抛物型方程

前言

抛物型方程解的估计及其应用

1 前言

数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用．

微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．

有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报) 和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用．

在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的

抛物型方程解的估计及其应用

许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁．

2 选题背景

2.1 题目类型及来源

题目类型：研究论文题目来源：专题研究

2.2 研究目的和意义

数学物理方程将数学与物理紧密地结合在一起，用精微的数学思想和方法应用于实际的物理研究中，通过物理过程建立数学模型（偏微分方程），通过求解和分析模型，对实际物理过程进一步深入理解，提出解决实际问题的途径和方法．而抛物型方程是偏微分方程中的一类，且在研究热传导、扩散等物理现象时都会遇到，具有巨大的理论价值，同时，抛物型方程的概念和性质也决定了它在工程数学，物理等方向的巨大实用价值．研究抛物型方程解的估计及其应用，有助于我们更好的理解和掌握偏微分方程理论，并在认识和了解抛物型方程广泛的使用价值的基础上，能够探索抛物型方程更广泛的应用．

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛．从数学自身的角度看，抛物型方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展．

2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向

自18世纪以来，偏微分方程理论在得到广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展，如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等，并从它们之中引进许多有力的解决问题的方法．

关于抛物型方程的解，有经典解、广义解、数值解等方面的研究．经典解在求解区域中具有方程中所出现的连续偏导数，并按通常意义满足方程与定解条件，也就是

热传导方程的一些知识

说，将解代入方程及定解条件后即可使其化为恒等式．求经典解的方法有分离变量法、Fourier 变换法．经典解容易理解，且应用方便，但实际求解抛物型方程的定解问题时，往往不一定能得到经典解．于是就提出了广义解[1]的理论，即先寻求一个正则性较低的函数（广义解），它按较弱的意义满足方程与定解条件，然后再进一步证明这个函数实际上就是原来问题的经典解．广义解可按逼近过程来定义，也可按分部积分的方法来定义．由于抛物型方程的广义解是在“较差”的函数类中寻求相应定解问题按拓广意义下的解，因而又提出了广义函数的概念、性质、应用等方面的研究．在实际求解抛物型方程的定解条件时，除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般的情况下，当方程或定解条件具有比较复杂的形式，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求不到或不易求到其精确解，我们就只得去寻求抛物型方程定解问题的近似解，特别是数值近似解，于是就有了抛物型方程数值解的理论研究．求抛物型数值解的方法主要有：有限差分法、有限元素法．

随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，偏微分方程的研究方向基本上也是一致的．在微分方程定性理论中有着重要应用的时滞积分不等式以及在差分方程定性理论中有重要应用的时滞离散不等式和关于时间尺度的动力方程理论，在研究了抛物型方程及抛物型方程系统、双曲型方程及双曲型方程系统的强迫振动性理论以及某些时滞脉冲偏微分方程在特定边值条件下解的振动的若干充要条件和多时滞脉冲抛物型微分方程系统解的强迫振动性，推广了已有的结果，建立了若干新定理，促进了偏泛函微分方程理论的发展，并主要创新提出并建立了偏泛函微分方程系统的强迫振动性理论以及具有连续分布变元的双曲型偏泛函微分方程系统和抛物型偏泛函微分方程系统的振动性理论；获得了变系数抛物型偏泛函微分方程解的振动的若干充分必要条件和时滞脉冲抛物型微分方程解的振动的若干充分必要条件和多时滞脉冲抛物型微分系统解的强迫振动性；研究了时滞积分不等式理论和关于时间尺度的动力不等式理论．这些理论的建立，为偏泛函微分方程理论和积分不等式理论的进一步发展起到了非常大的促进作用．

3 热传导方程的一些知识

3.1 热传导方程的导出

若物体内各点的温度不相同，则其热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方

抛物型方程解的估计及其应用

传递，这就是常说的热传导现象．由于热量的传递，所以物体内温度随时间和点的位置不同而不同，因此热传导问题可归结为研究物体内部的温度分布情况．

下面我们考察一个均匀的、各向同性的物体G 在Ω内部的温度变化规律．设以u (x , y , z )表示物体G 在Ω内任一点M (x , y , z )处在时刻t 的温度．

在Ω内任取一小块区域V ，使V ⊂Ω，并且其边界Γ是光滑的闭曲面，Γ上面积元素的单位外法向量记作n ．

根据传热学中的傅里叶实验定律[2]，物体在无穷小时段dt 内，从V 内经过dS 流

∂u

出的热量dQ 与时间dt ，流经面积dS 以及温度沿dS 的外法向量的方向导数成正

∂n

比，即

∂u

d S d =t -∇k ⋅u n d Q =- d S d t ∂n

⎛∂∂∂⎫

其中k >0是物体的热传导系数，∇= , , ⎪．上式中的负号表示热流的方向与

⎝∂x ∂y ∂z ⎭温度梯度的方向相反（因为热量总是由温度高处流向温度低处），因此从时刻t 1到时刻t 2经过Γ流入V 内的全部热量

t ⎰⎰∇k u ⋅n d s d t Q 1=⎰d

t 1

t 2

若物体Ω内有热源，且热源强度为F (x , y , z , t )（即在时刻t 点(x , y , z )处的单位面积在单位时间内发出的热量），则在[t 1, t 2]内，V 从热源上吸收的热量为 Q 2=⎰

t 2

t 1

F (⎰⎰⎰

, x , y , z d z d t )t d x d y

另一方面，在[t 1, t 2]内，V 内温度从u (x , y , z , t 1)升高到u (x , y , z , t 1)所需吸收的热量为

ρ⎡t Q 3=⎰⎰⎰c (, x , y , z 2)-⎣u

(

u , x , y )1, ⎤⎦z t

d x d y d z

其中为c 物体的比热，ρ为物体的密度．根据能量守恒，有

热传导方程的一些知识

Q 1+Q 2=Q 3

若u (x , y , z , t )关于x , y , z 具有二阶连续偏导数，则由高斯公式得 Q 1=⎰dt ⎰⎰k ∇u ⋅ndsdt =⎰

t 1

t 2

t 1

⎰⎰⎰k ∆udxdydzdt

∂2∂2∂2这里 ∆ 是laplace 算子，∆=2+2+2

∂x ∂y ∂z

若u (x , y , z , t )关于t 具有一阶连续偏导数，则由Newton-Leibniz 公式有

c t u d x d y Q 3=⎰d t ⎰⎰⎰ρ d z

t 1

t 2

因此有

⎰

t 2

t 1

dt ⎰⎰⎰c ρu t dxdydz =⎰dt ⎰⎰⎰(k ∇u +F )dxdydz

t 1

t 2

由于时间段[t 1, t 2]及区域V 是任意取定的，并且被积函数是连续的，则

u t -a ∆u = f

其中a 2=

k F

，f =，并且当f ≥0时，表示Ω内有热源；当f ≤0时，表示Ω内有c ρc ρ

冷源（即热汇）．

在适当情况下，方程中描述空间坐标的独立变量的数目还可以减少．例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假定温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数u 仅与坐标x 及时间t 有关，我们就得到一维热传导方程

∂u 2∂u =a 2∂t ∂x

同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程

2∂u ∂2u ⎫2⎛∂u =a 2+2⎪ ∂t ⎝∂x ∂y ⎭

抛物型方程解的估计及其应用

3.2 定解问题的提法

方程描述的是同类物理现象的共性，但是每一具体的物理现象都是处在各自特定条件之下的，这就需要我们把它所处的特定条件也用数学形式表达出来，我们称这些特定条件为定解条件．

定解条件分为初始条件和边界条件．初始条件是说明初始状态的条件，边界条件是描述边界状态的条件，边界条件可分为三类，第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）是直接给出未知函数在研究区域Ω的边界∂Ω上的值；第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）是在∂Ω上给出未知函数u 沿∂Ω沿外法方向n 的方向导数；第三类边界条件（又称为Robin 条件）是在边界∂Ω上给出未知函数u 及其沿∂Ω的外法方向导数的某种线性组合的值．

从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度．因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件与边界条件下求解问题的解．

初始条件的提法显然为

u (x , y , z ,0)=ϕ(x , y , z )

其中ϕ(x , y , z )为已知函数，表示物体在t =0时的温度分布

第一边界条件：在R 3中的有界区域Ω的导热问题中，若Ω的边界∂Ω处于恒温u 0

的环境下，则边界条件为

u |∂Ω=u 0

若边界温度按已知规律g (x , y , z , t )变化，则

u |∂Ω=g (x , y , z , t )

第二边界条件：若热量在边界曲面∂Ω各点的流速为G (x , y , z , t )，则由Fourier 定律，边界条件可写成

∂u

=g (x , y , z , )t ∂n 其中g =-

G ∂u ，若G =0，则=0，此时称之为绝热边界条件． k ∂n ∂Ω

定解问题的求解

第三边界条件：如果物体内部与周围的介质通过边界∂Ω有热量交换，物体外介质的温度为u 2，物体表面的温度为u 1，内外两种介质间的热交换系数为k 1(k 1>0)，

根据Newton 定律，从物体内部流到外部的热量与两介质间的温度差成正比，即有

dQ =k 1(u 1-u 2)dsdt

另一方面，由Fourier 定律[3]，在时间间隔内从边界曲面上面积元流出的热量为

∂u

dsdt dQ =-k ∂n

从而有

∂u

dsdt k 1(u 1-u 2)dsdt =-k ∂n

即

⎛∂u ⎫

+σu ⎪=g (x , y , , z ) t ∂n ⎝⎭∂Ω

k 1

， σu 1=g (x , y , z , t ) k

其中

σ=

4 定解问题的求解

4.1 初值问题的求解

我们可以利用傅里叶变换来求解热传导问题的初值问题．其思想是把原函数变换到另一类函数中去，经过变换，使热传导方程变为常微分方程，从而可以找出一个解，再经过Fourier 的逆变换，得到原热传导方程的解．

2⎧⎪u t -a (u xx +u yy )=f (x , y , t ) （1） ⎨⎪⎩u (x , y ,0)=ϕ(x , y )

视t 为参数，先求解齐次热传导方程的初值问题

⎧u =a u xx +u yy )(⎪t

⎨ （2）

⎪⎩u (x , y ,0)=ϕ(x , y )

对x , y 进行Fourier 变换，记

F ⎡⎣u (x , y , t )⎤⎦=U (λ1, λ2, t )，

抛物型方程解的估计及其应用

F ⎡⎣ϕ(x , y )⎤⎦=Φ(λ1, λ2)

