第２６卷第４期２００９年１２月
广东工业大学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｖ０１．２６Ｎｏ．４Ｄｅｃｅｍｂｅｒ２００９
Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程的解
邱红兵
（广东工业大学应用数学学院，广东广州５１０００６）
摘要：利用矩阵的秩分解。得到Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程在秩约束条件下有解的充分必要条件，并由此得到了Ｓｙｌｖｅｓ－ｔｅｒ矩阵秩等方程的通解．
关键词：秩分解；Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式；秩等方程中图分类号ｉ
０１５１．２１
文献标识码１
Ａ
文章编号：１００７－７１６２（２００９）０４－００１１－０３
ｌ
引言及引理
本文采用如下记号：足“８表示ｍ×凡实矩阵全
引理２设矩阵Ａ∈Ｒ““，Ｂ∈Ｒ“‘，则有
体；ｒ（Ａ）、Ａ７分别表示矩阵Ａ的秩和转置矩阵；，、Ｄ分别表示适当阶数的单位矩阵和零阵．
在矩阵分析中，矩阵的秩是一个基本而深刻的
ｒ（Ａｐ（仙ｍ．
证明显然矩阵（三７）与（三－，Ａ）均可
逆，于是，由引理１，有
概念关于矩阵的秩有一系列不等式【ｌ引，Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式是其中最基本的不等式之一，在矩阵理论中
占有重要的地位．
定理ｌ【ｍ１Ｂ∈Ｒ“‘则有
ｒ（ＡＢ）≥ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）一ｎ．
（１）
ｒ（Ａ≯【（Ａ瓢硎：一绷＝
７【，
Ｄ
（Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式）若Ａ∈Ｒ““，
Ｊ跏¨（仙）‘
（秩分解）设矩阵Ａ∈Ｒ“４，且ｒ（Ａ）
引理得证．引理３［３１
＝ｒ，则存在ｎ阶可逆矩阵Ｐ和Ｑ，使得
对于Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式的研究，主要集中在Ｓｙｌ—ｖｅｓｔｅｒ不等式的证明及Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式取等号的条件上．文献［４］考虑了使Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式（１）中等号成立的条件，但仅限于Ａ、曰均形如Ｄ＋材时的非常特殊的情况；文献［５・８］则根据文献［１］提出的公开问题，继续考虑Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式（１）中取等号的条件，推广并完善了文献［１］的结果．而把Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不
Ａ＝Ｐ（：吕）Ｑ．
２主要结果及证明
ｃ３，
对于Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２），当Ｘ为Ｉｔ／，阶
可逆矩阵时，Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）总成立，故Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）一定有解．
定理２设矩阵Ａ有秩分解（３），则在约束条件
等式取等号问题转化为一个矩阵秩等方程来研究，
迄今文献尚未见到．
本文考虑Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程
ｒ（Ａ）＋，－（Ｘ）＝ｒ（ＡＸ）＋忍
（２）
ｒ（Ｘ）＝ｔ下，Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）有解的充分
必要条件为
ｒ＋ｔ≥儿
（４）
的解，其中Ａ为ｎ阶已知矩阵，ｘ为ｎ阶未知矩阵．
引理１［Ｉ－２］
设矩阵Ａ∈置”４，￡，、ｙ分别为ｍ阶
和ｎ阶可逆矩阵，则有
ｒ（Ａ）＝ｒ（ＵＡ）＝ｒ（ＡＶ）＝ｒ（ＵＡＶ）．
当ｒ＋ｔ≥ｎ时，Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）在约束条件ｒ（Ｘ）＝ｔ下的通解为
删。１臣玎（：三）日’㈤
收稿日期：２００９．０９．１１
基金项目：广东工业大学校青年基金（０８２０２４）
作者简介：邱红兵（１９７４－），男，讲师，主要研究方向为矩阵分析、线性模型．
万方数据
１２
