傅里叶分析应用于热传导问题

（物理系郭素梅指导教师陆立柱）

〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。

〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题

引言

1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。

1. 傅里叶分析 1.1 傅里叶级数

傅里叶级数在应用上有以下优点和分析。

若函数f(x)以2l为周期，即

[1]

：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调

f(x2l)f(x)[2] (1.1.1)

则可取三角函数族

1， cos

x2xnx,cos, … cos ，… lllx2xnxsin,sin, … sin ， … (1.1.2)

lll

[3]

作为基本函数族，将f(x)展开为级数



f(x)=a0+

(ancos

n1

nxnx

+bncos) (1.1.3) ll

[4]

可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的开系数为

。根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展

1lnaf()cosdnlnll

（1.1.4） 

b1f()sinndnlll

其中

n

21

[2]

(n0)(n0)

(1.1.3)称为周期函数f(x)的傅里叶级数展开式，其中的展开系数（1.1.4）称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题为

，有Dirichlet定理

[4]

。

若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，展开式(1.1.3)a0及诸ak均等于零，



f(x)=bnsin

n1

nx

, (1.1.5) l

这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为

bn

1ln

f()sind （1.1.6） lll



同理，若周期函数是偶函数，则

f(x)=a0+ancos

n1

nx

(1.1.7) l

这叫做傅里叶余弦级数，其中，

an

nll

f()cos

n

d （1.1.8） l

对于只在有限区间，例如在(0,l)上有定义的函数f(x),可采取延拓的方法，使其成为某种周期函数g(x)，而在(0,l)上，g(x)f(x)。然后再对g(x)作傅里叶级数展开，其级数和在区间(0,l)上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式，它们在(0,l)上均代表f(x).有时，对函数f(x)在边界（区间的端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。例如要求

f(0)f(l)0

这时应延拓为奇的周期函数，因为

sin

又如要求

nxnx

│x0=0, sin∣xl=0; ll

f'(0)f'(l)0

这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在x0和xl为零。

对于函数u(x,t),-l

叶级数

u(x,t)=a0(t)+

(an(t)cos

n1



nxnx

) (1.1.9) bn(t)sin

其中的展开系数不是常数，而是关于t的函数，

an(t)bn(t)

nll

u(,t)cos

ndl

1n

u(,t)sindlll

(1.1.10)

1.2 傅里叶积分

一般说来，定义在区间（-∞

g(x)=a0+

(ancos

n1



nxnx

) bnsin

[4]

在l→∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开。仔细研究这一极限过程可以得到：

f(x)=其中

A(ω)=B(ω)=

，





A()cosxdB()sinxd (1.2.1)











f(ξ)cosωξdξ

f(ξ)sinωξdξ (1.2.2)





(1.2.1)右边的积分称为傅里叶积分，(1.2.1)称为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式。(1.2.2)称为f(x)的傅里叶变换式。对f(x)的条件，有傅里叶积分定理

f(x)=

[5]

。复数形式的傅里叶积分为:







F(ω)e

ix

dω (1.2.3)

F(ω)=

12







f(x)[eix]*dx (1.2.4)

1.3 含参数的傅里叶变换

对于函数u(x,t),(-∞

u(x,t)=

其中

F(ω,t)=







F(ω,t)e

ix

dω (1.3.1)

12







u(x,t)[e

ix*

]dx (1.3.2)

(1.3.1)是u(x,t)傅里叶积分表达式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里叶变换式。

２．细杆的热传导问题

由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫做热传导。在细杆的

热传导问题中研究的是温度在一维空间中的分布和在时间中的变化u(x,t)。应用热传导定理和能量

守恒定律，可导出

[6]

可导出热传导方程：

uta2uxx0 (无热源、汇)

uta2uxxf(x,t) (有热源、汇) 还需初始条件

u(x,t)|tt0=(x) 和三类边界条件

[7]

：

第一类 u(x,t)|xx0=ψ(t) 第二类 ux(x,t)|xx0=ψ(t)