在（1）式两边关于x , y 进行Fourier 变换，原问题变为

22⎧d 2

i λ1)U (λ1, λ2, t )+(i λ2)U (λ1, λ2, t )⎤(⎪U (λ1, λ2, t )=a ⎡⎣⎦ （3） ⎨dt

⎪⎩

U (λ1, λ2,0)=Φ(λ1, λ2)（2）式是带参数λ1, λ2的常微分方程的柯西问题，它的解为

U (λ-a λ1+λ2)t

1, λ2, t )=Φ(λ1, λ2)e

( 函数e

-a 2(λ1+λ2)t

的Fourier 逆变换[4]为

F －1

⎡-a 2(λ12+λ22

)t ⎤=1+∞

-a 2(

λ12+λ2

)⎢⎣e ⎥⎦

(2π)2

⎰

-∞

te i (x λ1

+y λ2

)d λ1d λ

+∞

-(a 2λ21t -i λ1x

)

+∞

-(a 2λ22t -i λ2x

)

(2π)2

⎰

-∞

d λ1⎰-∞e

d λ2

⎰

+∞

-(a 2λ21t -i λ1x

)

d λ-a 2λ12t

+∞

-a 2λ12t

-∞

1=⎰+∞

-∞e

cos λ1xd λ1+i ⎰-∞

sin λ1xd λ1

+∞

=2⎰

-a 2λ12t

cos λ1xd λ1

令I (x )=

⎰

+∞

-a 2λ12t

cos λ1xd λ1

(x )=⎰+∞

-a 2λ12

t 0

-e λ1sin λ1xd λ1

=1⎡-a 2λ12t +∞

+∞-a 2λ12t 2a 2t ⎣⎢

e sin λ1x ∣0-⎰0x cos λ1xe d λ1⎤⎥⎦ =-x

2a 2t

I (x )

解得

2 I (x )=ce

x 4a t

又

I (

0)=⎰

+∞

-a 2λ12

t 0

e d λ1

+∞

e -y dy

4）

（

定解问题的求解

则有

F －1⎡e

⎢⎣

-a

(

λ12+λ2

)t ⎤=

⎥⎦1

e 4a 2πt

x 2+y 24a 2t

由（4）可得初值问题（2）的解为

u (x , y , t )=

+∞+∞1

ϕ(ξ, η)e 2⎰⎰-∞-∞4a πt

x -ξ)+(y -η)(-

4a t

d ξd η （5）

再求解非齐次热传导方程具有齐次初始条件的柯西问题

⎧u =a (u xx +u yy )+f (x , y , t ) （6） ⎪t

⎨

⎪⎩u (x , y .0)=0

由齐次化原理[5]，此柯西问题的解可写为

u (x , y , t )=

⎰ω(x , y , t ; τ)d τ

而ω=ω(x , y , t ; τ)为下述柯西问题的解：

⎧⎪ωt =a (ωxx +ωyy ), t >τ

⎨

⎪⎩ω(x , y , τ)=f (x , y , τ)

于是，利用（5）式，易知柯西问题（6）的解为

u (x , y , t )=

4a 2π

⎰⎰

t +∞

-∞

ϕ(ξ, η, τ)⎰-∞t -τ+∞

(x -ξ)2+(y -η)2

4a t -τd ξd ηd τ （7）

由叠加原理[6]，由（5）及（7）就得到柯西问题（1）的解为

u (x , y , t )=

4a 2πt ⎰-∞

+∞

⎰

+∞

-∞

ϕ(ξ, η)e

(x -ξ)2+(y -η)2

4a t

d ξd η

14a 2π

ϕ(ξ, η, τ)⎰0⎰-∞⎰-∞t -τ+∞

+∞

(x -ξ)2+(y -η)2-

4a 2(t -τ)

d ξd ηd τ

在上面的推导中，由于预先不知道是否满足进行傅里叶变换及有关计算的条件，

所得的解还只是形式解．为证明上式确实是柯西问题（1）的解，还得进行验证．

抛物型方程解的估计及其应用

4.2 初边值问题的求解

热传导方程的初边值问题

u t -a 2u xx =0 （8）

u ∣∣x =0=u x =l =0 （9）

u ∣t =0=ϕ(x ) （10）令

u (x , t )=X (x )T (t ) （11）

并要求它满足齐次边界条件（9），这里X (x )及T (t )分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的特定函数．

将（11）代入方程（8）中，得到

X (x )T ()t -

X (

t （12） )x (T )=0

将上式分离变量，有

/T /(t )X /()x =-

2=λ （13）

a T t X x

由于在（13）式中，左边仅是t 的函数，右边仅是x 的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能．记次常数为-λ（其值待定），就得到

T (t )+a

λT (t )=0 （14）

(x )+λX (x )=0 （15）

这样方程（13）就被分离为两个常微分方程，其中一个含有自变量t ，另一个仅含有自变量x ，我们可以通过求解这两个方程来决定T (t )及X (x )，从而得到方程（8）的特解（11）

为了使此解是满足齐次边界条件（9）的非平凡解，就必须找到方程（8）满足边界条件

定解问题的求解

X (0)=0, X ()l = 0 （16）的非平凡解．方程（15）的通解随λ>0，λ=0以及λ

情形1 当λ

x )=C 1+C 2e

要使它满足边界条件（16），就必须

⎧⎪C 1+C 2=0

⎨ +e =0⎪⎩由于

≠0

只能C 1=C 2=0．故在λ

情形2 当λ=0时，方程（15）的通解可以写成 X (x )=C 1+C 2X 要满足边界条件（16），X (x )也只能恒等于零．

情形3 当λ>0时，方程（15）的通解具有如下形式： X (

x )=C 1+C 2 由边界条件X (0)=0知C 1=0，再由

X (

l )=C l 02s i =

可知，为了使C 2≠

0，就必须=0．于是

k 2π2

λ=λk =2(k =1, 2, ⋯)

这样就找到了一族非零解

k π

x (k =1, 2, ⋯) l

将固有值代入方程（14）中，可得到其通解为

X k (x )=A k sin

抛物型方程解的估计及其应用

T k (t )=B k e

2a 2k π

l 2

(k =1, 2⋯, )

a 2k π

这样就得到方程（8）的满足齐次边界（9）的下列分离变量形式的特解：

u k (x , t )=X k (x )T k (t )=a k e

l t

k π

s i x k (=

1⋯, 2 , )

现在我们设法作这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解，也就是说，要决定常数a k 使

u (x , t )=∑a k e

k =1∞

a 2k π

l t

k π

s i x （17）

满足初始条件（10）．故由初始条件（10）应有

k π

ϕ(x )=∑a s i x k

l k =1

∞

k π⎧

由于 ⎨1,sin

l ⎩

⎫

因此，a k 是在[0, l ]区间中正弦展开的傅里叶级x ⎬在[0, l ]上正交，

⎭

2l k πϕξsin ξd ξ （18） ()l ⎰0l

a 2k 2π2l 2

数的系数，即

a k =

故

-k π

u (x , t )=∑⎰ϕ(ξ)sin ξd ξ⋅e

0l k =1

∞

sin

k π

x （19） l

是用级数形式表示的初边值问题的形式解．

为了考察由分离变量法得到的形式解是否是混合问题的经典解，还得进行验证．当ϕ∈C 1，且ϕ(0)=ϕ(l )=0，ϕ(x )是有界函数，（18）式确定的函数u (x , t )是混合问题的解．

分析：在求解过程中，级数（17）中的每一项都满足方程（8），因此只要证明级数（17）可以逐项求导两次就好了．也就是说，如果证明了级数（17）求导两次后仍是一致收敛的，那么它一定满足方程（8），此时边界条件（9）和初始条件（10）的

抛物型方程解的估计及其应用

满足也是显然的推论了．

证明：由于式（19）中含有因子e

⎛k π⎫-

意的p >0，级数∑ ⎪e

k =1⎝l ⎭

∞

a 2k 2πl 2

a 2k 2π2l t

，因此对于任意δ>0，当t >0时，对任

均是一致收敛的，而由ϕ是有界函数的假设

（(x )

⎰

ϕ(ξ)sin

k π

ξd ξ≤Ml l

故（19）式中列举的所有级数是一致收敛的，因而，由式（19）表示的级数，当t >0时，关于x 及t 是无穷次可导的，并且求导与求和可以交换．由于级数的每一项都满足方程（8）及边界条件(9)、(10)，从而式（19）式表示的级数在t >0时确实满足方程及边界条件．当加上条件ϕ(0)=ϕ(l )=0时，当t →0时，对任意x ∈[0, l ]，由式（19）给出的级数趋于初值ϕ(x )，即得到式（19）给出的级数确实是初边值问题（8）~（10）的经典解．

5 抛物型方程解的估计及其应用

先验估计是偏微分方程理论研究中的一个常用的方法．其特点是在假设定解问题解存在的前提下导出解所应当满足的估计，而常用的估计有最大模估计[7]，能量估计

[8]

等等．一般地，我们可以根据先验估计得到定解问题解的唯一性和稳定性，并且可

结合其他一些分析方法推导出解的存在性，此外，作为对解的一种估计，先验估计还可能提供关于解的某种性态（如有界性等）方面的信息．

5.1 极值原理

考虑热传导方程

2 L u ≡u -a x u t x =

(f , )x , (t , )

x ∈t Q

其中Q ={(x , t )0

Γ={(x , t )x =0,0

抛物型方程解的估计及其应用

在热传导过程中，如果物体内部无热源，则热量总是由温度高处向其它地方扩散，而温度最低处的温度会逐渐上升．因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到．这就是热传导方程的“极值原理”．

定理 1（弱极值原理）设函数u (x , t )∈C 2,1(Q )⋂C Q 满足Lu =f ．（1）若f ≤0，则u 在Q 上的最大值必在抛物边界Γ上达到，即

u (x ), t = x

()

m a (u x x ) t ,

（2）若f ≥0，则

u (x ), t = i n

m i (u n x ) t ,

（3）若f =0，则

u (x , t )=max u (x , t )， u (x , t )=min u (x , t )

同时成立，这里C 2,1(Q )表示在Q 内关于x 二次连续可微，且关于t 一次连续可微的函数全体．

证明：（1）不妨先考虑f

u (x 0, t 0)=u (x , t )

则在该点处u x =0，u xx ≤0，u t ≥0（如果t 0

f (x 0, t 0)=(u t -a 2u xx )

(x 0, t 0)

≥0，

这与f

u (x ), t = x

m a (u x x ) t ,

当 f (x , t )≤0时，设法将其转化为前面的情形．为此构造辅助函数 v (x , t )=u (x , t )-εt 其中ε是任意小的正数．因为

抛物型方程解的估计及其应用

L v =L -u ε=所以

-f ε

v (x , x )t =

m a (v x x ) t ,

于是

u (x , t )=⎡⎣v (x , t )+εt ⎤⎦≤max v (x , t )+εT ≤max u (x , t )+εT

令ε→0，得

u (x ), t = x

m a (u x x ) t ,

（2）若f ≥0，则对-u 应用情形（1）的结论即可．

（3）结合前面两种情况，若Lu =0，则u 在Q 的上的最大值与最小值都在抛物边界Γ上达到．下面我们将弱极值原理推广到稍一般的热传导方程 L 1u ≡t u -2a x u , )x t x +u (, )c x =t (u , ) f x +(b

x t

定理 2 函数u ∈C 2,1(Q )⋂C Q 满足Lu 则u 在Q 上的正最大值必在抛1=f ≤0，物边界Γ上达到，即

u (x , x )t ≤

()

m a +u x (x ) t ,

由于其证明与定理1的证明方式类似，这里不再赘述．

定理3 设c (x , t )≥-c 0，其中c 0为正常数．若函数u (x , t )∈C 2,1(Q )⋂C Q 满足

()