广东工业大学学报
第２６卷
（鼍Ｘｌ。１吉）可逆的任意矩阵，日为，ｔ阶任意可逆
充分性．令ｘ＝Ｑ。１（吕Ｚ），则ｒ（ｘ）＝ｔ，且由
ｒｃＡｘ，＝ｒ［［乏‘三三］［三三妻。］］＝
ｒ㈠卜
即ｘ＝Ｑ。１（吕Ｚ）为Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）在ｒ（：三）日，其中ｒ、日均为ｎ阶可逆矩阵，由引理２有
ｒ（：呈＝／－ｃＡ，＋ｒｃｘ，
ｒ（Ａｘｏ）＝
『
“
Ｄ
Ｄ
ｒ旧；）
¨
‘ＤＤ
Ｑ
Ｄ、
Ｄｌ
ｒ
ｐ
矿
ｔ
Ｄ日Ｊ
Ｄ
Ｄ
ｌ
ｌｌ
ｒ
ｏ＼
Ｄ
ＤＪ
Ｔ’１Ｑ。１
ｉ三）】
乏），即ｒ＝、五Ｘｎ。如Ｘ１２，／－１Ｑ于是
万方数据
Ｄ
ＤＤ》
Ｄ
ＤＤ置２
ｌｔｏ如
Ｄ
Ｄ
ＤＤＤＤＤ
Ｄ
Ｄ
ｌ：ｏ＝ｒ＋ｔ＋ｒ（％）．
如
Ｄ
Ｄ
ｘ＝Ｑ。１（羔：考）～（三三）丑
其中ｘｌｌ∈掣”，墨２∈掣。‘…’，墨ｌ∈足‘”吣７，且使
（乏：台）可逆，日为凡阶可逆矩阵．
ｒ（似）蜘可【ＩｘＪ－
ｒｌ‘‘／：１
。（置，考）ＱｆＸＹｌｌ乞≥１Ｑ］（：呈）（艺‘？。）］：Ｊ（：ｉ）（乙：Ｉ）Ｊ２
ＤＤＤＤ
Ｄ
Ｄｏ＝ｒ＋ｔ＝ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｘ）．
ｘ惶Ｉｔ
置ｌ
ＤＤ
Ｄ
即形如（５）的ｘ均为Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）在约束条件ｒ（ｘ）＝ｔ下的解．
综上知，式（５）为Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）在约束条件ｒ（ｘ）＝ｔ下的通解．证毕．
由定理２不难得到下面定理．
定理３设矩阵Ａ有秩分解（３），则Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）的通解为
删。１浇玎仨ｏｏ）
其中ｘｌｌ∈足“７、ｘ１２∈Ｒ“‘一”、邑ｌ∈Ｒｎ。Ｈ‘为使
陵台）可逆的任意矩阵，日为任意ｎ阶可逆矩
Ｉ阵．ｔ＝，ｌ—ｒ，ｎ—ｒ＋１，…，，１．
栌仆陵
第４期
邱红兵：Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程的解
１３
参考文献：
［５］邱红兵．一类矩阵秩的恒等式［Ｊ］．广东工业大学学报，
［１］姚慕生．高等代数学［Ｍ】．上海：复旦大学出版社，１９９９．２００７，２４（１）：８２－８４．
［２］北京大学数学系几何与代数小组．高等代数［Ｍ］．３版．
［６］骈俊生．矩阵秩的一个恒等式及其证明［Ｊ］．大学数学，
北京：高等教育出版社，２００３．
２００７，２３（２）：１４１－１４６．
【３］倪国熙．常用的矩阵理论和方法［Ｍ］．上海：上海科学技
［７］王廷明，黎伯堂．一类矩阵秩恒等式的证明［Ｊ］．山东大
术出版社。１９８２．
学学报：理学版，２００７。４２（２）：４３－４５．
［４］李书超，蒋君，向世斌．一类矩阵秩的恒等式及其推广
［８］斯琴巴特尔，陈秀红，宋庆龄，等．一类矩阵秩恒等的证
［Ｊ］．武汉科技大学学报：自然科学版，２００４，２７（１）：９６—
明［Ｊ］．内蒙古民族大学学报：自然科学版，２００７，２２（４）：
９８．
３７２－３７３．
ＴｈｅＳｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅＳｙｌｖｅｓｔｅｒ
Ｍａｔｒｉｘ
ＲａｎｋＥｑｕａｔｉｏｎ
Ｑｉｕ
Ｈｏｎｇ－ｂｉｎｇ
（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＡｐｐｌｉｅｄ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ
ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０００６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｔｈｅｍａｔｒｉｘｒａｎｋｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ。ｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ
ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ黜ｇｉｖｅｎ
ｆｏｒｔｈｅＳｙｌｖｅｓｔｅｒｍａｔｒｉｘ
