热传导方程

热方程

1．1简介

我们今天要讨论的基本问题的解决方案涉及部分差速器壳体等式中,这类问题在各个领域出现的科学和 工程。一个偏微分方程（PDE）是一个数学方程含有偏导数，例如

uu30 （1.1.1） tx

我们可以开始我们的研究，通过确定哪些函数u(x,t)满足（1.1.1）。但是，我们更愿意通过调查物理问题开始。我们这样做原因有两个。第一，我们的数学技术可能会对你很实用当它变得清晰，这些方法分析物理问题；第二，我们实际上会发现物理的考虑对我们的数学发展有很大的激励。

许多不同的学科领域工程和物理科学以偏微分方程的研究为主。没有列表可能是可以全部包含在内的。然而，以下的例子给你的感觉是不同类型领域都高度依赖偏微分方程研究：声学，空气动力学，弹性力学，电动力学，流体动力学，地球物理学 (地震波传播），换热设备， 气象学，海洋学，光学，石油工程，等离子体物理（离子液体和气体），量子力学。

我们将会按照一定的应用数学哲学分析的一个问题将会有三个阶段:

1. 构想规划

2. 解决方案

3. 详细解释

我们首先拟定描述的传球热能的热流量方程。热能是由分子物质搅拌引起的。热能移动的顺序发生的两个基本流程：传导和对流。在其中的一个分子的振动动能被转移到最相邻分子传导结果。因此，热能被传导即使分子本身并不移动自己的位置。此外，如果一个振动的分子从一个区域移动到另一个，伴随着热能。这种类型的热能运动被称为对流。以相对简单的问题开始我们的研究，我们学习热流仅仅是因为热能的传导比对流更为重要。因此，我们会觉得热流量主要是在固体的情况下。虽然热传递在流体(液体和气体)也主要是通过传导如果流体速度足够小。

1.2 在一维棒中的热传导的取得

1、热能量密度 我们首先考虑杆变截面积A在x 方向 （从x0，则 xL) 如图中所示。1.2.1我们临时地以相当数量热能每个单位体积作为一未知变量，并且称它热能密度：

e(x,t)热能量密度。

我们假设所有散热数量都是恒定在一个部分；棒是一维的。这是可能实现的最简单方法是完全绝缘杆的侧表面面积。然后没有热能可以通过侧面。x和t的依赖于杆不均匀加热的情况；从一个横截面各有不同的热能量密度。

图1.2.1一维杆的热能量进和出的薄切片

2、热方程 第一章

热能 我们考虑一片薄杆包含的x和 xAx如图1.2.2所示。如果散热能量密度是一个常量，然后在切片中的总能量是热的能量密度和体积的产物。一般情况下，能量密度不是恒定的。然而，如果x非常

小，然后e(x,t)可能近似为一个常量，

热能 e(x,t)Ax

所以一切片的容量就是Ax。

热能的保护 在x和xx之间的热能及时变化因为热能量流动跨边缘（x和xx）和内部产生的热能（由于热量能源来源的正反面）。热能的变化不是由于流经侧面，因为我们已经假定侧面是绝缘的。这个热流动的基本方程是通过文字方程描述的

热能的变化及时率  单位时间流动横跨界限的热能  单位时间内生成热量 这被称为热能量守恒。对于切片，热能量变化率的是

[e(x,t)Ax]， t

偏导数t的应用是因为x的固定。

热通量 在一维杆中热能量向左或右的流动。我们介绍热流

(x,t) 热通量 （每单位时间流动到右侧单位表面面积热能源量）

如果(x,t)0，这意味着热能流向左侧。单位时间的切片边界之间流动的热能是(x,t)A(x x,t)A, 由于热通量是单位表面流量并且它必须乘以表面积。如果(x,t)0并且(xx,t)0，如图1.2.1所示。然后在x轴单位时间流动的热能有助于切片中的热能增加，而热流在xx轴减少热能。

热源 我们也允许内部的热能来源：

Q(x,t) 单位时间内单位体积产生的热能

Sec.1.2 一维棒中传热的推导 对一个切片Q(x,t)大约恒定，因此单位时间的薄片中生成的总热能是 Q(x,t)Ax。

热能的守恒 热能量变化率是由于热能量流动跨边界和内部的来源。

[e(x,t)Ax](x,t)A(x,x,t)AQ(x,t)Ax。 （1.2.1） t

方程（1.2.1）是不精确的因为不同数量均假定近似为常数对于这个小的横截面切片。我们主张（1.2.1）变得越来越准确如x0。在做出一个慎重(和在数学上严谨)的推导，我们只是试图解释极限过程中的基本思路，x0。在x0的极限，（1,2,1）没有给出有趣的信息，即0