L 1u =f ≤0，且max u (x , t )≤0，则必有

u (x , t )≤0

证明令v (x , t )=e -c 0t u (x , t )，则v (x , t )满足方程 v t -a 2v xx +bv x +(c +c 0)v =fe -c 0t ≤0 由于c +c 0≥0，根据定理2，得

v (x t ), ≤ x

m v a +x (x t )≤, e -c 0t

u m a x x t )≤ , (

因此结论得证．

利用定理3，不难得到下列推论：

抛物型方程解的估计及其应用

推论1（比较原理）设c (x , t )≥-c 0(c 0≥0)，又设u , v ∈C 2,1(Q )⋂C Q ，且

()

L 1u ≤L 1v ，u Γ≤v Γ，则对任意的(x , t )∈Q ，有 u (x , t )≤v (x , t )

5.2 初边值问题解的最大模估计

设Ω是R n 中的有界开集，T >0．记Q T =Ω⨯(0,T ]，ΓT =(∂Ω⨯[0,T ) )⋃(Ω⨯{0})这里的ΓT 称为Q T 的抛物边界．我们先在Q T 中研究抛物型方程

记 A [u ]=u t -∆u +

∑b (x , t )u

i i =1i

x i

=f (x , t )

B [u ]=u t -∆u +

∑b (x , t )u

i =1

+c (x , t )u =f (x , t )

考察第一初边值问题

⎧

+i (b , )x t i x u =(, f ) x ( t ⎪A [u ]=t u -∆u ∑i =1

⎪⎪

⎨u (x , 0∈ Ω)=ϕ(x ) x

⎪

, )t =(g , x , t ∂Ω[⨯]0, T )t ( )x ∈⎪u (x ⎪⎩

)

, x ∈t T

（20）

定理4 设u ∈C 2,1(Q T )⋂C Q T 是问题（20）的解，则u ≤FT +B

()

其中F =sup f ，B =max ϕ(x ), max g

Q T

∂Ω⨯[0, T ]

{}

证明令v =tF +B ，与±u 作比较．因为 A [u ]=F ≥±f =[A ±] u ，(x , t )∈Q T v (x , 0ϕ()x =±)=B ≥±(u , x )0 ， x ∈Ω v ∂Ω≥B ≥±∂Ω=u ∂， 0≤t ≤T Ω

由比较原理知，±u ≤v ≤FT +B ，即 u (x , t )≤FT +B

抛物型方程解的估计及其应用

推论2 第一初边值问题（20）的解在函数类C 2,1(Q T )⋂C Q T 中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ和g ．

证明当f =ϕ=g ≡0时，对应的解u 满足u =0，故u ≡0，从而解是唯一

()

的．假设u i 是对应于{f i , ϕi , g i }的解，则u 1-u 2是对应于{f 1-f 2, ϕ1-ϕ2, g 1-g 2}i =1,2，的解．于是

Q T

u 1-u 2≤T f 1-f 2+ax 1-ϕ2, max g 1-g 2

∂Ω⨯[0, T ]

{}

所以当{f 1, ϕ1, g 1}与{f 2, ϕ2, g 2}充分接近时，u 1与u 2也充分接近，这说明问题（20）的解连续地依赖于f ，ϕ和g ．

现在考察第一初边值问题

⎧B [u ]=f (x , t ) (x , t )∈Q T

⎪⎪

（21） ⎨u (x ,0)=ϕ(x ) x ∈Ω

⎪⎪⎩u (x , t )=g (x , t ) (x , t )∈∂Ω⨯[0, T ]

定理5 设c (x , t )≥-c 0，u ∈C 2,1(Q T )⋂C Q T 是问题（21）的解，则

u ≤e c 0T (FT +B ) T

()

其中F =sup f ，B =max ϕ(x ), max g ．

Q T

∂Ω⨯[0, T ]

{}

证明不妨认为c 0≥0，令v =e c 0t (FT +B )，与±u 作比较．因为

B [u ]=Fe c 0t +c 0e c t 0(Ft +B )+c (x , t )e c t 0(Ft +B )

=Fe c 0t +e c 0t (c 0+c (x , t ))(Ft +B )

≥Fe c 0t ≥F ≥±f =B [±u ] (x , t )∈Q T

v (x , 0ϕ()x =±)=B ≥±(u , x )0 ， x ∈Ω v ∂Ω≥B ≥±∂Ω=u ∂， 0≤t ≤T Ω

由比较原理知，±u ≤v ≤e c 0T (FT +B )，即u (x , t )≤e c 0T (FT +B )

抛物型方程解的估计及其应用

5.3 初值问题解的最大模估计

记D T =R n ⨯[0, T ]，C [u ]=u t -∆u +c (x , t )u 考察初值问题

⎧⎪C [u ]=f (x , t ) (x , t )∈D T

(22) ⎨n

⎪⎩u (x ,0)=ϕ(x ) x ∈R

设c (x , t )连续，c (x , t )≥-c 0(c 0>0)，f (x , t )和ϕ(x )有界，记 F =s u f ， Φ=sup

D T

R n

如果u ∈C 2,1(D T )⋂C D T 是初值问题（22）的解，则 s u u ≤e c 0T (FT +Φ)

D T

()

证明令v (x , t )=u (x , t )e -c 0t ，则v 满足

⎧⎪D [v ]=v t -∆v +c (x , t )v =f (x , t ) ⎨ （23） n

⎪⎩v (x ,0)=ϕ(x ) x ∈R 其中c (x , t )=c (x , t )+c 0≥0，f (x , t )=e -c 0t f (x , t )

由于解得先验估计方法不能直接用于初值问题，我们希望借助于一个有界区域上的初边值问题进行讨论，任意取定较大的常数L ，记D L , T ={x ≤L }⨯(0, T ]．因为解u 有界，所以存在正常数K 使得u ≤K 在D T 上成立，在有界区域D L , T 上考虑辅助函数

w (x , t )=Ft +Φ+

K 2

x +2nt ±v 2L

()

直接计算知，在D L , T 上w 满足

⎧K 2⎧⎫-c 0t D w =F +c Ft +Φ+x +2nt []⎨⎬±e f ≥0 (x , t )∈D L , T ⎪2

L ⎩⎭⎪

K 2⎪

w x ,0=Φ+x ±ϕ(x ) x ≤L )⎨(2

L ⎪

-c 0t

⎪w (x , t )≥Φ+K ±u x , t e >0()x =L x =L ⎪⎩

()

利用比较原理知，w (x , t )≥0在D L , T 上成立

抛物型方程解的估计及其应用

对于D T 内的任一点(x 0, t 0)，取L 充分大使得(x 0, t 0)∈D L , T ，于是w (x 0, t 0)≥0 即

v (x 0, t 0)≤Ft 0+Φ+

K 2

x 0+2nt 0 2L

()

令L →∞得

v (x 0, t 0)≤Ft 0+Φ≤Ft +Φ

从而

u (x 0, t 0)=v (x 0, t 0)e c 0t ≤e c 0T (Ft +Φ)

由(x 0, t 0)∈D T 的任意性知，估计式（23）成立．

推论3 初值问题（23）的解在函数类C 2,1(D T )⋂C D T 中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ．

由于其证明与推论3的证明方式类似，这里不再赘述.

()

5.4 初边值问题的能量估计

设Ω是R n 中的一个光滑区域，在Q T =Ω⨯(0, T ]上考察第一初边值问题

⎧u t -∆u =f (x , t ) (x , t )∈Q T ⎪⎪

（24） ⎨u (x ,0)=ϕ(x ) x ∈Ω

⎪⎪⎩u =0 (x , t )∈∂Ω⨯[0, T ]

定理6 设u ∈C 1,0Q T ⋂C 2,1(Q T )是问题（23）的解，则存在正常数C =C (T )使得

max ⎰u

0≤t ≤T

()

(x , t )dx +2⎰0

2T ⎛⎫2

∇u dxdt ≤C ϕdx +f dxdt ⎰Ω⎪ （25） ⎰Ω⎰0⎰Ω

⎝⎭

证明问题（24的方程两边乘以u 并在Q T 上积分，得

⎰⎰

0Ω

uu t dxdt -⎰

0Ω

⎰u ∆udxdt =⎰

0Ω

⎰

f udxdt （26）

对（26）式左端第一项中关于t 的积分利用分部积分以及初值条件，可知

t 11

⎰uu t dt =u 2(x , t )-ϕ2(x ) （27）

022

对（26）式左端第二项关于x 的积分利用散度定理以及边界条件，推出

抛物型方程解的估计及其应用

2∂u 2

=⎰d -S ⎰u d =x ⎰u ∆u d x d x （28） Ω∇ u Ω∂Ω∂n Ω

将（27）式和（28）式代入（26）式，得

⎰

u dx +2⎰

0Ω

⎰∇u dxdt =2⎰

0Ω

⎰f udxdt +⎰ϕ2dx （29）

利用不等式2ab ≤a 2+b 2可知 2⎰

t 0Ω

⎰f u d x d ≤t ⎰

0Ω

⎰

f d +x ⎰d ⎰t

0Ω

d x d t u

将上式代入（29）式，得

⎰

记 Y (t )=⎰

u dx +2⎰

0Ω

⎰∇u dxdt ≤⎰

t 0Ω

0Ω

⎰f dxd +⎰

0Ω

⎰u 2dxdt +⎰ϕ2dx （30）

0Ω

⎰

u dxdt ，F (t )=⎰

⎰f dxd +⎰ϕ2dx

那么不等式蕴含

Y '(t ) ≤Y (t )+F (t ) 利用Gronwall 不等式[9]推出

⎰⎰

0Ω

u dxdtF (t )=Y (t )≤Y (0)e t +(e t -1)F (t )

⎛t ⎫

≤e F (t )=e ⎰⎰f dxd +⎰ϕ2dx ⎪

⎝0Ω⎭

将上式代入（30）式知

2⎛t ⎫2

u dx +2∇u dxdt ≤e +1f dxd +ϕdx () ⎪ ⎰Ω⎰0⎰Ω⎰⎰0⎰ΩΩ

⎝⎭2

此式两边关于t 在[0, T ]上取上确界，就得到估计式（25）.