ｒａｎｋｅｑｕａｔｉｏｎｔｏｈａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｒａｎｋ，ａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅＳｙｌｖｅｓｔｅｒｍａ－ｔｒｉｘｒａｎｋｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙ
ｗｏｒｄｓ：ｒａｎｋ
ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ
ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｒａｎｋ
ｅｑｕａｔｉｏｎ
（上接第６页）
Ｗｏｒｌｄｗｉｄｅ
ＰａｔｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ
ｏｎ
ＬＥＤＬｉｇｈｔｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ＷｅｎＳｈａｎｇ－ｓｈｅｎ９１，ＺｈａｎｇＪｉａｎ．ｐｉｎ９１，ＷｅｎＦｅｉ２，ＭｏＷｅｎ－ｚｈｅｎ３
（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｏｆＭａｔｅｒｉａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａ
ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０，Ｃｈｉｎａ；２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｔｈ
Ｃｈｉｎａ
ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０，Ｃｈｉｎａ；
３．Ｃｏｌｌｅｇｅｏｆ
ＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＤＷＰＩ
ｐａｔｅｎｔ
ｄａｔａｂａｓｅｏｆＴＨＯＭＳＯＮｇｒｏｕｐｗａｓｃｈｏｓｅｎ，ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｏｎ
ＬＥＤｌｉｇｈｔｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｐａｔｅｎｔｓｂｅ－
ｔｗｅｅｎＪａｎｕａｒｙｌ１９６５ｔｏ
Ｄｅｃｅｍｂｅｒ３１２００８ｗａ￥ｅｏＨｅｃｔｅｄ，ａｎｄｔｈｅａｓｓｏｃｉａｔｅｄｐａｔｅｎｔｄａｔａｂａｓｅｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｄｅｒ－
ｗｅｎｔ
ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ
ＩｎｄｅｘｐａｔｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｓｙｓｔｅｍＷａｓｃｈｏｓｅｎ．Ｔｈｅｓｅ
ＬＥＤ
ｌｉｇｈｔｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｐａｔｅｎｔｓｗｅｒｅ
ａｎａｌｙｚｅｄ
ｄｅｅｐｌｙｆｒｏｍｔｈｅｔｏｔａｌａｍｏｕｎｔｏｆｐａｔｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ａｎｄ
ｋｅｙ
ＬＥＤｐａｔｅｎｔｓ
ａｎｄｋｅｙｐａｔｅｎｔｈｏｌｄｅｒｓｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄ
ｒｅ—
ｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｔｅｎｔｓｔａｔｕｓａｔｈｏｍｅａｎｄ
ａｂｒｏａｄ
ｗｅｒｅ
ｃｏｍｐａｒｅｄ．Ｔｈｅｐａｔｅｎｔｓｔｒａｔｅｇｙｏｆｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇ
ｏｕｒ
ｎａ－
ＬＥＤｌｉｇｈｔｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙＷａｓａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ｗｏｒｄｓ：Ｌｉｇｈｔ－Ｅｍｉｔｔｉｎｇ
ｄｉｏｄｅ（ＬＥＤ）；ｌｉｇｈｔｉｎｇ；Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ
Ｐａｔｅｎｔ
Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ（ＩＰＣ）；ｐａｔｅｎｔ
ｄａｔａｂａｓｅ，ｐａ－
ｔｅｎｔ
ａｎａｌｙｓｉｓ