第三类 u(x,t) |xx0+Hux(x,t)|xx0=ψ(t) 这样构成完整的一维热传导问题

[8]

。根据空间变量的范围可分为以下两种细杆的热传导问题。

２.1 有界细杆的热传导问题

这里仅选第二类边界条件作讨论，构成

uta2uxxf(x,t)

ux|x00



ux|xl0u|(x)t0

(0xl,t0)

(2.1.1)

2.2 无界细杆的热传导问题

uta2uxxf(x,t)



u|t00

(x,t0)

(2.2.1)

对半无界细杆的热传导问题，根据边界条件延拓到无界，转化为无界细杆的定解问题。对第一类齐

次边界条件的定解问题

uta2uxxf(x,t) （x>0,t>0）

u|x0=0 u|t0=(x) 作奇延拓

uta2uxxf(x,t) u|t0= 对第二类边界条件

uta2uxxf(x,t) （x>0,t>0） ux|x00 u|t0=(x) 作偶延拓

uta2uxxf(x,t) u|t0=

(x)(x)

(x0)

(x0)

(x)(x)

(x0)

(x0)

３．傅里叶分析应用于细杆的热传导问题

３.1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题

傅里叶级数法是直接求解非齐次方程的定解问题。对问题(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展开

为傅里叶级数，基本函数族应是相应齐次方程 uta2uxx0 在第二类齐次边界条件下的本征函数：cos

nx

(0,1,2,…),这样试把所求解展开为傅里叶余弦级数 l

nx

(3.1.1) l

u(x,t)= 把这个级数代入泛定方程，



n0



Tn(t)cos

n22a2nx

[Tn(t)＝f(x,t) (3.1.2) T(t)]cosn2

lln0



方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程右边也展开为傅里叶余弦级数，得到：

n22a2nxnx

[Tn (3.1.3) T]cosf(t)cosnn2

llln0n0



其中fn(t)为f(x,t)的傅里叶余弦级数的第n个傅里叶系数。比较两边的系数，分离出Tn（t）的常微分方程

n22a2

Tn=fn(t) Tnl2

(3.1.4)

又把（3.1.1）代入初始条件，得：



nxnxcoscos== (3.1.5) (x)T(0)nn

lln0n0

其中n为(x)的傅里叶余弦级数的第n个傅里叶系数。(3.1.5)式两边都是傅里叶余弦级数，由于基本函数族cos零初始条件

nx

的正交性，等式两边对应同一基本函数的傅里叶系数必然相等，于是得Tn(t)的非l

()d ol2ln

Tn(0)n()cosd (3.1.7)

ollT0(0)0

Tn(t)的常微分方程（求解[9]）在初始条件（3.1.7）下的解是

Tn(t)=e

这样所求解是

n22a2

n22a2

[fn(t)e

dtnfn(t)dt] (3.1.8)

u(x,t)={e

n0





n22a2

[fn(t)e

dtnfn(t)dt]}cos

nx

(3.1.9)

可以证明(3.1.9)是存在且唯一的

[10]

3.2 用傅里叶变换法求解无界细杆的热传导问题

对问题(2.2.1)应用含参数的傅里叶变换，即用不着遍乘方程及定解条件各项，并对空间变数x积分（时间变数视作参数），原来的定解问题变成

U'(t;k)k2a2U(t;k)F(t;k)

 (3.2.1)

U(t;k)|t00

其中U(t;k)为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次常微方程，用e

k2a2t

遍乘方程各项，得：

2222d

[U(t;k)ekat]F(t;k)ekat dt

对t积分一次，计及零初始值，

U(t;k)=ek

进行傅里叶逆变换，





F(;k)ekad





f(,)eikeka



(t)

dd

u(x,t)=

交换积分次序

12





[





f(,)eikeka

(t)

dd]•eikxdk

u(x,t)=

引用积分公式







1k2a2(t)ik(x)[eedk]dd f(,)

2



可得结果





e

4

ekdk

2

u(x,t)=

可以验证

[11]







f(,

(x)24a(t)

]dd (3.2.2))

[12]