先用x划分然后如x0为极限，我们得到

0。然而，如果我们首e(x,t)(xx,t)limQ(x,t) （1.2.2） xtx

取消了恒定的截面积。我们主张，这个结果是准确的（没有小的误差）。因此我们用（1.2.2）替换（1.2.1）。在这个限制的过程中，x0，t是保持固定的。因此，从偏导数的定义

eQ （1.2.3） tx

热能量守恒（精确） 热能守恒的另一种推导的优势是我们不被限制于切片。限制过程（x0）

中产生的近似计算可以避免的。我们考虑原始一维棒的有限段（从xa到x

将调查在这个区域的热能守恒。总的热能是

热能流经的侧边（从xa到x

bb）见图（1.2.2）。我们bae(x,t)dx，无穷小切片的总和。再次它会更改仅由于b）和区域内部产生的热能因此 (后取消常数A)

bd edx(a,t)(b,t)Qdx （1.2.4）adta

图1.2.2在棒中热能进出的有限段

。eddt 出现在（1.2.4）dxab在技术上，一个普通的导数 仅取决于t，不仅仅是x。然而，

bedbedxdx， atdta

遇过a和b是常数（并且遇过e是连续的）。这式子在积分寻常导数中现在保持x恒定，因此必须被一个偏导数替换。每个阶段在(1.2.4)中现在是一个普通的积分式，如果我们注意

b(a,t)(b,t)

（是有效的如果是连续能区分的）。所以， adx， x



因此，我们我们得出结论（1.2.3） ba(eQ)dx0。 tx这个积分必须是零对任意的a和b；曲线下的面积必须是零的任意限制。这时当积本身是恒为零是可能的。

eQ。 （1.2.5） tx

方程（1.2.4）.积分守恒定律，比（1.2.5）的微分更加基本 。方程（1.2.5）在通常情况下的有效物理变量是连续的。进一步的解释x前面的减号是有顺序的。例如，如果x0，且axb，热通

b(假设ba)。因此 （忽略任何源的影响Q）。量是关于x的增函数。热流动变得更强从xa到x

热能必须减少在xa和x

温度和比热 我们通常描述材料通过的温度 b之间，导致减号在（1.2.5）。 u(x,t)温度

不是他们的热密度，区分温度的概念。这是微积分的基本定理之一。这个结果的多数证据是粗略的。假设f(x)是连续的并且f(x)dx0对于所有的x。我们可以证明通过假设存在一个x0使得f(x0) ab

0,体现矛盾.如果f(x0)0并且f(x)是连续的，然后在x0附近区域f(x)是一个标志。将a和b放入这个区域，因此当f(x)是一个标志的整体时f(x)dx0，这和声明f(x)dx0是冲突的，aabb

因此f(x)0是可能的。遵循方程（1.2.5）

Sec.1.2 一维杆热传导的推导

热能不一定是一个简单的任务。仅在 18 世纪中期，精确的实验装置的存在是物理学家认识到可能用大量能量是两种不同材料从某一温度到更高的温度。这就需要引进的比热（或热容量）

c比热（须提供热能的单位质量的物质，以提高其温度的一个单位）

一般，从实验 （和我们的定义），材料的比热c取决于温度u。例如，要提高单位质量的热能从0℃到1℃可能与从85℃到86℃对于同种材料是不同的。比热取决于温度热流量问题在数学上相当复杂。（练习1.2.1简要讨论了这一情况。）经常为限制温度区间，比热近似地是温度的独立。然而，专家建议不同的材料要求不同数量的热能加热。如果我们想制定正确的方程在我们的一维杆的组成可能会有所不同从某位置到另一位置位置的情况下，比热会依据x，cc(x)。在许多问题中，杆是由一种材料制成（统一杆），在这种情况下，我们将让比热c是一个常数。实际，多数问题的解决在这个文本中（及其他书中），对应于这种近似常数c。 热能 在切片中的热能是e(x,t)Ax。然而，它还定义为能量即温度从参考温度0℃到实际温度u(x,t)的上升。自比热与温度无关，单位质量的热能仅仅是c(x)u(x,t)。因此，我们需要引进的质量密度(x)：