万方数据
ｔｉｏｎ’ｓＫｅｙ
第２６卷第４期２００９年１２月
广东工业大学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｖ０１．２６Ｎｏ．４Ｄｅｃｅｍｂｅｒ２００９
Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程的解
邱红兵
（广东工业大学应用数学学院，广东广州５１０００６）
摘要：利用矩阵的秩分解。得到Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程在秩约束条件下有解的充分必要条件，并由此得到了Ｓｙｌｖｅｓ－ｔｅｒ矩阵秩等方程的通解．
关键词：秩分解；Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式；秩等方程中图分类号ｉ
０１５１．２１
文献标识码１
Ａ
文章编号：１００７－７１６２（２００９）０４－００１１－０３
ｌ
引言及引理
本文采用如下记号：足“８表示ｍ×凡实矩阵全
引理２设矩阵Ａ∈Ｒ““，Ｂ∈Ｒ“‘，则有
体；ｒ（Ａ）、Ａ７分别表示矩阵Ａ的秩和转置矩阵；，、Ｄ分别表示适当阶数的单位矩阵和零阵．
在矩阵分析中，矩阵的秩是一个基本而深刻的
ｒ（Ａｐ（仙ｍ．
证明显然矩阵（三７）与（三－，Ａ）均可
逆，于是，由引理１，有
概念关于矩阵的秩有一系列不等式【ｌ引，Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式是其中最基本的不等式之一，在矩阵理论中
占有重要的地位．
定理ｌ【ｍ１Ｂ∈Ｒ“‘则有
ｒ（ＡＢ）≥ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）一ｎ．
（１）
ｒ（Ａ≯【（Ａ瓢硎：一绷＝
７【，
Ｄ
（Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式）若Ａ∈Ｒ““，
Ｊ跏¨（仙）‘
（秩分解）设矩阵Ａ∈Ｒ“４，且ｒ（Ａ）
引理得证．引理３［３１
＝ｒ，则存在ｎ阶可逆矩阵Ｐ和Ｑ，使得
对于Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式的研究，主要集中在Ｓｙｌ—ｖｅｓｔｅｒ不等式的证明及Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式取等号的条件上．文献［４］考虑了使Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式（１）中等号成立的条件，但仅限于Ａ、曰均形如Ｄ＋材时的非常特殊的情况；文献［５・８］则根据文献［１］提出的公开问题，继续考虑Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不等式（１）中取等号的条件，推广并完善了文献［１］的结果．而把Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ不
Ａ＝Ｐ（：吕）Ｑ．
２主要结果及证明
ｃ３，
对于Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２），当Ｘ为Ｉｔ／，阶
可逆矩阵时，Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）总成立，故Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）一定有解．
定理２设矩阵Ａ有秩分解（３），则在约束条件
等式取等号问题转化为一个矩阵秩等方程来研究，
迄今文献尚未见到．
本文考虑Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程
ｒ（Ａ）＋，－（Ｘ）＝ｒ（ＡＸ）＋忍
（２）
ｒ（Ｘ）＝ｔ下，Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）有解的充分
必要条件为
ｒ＋ｔ≥儿
（４）
的解，其中Ａ为ｎ阶已知矩阵，ｘ为ｎ阶未知矩阵．
引理１［Ｉ－２］
设矩阵Ａ∈置”４，￡，、ｙ分别为ｍ阶
和ｎ阶可逆矩阵，则有
ｒ（Ａ）＝ｒ（ＵＡ）＝ｒ（ＡＶ）＝ｒ（ＵＡＶ）．
当ｒ＋ｔ≥ｎ时，Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）在约束条件ｒ（Ｘ）＝ｔ下的通解为
删。１臣玎（：三）日’㈤
收稿日期：２００９．０９．１１
基金项目：广东工业大学校青年基金（０８２０２４）
作者简介：邱红兵（１９７４－），男，讲师，主要研究方向为矩阵分析、线性模型．