下面我们将讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题．

设Ω为R n 中的有界区域，且有光滑边界Q T =Ω⨯(0, T )，在区域中讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题

∂u n

-∑a ij (x , t )u x i u x j +∑b i (x , t )u x i +c (x , t )u =f (x , t ) （31） ∂t i , j =1i =1

t =0 u =ϕ(x ) x ∈Ω （32） u ∑T =0 （33）解的性质．式中，∑T =Γ⨯(0, T )为区域的侧边界；x =(x 1, x 2, x n )∈Ω

抛物型方程解的估计及其应用

为方便讨论，作如下假设：

（1）系数a ij 、b i 、c 及右端项f 都是Q T 上的连续函数，并且a ij 在Q T 上还具有一

阶连续偏导数．

（2）对一切i , j =1, 2, n ；a ij =a ji 且存在正常数α>0，使得对一切(x , t )∈Q T 及

任意给定的实向量(ξ1, ξ2, , ξn )，有：

i , j =1

∑a (x , t )ξξ

≥α∑ξi 2

i =1

成立．

对于初边值问题的解，定义能量函数：

d x E (t )=⎰u （34）

2Ω

定理7 若u (x , t )为初边值问题（31）~（33）的解，能量函数E (t )按式（34）定义，则能量估计式：

E (t )≤E e t ⎰(0)C e t +C C ⎰

0Ω

（35） f d x d t ≤ 0≤ t T

成立．其中，C 为一个不依赖于u 的正常数．

证明用u 乘以式(31)，并在Ω上关于x 积分，就得到：

⎛n ⎫⎛n ⎫

⎰u t udx -⎰ ∑a ij (x , t )u x i x j u ⎪dx +⎰ ∑b i (x , t )u x i u +cu ⎪dx =⎰fudx t ∈[0, T ] (36) ΩΩΩΩ

⎝i =1⎭⎝i , j =1⎭式左端的第一项可以写成

d ⎧1⎫2

⎨⎰Ωu dx ⎬；当n ≥3时，记α1, α2, , αn 为侧边界∑T 法向dt ⎩2⎭

量的方向角，dS 为广义面积微元．令p ij =a ij uu x i (i , j =1,2, , n )，固定i ，让

j =1,2, , n ，利用高维高斯公式[10]，并注意边界条件（它隐含着u ∑=0），边界积分

项为零，可得

0=⎰

∑T

(p i 1cos α1+p i 2cos α2+ p in cos αn )dS

⎛∂p ∂p ∂p ⎫

=⎰ i 1+i 2+ +in ⎪dx

Ω∂x ∂x n ⎭⎝1∂x 2

=⎰a i 1u x i x 1+a i 2u x i x 2+a in u x i x n udx

()

=⎰

((a u )

i 1

x 1

+(a i 2u )x + +(a in u )x u x i dx

)

抛物型方程解的估计及其应用

故对固定的i ，有：

-⎰a i 1u x i x 1+a i 2u x i x 2+a in u x i x n udx =⎰

()

((a u )

i 1

x 1

+(a i 2u )x + +(a in u )x u x i dx (37)

)

成立，对式(37)关于i 从1到n 求和．式（36）左端的第二项可以写成：

⎛n ⎫⎛n ⎫⎛n

-⎰ ∑a i j u i x j x u ⎪d =x ⎰ ∑a x (⎪x +d ⎰Ω∑i j i u x j u ΩΩ

i , =j 1i , =j 1i =, ⎝⎭⎝⎭⎝j

)

x i

a j i

⎫

u d x （38） u ⎪x ⎭

将上式的第二项，连同式右端的第三、四项移至等式右边，并将其和记为⎰Q (u , u t )dx 则有

n ⎛n ⎫

fudx -⎰ ∑b i (x , t )u x i u +cu +∑(a ij )u x i u ⎪dx

x i Ω

i , j =1⎝i =1⎭

⎰Q (u , u )dx =⎰

则由于系数的可微性假设（1）可得，对一切0≤t ≤T 成立

⎰

Q (

u , u x t )≤

⎛n

C ∑T ⎰Ω

⎝i =12⎫ （39） u +u ⎪u d x i ⎭

其中C T 为一个不依赖于T 的正常数，但与u 无关．对任意给定的ε>0，有

⎰∑u

Ωi =1

u x i ≤

2⎰Ωi =1

∑u

2x i

dx +⎰∑u 2dx （40）

2εΩi =1

取ε=

C T

，由式（40）就得到

⎰Q (u , u )dx ≤2⎰∑u

Ωi =1

2x i

dx +C 1⎰

∑u dx （41）

2i =1

2nC T

+C T ，将式（41）代入式（36）其中C 1=，容易得到 2α

n 2⎛n ⎫dE α1⎫n 21⎛

+⎰ ∑a ij u x i u x j ⎪dx ≤⎰∑u x i dx + C 1+⎪⎰∑u dx +⎰f 2dx （42）

Ωdt 2Ωi =12⎭Ωi =12Ω⎝⎝i , j =1⎭

再注意到由假设（2）有

n 2⎛n ⎫

a u u dx ≥αu dx ∑∑ij x i x j ⎪x i ⎰Ω ⎰Ω

i =1⎝i , j =1⎭

就可得到

≤C 2E (t )+⎰f 2dx （43）

Ωdt

抛物型方程解的估计及其应用

其中C 2=2C 1+1．

在式（43）两边乘以e -C 2t 再对t 积分，，并放大被积函数，即可得 E (t )≤E (0)C e t +定理证毕．

C C ⎰e t ⎰

0Ω

x d t f d

5.5 能量不等式的应用

5.5.1 初边值问题解的唯一性

热传导方程是抛物型方程的典型代表．下面考虑二维热传导方程的初边值问题

u t =a 2(u xx +u yy )+f （44）

u t =0=ϕ(x , y ) （45） u Γ=μ(x , y , t ) （46）这里，Γ表示Ω的边界，应用能量不等式可得如下定理．

定理8 若热传导方程的初边值问题的解存在，则其解唯一．

证明设u 1，u 2是该定解问题的两个解，则其差u =u 1-u 2满足相应的齐次方程及齐次初始条件和齐次边界条件．此时的齐次方程满足假设（1）、（2），有（34）式定义的能量函数知，在初始时刻有E (0)=0，故由能量不等式（35）得：

2222

E (t )=⎰⎰⎡u +a u +u ()⎤x y ⎦dxdy =0 Ω⎣

即u =u x =u y =0，从而可推出u (x , y , t )=const ．又由于在初始时刻u =0，故得

u (x , y , t )≡0．即u 1=u 2．这样就证明了初边值问题（44）~（46）解的唯一性． 5.5.2 初边值问题解的稳定性

为了记号简单起见, 对于定义在区域Ω上的函数ϕ和定义在区域上(0, T )⨯Ω的函数f , 常以和f L (Ω)

分别表示L ((0, T )⨯Ω)

(⎰⎰ϕdxdy )和(⎰

2Ω

⎰⎰

f 2dxdydt ．

)

抛物型方程解的估计及其应用

定理9 热传导方程的初边值问题：

u t =a 2(u xx +u yy )+f

u t =0=ϕ(x , y ) u Γ=0

的解u (x , y , t )，在下述意义下关于初始值ϕ与方程右端项f 是稳定的：对任何给定的

ε>0，一定可以找到仅依赖于ε和T 的η>0，只要

ϕ1-ϕ2

L 2(Ω)

≤η 1x -ϕ2x

L 2(Ω)

≤η

ϕ1y -ϕ2y

L 2(Ω)

≤η f 1-f 2

L 2((0, T )⨯Ω)

≤η (47)

那么以ϕ1为初值、f 1为右端项的解u 1与以ϕ2为初值、f 2为右端项的解u 2之差在上满足

u 1-u 2

L 2(Ω)

≤ε u 1x -u 2x

L 2(Ω)

≤ε u 1y -u 2y

L 2(Ω)

≤ε （48）

证明记u =u 1-u 2，ϕ=ϕ1-ϕ2，f =f 1-f ，则u 满足

u t =a 2(u xx +u yy )+f （49）

u t =0=ϕ(x , y ) （50） u Γ=0 （51）方程（49）满足假设（1）、（2），从而利用能量不等式（35），可得：

E (t )≤E (0)e Ct +Ce Ct ⎰

t 0

⎰⎰

f 2dxdydt ≤C 2E (0)+⎰

(

⎰⎰

f 2dxdydt t ∈[0, T ] （52）

)

式中，C 2为一个仅依赖于T 的正常数．记

抛物型方程解的估计及其应用

E 0(t )=⎰⎰u 2(x , y , t )dxdy

则

dE 0(t )∂u

=2⎰⎰u ≤⎰⎰u 2dxdy +⎰⎰u t 2dxdy ≤E 0(t )+E (t )

ΩΩΩdt ∂t

用e -t 乘上式两端得

d -t

e E 0(t ))≤e -t E (t )(dt

再从0到t 积分(0≤t ≤T )，并放大被积函数，利用式（52），就得

E 0(t )≤e t E 0(0)+e t ⎰e -τE 0(τ)d τ≤C 3E 0(0)+E (0)+⎰

(

⎰⎰

f 2dxdydt （53）

)

式中，C 3为一个仅依赖于T 的正常数．结合式（52）与式（53），就得到

E 0(t )+E (t )≤C 4E 0(0)+E (0)+⎰

(

⎰⎰

f 2dxdydt t ∈[0, T ] （54）

)

式中，C 4为一个仅依赖于T 的正常数．

η=对任何给定ε>0，取M =

max (C 4, C 4a 2)，只要式（49）成立，就有

则η仅依赖于ε和T ．由式（54），

u 1-u 2

即

2L 2(Ω)

=⎰⎰(u 1-u 2)

⎛ε2

dxdy =E 0(t )≤5M

⎝5M ⎫2⎪=ε ⎭

u 1-u 2

L 2(Ω)

≤ε

类似地可证明其他情况．

6 解的渐进性估计

抛物型方程解的估计及其应用

6.1 初边值问题解的渐进性态

先讨论初边值问题（8）~（10）．由4.2节的讨论，当初始函数ϕ(x )满足ϕ∈C 1，且ϕ(0)=ϕ(l )=0，我们用分离变量法得到了一个用级数表示的经典解 u (

x , t )=∑a k e

k =1n

-a 2λk t

s （55）

其中

a k =

ϕ(

ξ)s i d ξ （56） ⎰0l

k 2π2

λk =2 （57）

定理10 假设初始函数ϕ(x )满足ϕ∈C 1，且ϕ(0)=ϕ(l )=0．则当t 趋于无穷时，问题（8）~（10）的唯一经典解指数衰减地趋于零，确切地说，当t →∞时，对一切

x ∈[0, l ]

u (x , t )≤Ce -a λ1t →0 （58）其中C 为一个与解无关的正常数．

证明由前面的讨论，唯一的经典解由（56）式给出．由（57）式可知，对一切

k ，

a k ≤C 1 （59）

其中为仅与的最大模有关的常数．由（57）知，当k →∞时，λk =O (k 2)，故有

(λk -λ1)e

-a 2(λk -λ1)t

∞

≤(λk -λ1)e

-a 2(λk -λ1)