(x)密度（单位体积的质量），

回归允许它随x变化，这可能是由于杆组成材料的非均匀分布。薄片的总质量是Ax。任何薄切片中的总热能是c(x)u(x,t)Ax，所以

e(x,t)Axc(x)u(x,t)Ax。

以这种方式我们解释了热能与温度之间的基本关系：

e(x,t)c(x)(x)u(x,t) （1.2.6）这个阐述说明单位体积热能等于单位质量单位学位的热能温度密度（单位体积的质量）。当使用 (1.2.6)。热能密度被淘汰，热能的守恒，(1.2.3) 或 (1.2.5)，变成

c(x)(x)uQ （1.2.7） tx

傅里叶定律 一般，（1.2.7）被认为是一个两个未知数的方程，温度u(x,t)和热通量（单位面积单位时间内的流量）(x,t)。热能量流是如何以及为何流动？换句话，我们需要一个表达式来对温度区域的热能量流的依赖。首先，我们总结熟悉所有的热流的某些定性的性质：

1、 如果温度是恒定的在某区域，热能不流动

2、 如果有温度的差异，热能从热地区流向较冷的地区

3、 较大的温度差异（相同的材料），差异是热能的流动

4、 热能的流动会因不同的材料，即使在相同的温度差异

傅里叶 (1768年-1830) 认识1至4的性质，由公式总结他们 （以及无数的实验）。

被称为傅立叶导热定律。其中uK0u （1.2.8） x；它代表x是温度的导数，它是温度斜率（作为固定的t的x的函数）

着温度差异（单位长度）。方程（1.2.8）表明热通量与温度差成正比 （每单位长度）。如果温度u随着x的增加(i.e.，温度高于到右侧, 。 ux0)，我们知道（性质2）热能流向左侧。减号的解释在（1.2.8） 我们指定比例系数K0。它可以测量材料的导热能力，被称为热传导率。实验表明，不同的材料以不同的方式进行热传导；K0取决于特定的材料。K0越大，相同温度区域内热能流动越大。K0值低的材料将是一个热能的不良导体（非常适合家庭绝缘）。对于不同材料组成的一个控制杆，K0将 x 的函数。此外，实验结果表明不同温度下，大部分材料的热能传导能力是不同的K0(x,u)。然而，正如比热c，对温度的依赖往往并不重要在特定的问题中。

Sec. 1.2 在一维棒中热能传导的推导

因此，在此文章我们将假定导热系数K0，只取决于x，K0(x)。一般，实际上，我们将讨论均匀棒的K0是一个常量。

热方程 在傅里叶定律，（1.2.8）被（1.2.7）热传导方程代替，一个偏微分方程得到：

cuu(K0)Q （1.2.9） txx

我们通常认为的热能Q的来源是给定的，唯一未知的是温度u(x,t)。热系数c，，K0都取决于材料，并且可能是x函数。在均匀棒的特殊情况下，其中c，，K0均为常数，偏微分方程（1.2.9）变为

此外，如果没有来源，Q0，然后除以常数 c，偏微分方程变为

u2uk2 （1.2.10） tx

常数k，被称为热扩散率，导热系数除以产品的比热和质量密度。方程（1.2.10）通常被称为热方程；它对应于没有来源和恒热性能。如果热能最初集中在一个地方，(1.2.10) 将描述热能量如何传播出去，一个称为扩散的物理过程。其他物理量除了温度意外以相同的方式理顺，满足相同的偏微分方程（1.2.10）。因为这个原因 (1.2.10) 也称为扩散方程。例如，化学品（如香水和污染物）的浓度u(x,t)表明扩散方程

（1.2.10）在某一维的情况下。

初始条件 偏微分方程描述的热能流（1.2.9）或（1.2.10），有一阶导数。当一个常微分方程具有一阶导数，初始值问题包括解决一个初始条件的微分方程。牛顿的运动定律位置x一个粒子产量的一个二阶常微分方程，md

方程，初始位置 2xdt2 势能。它涉及二阶导数。初始值的问题，包括解决两个初始条件的微分，通过初始条件求解微分方程，我x 和初始速度dxdt。从这些信息（包括势能知识）

们可以预测一个粒子在x方向的未来移动。我们希望做同样的过程对于偏微分方程，也就是说，预测未来的温度。自热方程有一阶导数，我们必须给出一个初始条件（IC）（通常是在t

始温度可能是不恒定，但是取决于x。因此，我们必须给定初始温度的分布

0），是初始温度。初u(x,0)f(x)