万方数据
１２
广东工业大学学报
第２６卷
（鼍Ｘｌ。１吉）可逆的任意矩阵，日为，ｔ阶任意可逆
充分性．令ｘ＝Ｑ。１（吕Ｚ），则ｒ（ｘ）＝ｔ，且由
ｒｃＡｘ，＝ｒ［［乏‘三三］［三三妻。］］＝
ｒ㈠卜
即ｘ＝Ｑ。１（吕Ｚ）为Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）在ｒ（：三）日，其中ｒ、日均为ｎ阶可逆矩阵，由引理２有
ｒ（：呈＝／－ｃＡ，＋ｒｃｘ，
ｒ（Ａｘｏ）＝
『
“
Ｄ
Ｄ
ｒ旧；）
¨
‘ＤＤ
Ｑ
Ｄ、
Ｄｌ
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ｐ
矿
ｔ
Ｄ日Ｊ
Ｄ
Ｄ
ｌ
ｌｌ
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ｏ＼
Ｄ
ＤＪ
Ｔ’１Ｑ。１
ｉ三）】
乏），即ｒ＝、五Ｘｎ。如Ｘ１２，／－１Ｑ于是
万方数据
Ｄ
ＤＤ》
Ｄ
ＤＤ置２
ｌｔｏ如
Ｄ
Ｄ
ＤＤＤＤＤ
Ｄ
Ｄ
ｌ：ｏ＝ｒ＋ｔ＋ｒ（％）．
如
Ｄ
Ｄ
ｘ＝Ｑ。１（羔：考）～（三三）丑
其中ｘｌｌ∈掣”，墨２∈掣。‘…’，墨ｌ∈足‘”吣７，且使
（乏：台）可逆，日为凡阶可逆矩阵．
ｒ（似）蜘可【ＩｘＪ－
ｒｌ‘‘／：１
。（置，考）ＱｆＸＹｌｌ乞≥１Ｑ］（：呈）（艺‘？。）］：Ｊ（：ｉ）（乙：Ｉ）Ｊ２
ＤＤＤＤ
Ｄ
Ｄｏ＝ｒ＋ｔ＝ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｘ）．
ｘ惶Ｉｔ
置ｌ
ＤＤ
Ｄ
即形如（５）的ｘ均为Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）在约束条件ｒ（ｘ）＝ｔ下的解．
综上知，式（５）为Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）在约束条件ｒ（ｘ）＝ｔ下的通解．证毕．
由定理２不难得到下面定理．
定理３设矩阵Ａ有秩分解（３），则Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程（２）的通解为
删。１浇玎仨ｏｏ）
其中ｘｌｌ∈足“７、ｘ１２∈Ｒ“‘一”、邑ｌ∈Ｒｎ。Ｈ‘为使
陵台）可逆的任意矩阵，日为任意ｎ阶可逆矩
Ｉ阵．ｔ＝，ｌ—ｒ，ｎ—ｒ＋１，…，，１．
栌仆陵
第４期
邱红兵：Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ矩阵秩等方程的解
１３
参考文献：
［５］邱红兵．一类矩阵秩的恒等式［Ｊ］．广东工业大学学报，
［１］姚慕生．高等代数学［Ｍ】．上海：复旦大学出版社，１９９９．２００７，２４（１）：８２－８４．
［２］北京大学数学系几何与代数小组．高等代数［Ｍ］．３版．
［６］骈俊生．矩阵秩的一个恒等式及其证明［Ｊ］．大学数学，
北京：高等教育出版社，２００３．
２００７，２３（２）：１４１－１４６．
【３］倪国熙．常用的矩阵理论和方法［Ｍ］．上海：上海科学技
［７］王廷明，黎伯堂．一类矩阵秩恒等式的证明［Ｊ］．山东大
术出版社。１９８２．
学学报：理学版，２００７。４２（２）：４３－４５．
［４］李书超，蒋君，向世斌．一类矩阵秩的恒等式及其推广
［８］斯琴巴特尔，陈秀红，宋庆龄，等．一类矩阵秩恒等的证
［Ｊ］．武汉科技大学学报：自然科学版，２００４，２７（１）：９６—
明［Ｊ］．内蒙古民族大学学报：自然科学版，２００７，２２（４）：
９８．
３７２－３７３．
ＴｈｅＳｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅＳｙｌｖｅｓｔｅｒ
Ｍａｔｒｉｘ
ＲａｎｋＥｑｕａｔｉｏｎ
Ｑｉｕ
Ｈｏｎｇ－ｂｉｎｇ
（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＡｐｐｌｉｅｄ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ
ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０００６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｔｈｅｍａｔｒｉｘｒａｎｋｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ。ｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ
ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ黜ｇｉｖｅｎ