≤C 2

其中C 2为一个与k 无关的正常数．于是当t ≥1时，对一切x ∈[0, l ]，成立

解的渐进性估计

∞

⎛-a 2(λk -λ1)t ⎫-a 2λ1t

u (x , t )≤C 1 1+∑e ⎪e

⎝k =2⎭

∞2⎛1⎫-a 2λ1t

≤C 1 1+∑(λk -λ1)e -a (λk -λ1)t ⎪e

λk -λ1⎭⎝k =2

∞

⎛1⎫-a 2λ1t -a 2λ1t

≤C 1 1+C 2∑≤Ce ⎪e

λ-λk =2k 1⎭⎝

证毕．

6.2 初值问题解的渐进性态

由4.1节的讨论可知，当ϕ(x )为有界连续函数时，热传导方程的初值问题

0 （60） u t -a 2(u x x +u )y y =

u (x （61） , y , 0)=ϕ(x , )y 的唯一解由下列积分给出

u (x , y , t )=

+∞+∞1

ϕ(ξ, η, τ)e 2⎰⎰-∞-∞4a πt

(x -ξ)2+(y -η)2

4a t

d ξd η （62）

+∞

为了讨论解的渐进性态，还需对ϕ加上进一步的条件．如果⎰称ϕ∈L 1(R )，并记 ϕ

L 1(R )

-∞

ϕ(x , y )dxdy 收敛，则

=⎰

+∞

-∞

ϕ(x , y ) （63）

定理11 设ϕ(x )为有界连续函数，且ϕ∈L 1(R )，则初值问题（60）、（61）的唯一经典解具有如下的渐进性态：对一切x ∈R ，t >0，当t →∞时．一致地成立

u (x , t )≤C 1t 其中C 为一个仅与a 及ϕ

L 1(R )

→0 （64）

有关的正常数．

证明由（62）式，

+∞14a t

ϕξ, η()

4a 2πt ⎰-∞

+∞1

≤2⎰ϕ(ξ, η)d ξd η

4a πt -∞

≤Ct -1

u (x , t )≤

(x -ξ)2+(y -η)2

d ξd η

抛物型方程解的估计及其应用

证毕．

由上面的讨论可见，在t →∞时，热传导方程初边值问题的解具有指数衰减率，而热传导方程的初值问题的解具有t

-n 2

的衰减率，其中n 为空间变量的维数．

参考文献

[1] 谷超豪，李大潜等．数学物理方程［M ］．第二版．北京：高等教育出版社，2002：45～124 [2] 陈恕行，秦铁虎，周忆．数学物理方程［M ］．上海：复旦大学出版社，2005：61～79 [3] [美]A.弗里德曼．抛物型偏微分方程［M ］．夏宗伟译．北京：科学出版社，1984：1～220 [4] 朱郁森，刘金枝．数学物理方程［M ］．长沙：湖南大学出版社，2005：107～112 [5] 欧维义．数学物理方程［M ］．长春：吉林大学出版社，1991：1～301

[6] 姜礼尚，陈亚浙．数学物理方程讲义［M ］．北京：高等教育出版社，1986：123～172[7] 王向东．二阶线性椭圆型方程组广义解最大模的估计［J ］．烟台师范学院学报，1990，6（1）：

6～13

[8] 赵天玉，曹静．双曲型方程解的能量估计及其应用［J ］．长江大学学报， 2007，4（4）：

17～20

[9］王新明 .数学物理方程 [M ] . 北京: 清华大学出版社，2005: 146～153

[10] 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程 [M ].吴亲仁，路可见译．北京:人民教育出版社，1957，394～

398

致谢

本论文是在赵天玉老师的指导下完成的，在完成过程中还得到了许多其他人的帮助和支持，值此论文完成之际，我由衷地感激所有给予我指导、关心、帮助和支持的老师、同学、朋友们．

首先，我要感谢我的指导老师赵天玉老师．从我论文开始的查阅文献、论文的选题、修改到最后的定稿，都得到了赵老师悉心的指导和无微不至的关怀．赵老师严谨的治学态度、敏锐的洞察力、认真负责的工作态度和诲人不倦的师长风范给我留下了深刻的印象，他教导我进行抛物型方程解的估计及其应用，指导我完成了这一篇毕业论文，帮助我在学习中不断提高分析问题和解决问题的能力，这些都将使我受益终生．

感谢信计学院的授课老师和与我一起学习的同学，没有他们的谆谆教诲和热心帮助，我不可能顺利地完成本次毕业论文设计．

最后，我还要感谢在百忙之中参加我的论文答辩的各位老师！

前言

抛物型方程解的估计及其应用

1 前言

抛物型方程解的估计及其应用

许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁．

2 选题背景

2.1 题目类型及来源

题目类型：研究论文题目来源：专题研究

2.2 研究目的和意义

2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向

热传导方程的一些知识

3 热传导方程的一些知识

3.1 热传导方程的导出

若物体内各点的温度不相同，则其热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方

抛物型方程解的估计及其应用

下面我们考察一个均匀的、各向同性的物体G 在Ω内部的温度变化规律．设以u (x , y , z )表示物体G 在Ω内任一点M (x , y , z )处在时刻t 的温度．

在Ω内任取一小块区域V ，使V ⊂Ω，并且其边界Γ是光滑的闭曲面，Γ上面积元素的单位外法向量记作n ．

根据传热学中的傅里叶实验定律[2]，物体在无穷小时段dt 内，从V 内经过dS 流

∂u

出的热量dQ 与时间dt ，流经面积dS 以及温度沿dS 的外法向量的方向导数成正

∂n

比，即

∂u

d S d =t -∇k ⋅u n d Q =- d S d t ∂n

⎛∂∂∂⎫

其中k >0是物体的热传导系数，∇= , , ⎪．上式中的负号表示热流的方向与

⎝∂x ∂y ∂z ⎭温度梯度的方向相反（因为热量总是由温度高处流向温度低处），因此从时刻t 1到时刻t 2经过Γ流入V 内的全部热量

t ⎰⎰∇k u ⋅n d s d t Q 1=⎰d

t 1

t 2

t 1

F (⎰⎰⎰

, x , y , z d z d t )t d x d y

另一方面，在[t 1, t 2]内，V 内温度从u (x , y , z , t 1)升高到u (x , y , z , t 1)所需吸收的热量为

ρ⎡t Q 3=⎰⎰⎰c (, x , y , z 2)-⎣u

(

u , x , y )1, ⎤⎦z t

d x d y d z

其中为c 物体的比热，ρ为物体的密度．根据能量守恒，有

热传导方程的一些知识

Q 1+Q 2=Q 3

若u (x , y , z , t )关于x , y , z 具有二阶连续偏导数，则由高斯公式得 Q 1=⎰dt ⎰⎰k ∇u ⋅ndsdt =⎰

t 1

t 2

t 1

⎰⎰⎰k ∆udxdydzdt

∂2∂2∂2这里 ∆ 是laplace 算子，∆=2+2+2

∂x ∂y ∂z

若u (x , y , z , t )关于t 具有一阶连续偏导数，则由Newton-Leibniz 公式有

c t u d x d y Q 3=⎰d t ⎰⎰⎰ρ d z

t 1

t 2

因此有

⎰

t 2

t 1

dt ⎰⎰⎰c ρu t dxdydz =⎰dt ⎰⎰⎰(k ∇u +F )dxdydz

t 1

t 2

由于时间段[t 1, t 2]及区域V 是任意取定的，并且被积函数是连续的，则

u t -a ∆u = f

其中a 2=

k F

，f =，并且当f ≥0时，表示Ω内有热源；当f ≤0时，表示Ω内有c ρc ρ

冷源（即热汇）．

∂u 2∂u =a 2∂t ∂x

同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程

2∂u ∂2u ⎫2⎛∂u =a 2+2⎪ ∂t ⎝∂x ∂y ⎭

抛物型方程解的估计及其应用

3.2 定解问题的提法

初始条件的提法显然为

u (x , y , z ,0)=ϕ(x , y , z )

其中ϕ(x , y , z )为已知函数，表示物体在t =0时的温度分布

第一边界条件：在R 3中的有界区域Ω的导热问题中，若Ω的边界∂Ω处于恒温u 0

的环境下，则边界条件为

u |∂Ω=u 0

若边界温度按已知规律g (x , y , z , t )变化，则

u |∂Ω=g (x , y , z , t )

第二边界条件：若热量在边界曲面∂Ω各点的流速为G (x , y , z , t )，则由Fourier 定律，边界条件可写成

∂u

=g (x , y , z , )t ∂n 其中g =-

G ∂u ，若G =0，则=0，此时称之为绝热边界条件． k ∂n ∂Ω

定解问题的求解

根据Newton 定律，从物体内部流到外部的热量与两介质间的温度差成正比，即有

dQ =k 1(u 1-u 2)dsdt

另一方面，由Fourier 定律[3]，在时间间隔内从边界曲面上面积元流出的热量为

∂u

dsdt dQ =-k ∂n

从而有

∂u

dsdt k 1(u 1-u 2)dsdt =-k ∂n

即

⎛∂u ⎫

+σu ⎪=g (x , y , , z ) t ∂n ⎝⎭∂Ω

k 1

， σu 1=g (x , y , z , t ) k

其中

σ=

4 定解问题的求解

4.1 初值问题的求解

2⎧⎪u t -a (u xx +u yy )=f (x , y , t ) （1） ⎨⎪⎩u (x , y ,0)=ϕ(x , y )

视t 为参数，先求解齐次热传导方程的初值问题

⎧u =a u xx +u yy )(⎪t

⎨ （2）

⎪⎩u (x , y ,0)=ϕ(x , y )

对x , y 进行Fourier 变换，记

F ⎡⎣u (x , y , t )⎤⎦=U (λ1, λ2, t )，

抛物型方程解的估计及其应用

F ⎡⎣ϕ(x , y )⎤⎦=Φ(λ1, λ2)

在（1）式两边关于x , y 进行Fourier 变换，原问题变为

22⎧d 2

i λ1)U (λ1, λ2, t )+(i λ2)U (λ1, λ2, t )⎤(⎪U (λ1, λ2, t )=a ⎡⎣⎦ （3） ⎨dt

⎪⎩

U (λ1, λ2,0)=Φ(λ1, λ2)（2）式是带参数λ1, λ2的常微分方程的柯西问题，它的解为

U (λ-a λ1+λ2)t

1, λ2, t )=Φ(λ1, λ2)e

( 函数e

-a 2(λ1+λ2)t

的Fourier 逆变换[4]为

F －1

⎡-a 2(λ12+λ22

)t ⎤=1+∞

-a 2(

λ12+λ2

)⎢⎣e ⎥⎦

(2π)2

⎰

-∞

te i (x λ1

+y λ2

)d λ1d λ

+∞

-(a 2λ21t -i λ1x

)