(3.2.2) 确实符合(2.2.1).有热源或热汇的热传导问题，即泛定方程是齐次的，求解

更容易。

4. 讨论

4.1 一维热传导问题方法和结论的推广

用傅里叶分析法解决细杆的热传导问题，以及得到的结论均可推广到二维、三维空间，用到的理论基础是二、三重傅里叶级数

[13]

和二

[14]

、三

[15]

重傅里叶变换，求解过程与一维类似。

4.2 傅里叶分析应用于其它定解问题

用傅里叶分析法求解热传导问题时，只是对所求解进行了傅里叶展开或变换，并未对方程限制，常见的其它定解问题

[13]

：振动问题，扩散问题等均可用傅里叶分析法。

参考文献

[1]近藤次郎等. 微分方程付里叶分析 .于溶渤译者沈阳：辽宁人民出版社，1981 [2]董延 .级数.上海：上海科学技术出版社，1982 [3]周肇锡. 积分变换. 国防工业出版社，1982

[4]梁昆淼 .数学物理方法（第三版）. 北京：高等教育出版社，1998 [5]管平等 .数学物理方法.北京：高等教育出版社，2001 [6]郭敦仁.数学物理方法.北京：人民教育出版社，1965

[7]陆全康等.数学物理方法自学辅导. 上海：上海科学技术出版社，1989 [8]杨应辰徐明聪.数学物理方法与特殊函数.国防工业出版社，1980

[9]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第三版）.北京：高等教育出版社，1995 [10]Tyn Myint-U . 数学物理中的偏微分方程.徐元钟译. 上海：上海科学技术出版社，1983 [11]陈庆益. 数学物理方程. 人民教育出版社，1979 [12]陆立柱.数学物理方法.太原：山西高校联合出版社，1993 [13]周祥龙.数学物理方程.浙江大学出版社，1991

[14]孙仲康.快速傅里叶变换及其应用.北京：人民邮电出版社，1982 [15]C. 哈普尔. 数学物理引论. 肖布森译.北京：科学出版社，1989

Fourier analysis application to

Heat-conduction question

(Department of Physics Guo Sumei Director Lu Lizhu )

〔Abstract〕 Fourier analysis is an important Mathematics tool.The thesis applies Fourier analysis to one-dimensional space Heat-conduction question, and have a discussion. Fourier analysis consists of Fourier series which can solve limited one-dimensional space Heat-conduction question and Fourier integral which can solve infinite one-dimensional space Heat-conduction question. This is more systematic compared with the other methods, and embodies corresponding beauty of Mathematics to Physics.

〔Key words〕 Fourier series Fourier integral Fourier transform one-dimensional space Heat-conduction question

【教师评语】

本文对傅里叶分析的理论和方法理解深刻，阐述正确。应用于热传导问题时，物理概论和思想清晰，数学方法得当，逻辑性强，过程清晰，结论正确。

指导教师：陆立柱

傅里叶分析应用于热传导问题

（物理系郭素梅指导教师陆立柱）

〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题

引言

1. 傅里叶分析 1.1 傅里叶级数

傅里叶级数在应用上有以下优点和分析。

若函数f(x)以2l为周期，即

[1]

：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调

f(x2l)f(x)[2] (1.1.1)

则可取三角函数族

1， cos

x2xnx,cos, … cos ，… lllx2xnxsin,sin, … sin ， … (1.1.2)

lll

[3]

作为基本函数族，将f(x)展开为级数



f(x)=a0+

(ancos

n1

nxnx

+bncos) (1.1.3) ll

[4]

可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的开系数为

。根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展

1lnaf()cosdnlnll

（1.1.4） 

b1f()sinndnlll

其中

n

21

[2]

(n0)(n0)

(1.1.3)称为周期函数f(x)的傅里叶级数展开式，其中的展开系数（1.1.4）称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题为

，有Dirichlet定理

[4]

