第16卷 第2期塔 里 木 农 垦 大 学 学 报Vol.16No.2
2004年6月JournalofTarimUniversityofAgriculturalReclamationJun.2004
① 文章编号:1009-0568(2004)02-0055-02
有无穷解的线性方程组的迭代法
田学全1 朱世建2
(1 塔里木农垦大学文理学院,新疆阿拉尔 843300)
(2 农十师北屯181团中学,新疆阿勒泰 836001)
随着计算机技术的发展,计算机的存储量日益增大,计算机速度也迅速提高,直接法(如GAUSS消去法,平方根法等)在计算机上可以求解的线性方程组的规模也越来越大,但直接法大多数均需要对系数矩阵A进行分解,因而一般不能保持A的稀疏性,而实际应用中,特别是偏微分方程的数值求解时,常常遇到大型稀疏线性方程组的求解问题,迭代法是能保持线性方程组稀疏性的有效算法,它也是数值
代数中的一种常用的非常重要的方法。本文运用雅可比(Jacobi)迭代法,高斯-塞得尔(Gauss-Seidel)迭代法探讨有无穷解的线性方程组的迭代法。
1 方程组Ax=b的等价方程组:
设方程组Ax=b有无穷解,并且不妨令化简后的方程组有如下形式:
a11x1+a12x2+…+a1mxm=b1-a1,m+1xm+1-…-a1,nxna21x1+a22x2+…+a2mxm=b2-a2,m+1xm+1-…-a2,nxn……
am1x1+am2x2+…+ammxm=bm-am,m+1xm+1-…-am,nxn
其中(n>m),aii≠0,A1=(aij)mxm是非奇异方阵。
n
n
令g=(b1-
j=m+1
∑a1jxj,…bm-∑am,jxj),
T
j=m+1
T
x=(x1,x2,xm)
则方程组Ax=b化成A1x=g
xm+1
分别取ζ=
xm+2…
=
10…
,010
,…,
00…1
,共(n-m)个(n-m)维单位向量。
xn
分别取定其中一个向量代入g(g为m维向量),一共可得(n-m)个不同的g,分别用g1,g2,…,gn-m表示,对每一个不同的这样的gi(i=1,2,…,n-m)所对应的(n-m)个方程组A1x=g是不同的。但他们有两点是共同的:①他们有相同的系数矩阵A1,②他们都有唯一解x＊。一共求得(n-m)个不同的解,并且他们是线性无关的,把ζ加到解x＊扩维到n维后仍是线性无关的,这个线性无关的向量组就有可能是方程组Ax=b的一个基础解系,是否为基础解系可通过迭代的收敛性予以判断。
2 迭代方法
将方程组A1x=g变形成等价方程组x=Bx+f,由此建立迭代格式
①收稿日期:2003-11-28
1969),,,,
56
塔 里 木 农 垦 大 学 报第16卷
k+1)x(=Bx(k)+f (k=0,1,2,…)
0a21
a22
-
a12a11
…………
--
a1ma11a2ma22
f1fm
其中B=
0…-am2amm
b1-∑a1jxj)a11(j=m+1(b-∑am,jxjammmj=m+1
n
n
, f=…=……
…-am1
amm
…0
2.1 雅可比(Jacobi)迭代法
k+1)k)
把迭代格式x(=Bx(+f (k=0,1,2,…)写成:
(k+1)
x1
(k)(k)(k)
=a(-a12x2-a13x3-…-a1mxm)+f1
11
k+1)(k)k)k)2=x(-a21x(-a23x(-…-a2mx(+f213m)a22
……
k+1)
x(=m
k)k)k)
(-am1x(-am2x(-…-am,m-1x(12m-1)+fmamm
0)0)(0)(0)T
这即是Jacobi迭代法的分量形式,给定初始向量x(=(x(,按此公式计算的1,x2,…,xm)和误差限εk)k-1)
(((k)
x,满足
