小 。热量通过较 大直径 的细杆所 花 的时间 比通过直 径较小 细杆所花 的时间要小 ， 对于
Ｚ Ｃ Ｏ ｕ Ｏ ｕ ０ ｃ ｐ ０ Ｏ ｔ
— — — — — — —
：
将常数都化为一个数 ｋ ， 即令 ： ， 等式 变为 ：
ｃ ｐ
一
嘉＝ ｏ
（
２ － ｌ ２ ）
（ ２ － １ ３ ）
这个等式更广泛地写成下标形式 ， 即：
“ ， ＝
横截 面积也是 同样 的道 理。 当两个 不同温度 物体放在 一起时 ， 热 量会 从温 度高 的一方 流向温 度低 的一 方 。利 用这个 特性 ， 如果 ｘ ＝ ｂ 处 的温 度大于 ｘ ＝ ａ 处 的温度 ， 则热量会从 ｂ — ａ，如图 ４ ：
其中ｋ 被定 义为热扩 散率 。现 在我们 推导 了热传 导方程 ， 也称作 扩散方程 。这个 等式通过描述 ｔ 时刻沿着杆长各个位置 的温度 ， 模拟 了
热 量 通 过 细 杆 的过 程 。
图 ４温度流 向示意 图 结合这些特 性我们发现 ： △Ｑ：一Ｃｕ （ ａ ＋＆ ｒｔ ） －ｕ （ ａ ， ｔ ） Ｓ
，
．．
参考 文献 ｌ １ ｊ Ｐ ｏ ｌ ｋ ｉ ｎ ｇ ， Ｊ ｏ ｈ ｎ ． Ａ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ ， Ｂ ｏ ｇ ｇ ｅ ｓ ． Ｄａ ｖ ｅ ， Ａ ｍｏ ｌ ｄ Ｄｉ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅ ｑ ｕ ａ —
ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ． Ｐｒ ｅ ｎ ｉｃ ｔ ｅ Ｈａ ｌ １ ． ２ ０ ０ ２ ．
（ ２
—
１ ２ｌ Ｈ． Ａ． Ｌ ｅ ｖ ｉ ｎ ｅ ａ ｎ ｄ Ｒ． Ａ Ｓ ｍｉ ｔ ｈ ， Ａ ｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｗｅ ｌ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ６ ）
ｈｅ ａ ｔ ｅ ｑ ｕ ａ ｉ ｔ ｏｎ ｗｉ ｔ ｈ ａ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｎｄ ａ ｒ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｉ ｔ ｏ ｎ， Ｍａ ｔ ｈ． Ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ ｓ Ａｐ ｐ １ ．
ＬＵ
比例常数 Ｃ被称为导热系数 ， 这个因数跟被估计对象的材料有
Ｓ ｃ ｉ ． ９（ １ ９ ８ ７ ） ， １ ２ ７ — １ ３ ６ ．
—－— —
１ ５ ９・ － — —
一
维热传导方 程昀推导
郑 州幼儿 师 范高等 专科 学校 贾海峰
［ 摘 要］ 热传导 方程是一个重要 的偏微分 方程 ， 它主要 用于描述一 个区域 内的温度如何 随时 间变化 。热传 导方程也是 最简单 的一 种 抛物型 方程 ， 也常被称作 扩散 方程 。热传导方程在许 多数 学模 型中 出现——热传 导、 金 融现 象、 粒子扩散 等。 完成热 方程 的推 导 意义重大。本文分别 用两种方 法通过 考虑物体 内的热流率给 出热传导方程的推导 ， 然后 比较这 两种方法得到的热传导方程。
［ 关键 词 ］ 一维热传导方程
１ ． 介 绍
推导
关 。为 ｒ 证 明这 是 正 确 的 ， 我 们需 要 表 不 出 区域 Ｕ的 热量 ， Ｕ的边界 是 ：