。

若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，展开式(1.1.3)a0及诸ak均等于零，



f(x)=bnsin

n1

nx

, (1.1.5) l

这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为

bn

1ln

f()sind （1.1.6） lll



同理，若周期函数是偶函数，则

f(x)=a0+ancos

n1

nx

(1.1.7) l

这叫做傅里叶余弦级数，其中，

an

nll

f()cos

n

d （1.1.8） l

f(0)f(l)0

这时应延拓为奇的周期函数，因为

sin

又如要求

nxnx

│x0=0, sin∣xl=0; ll

f'(0)f'(l)0

这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在x0和xl为零。

对于函数u(x,t),-l

叶级数

u(x,t)=a0(t)+

(an(t)cos

n1



nxnx

) (1.1.9) bn(t)sin

其中的展开系数不是常数，而是关于t的函数，

an(t)bn(t)

nll

u(,t)cos

ndl

1n

u(,t)sindlll

(1.1.10)

1.2 傅里叶积分

一般说来，定义在区间（-∞

g(x)=a0+

(ancos

n1



nxnx

) bnsin

[4]

在l→∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开。仔细研究这一极限过程可以得到：

f(x)=其中

A(ω)=B(ω)=

，





A()cosxdB()sinxd (1.2.1)











f(ξ)cosωξdξ

f(ξ)sinωξdξ (1.2.2)





(1.2.1)右边的积分称为傅里叶积分，(1.2.1)称为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式。(1.2.2)称为f(x)的傅里叶变换式。对f(x)的条件，有傅里叶积分定理

f(x)=

[5]

。复数形式的傅里叶积分为:







F(ω)e

ix

dω (1.2.3)

F(ω)=

12







f(x)[eix]*dx (1.2.4)

1.3 含参数的傅里叶变换

对于函数u(x,t),(-∞

u(x,t)=

其中

F(ω,t)=







F(ω,t)e

ix

dω (1.3.1)

12







u(x,t)[e

ix*

]dx (1.3.2)

(1.3.1)是u(x,t)傅里叶积分表达式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里叶变换式。

２．细杆的热传导问题

由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫做热传导。在细杆的

热传导问题中研究的是温度在一维空间中的分布和在时间中的变化u(x,t)。应用热传导定理和能量

守恒定律，可导出

[6]

可导出热传导方程：

uta2uxx0 (无热源、汇)

uta2uxxf(x,t) (有热源、汇) 还需初始条件

u(x,t)|tt0=(x) 和三类边界条件

[7]

：

第一类 u(x,t)|xx0=ψ(t) 第二类 ux(x,t)|xx0=ψ(t)

第三类 u(x,t) |xx0+Hux(x,t)|xx0=ψ(t) 这样构成完整的一维热传导问题

[8]

。根据空间变量的范围可分为以下两种细杆的热传导问题。

２.1 有界细杆的热传导问题

这里仅选第二类边界条件作讨论，构成

uta2uxxf(x,t)

ux|x00



ux|xl0u|(x)t0

(0xl,t0)

(2.1.1)

2.2 无界细杆的热传导问题

uta2uxxf(x,t)



u|t00

(x,t0)

(2.2.1)

对半无界细杆的热传导问题，根据边界条件延拓到无界，转化为无界细杆的定解问题。对第一类齐

次边界条件的定解问题

uta2uxxf(x,t) （x>0,t>0）

u|x0=0 u|t0=(x) 作奇延拓

uta2uxxf(x,t) u|t0= 对第二类边界条件

uta2uxxf(x,t) （x>0,t>0） ux|x00 u|t0=(x) 作偶延拓

uta2uxxf(x,t) u|t0=

(x)(x)

(x0)

(x0)

(x)(x)

(x0)

(x0)

３．傅里叶分析应用于细杆的热传导问题

３.1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题

傅里叶级数法是直接求解非齐次方程的定解问题。对问题(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展开