ｆｏｒｔｈｅＳｙｌｖｅｓｔｅｒｍａｔｒｉｘ
ｒａｎｋｅｑｕａｔｉｏｎｔｏｈａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｒａｎｋ，ａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅＳｙｌｖｅｓｔｅｒｍａ－ｔｒｉｘｒａｎｋｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙ
ｗｏｒｄｓ：ｒａｎｋ
ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ
ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｒａｎｋ
ｅｑｕａｔｉｏｎ
（上接第６页）
Ｗｏｒｌｄｗｉｄｅ
ＰａｔｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ
ｏｎ
ＬＥＤＬｉｇｈｔｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ＷｅｎＳｈａｎｇ－ｓｈｅｎ９１，ＺｈａｎｇＪｉａｎ．ｐｉｎ９１，ＷｅｎＦｅｉ２，ＭｏＷｅｎ－ｚｈｅｎ３
（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｏｆＭａｔｅｒｉａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａ
ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０，Ｃｈｉｎａ；２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｔｈ
Ｃｈｉｎａ
ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０，Ｃｈｉｎａ；
３．Ｃｏｌｌｅｇｅｏｆ
ＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＤＷＰＩ
ｐａｔｅｎｔ
ｄａｔａｂａｓｅｏｆＴＨＯＭＳＯＮｇｒｏｕｐｗａｓｃｈｏｓｅｎ，ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｏｎ
ＬＥＤｌｉｇｈｔｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｐａｔｅｎｔｓｂｅ－
ｔｗｅｅｎＪａｎｕａｒｙｌ１９６５ｔｏ
Ｄｅｃｅｍｂｅｒ３１２００８ｗａ￥ｅｏＨｅｃｔｅｄ，ａｎｄｔｈｅａｓｓｏｃｉａｔｅｄｐａｔｅｎｔｄａｔａｂａｓｅｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｄｅｒ－
ｗｅｎｔ
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ＩｎｄｅｘｐａｔｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｓｙｓｔｅｍＷａｓｃｈｏｓｅｎ．Ｔｈｅｓｅ
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ｌｉｇｈｔｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｐａｔｅｎｔｓｗｅｒｅ
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ｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｔｅｎｔｓｔａｔｕｓａｔｈｏｍｅａｎｄ
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ｃｏｍｐａｒｅｄ．Ｔｈｅｐａｔｅｎｔｓｔｒａｔｅｇｙｏｆｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇ
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ｄｉｏｄｅ（ＬＥＤ）；ｌｉｇｈｔｉｎｇ；Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ
Ｐａｔｅｎｔ
Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ（ＩＰＣ）；ｐａｔｅｎｔ
ｄａｔａｂａｓｅ，ｐａ－
ｔｅｎｔ
ａｎａｌｙｓｉｓ
万方数据
ｔｉｏｎ’ｓＫｅｙ