ｎ＝ ｚ：０ ． ｂ： ａ＋ 。
在 我 们开 始关 于 热方 程 的数学 讨论 之 前 ， 我们 必须 先 确定 术语 “ 热” 的意义 是什 么。一个很 常见的误解术 语“ 热” 的例子 ， 非 常经典 的 物理 问题 ： 一盆温水 和一杯 开水 ， 哪个含的热量多 ？我们 都知道一杯开 水有较高 的温度 ， 但没有一盆温水 的热量多 。 因此 ， 在计 算关 于热 的 问题 时 ， 我们必 须区分这两 个度量 ： 温度 的 度量 跟物体所含热量 的度量。在这里提到 的热都是关 于物体所含热量
的。 ２ ． 热方 程的推 导
如果温度 “ 十 ， ） ＞ ｕ （ ａ ， ｔ ） ， 那么 △ Ｑ将 是负的。这是合理 的， 因 为 如果 ｂ 处 的温度 高于 ａ 处的 ， 热 量会从 ｂ 流向 ａ ， 导致热量 流出细杆 。 让（ ２ — ６ ） 式中△ ｚ — ｏ， 差商项将 接近 。那么通 过ａ 处 的热流速度可
以表示为 ：
一
ｃ （ ） ｓ
（ ２ — ７ ）
研究某 一物体 内的热 流率 有两种方法 。一种是考虑研 究对象的物 质 的属性ｎ ， 另一种是考虑热量通过研究对象边界 的速度。 ２ ． １ 方法一 实验计算 表明 ： ｔ 时刻 △ 内的热量 Ｑ 可以 由下面式子给 出。
Ｌ ｘ Ｑ＝ｃ ｐ ｕ ＡＶ （ ２ － １ ）
根据 同样 的讨论 ， 我们可 以得到 ｂ 处 的热流速度为 ： ｃ Ｏ Ｕ （ ６ｆ
，
（ ２ — ８ ）
于是 ， ｔ 时刻 Ｕ所含的热量可以表示为 ：
ｄ Ｑ
＝
其中ｅ 是 比热 ， Ｐ 是密度 ， ｕ 是温度 ， △ 是体积元 。考 虑这样一根 细杆 ， 如图 １ 。由单一材料组成 ， 沿着杆长 的边界 完全绝热 ， 热量只能通 过两 端流 入或 流 出。沿着杆 长 的任 意一 点标记 为 Ｘ ， 杆 的总长度 记作 Ｌ， 则： ０ Ｘ Ｌ 。 由此 我们发现温度 Ｉ １ 只和位置 ｘ 、
时间ｔ 有关 。于是有 ：
△Ｑ＝ｃ ｐ ｕ （ ｘ， ｔ ） ＡＶ （ ２ － ２ ）
Ｃ ［ ￣ ｚ Ｕ － （ ｂ ， ￡ ） ＿ ａ ｕ （ ｎ ， ￡ ） Ｉ ｓ
ｂ ｄ
（ ２ － ９ ）
如果我们对 （ ２ — ９ ） 式应 用微分 基本定 理 ， 可以得 到：
ｄ Ｑ
＝
Ｌ
Ｏ ｕｓ ） 出
由于我们考 虑的是单一物质组成 、 有 固定 的横截面积 的细杆 ， 我们 可 以说 Ｃ、 Ｓ 是常数 。于是表达式可 以改写为 ：
＝
ｃ
（ ２ － １ ｏ ）
３ ． 比较两种方法
现在我们有两个等式来表示进 出区域 Ｕ热量的流速。
图 １长为 Ｌ 的均匀细杆 现在考 虑细杆的一小段区域 ｕ ， 如 图２ 。从 ｘ ＝ ａ ， 到ｘ ＝ ｂ 的间隔段 。
方法一 ：
＝
￡ ｃ ｐ 出 Ｓ
｜
图 ２ 区域 Ｕ 其横截 面积 记作 ｓ ， 长度元记作 ， 如图 ３ 。得 到 ： Ａ Ｖ＝ Ｓ Ａ ｘ。
方法二 ：
一
ｃ 象
出Ｓ （ ２ － １ １ ）
由于两个等式都 模拟 了通 过某 一细杆 的热流速度 ， 我 们令这两等 式相等 。
Ｃ
图３微元
移项到等式 同一边 ， 消去公共项 。
ｃ 一 ：ｏ
我们现 在可以将所选元的热量表示 为：
△Ｑ＝ｃ ｐ ｕ （ ｘ， ｔ ） Ｓ ＆ｒ （ ２ － ３ ） （ ２ — ４ ）
即：
为得 到 ｔ 时刻区域 ｕ的热 量 ， 我们 取积分 ：
Ｄ
Ｑ（ ｆ ）
ｃ ｐ ｕ （ ｘ， ｔ ） Ｓ ｄ ｘ
（ ｃ
一叩
＝ｏ
由于杆是 均匀的 ， ｓ 不随时间改变 。而且 我们 考虑的是单一材料组 成 的细杆 ， 比热 ｃ ， 密度 Ｐ 都跟 时间无关 所 以两边微分 ， 右边则 是 ｕ 的 偏微分 ， 得到热 量关 于时间的变化为 ：