为傅里叶级数，基本函数族应是相应齐次方程 uta2uxx0 在第二类齐次边界条件下的本征函数：cos

nx

(0,1,2,…),这样试把所求解展开为傅里叶余弦级数 l

nx

(3.1.1) l

u(x,t)= 把这个级数代入泛定方程，



n0



Tn(t)cos

n22a2nx

[Tn(t)＝f(x,t) (3.1.2) T(t)]cosn2

lln0



方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程右边也展开为傅里叶余弦级数，得到：

n22a2nxnx

[Tn (3.1.3) T]cosf(t)cosnn2

llln0n0



其中fn(t)为f(x,t)的傅里叶余弦级数的第n个傅里叶系数。比较两边的系数，分离出Tn（t）的常微分方程

n22a2

Tn=fn(t) Tnl2

(3.1.4)

又把（3.1.1）代入初始条件，得：



nxnxcoscos== (3.1.5) (x)T(0)nn

lln0n0

其中n为(x)的傅里叶余弦级数的第n个傅里叶系数。(3.1.5)式两边都是傅里叶余弦级数，由于基本函数族cos零初始条件

nx

的正交性，等式两边对应同一基本函数的傅里叶系数必然相等，于是得Tn(t)的非l

()d ol2ln

Tn(0)n()cosd (3.1.7)

ollT0(0)0

Tn(t)的常微分方程（求解[9]）在初始条件（3.1.7）下的解是

Tn(t)=e

这样所求解是

n22a2

n22a2

[fn(t)e

dtnfn(t)dt] (3.1.8)

u(x,t)={e

n0





n22a2

[fn(t)e

dtnfn(t)dt]}cos

nx

(3.1.9)

可以证明(3.1.9)是存在且唯一的

[10]

3.2 用傅里叶变换法求解无界细杆的热传导问题

对问题(2.2.1)应用含参数的傅里叶变换，即用不着遍乘方程及定解条件各项，并对空间变数x积分（时间变数视作参数），原来的定解问题变成

U'(t;k)k2a2U(t;k)F(t;k)

 (3.2.1)

U(t;k)|t00

其中U(t;k)为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次常微方程，用e

k2a2t

遍乘方程各项，得：

2222d

[U(t;k)ekat]F(t;k)ekat dt

对t积分一次，计及零初始值，

U(t;k)=ek

进行傅里叶逆变换，





F(;k)ekad





f(,)eikeka



(t)

dd

u(x,t)=

交换积分次序

12





[





f(,)eikeka

(t)

dd]•eikxdk

u(x,t)=

引用积分公式







1k2a2(t)ik(x)[eedk]dd f(,)

2



可得结果





e

4

ekdk

2

u(x,t)=

可以验证

[11]







f(,

(x)24a(t)

]dd (3.2.2))

[12]

(3.2.2) 确实符合(2.2.1).有热源或热汇的热传导问题，即泛定方程是齐次的，求解

更容易。

4. 讨论

4.1 一维热传导问题方法和结论的推广

用傅里叶分析法解决细杆的热传导问题，以及得到的结论均可推广到二维、三维空间，用到的理论基础是二、三重傅里叶级数

[13]

和二

[14]

、三

[15]

重傅里叶变换，求解过程与一维类似。

4.2 傅里叶分析应用于其它定解问题

用傅里叶分析法求解热传导问题时，只是对所求解进行了傅里叶展开或变换，并未对方程限制，常见的其它定解问题

[13]

：振动问题，扩散问题等均可用傅里叶分析法。

参考文献

[7]陆全康等.数学物理方法自学辅导. 上海：上海科学技术出版社，1989 [8]杨应辰徐明聪.数学物理方法与特殊函数.国防工业出版社，1980

[14]孙仲康.快速傅里叶变换及其应用.北京：人民邮电出版社，1982 [15]C. 哈普尔. 数学物理引论. 肖布森译.北京：科学出版社，1989

Fourier analysis application to

Heat-conduction question

(Department of Physics Guo Sumei Director Lu Lizhu )

〔Key words〕 Fourier series Fourier integral Fourier transform one-dimensional space Heat-conduction question

【教师评语】

本文对傅里叶分析的理论和方法理解深刻，阐述正确。应用于热传导问题时，物理概论和思想清晰，数学方法得当，逻辑性强，过程清晰，结论正确。

指导教师：陆立柱

傅里叶分析应用于热传导问题

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