0和xL发生了什么。如果不知道这个信息，我们将不有足够的信息来预测未来的温度？我们知道初始温度的分布并且温度变化根据偏微分方程(1.2.9)或(1 .2.10)。然而，我们需要知道在两个边界x

论这些边界条件。

1.3 边界条件 能预测未来。需要两个条件对应二阶导数在(1.2.9)或(1.2.10)，通常一个条件在其末端。我们在下一节讨

在热方程的求解中，在（1.2.9）或（1.2.10），一个边界条件(BC)是需要在杆的每个末端。适当的条件取决于物理机制在每个末端的影响。通常在边缘的条件取决于杆的内外两侧的物质。为了避免更困难的数学问题，我们将假设外部环境是已知，不因杆而有显著改变。

规定温度 在某些情况下，杆端的温度，例如x

0，可近似按规定的温度， （1.3.1） u(0,t)uB(t) uB(t)流体浴的温度（或水库）与杆接触。

绝缘边界 在其他情况下规定热流而不是温度是可能的。

K0(0)u(0,t)(t) （1.3.2） x

(t)已给出。这就相当于给一阶导数一个条件，此边界条件涉及线性组合, 这里x0。在x0给出斜率。方程（1.3.2）在x不完全因为斜率仅在一个x值时知道。规定的热流边界条件简单的例子是当末端完全被绝缘时（有时我们忽略“理想的”）。这种情况下在边界没有热流。如果x

0被绝缘，然后 u(0,t)0 （1.3.3） x

牛顿冷却定律 当一维杆与运动流体（例如，空气）的边界有接触，然后既不在规定的温度，也没有规定热流可能是适当的。例如，让我们来想象一个非常温暖杆接触冷却器排出的空气。热将离开棒，加热空气。空气会然后带走热量。这种传热过程被称为对流。然而，棒附近的空气会更热。此外，这是一个复杂的问题；空气温度实际上取决于距棒的距离（把浴和杆端温度分级）。实验表明，作为一个好的近似，离开杆的热流是杆与规定的外部温度之间的温差成正比。这个边界条件被称为牛顿冷却定律。如果在x有效的，然后

0是K0(0)u(0,t)H[u(0,t)uB(t)] （1.3.4） x

其中比例常数H称为传热系数（对流系数）。此边界条件涉及线性组合u和dudx。我们必须小心比

例性的标志。如果棒比[u(0,t)uB(t)]更热，通常热量在x0流出杆。因此,热量流向左侧，在这种

0）。我们曾假设情况下，热流将为负数。这就是为什么我们推出了一个负号在（1.3.4）中（当H

（u(0,t)uB(t)）同样的结论已经达到了同样的结论。理解（1.3.4）的另一种方法是再次假设u(0,t)uB(t)。在x0温度在右边更热并且我们应该期望的右边温度继续增加。因此，在x0处

，要求推出，以相同方式，牛顿冷却定律，在一ux是正的。方程（1.3.4）是符合此参数。在（1.3.1）

个合适的终点方程xL是

其中，u(t)是在x

异。 K0(L)u(L,t)H[u(L,t)uB(t)] （1.3.5） xL外部温度。我们立即注意到左边界（1.3.4）和右边界（1.3.5）之间的显著标志差

牛顿冷却定律的系数H是通过实验确定。它取决于杆的特性以及流体性质（包括流体的速度）。如果系数非常小，然后很少热能跨边界的流动。在H0的限制，牛顿冷却定律，接近绝缘边界条件。我们可以认为牛顿冷却定律H0作为代表一个不完全绝缘的边界。如果H相当于没有在所有的绝缘，边界条件接近那个被规定的温度u(0,t)uB(t)。这是最容易看到通过划分（1.3.4），例如，由H：

K0(0)u(0,t)u[(0t,)ut( )]BHx

因此，H相当于没有在所有的绝缘.

总结 我们所描述的三种不同类型的边界条件。例如，在x0

u(0,t)uB(t) 规定温度 K0(0)u(0,t)(t) 规定热通量 xuK0(0)(0,t)H[u(0,t)uB(t)] 牛顿冷却定律 x

在（1.3.4）另一种情况是有效的，请参阅贝格和麦理觉【1966】

Sec. 1.3 边界条件

这些相同的条件下，可以在 x

度是可能的

对于右端，xL。不论标志的变化（H变H）是牛顿冷却定律的必要条件。在每个边界发生一个边界条件。两个边界满足同样的边界条件不是必须的。例如，x0有规定的振荡温u(0,t)10025cost