：
但是 ， 只有 当被积 函数等 于零 时积分才恒等于零 。于是有 ：
ｃ 一 鲁＝ ｏ
等式两边 同时 除以 ｃ ｐ 得：
—
ⅡＺ
ｆ 。 ｄ ｚ Ｓ
口 ｆ
（ ２ － ５ ）
２ ． ２ 方法二 我们 研究热 量随时 问变 化 的第 二种方法也 是根据 实验 的， 考 虑跟 方法 一 中类 似的细杆 。通过 ｕ的热 流速度 跟 Ｕ的长度成 反 比， 而 与其 横截面积成 正 比。这是合理 的 ， 因为杆越长 ， 热量通过它所 花的时间就 越长 。如果 你有两根细杆 ， 一 根直 径大 ， 另一根直径较小 。热量通过较 大直径 的细杆所 花 的时间 比通过直 径较小 细杆所花 的时间要小 ， 对于
Ｚ Ｃ Ｏ ｕ Ｏ ｕ ０ ｃ ｐ ０ Ｏ ｔ
— — — — — — —
：
将常数都化为一个数 ｋ ， 即令 ： ， 等式 变为 ：
ｃ ｐ
一
嘉＝ ｏ
（
２ － ｌ ２ ）
（ ２ － １ ３ ）
这个等式更广泛地写成下标形式 ， 即：
“ ， ＝
横截 面积也是 同样 的道 理。 当两个 不同温度 物体放在 一起时 ， 热 量会 从温 度高 的一方 流向温 度低 的一 方 。利 用这个 特性 ， 如果 ｘ ＝ ｂ 处 的温 度大于 ｘ ＝ ａ 处 的温度 ， 则热量会从 ｂ — ａ，如图 ４ ：
其中ｋ 被定 义为热扩 散率 。现 在我们 推导 了热传 导方程 ， 也称作 扩散方程 。这个 等式通过描述 ｔ 时刻沿着杆长各个位置 的温度 ， 模拟 了
热 量 通 过 细 杆 的过 程 。
图 ４温度流 向示意 图 结合这些特 性我们发现 ： △Ｑ：一Ｃｕ （ ａ ＋＆ ｒｔ ） －ｕ （ ａ ， ｔ ） Ｓ
，
．．
参考 文献 ｌ １ ｊ Ｐ ｏ ｌ ｋ ｉ ｎ ｇ ， Ｊ ｏ ｈ ｎ ． Ａ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ ， Ｂ ｏ ｇ ｇ ｅ ｓ ． Ｄａ ｖ ｅ ， Ａ ｍｏ ｌ ｄ Ｄｉ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅ ｑ ｕ ａ —
ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ． Ｐｒ ｅ ｎ ｉｃ ｔ ｅ Ｈａ ｌ １ ． ２ ０ ０ ２ ．
（ ２
—
１ ２ｌ Ｈ． Ａ． Ｌ ｅ ｖ ｉ ｎ ｅ ａ ｎ ｄ Ｒ． Ａ Ｓ ｍｉ ｔ ｈ ， Ａ ｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｗｅ ｌ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ６ ）
ｈｅ ａ ｔ ｅ ｑ ｕ ａ ｉ ｔ ｏｎ ｗｉ ｔ ｈ ａ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｎｄ ａ ｒ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｉ ｔ ｏ ｎ， Ｍａ ｔ ｈ． Ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ ｓ Ａｐ ｐ １ ．
ＬＵ
比例常数 Ｃ被称为导热系数 ， 这个因数跟被估计对象的材料有
Ｓ ｃ ｉ ． ９（ １ ９ ８ ７ ） ， １ ２ ７ — １ ３ ６ ．
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