代法的收敛条件,就可以得到方程组Ax=b的一个解向量。再分别取定前面所述的(n-m)个单位向量,将各得到一个不同的迭代方程,并且每一个这样的方程都有唯一的解向量,这个解向量就是方程组
(kAx=b的数值解,一共求解(n-m)个方程组就可求得方程组Ax=b的所有(n-m)个线性无关的解向量,他即是方程组Ax=b的基础解系。
2.2 高斯-塞得尔(Gauss-Seidel)迭代法
对雅可比迭代格式作修改,即尽量用最新计算信息,雅可比迭代格式变为:
(k+1)
(k)(k)(k)-a12x2-a13x3-…-a1mxm)+f1=a(
11
x1
k+1)k)k)
x2(k+1)=-a21x(-a23x(-…-a2mx(+f213m)a22
……
k+1)x(=m
k+1)k+1)k+1)
(-am1x(-am2x(-…-am,m-1x(12m-1)+fmamm
k)((k-1),满足
0)
这就是高斯-塞得尔(Gauss-Seidel)迭代法的分量形式。同雅可比迭代一样,对给定初始向量x(=(0)
(x1,
(0)
x2,
…,
(0)Txm)
和误差限ε,x
(k
第16卷 第2期塔 里 木 农 垦 大 学 学 报Vol.16No.2
2004年6月JournalofTarimUniversityofAgriculturalReclamationJun.2004
① 文章编号:1009-0568(2004)02-0057-03
谈谈汉语教师的知识结构
李曙光
(新疆大学预科部,新疆乌鲁木齐 830008)
在语言教学中,教师与学生处于对立统一之中,是一个事物的两个方面,两者的关系如何,不同的教育学理论、心理学理论有不同的见解。中国的传统教育思想是教师中心论,十分强调教师的主导作用,认为在教学活动中,教师处于主导方面,学生处于次要方面,甚至提倡学生要绝对服从教师。在西方也有不少教育学理论强调教师的主导作用,但也有人认为教师是教不会语言的,只能向学生提供学习语言的条件,语言是学生自己学会的。60年代以来,西方以学生为中心的教育理论和教学方法的出现,使人们更加重视学生的因素,重视发挥学生的主动性和积极性。不管是教师中心论还是学生中心论,教师在教学活动中发挥的作用是毋庸置疑的。教师作为教学活动的参与者,在教学中应起主导作用,要承担起引导学生、组织教学的重担。要做到这一点,教师的知识结构、教学能力和教学技巧就显得十分重要,而知识结构,则是教学能力和教学技巧的基础,如果没有合理的知识结构,教学能力和教学技巧就会成为无源之水。作为一名从事少数民族汉语教学的教师,应该具备什么样的知识结构呢?我认为,下面这些
k)
的x(即为方程组A1x=gi的数值解。从而可求得方程组Ax=b的一个基础解系,并且在迭代收敛的
情况下,高斯-塞得尔迭代法一般比雅可比迭代收敛得要快。
3 迭代的收敛性
迭代法的求解过程相当于求极限过程,如何判断这个极限是否收敛许多文献都有详细的论述,在由
k+1)k迭代格式x(=Bx(k)+f (k=0,1,2,…),x(是否收敛与初始向量0)0)(0)(0)Tx(=(x(具体地说,如果limBk=0,或者迭1,x2,…,xm)和常数项f无关,仅与迭代矩阵B有关。
k※∞
k+1)k)代矩阵B的谱半径p(B)
=(x(x(k收敛得越快,初始向量x(1,x2,…,xm)仅对收敛速度有一定的影响。
4 结论
应用雅可比(Jacobi)迭代法,高斯-塞得尔(Gauss-Seidel)迭代法一样可以求有无穷解的线性方程组的数值解,对大型稀疏线性方程组的求解问题,上述迭代法不但是保持线性方程组稀疏性的有效算法,而且应用Matlab,由于各方程组A1x=g的系数矩阵A1相同,仅需简单的程序就可方便、快速的求得
有无穷解的线性方程组的数值解。
参考文献