L，被绝缘， u(L,t)0。 x

热方程

1．1简介

我们今天要讨论的基本问题的解决方案涉及部分差速器壳体等式中,这类问题在各个领域出现的科学和 工程。一个偏微分方程（PDE）是一个数学方程含有偏导数，例如

uu30 （1.1.1） tx

我们可以开始我们的研究，通过确定哪些函数u(x,t)满足（1.1.1）。但是，我们更愿意通过调查物理问题开始。我们这样做原因有两个。第一，我们的数学技术可能会对你很实用当它变得清晰，这些方法分析物理问题；第二，我们实际上会发现物理的考虑对我们的数学发展有很大的激励。

许多不同的学科领域工程和物理科学以偏微分方程的研究为主。没有列表可能是可以全部包含在内的。然而，以下的例子给你的感觉是不同类型领域都高度依赖偏微分方程研究：声学，空气动力学，弹性力学，电动力学，流体动力学，地球物理学 (地震波传播），换热设备， 气象学，海洋学，光学，石油工程，等离子体物理（离子液体和气体），量子力学。

我们将会按照一定的应用数学哲学分析的一个问题将会有三个阶段:

1. 构想规划

2. 解决方案

3. 详细解释

我们首先拟定描述的传球热能的热流量方程。热能是由分子物质搅拌引起的。热能移动的顺序发生的两个基本流程：传导和对流。在其中的一个分子的振动动能被转移到最相邻分子传导结果。因此，热能被传导即使分子本身并不移动自己的位置。此外，如果一个振动的分子从一个区域移动到另一个，伴随着热能。这种类型的热能运动被称为对流。以相对简单的问题开始我们的研究，我们学习热流仅仅是因为热能的传导比对流更为重要。因此，我们会觉得热流量主要是在固体的情况下。虽然热传递在流体(液体和气体)也主要是通过传导如果流体速度足够小。

1.2 在一维棒中的热传导的取得

1、热能量密度 我们首先考虑杆变截面积A在x 方向 （从x0，则 xL) 如图中所示。1.2.1我们临时地以相当数量热能每个单位体积作为一未知变量，并且称它热能密度：

e(x,t)热能量密度。

我们假设所有散热数量都是恒定在一个部分；棒是一维的。这是可能实现的最简单方法是完全绝缘杆的侧表面面积。然后没有热能可以通过侧面。x和t的依赖于杆不均匀加热的情况；从一个横截面各有不同的热能量密度。

图1.2.1一维杆的热能量进和出的薄切片

2、热方程 第一章

热能 我们考虑一片薄杆包含的x和 xAx如图1.2.2所示。如果散热能量密度是一个常量，然后在切片中的总能量是热的能量密度和体积的产物。一般情况下，能量密度不是恒定的。然而，如果x非常

小，然后e(x,t)可能近似为一个常量，

热能 e(x,t)Ax

所以一切片的容量就是Ax。

热能的保护 在x和xx之间的热能及时变化因为热能量流动跨边缘（x和xx）和内部产生的热能（由于热量能源来源的正反面）。热能的变化不是由于流经侧面，因为我们已经假定侧面是绝缘的。这个热流动的基本方程是通过文字方程描述的

热能的变化及时率  单位时间流动横跨界限的热能  单位时间内生成热量 这被称为热能量守恒。对于切片，热能量变化率的是

[e(x,t)Ax]， t

偏导数t的应用是因为x的固定。

热通量 在一维杆中热能量向左或右的流动。我们介绍热流

(x,t) 热通量 （每单位时间流动到右侧单位表面面积热能源量）

如果(x,t)0，这意味着热能流向左侧。单位时间的切片边界之间流动的热能是(x,t)A(x x,t)A, 由于热通量是单位表面流量并且它必须乘以表面积。如果(x,t)0并且(xx,t)0，如图1.2.1所示。然后在x轴单位时间流动的热能有助于切片中的热能增加，而热流在xx轴减少热能。

热源 我们也允许内部的热能来源：

Q(x,t) 单位时间内单位体积产生的热能

Sec.1.2 一维棒中传热的推导 对一个切片Q(x,t)大约恒定，因此单位时间的薄片中生成的总热能是 Q(x,t)Ax。

热能的守恒 热能量变化率是由于热能量流动跨边界和内部的来源。

[e(x,t)Ax](x,t)A(x,x,t)AQ(x,t)Ax。 （1.2.1） t

方程（1.2.1）是不精确的因为不同数量均假定近似为常数对于这个小的横截面切片。我们主张（1.2.1）变得越来越准确如x0。在做出一个慎重(和在数学上严谨)的推导，我们只是试图解释极限过程中的基本思路，x0。在x0的极限，（1,2,1）没有给出有趣的信息，即0