+∞

-(a 2λ22t -i λ2x

)

(2π)2

⎰

-∞

d λ1⎰-∞e

d λ2

⎰

+∞

-(a 2λ21t -i λ1x

)

d λ-a 2λ12t

+∞

-a 2λ12t

-∞

1=⎰+∞

-∞e

cos λ1xd λ1+i ⎰-∞

sin λ1xd λ1

+∞

=2⎰

-a 2λ12t

cos λ1xd λ1

令I (x )=

⎰

+∞

-a 2λ12t

cos λ1xd λ1

(x )=⎰+∞

-a 2λ12

t 0

-e λ1sin λ1xd λ1

=1⎡-a 2λ12t +∞

+∞-a 2λ12t 2a 2t ⎣⎢

e sin λ1x ∣0-⎰0x cos λ1xe d λ1⎤⎥⎦ =-x

2a 2t

I (x )

解得

2 I (x )=ce

x 4a t

又

I (

0)=⎰

+∞

-a 2λ12

t 0

e d λ1

+∞

e -y dy

4）

（

定解问题的求解

则有

F －1⎡e

⎢⎣

-a

(

λ12+λ2

)t ⎤=

⎥⎦1

e 4a 2πt

x 2+y 24a 2t

由（4）可得初值问题（2）的解为

u (x , y , t )=

+∞+∞1

ϕ(ξ, η)e 2⎰⎰-∞-∞4a πt

x -ξ)+(y -η)(-

4a t

d ξd η （5）

再求解非齐次热传导方程具有齐次初始条件的柯西问题

⎧u =a (u xx +u yy )+f (x , y , t ) （6） ⎪t

⎨

⎪⎩u (x , y .0)=0

由齐次化原理[5]，此柯西问题的解可写为

u (x , y , t )=

⎰ω(x , y , t ; τ)d τ

而ω=ω(x , y , t ; τ)为下述柯西问题的解：

⎧⎪ωt =a (ωxx +ωyy ), t >τ

⎨

⎪⎩ω(x , y , τ)=f (x , y , τ)

于是，利用（5）式，易知柯西问题（6）的解为

u (x , y , t )=

4a 2π

⎰⎰

t +∞

-∞

ϕ(ξ, η, τ)⎰-∞t -τ+∞

(x -ξ)2+(y -η)2

4a t -τd ξd ηd τ （7）

由叠加原理[6]，由（5）及（7）就得到柯西问题（1）的解为

u (x , y , t )=

4a 2πt ⎰-∞

+∞

⎰

+∞

-∞

ϕ(ξ, η)e

(x -ξ)2+(y -η)2

4a t

d ξd η

14a 2π

ϕ(ξ, η, τ)⎰0⎰-∞⎰-∞t -τ+∞

+∞

(x -ξ)2+(y -η)2-

4a 2(t -τ)

d ξd ηd τ

在上面的推导中，由于预先不知道是否满足进行傅里叶变换及有关计算的条件，

所得的解还只是形式解．为证明上式确实是柯西问题（1）的解，还得进行验证．

抛物型方程解的估计及其应用

4.2 初边值问题的求解

热传导方程的初边值问题

u t -a 2u xx =0 （8）

u ∣∣x =0=u x =l =0 （9）

u ∣t =0=ϕ(x ) （10）令

u (x , t )=X (x )T (t ) （11）

并要求它满足齐次边界条件（9），这里X (x )及T (t )分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的特定函数．

将（11）代入方程（8）中，得到

X (x )T ()t -

X (

t （12） )x (T )=0

将上式分离变量，有

/T /(t )X /()x =-

2=λ （13）

a T t X x

由于在（13）式中，左边仅是t 的函数，右边仅是x 的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能．记次常数为-λ（其值待定），就得到

T (t )+a

λT (t )=0 （14）

(x )+λX (x )=0 （15）

为了使此解是满足齐次边界条件（9）的非平凡解，就必须找到方程（8）满足边界条件

定解问题的求解

X (0)=0, X ()l = 0 （16）的非平凡解．方程（15）的通解随λ>0，λ=0以及λ

情形1 当λ

x )=C 1+C 2e

要使它满足边界条件（16），就必须

⎧⎪C 1+C 2=0

⎨ +e =0⎪⎩由于

≠0

只能C 1=C 2=0．故在λ

情形2 当λ=0时，方程（15）的通解可以写成 X (x )=C 1+C 2X 要满足边界条件（16），X (x )也只能恒等于零．

情形3 当λ>0时，方程（15）的通解具有如下形式： X (

x )=C 1+C 2 由边界条件X (0)=0知C 1=0，再由

X (

l )=C l 02s i =

可知，为了使C 2≠

0，就必须=0．于是

k 2π2

λ=λk =2(k =1, 2, ⋯)

这样就找到了一族非零解

k π

x (k =1, 2, ⋯) l

将固有值代入方程（14）中，可得到其通解为

X k (x )=A k sin

抛物型方程解的估计及其应用

T k (t )=B k e

2a 2k π

l 2

(k =1, 2⋯, )

a 2k π

这样就得到方程（8）的满足齐次边界（9）的下列分离变量形式的特解：

u k (x , t )=X k (x )T k (t )=a k e

l t

k π

s i x k (=

1⋯, 2 , )

现在我们设法作这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解，也就是说，要决定常数a k 使

u (x , t )=∑a k e

k =1∞

a 2k π

l t

k π

s i x （17）

满足初始条件（10）．故由初始条件（10）应有

k π

ϕ(x )=∑a s i x k

l k =1

∞

k π⎧

由于 ⎨1,sin

l ⎩

⎫

因此，a k 是在[0, l ]区间中正弦展开的傅里叶级x ⎬在[0, l ]上正交，

⎭

2l k πϕξsin ξd ξ （18） ()l ⎰0l

a 2k 2π2l 2

数的系数，即

a k =

故

-k π

u (x , t )=∑⎰ϕ(ξ)sin ξd ξ⋅e

0l k =1

∞

sin

k π

x （19） l

是用级数形式表示的初边值问题的形式解．

抛物型方程解的估计及其应用

满足也是显然的推论了．

证明：由于式（19）中含有因子e

⎛k π⎫-

意的p >0，级数∑ ⎪e

k =1⎝l ⎭

∞

a 2k 2πl 2

a 2k 2π2l t

，因此对于任意δ>0，当t >0时，对任

均是一致收敛的，而由ϕ是有界函数的假设

（(x )

⎰

ϕ(ξ)sin

k π

ξd ξ≤Ml l

5 抛物型方程解的估计及其应用

[8]

等等．一般地，我们可以根据先验估计得到定解问题解的唯一性和稳定性，并且可

结合其他一些分析方法推导出解的存在性，此外，作为对解的一种估计，先验估计还可能提供关于解的某种性态（如有界性等）方面的信息．

5.1 极值原理

考虑热传导方程

2 L u ≡u -a x u t x =

(f , )x , (t , )

x ∈t Q

其中Q ={(x , t )0

Γ={(x , t )x =0,0

抛物型方程解的估计及其应用

定理 1（弱极值原理）设函数u (x , t )∈C 2,1(Q )⋂C Q 满足Lu =f ．（1）若f ≤0，则u 在Q 上的最大值必在抛物边界Γ上达到，即

u (x ), t = x

()

m a (u x x ) t ,

（2）若f ≥0，则

u (x ), t = i n

m i (u n x ) t ,

（3）若f =0，则

u (x , t )=max u (x , t )， u (x , t )=min u (x , t )

同时成立，这里C 2,1(Q )表示在Q 内关于x 二次连续可微，且关于t 一次连续可微的函数全体．

证明：（1）不妨先考虑f

u (x 0, t 0)=u (x , t )

则在该点处u x =0，u xx ≤0，u t ≥0（如果t 0

f (x 0, t 0)=(u t -a 2u xx )

(x 0, t 0)

≥0，

这与f

u (x ), t = x

m a (u x x ) t ,

当 f (x , t )≤0时，设法将其转化为前面的情形．为此构造辅助函数 v (x , t )=u (x , t )-εt 其中ε是任意小的正数．因为

抛物型方程解的估计及其应用

L v =L -u ε=所以

-f ε

v (x , x )t =

m a (v x x ) t ,

于是

u (x , t )=⎡⎣v (x , t )+εt ⎤⎦≤max v (x , t )+εT ≤max u (x , t )+εT

令ε→0，得

u (x ), t = x

m a (u x x ) t ,

（2）若f ≥0，则对-u 应用情形（1）的结论即可．

x t

定理 2 函数u ∈C 2,1(Q )⋂C Q 满足Lu 则u 在Q 上的正最大值必在抛1=f ≤0，物边界Γ上达到，即

u (x , x )t ≤

()

m a +u x (x ) t ,

由于其证明与定理1的证明方式类似，这里不再赘述．

定理3 设c (x , t )≥-c 0，其中c 0为正常数．若函数u (x , t )∈C 2,1(Q )⋂C Q 满足

()

L 1u =f ≤0，且max u (x , t )≤0，则必有

u (x , t )≤0

证明令v (x , t )=e -c 0t u (x , t )，则v (x , t )满足方程 v t -a 2v xx +bv x +(c +c 0)v =fe -c 0t ≤0 由于c +c 0≥0，根据定理2，得

v (x t ), ≤ x

m v a +x (x t )≤, e -c 0t

u m a x x t )≤ , (

因此结论得证．

利用定理3，不难得到下列推论：

抛物型方程解的估计及其应用

推论1（比较原理）设c (x , t )≥-c 0(c 0≥0)，又设u , v ∈C 2,1(Q )⋂C Q ，且

()

L 1u ≤L 1v ，u Γ≤v Γ，则对任意的(x , t )∈Q ，有 u (x , t )≤v (x , t )

5.2 初边值问题解的最大模估计

设Ω是R n 中的有界开集，T >0．记Q T =Ω⨯(0,T ]，ΓT =(∂Ω⨯[0,T ) )⋃(Ω⨯{0})这里的ΓT 称为Q T 的抛物边界．我们先在Q T 中研究抛物型方程

记 A [u ]=u t -∆u +

∑b (x , t )u

i i =1i

x i

=f (x , t )

B [u ]=u t -∆u +

∑b (x , t )u

i =1

+c (x , t )u =f (x , t )

考察第一初边值问题

⎧

+i (b , )x t i x u =(, f ) x ( t ⎪A [u ]=t u -∆u ∑i =1

⎪⎪

⎨u (x , 0∈ Ω)=ϕ(x ) x

⎪

, )t =(g , x , t ∂Ω[⨯]0, T )t ( )x ∈⎪u (x ⎪⎩

)