先用x划分然后如x0为极限，我们得到

0。然而，如果我们首e(x,t)(xx,t)limQ(x,t) （1.2.2） xtx

取消了恒定的截面积。我们主张，这个结果是准确的（没有小的误差）。因此我们用（1.2.2）替换（1.2.1）。在这个限制的过程中，x0，t是保持固定的。因此，从偏导数的定义

eQ （1.2.3） tx

热能量守恒（精确） 热能守恒的另一种推导的优势是我们不被限制于切片。限制过程（x0）

中产生的近似计算可以避免的。我们考虑原始一维棒的有限段（从xa到x

将调查在这个区域的热能守恒。总的热能是

热能流经的侧边（从xa到x

bb）见图（1.2.2）。我们bae(x,t)dx，无穷小切片的总和。再次它会更改仅由于b）和区域内部产生的热能因此 (后取消常数A)

bd edx(a,t)(b,t)Qdx （1.2.4）adta

图1.2.2在棒中热能进出的有限段

。eddt 出现在（1.2.4）dxab在技术上，一个普通的导数 仅取决于t，不仅仅是x。然而，

bedbedxdx， atdta

遇过a和b是常数（并且遇过e是连续的）。这式子在积分寻常导数中现在保持x恒定，因此必须被一个偏导数替换。每个阶段在(1.2.4)中现在是一个普通的积分式，如果我们注意

b(a,t)(b,t)

（是有效的如果是连续能区分的）。所以， adx， x



因此，我们我们得出结论（1.2.3） ba(eQ)dx0。 tx这个积分必须是零对任意的a和b；曲线下的面积必须是零的任意限制。这时当积本身是恒为零是可能的。

eQ。 （1.2.5） tx

方程（1.2.4）.积分守恒定律，比（1.2.5）的微分更加基本 。方程（1.2.5）在通常情况下的有效物理变量是连续的。进一步的解释x前面的减号是有顺序的。例如，如果x0，且axb，热通

b(假设ba)。因此 （忽略任何源的影响Q）。量是关于x的增函数。热流动变得更强从xa到x

热能必须减少在xa和x

温度和比热 我们通常描述材料通过的温度 b之间，导致减号在（1.2.5）。 u(x,t)温度

不是他们的热密度，区分温度的概念。这是微积分的基本定理之一。这个结果的多数证据是粗略的。假设f(x)是连续的并且f(x)dx0对于所有的x。我们可以证明通过假设存在一个x0使得f(x0) ab

0,体现矛盾.如果f(x0)0并且f(x)是连续的，然后在x0附近区域f(x)是一个标志。将a和b放入这个区域，因此当f(x)是一个标志的整体时f(x)dx0，这和声明f(x)dx0是冲突的，aabb

因此f(x)0是可能的。遵循方程（1.2.5）

Sec.1.2 一维杆热传导的推导

热能不一定是一个简单的任务。仅在 18 世纪中期，精确的实验装置的存在是物理学家认识到可能用大量能量是两种不同材料从某一温度到更高的温度。这就需要引进的比热（或热容量）

c比热（须提供热能的单位质量的物质，以提高其温度的一个单位）

一般，从实验 （和我们的定义），材料的比热c取决于温度u。例如，要提高单位质量的热能从0℃到1℃可能与从85℃到86℃对于同种材料是不同的。比热取决于温度热流量问题在数学上相当复杂。（练习1.2.1简要讨论了这一情况。）经常为限制温度区间，比热近似地是温度的独立。然而，专家建议不同的材料要求不同数量的热能加热。如果我们想制定正确的方程在我们的一维杆的组成可能会有所不同从某位置到另一位置位置的情况下，比热会依据x，cc(x)。在许多问题中，杆是由一种材料制成（统一杆），在这种情况下，我们将让比热c是一个常数。实际，多数问题的解决在这个文本中（及其他书中），对应于这种近似常数c。 热能 在切片中的热能是e(x,t)Ax。然而，它还定义为能量即温度从参考温度0℃到实际温度u(x,t)的上升。自比热与温度无关，单位质量的热能仅仅是c(x)u(x,t)。因此，我们需要引进的质量密度(x)：

(x)密度（单位体积的质量），

回归允许它随x变化，这可能是由于杆组成材料的非均匀分布。薄片的总质量是Ax。任何薄切片中的总热能是c(x)u(x,t)Ax，所以

e(x,t)Axc(x)u(x,t)Ax。

以这种方式我们解释了热能与温度之间的基本关系：

e(x,t)c(x)(x)u(x,t) （1.2.6）这个阐述说明单位体积热能等于单位质量单位学位的热能温度密度（单位体积的质量）。当使用 (1.2.6)。热能密度被淘汰，热能的守恒，(1.2.3) 或 (1.2.5)，变成

c(x)(x)uQ （1.2.7） tx

傅里叶定律 一般，（1.2.7）被认为是一个两个未知数的方程，温度u(x,t)和热通量（单位面积单位时间内的流量）(x,t)。热能量流是如何以及为何流动？换句话，我们需要一个表达式来对温度区域的热能量流的依赖。首先，我们总结熟悉所有的热流的某些定性的性质：

1、 如果温度是恒定的在某区域，热能不流动

2、 如果有温度的差异，热能从热地区流向较冷的地区

3、 较大的温度差异（相同的材料），差异是热能的流动

4、 热能的流动会因不同的材料，即使在相同的温度差异

傅里叶 (1768年-1830) 认识1至4的性质，由公式总结他们 （以及无数的实验）。

被称为傅立叶导热定律。其中uK0u （1.2.8） x；它代表x是温度的导数，它是温度斜率（作为固定的t的x的函数）

着温度差异（单位长度）。方程（1.2.8）表明热通量与温度差成正比 （每单位长度）。如果温度u随着x的增加(i.e.，温度高于到右侧, 。 ux0)，我们知道（性质2）热能流向左侧。减号的解释在（1.2.8） 我们指定比例系数K0。它可以测量材料的导热能力，被称为热传导率。实验表明，不同的材料以不同的方式进行热传导；K0取决于特定的材料。K0越大，相同温度区域内热能流动越大。K0值低的材料将是一个热能的不良导体（非常适合家庭绝缘）。对于不同材料组成的一个控制杆，K0将 x 的函数。此外，实验结果表明不同温度下，大部分材料的热能传导能力是不同的K0(x,u)。然而，正如比热c，对温度的依赖往往并不重要在特定的问题中。

Sec. 1.2 在一维棒中热能传导的推导

因此，在此文章我们将假定导热系数K0，只取决于x，K0(x)。一般，实际上，我们将讨论均匀棒的K0是一个常量。

热方程 在傅里叶定律，（1.2.8）被（1.2.7）热传导方程代替，一个偏微分方程得到：

cuu(K0)Q （1.2.9） txx

我们通常认为的热能Q的来源是给定的，唯一未知的是温度u(x,t)。热系数c，，K0都取决于材料，并且可能是x函数。在均匀棒的特殊情况下，其中c，，K0均为常数，偏微分方程（1.2.9）变为

此外，如果没有来源，Q0，然后除以常数 c，偏微分方程变为

u2uk2 （1.2.10） tx

常数k，被称为热扩散率，导热系数除以产品的比热和质量密度。方程（1.2.10）通常被称为热方程；它对应于没有来源和恒热性能。如果热能最初集中在一个地方，(1.2.10) 将描述热能量如何传播出去，一个称为扩散的物理过程。其他物理量除了温度意外以相同的方式理顺，满足相同的偏微分方程（1.2.10）。因为这个原因 (1.2.10) 也称为扩散方程。例如，化学品（如香水和污染物）的浓度u(x,t)表明扩散方程

（1.2.10）在某一维的情况下。

初始条件 偏微分方程描述的热能流（1.2.9）或（1.2.10），有一阶导数。当一个常微分方程具有一阶导数，初始值问题包括解决一个初始条件的微分方程。牛顿的运动定律位置x一个粒子产量的一个二阶常微分方程，md

方程，初始位置 2xdt2 势能。它涉及二阶导数。初始值的问题，包括解决两个初始条件的微分，通过初始条件求解微分方程，我x 和初始速度dxdt。从这些信息（包括势能知识）

们可以预测一个粒子在x方向的未来移动。我们希望做同样的过程对于偏微分方程，也就是说，预测未来的温度。自热方程有一阶导数，我们必须给出一个初始条件（IC）（通常是在t

始温度可能是不恒定，但是取决于x。因此，我们必须给定初始温度的分布

0），是初始温度。初u(x,0)f(x)