, x ∈t T

（20）

定理4 设u ∈C 2,1(Q T )⋂C Q T 是问题（20）的解，则u ≤FT +B

()

其中F =sup f ，B =max ϕ(x ), max g

Q T

∂Ω⨯[0, T ]

{}

证明令v =tF +B ，与±u 作比较．因为 A [u ]=F ≥±f =[A ±] u ，(x , t )∈Q T v (x , 0ϕ()x =±)=B ≥±(u , x )0 ， x ∈Ω v ∂Ω≥B ≥±∂Ω=u ∂， 0≤t ≤T Ω

由比较原理知，±u ≤v ≤FT +B ，即 u (x , t )≤FT +B

抛物型方程解的估计及其应用

推论2 第一初边值问题（20）的解在函数类C 2,1(Q T )⋂C Q T 中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ和g ．

证明当f =ϕ=g ≡0时，对应的解u 满足u =0，故u ≡0，从而解是唯一

()

的．假设u i 是对应于{f i , ϕi , g i }的解，则u 1-u 2是对应于{f 1-f 2, ϕ1-ϕ2, g 1-g 2}i =1,2，的解．于是

Q T

u 1-u 2≤T f 1-f 2+ax 1-ϕ2, max g 1-g 2

∂Ω⨯[0, T ]

{}

所以当{f 1, ϕ1, g 1}与{f 2, ϕ2, g 2}充分接近时，u 1与u 2也充分接近，这说明问题（20）的解连续地依赖于f ，ϕ和g ．

现在考察第一初边值问题

⎧B [u ]=f (x , t ) (x , t )∈Q T

⎪⎪

（21） ⎨u (x ,0)=ϕ(x ) x ∈Ω

⎪⎪⎩u (x , t )=g (x , t ) (x , t )∈∂Ω⨯[0, T ]

定理5 设c (x , t )≥-c 0，u ∈C 2,1(Q T )⋂C Q T 是问题（21）的解，则

u ≤e c 0T (FT +B ) T

()

其中F =sup f ，B =max ϕ(x ), max g ．

Q T

∂Ω⨯[0, T ]

{}

证明不妨认为c 0≥0，令v =e c 0t (FT +B )，与±u 作比较．因为

B [u ]=Fe c 0t +c 0e c t 0(Ft +B )+c (x , t )e c t 0(Ft +B )

=Fe c 0t +e c 0t (c 0+c (x , t ))(Ft +B )

≥Fe c 0t ≥F ≥±f =B [±u ] (x , t )∈Q T

v (x , 0ϕ()x =±)=B ≥±(u , x )0 ， x ∈Ω v ∂Ω≥B ≥±∂Ω=u ∂， 0≤t ≤T Ω

由比较原理知，±u ≤v ≤e c 0T (FT +B )，即u (x , t )≤e c 0T (FT +B )

抛物型方程解的估计及其应用

5.3 初值问题解的最大模估计

记D T =R n ⨯[0, T ]，C [u ]=u t -∆u +c (x , t )u 考察初值问题

⎧⎪C [u ]=f (x , t ) (x , t )∈D T

(22) ⎨n

⎪⎩u (x ,0)=ϕ(x ) x ∈R

设c (x , t )连续，c (x , t )≥-c 0(c 0>0)，f (x , t )和ϕ(x )有界，记 F =s u f ， Φ=sup

D T

R n

如果u ∈C 2,1(D T )⋂C D T 是初值问题（22）的解，则 s u u ≤e c 0T (FT +Φ)

D T

()

证明令v (x , t )=u (x , t )e -c 0t ，则v 满足

⎧⎪D [v ]=v t -∆v +c (x , t )v =f (x , t ) ⎨ （23） n

⎪⎩v (x ,0)=ϕ(x ) x ∈R 其中c (x , t )=c (x , t )+c 0≥0，f (x , t )=e -c 0t f (x , t )

w (x , t )=Ft +Φ+

K 2

x +2nt ±v 2L

()

直接计算知，在D L , T 上w 满足

⎧K 2⎧⎫-c 0t D w =F +c Ft +Φ+x +2nt []⎨⎬±e f ≥0 (x , t )∈D L , T ⎪2

L ⎩⎭⎪

K 2⎪

w x ,0=Φ+x ±ϕ(x ) x ≤L )⎨(2

L ⎪

-c 0t

⎪w (x , t )≥Φ+K ±u x , t e >0()x =L x =L ⎪⎩

()

利用比较原理知，w (x , t )≥0在D L , T 上成立

抛物型方程解的估计及其应用

对于D T 内的任一点(x 0, t 0)，取L 充分大使得(x 0, t 0)∈D L , T ，于是w (x 0, t 0)≥0 即

v (x 0, t 0)≤Ft 0+Φ+

K 2

x 0+2nt 0 2L

()

令L →∞得

v (x 0, t 0)≤Ft 0+Φ≤Ft +Φ

从而

u (x 0, t 0)=v (x 0, t 0)e c 0t ≤e c 0T (Ft +Φ)

由(x 0, t 0)∈D T 的任意性知，估计式（23）成立．

推论3 初值问题（23）的解在函数类C 2,1(D T )⋂C D T 中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ．

由于其证明与推论3的证明方式类似，这里不再赘述.

()

5.4 初边值问题的能量估计

设Ω是R n 中的一个光滑区域，在Q T =Ω⨯(0, T ]上考察第一初边值问题

⎧u t -∆u =f (x , t ) (x , t )∈Q T ⎪⎪

（24） ⎨u (x ,0)=ϕ(x ) x ∈Ω

⎪⎪⎩u =0 (x , t )∈∂Ω⨯[0, T ]

定理6 设u ∈C 1,0Q T ⋂C 2,1(Q T )是问题（23）的解，则存在正常数C =C (T )使得

max ⎰u

0≤t ≤T

()

(x , t )dx +2⎰0

2T ⎛⎫2

∇u dxdt ≤C ϕdx +f dxdt ⎰Ω⎪ （25） ⎰Ω⎰0⎰Ω

⎝⎭

证明问题（24的方程两边乘以u 并在Q T 上积分，得

⎰⎰

0Ω

uu t dxdt -⎰

0Ω

⎰u ∆udxdt =⎰

0Ω

⎰

f udxdt （26）

对（26）式左端第一项中关于t 的积分利用分部积分以及初值条件，可知

t 11

⎰uu t dt =u 2(x , t )-ϕ2(x ) （27）

022

对（26）式左端第二项关于x 的积分利用散度定理以及边界条件，推出

抛物型方程解的估计及其应用

2∂u 2

=⎰d -S ⎰u d =x ⎰u ∆u d x d x （28） Ω∇ u Ω∂Ω∂n Ω

将（27）式和（28）式代入（26）式，得

⎰

u dx +2⎰

0Ω

⎰∇u dxdt =2⎰

0Ω

⎰f udxdt +⎰ϕ2dx （29）

利用不等式2ab ≤a 2+b 2可知 2⎰

t 0Ω

⎰f u d x d ≤t ⎰

0Ω

⎰

f d +x ⎰d ⎰t

0Ω

d x d t u

将上式代入（29）式，得

⎰

记 Y (t )=⎰

u dx +2⎰

0Ω

⎰∇u dxdt ≤⎰

t 0Ω

0Ω

⎰f dxd +⎰

0Ω

⎰u 2dxdt +⎰ϕ2dx （30）

0Ω

⎰

u dxdt ，F (t )=⎰

⎰f dxd +⎰ϕ2dx

那么不等式蕴含

Y '(t ) ≤Y (t )+F (t ) 利用Gronwall 不等式[9]推出

⎰⎰

0Ω

u dxdtF (t )=Y (t )≤Y (0)e t +(e t -1)F (t )

⎛t ⎫

≤e F (t )=e ⎰⎰f dxd +⎰ϕ2dx ⎪

⎝0Ω⎭

将上式代入（30）式知

2⎛t ⎫2

u dx +2∇u dxdt ≤e +1f dxd +ϕdx () ⎪ ⎰Ω⎰0⎰Ω⎰⎰0⎰ΩΩ

⎝⎭2

此式两边关于t 在[0, T ]上取上确界，就得到估计式（25）.

下面我们将讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题．

设Ω为R n 中的有界区域，且有光滑边界Q T =Ω⨯(0, T )，在区域中讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题

∂u n

-∑a ij (x , t )u x i u x j +∑b i (x , t )u x i +c (x , t )u =f (x , t ) （31） ∂t i , j =1i =1

t =0 u =ϕ(x ) x ∈Ω （32） u ∑T =0 （33）解的性质．式中，∑T =Γ⨯(0, T )为区域的侧边界；x =(x 1, x 2, x n )∈Ω

抛物型方程解的估计及其应用

为方便讨论，作如下假设：

（1）系数a ij 、b i 、c 及右端项f 都是Q T 上的连续函数，并且a ij 在Q T 上还具有一

阶连续偏导数．

（2）对一切i , j =1, 2, n ；a ij =a ji 且存在正常数α>0，使得对一切(x , t )∈Q T 及

任意给定的实向量(ξ1, ξ2, , ξn )，有：

i , j =1

∑a (x , t )ξξ

≥α∑ξi 2

i =1

成立．

对于初边值问题的解，定义能量函数：

d x E (t )=⎰u （34）

2Ω

定理7 若u (x , t )为初边值问题（31）~（33）的解，能量函数E (t )按式（34）定义，则能量估计式：

E (t )≤E e t ⎰(0)C e t +C C ⎰

0Ω

（35） f d x d t ≤ 0≤ t T

成立．其中，C 为一个不依赖于u 的正常数．

证明用u 乘以式(31)，并在Ω上关于x 积分，就得到：

⎛n ⎫⎛n ⎫

⎰u t udx -⎰ ∑a ij (x , t )u x i x j u ⎪dx +⎰ ∑b i (x , t )u x i u +cu ⎪dx =⎰fudx t ∈[0, T ] (36) ΩΩΩΩ

⎝i =1⎭⎝i , j =1⎭式左端的第一项可以写成

d ⎧1⎫2

⎨⎰Ωu dx ⎬；当n ≥3时，记α1, α2, , αn 为侧边界∑T 法向dt ⎩2⎭

量的方向角，dS 为广义面积微元．令p ij =a ij uu x i (i , j =1,2, , n )，固定i ，让

j =1,2, , n ，利用高维高斯公式[10]，并注意边界条件（它隐含着u ∑=0），边界积分

项为零，可得

0=⎰

∑T

(p i 1cos α1+p i 2cos α2+ p in cos αn )dS

⎛∂p ∂p ∂p ⎫

=⎰ i 1+i 2+ +in ⎪dx

Ω∂x ∂x n ⎭⎝1∂x 2

=⎰a i 1u x i x 1+a i 2u x i x 2+a in u x i x n udx

()

=⎰

((a u )

i 1

x 1

+(a i 2u )x + +(a in u )x u x i dx

)

抛物型方程解的估计及其应用

故对固定的i ，有：

-⎰a i 1u x i x 1+a i 2u x i x 2+a in u x i x n udx =⎰

()

((a u )

i 1

x 1

+(a i 2u )x + +(a in u )x u x i dx (37)

)

成立，对式(37)关于i 从1到n 求和．式（36）左端的第二项可以写成：

⎛n ⎫⎛n ⎫⎛n

-⎰ ∑a i j u i x j x u ⎪d =x ⎰ ∑a x (⎪x +d ⎰Ω∑i j i u x j u ΩΩ

i , =j 1i , =j 1i =, ⎝⎭⎝⎭⎝j

)

x i

a j i

⎫

u d x （38） u ⎪x ⎭

将上式的第二项，连同式右端的第三、四项移至等式右边，并将其和记为⎰Q (u , u t )dx 则有

n ⎛n ⎫

fudx -⎰ ∑b i (x , t )u x i u +cu +∑(a ij )u x i u ⎪dx

x i Ω

i , j =1⎝i =1⎭

⎰Q (u , u )dx =⎰

则由于系数的可微性假设（1）可得，对一切0≤t ≤T 成立

⎰

Q (

u , u x t )≤

⎛n

C ∑T ⎰Ω

⎝i =12⎫ （39） u +u ⎪u d x i ⎭

其中C T 为一个不依赖于T 的正常数，但与u 无关．对任意给定的ε>0，有

⎰∑u

Ωi =1

u x i ≤

2⎰Ωi =1

∑u

2x i

dx +⎰∑u 2dx （40）

2εΩi =1

取ε=

C T

，由式（40）就得到

⎰Q (u , u )dx ≤2⎰∑u

Ωi =1

2x i

dx +C 1⎰

∑u dx （41）

2i =1

2nC T

+C T ，将式（41）代入式（36）其中C 1=，容易得到 2α

n 2⎛n ⎫dE α1⎫n 21⎛

+⎰ ∑a ij u x i u x j ⎪dx ≤⎰∑u x i dx + C 1+⎪⎰∑u dx +⎰f 2dx （42）

Ωdt 2Ωi =12⎭Ωi =12Ω⎝⎝i , j =1⎭

再注意到由假设（2）有

n 2⎛n ⎫

a u u dx ≥αu dx ∑∑ij x i x j ⎪x i ⎰Ω ⎰Ω

i =1⎝i , j =1⎭

就可得到

≤C 2E (t )+⎰f 2dx （43）

Ωdt

抛物型方程解的估计及其应用

其中C 2=2C 1+1．

在式（43）两边乘以e -C 2t 再对t 积分，，并放大被积函数，即可得 E (t )≤E (0)C e t +定理证毕．

C C ⎰e t ⎰

0Ω

x d t f d

5.5 能量不等式的应用

5.5.1 初边值问题解的唯一性

热传导方程是抛物型方程的典型代表．下面考虑二维热传导方程的初边值问题

u t =a 2(u xx +u yy )+f （44）

u t =0=ϕ(x , y ) （45） u Γ=μ(x , y , t ) （46）这里，Γ表示Ω的边界，应用能量不等式可得如下定理．

定理8 若热传导方程的初边值问题的解存在，则其解唯一．

2222

E (t )=⎰⎰⎡u +a u +u ()⎤x y ⎦dxdy =0 Ω⎣

即u =u x =u y =0，从而可推出u (x , y , t )=const ．又由于在初始时刻u =0，故得

u (x , y , t )≡0．即u 1=u 2．这样就证明了初边值问题（44）~（46）解的唯一性． 5.5.2 初边值问题解的稳定性

为了记号简单起见, 对于定义在区域Ω上的函数ϕ和定义在区域上(0, T )⨯Ω的函数f , 常以和f L (Ω)

分别表示L ((0, T )⨯Ω)

(⎰⎰ϕdxdy )和(⎰

2Ω

⎰⎰

f 2dxdydt ．

)

抛物型方程解的估计及其应用

定理9 热传导方程的初边值问题：

u t =a 2(u xx +u yy )+f

u t =0=ϕ(x , y ) u Γ=0

的解u (x , y , t )，在下述意义下关于初始值ϕ与方程右端项f 是稳定的：对任何给定的

ε>0，一定可以找到仅依赖于ε和T 的η>0，只要

ϕ1-ϕ2

L 2(Ω)

≤η 1x -ϕ2x

L 2(Ω)

≤η

ϕ1y -ϕ2y

L 2(Ω)

≤η f 1-f 2

L 2((0, T )⨯Ω)

≤η (47)

那么以ϕ1为初值、f 1为右端项的解u 1与以ϕ2为初值、f 2为右端项的解u 2之差在上满足

u 1-u 2

L 2(Ω)

≤ε u 1x -u 2x

L 2(Ω)

≤ε u 1y -u 2y

L 2(Ω)

≤ε （48）

证明记u =u 1-u 2，ϕ=ϕ1-ϕ2，f =f 1-f ，则u 满足

u t =a 2(u xx +u yy )+f （49）

u t =0=ϕ(x , y ) （50） u Γ=0 （51）方程（49）满足假设（1）、（2），从而利用能量不等式（35），可得：

E (t )≤E (0)e Ct +Ce Ct ⎰

t 0

⎰⎰

f 2dxdydt ≤C 2E (0)+⎰

(

⎰⎰

f 2dxdydt t ∈[0, T ] （52）

)

式中，C 2为一个仅依赖于T 的正常数．记

抛物型方程解的估计及其应用

E 0(t )=⎰⎰u 2(x , y , t )dxdy

则

dE 0(t )∂u

=2⎰⎰u ≤⎰⎰u 2dxdy +⎰⎰u t 2dxdy ≤E 0(t )+E (t )

ΩΩΩdt ∂t

用e -t 乘上式两端得

d -t

e E 0(t ))≤e -t E (t )(dt

再从0到t 积分(0≤t ≤T )，并放大被积函数，利用式（52），就得

E 0(t )≤e t E 0(0)+e t ⎰e -τE 0(τ)d τ≤C 3E 0(0)+E (0)+⎰

(

⎰⎰

f 2dxdydt （53）

)

式中，C 3为一个仅依赖于T 的正常数．结合式（52）与式（53），就得到

E 0(t )+E (t )≤C 4E 0(0)+E (0)+⎰

(

⎰⎰

f 2dxdydt t ∈[0, T ] （54）

)

式中，C 4为一个仅依赖于T 的正常数．

η=对任何给定ε>0，取M =

max (C 4, C 4a 2)，只要式（49）成立，就有

则η仅依赖于ε和T ．由式（54），

u 1-u 2

即

2L 2(Ω)

=⎰⎰(u 1-u 2)

⎛ε2

dxdy =E 0(t )≤5M

⎝5M ⎫2⎪=ε ⎭

u 1-u 2

L 2(Ω)

≤ε

类似地可证明其他情况．

6 解的渐进性估计

抛物型方程解的估计及其应用

6.1 初边值问题解的渐进性态

先讨论初边值问题（8）~（10）．由4.2节的讨论，当初始函数ϕ(x )满足ϕ∈C 1，且ϕ(0)=ϕ(l )=0，我们用分离变量法得到了一个用级数表示的经典解 u (

x , t )=∑a k e

k =1n

-a 2λk t

s （55）

其中

a k =

ϕ(

ξ)s i d ξ （56） ⎰0l

k 2π2

λk =2 （57）

x ∈[0, l ]

u (x , t )≤Ce -a λ1t →0 （58）其中C 为一个与解无关的正常数．

证明由前面的讨论，唯一的经典解由（56）式给出．由（57）式可知，对一切

k ，

a k ≤C 1 （59）

其中为仅与的最大模有关的常数．由（57）知，当k →∞时，λk =O (k 2)，故有

(λk -λ1)e

-a 2(λk -λ1)t

∞

≤(λk -λ1)e

-a 2(λk -λ1)

≤C 2

其中C 2为一个与k 无关的正常数．于是当t ≥1时，对一切x ∈[0, l ]，成立

解的渐进性估计

∞

⎛-a 2(λk -λ1)t ⎫-a 2λ1t

u (x , t )≤C 1 1+∑e ⎪e

⎝k =2⎭

∞2⎛1⎫-a 2λ1t

≤C 1 1+∑(λk -λ1)e -a (λk -λ1)t ⎪e

λk -λ1⎭⎝k =2

∞

⎛1⎫-a 2λ1t -a 2λ1t

≤C 1 1+C 2∑≤Ce ⎪e

λ-λk =2k 1⎭⎝

证毕．

6.2 初值问题解的渐进性态

由4.1节的讨论可知，当ϕ(x )为有界连续函数时，热传导方程的初值问题

0 （60） u t -a 2(u x x +u )y y =

u (x （61） , y , 0)=ϕ(x , )y 的唯一解由下列积分给出

u (x , y , t )=

+∞+∞1

ϕ(ξ, η, τ)e 2⎰⎰-∞-∞4a πt

(x -ξ)2+(y -η)2

4a t

d ξd η （62）

+∞

为了讨论解的渐进性态，还需对ϕ加上进一步的条件．如果⎰称ϕ∈L 1(R )，并记 ϕ

L 1(R )

-∞

ϕ(x , y )dxdy 收敛，则

=⎰

+∞

-∞

ϕ(x , y ) （63）

定理11 设ϕ(x )为有界连续函数，且ϕ∈L 1(R )，则初值问题（60）、（61）的唯一经典解具有如下的渐进性态：对一切x ∈R ，t >0，当t →∞时．一致地成立

u (x , t )≤C 1t 其中C 为一个仅与a 及ϕ

L 1(R )

→0 （64）

有关的正常数．

证明由（62）式，

+∞14a t

ϕξ, η()

4a 2πt ⎰-∞

+∞1

≤2⎰ϕ(ξ, η)d ξd η

4a πt -∞

≤Ct -1

u (x , t )≤

(x -ξ)2+(y -η)2

d ξd η

抛物型方程解的估计及其应用

证毕．

由上面的讨论可见，在t →∞时，热传导方程初边值问题的解具有指数衰减率，而热传导方程的初值问题的解具有t

-n 2

的衰减率，其中n 为空间变量的维数．

参考文献

6～13

[8] 赵天玉，曹静．双曲型方程解的能量估计及其应用［J ］．长江大学学报， 2007，4（4）：

17～20

[9］王新明 .数学物理方程 [M ] . 北京: 清华大学出版社，2005: 146～153

[10] 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程 [M ].吴亲仁，路可见译．北京:人民教育出版社，1957，394～

398

致谢

感谢信计学院的授课老师和与我一起学习的同学，没有他们的谆谆教诲和热心帮助，我不可能顺利地完成本次毕业论文设计．

最后，我还要感谢在百忙之中参加我的论文答辩的各位老师！

相关内容

热门内容

标签