0和xL发生了什么。如果不知道这个信息，我们将不有足够的信息来预测未来的温度？我们知道初始温度的分布并且温度变化根据偏微分方程(1.2.9)或(1 .2.10)。然而，我们需要知道在两个边界x

论这些边界条件。

1.3 边界条件 能预测未来。需要两个条件对应二阶导数在(1.2.9)或(1.2.10)，通常一个条件在其末端。我们在下一节讨

在热方程的求解中，在（1.2.9）或（1.2.10），一个边界条件(BC)是需要在杆的每个末端。适当的条件取决于物理机制在每个末端的影响。通常在边缘的条件取决于杆的内外两侧的物质。为了避免更困难的数学问题，我们将假设外部环境是已知，不因杆而有显著改变。

规定温度 在某些情况下，杆端的温度，例如x

0，可近似按规定的温度， （1.3.1） u(0,t)uB(t) uB(t)流体浴的温度（或水库）与杆接触。

绝缘边界 在其他情况下规定热流而不是温度是可能的。

K0(0)u(0,t)(t) （1.3.2） x

(t)已给出。这就相当于给一阶导数一个条件，此边界条件涉及线性组合, 这里x0。在x0给出斜率。方程（1.3.2）在x不完全因为斜率仅在一个x值时知道。规定的热流边界条件简单的例子是当末端完全被绝缘时（有时我们忽略“理想的”）。这种情况下在边界没有热流。如果x

0被绝缘，然后 u(0,t)0 （1.3.3） x

牛顿冷却定律 当一维杆与运动流体（例如，空气）的边界有接触，然后既不在规定的温度，也没有规定热流可能是适当的。例如，让我们来想象一个非常温暖杆接触冷却器排出的空气。热将离开棒，加热空气。空气会然后带走热量。这种传热过程被称为对流。然而，棒附近的空气会更热。此外，这是一个复杂的问题；空气温度实际上取决于距棒的距离（把浴和杆端温度分级）。实验表明，作为一个好的近似，离开杆的热流是杆与规定的外部温度之间的温差成正比。这个边界条件被称为牛顿冷却定律。如果在x有效的，然后

0是K0(0)u(0,t)H[u(0,t)uB(t)] （1.3.4） x

其中比例常数H称为传热系数（对流系数）。此边界条件涉及线性组合u和dudx。我们必须小心比

例性的标志。如果棒比[u(0,t)uB(t)]更热，通常热量在x0流出杆。因此,热量流向左侧，在这种

0）。我们曾假设情况下，热流将为负数。这就是为什么我们推出了一个负号在（1.3.4）中（当H

（u(0,t)uB(t)）同样的结论已经达到了同样的结论。理解（1.3.4）的另一种方法是再次假设u(0,t)uB(t)。在x0温度在右边更热并且我们应该期望的右边温度继续增加。因此，在x0处

，要求推出，以相同方式，牛顿冷却定律，在一ux是正的。方程（1.3.4）是符合此参数。在（1.3.1）

个合适的终点方程xL是

其中，u(t)是在x

异。 K0(L)u(L,t)H[u(L,t)uB(t)] （1.3.5） xL外部温度。我们立即注意到左边界（1.3.4）和右边界（1.3.5）之间的显著标志差

牛顿冷却定律的系数H是通过实验确定。它取决于杆的特性以及流体性质（包括流体的速度）。如果系数非常小，然后很少热能跨边界的流动。在H0的限制，牛顿冷却定律，接近绝缘边界条件。我们可以认为牛顿冷却定律H0作为代表一个不完全绝缘的边界。如果H相当于没有在所有的绝缘，边界条件接近那个被规定的温度u(0,t)uB(t)。这是最容易看到通过划分（1.3.4），例如，由H：

K0(0)u(0,t)u[(0t,)ut( )]BHx

因此，H相当于没有在所有的绝缘.

总结 我们所描述的三种不同类型的边界条件。例如，在x0

u(0,t)uB(t) 规定温度 K0(0)u(0,t)(t) 规定热通量 xuK0(0)(0,t)H[u(0,t)uB(t)] 牛顿冷却定律 x

在（1.3.4）另一种情况是有效的，请参阅贝格和麦理觉【1966】

Sec. 1.3 边界条件

这些相同的条件下，可以在 x

度是可能的

对于右端，xL。不论标志的变化（H变H）是牛顿冷却定律的必要条件。在每个边界发生一个边界条件。两个边界满足同样的边界条件不是必须的。例如，x0有规定的振荡温u(0,t)10025cost

L，被绝缘， u(L,t)0。 x