[1] 王沫然.MATLAB6.0与科学计算.电子工业出版社,2001.4.[2] 施吉林等.计算机数值方法.高等教育出版社,1999.[3] 施妙根等.科学和工程计算基础.清华大学出版社,1999.8
①收稿日期:2003-12-31
,男,,,。
第16卷 第2期塔 里 木 农 垦 大 学 学 报Vol.16No.2
2004年6月JournalofTarimUniversityofAgriculturalReclamationJun.2004
① 文章编号:1009-0568(2004)02-0055-02
有无穷解的线性方程组的迭代法
田学全1 朱世建2
(1 塔里木农垦大学文理学院,新疆阿拉尔 843300)
(2 农十师北屯181团中学,新疆阿勒泰 836001)
随着计算机技术的发展,计算机的存储量日益增大,计算机速度也迅速提高,直接法(如GAUSS消去法,平方根法等)在计算机上可以求解的线性方程组的规模也越来越大,但直接法大多数均需要对系数矩阵A进行分解,因而一般不能保持A的稀疏性,而实际应用中,特别是偏微分方程的数值求解时,常常遇到大型稀疏线性方程组的求解问题,迭代法是能保持线性方程组稀疏性的有效算法,它也是数值
代数中的一种常用的非常重要的方法。本文运用雅可比(Jacobi)迭代法,高斯-塞得尔(Gauss-Seidel)迭代法探讨有无穷解的线性方程组的迭代法。
1 方程组Ax=b的等价方程组:
设方程组Ax=b有无穷解,并且不妨令化简后的方程组有如下形式:
a11x1+a12x2+…+a1mxm=b1-a1,m+1xm+1-…-a1,nxna21x1+a22x2+…+a2mxm=b2-a2,m+1xm+1-…-a2,nxn……
am1x1+am2x2+…+ammxm=bm-am,m+1xm+1-…-am,nxn
其中(n>m),aii≠0,A1=(aij)mxm是非奇异方阵。
n
n
令g=(b1-
j=m+1
∑a1jxj,…bm-∑am,jxj),
T
j=m+1
T
x=(x1,x2,xm)
则方程组Ax=b化成A1x=g
xm+1
分别取ζ=
xm+2…
=
10…
,010
,…,
00…1
,共(n-m)个(n-m)维单位向量。
xn
分别取定其中一个向量代入g(g为m维向量),一共可得(n-m)个不同的g,分别用g1,g2,…,gn-m表示,对每一个不同的这样的gi(i=1,2,…,n-m)所对应的(n-m)个方程组A1x=g是不同的。但他们有两点是共同的:①他们有相同的系数矩阵A1,②他们都有唯一解x＊。一共求得(n-m)个不同的解,并且他们是线性无关的,把ζ加到解x＊扩维到n维后仍是线性无关的,这个线性无关的向量组就有可能是方程组Ax=b的一个基础解系,是否为基础解系可通过迭代的收敛性予以判断。
2 迭代方法
将方程组A1x=g变形成等价方程组x=Bx+f,由此建立迭代格式
①收稿日期:2003-11-28
1969),,,,
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塔 里 木 农 垦 大 学 报第16卷
k+1)x(=Bx(k)+f (k=0,1,2,…)
0a21
a22
-
a12a11
…………
--
a1ma11a2ma22
f1fm
其中B=
0…-am2amm
b1-∑a1jxj)a11(j=m+1(b-∑am,jxjammmj=m+1
n
n
, f=…=……
…-am1
amm
…0
2.1 雅可比(Jacobi)迭代法
k+1)k)
把迭代格式x(=Bx(+f (k=0,1,2,…)写成:
(k+1)
x1
(k)(k)(k)
=a(-a12x2-a13x3-…-a1mxm)+f1
11
k+1)(k)k)k)2=x(-a21x(-a23x(-…-a2mx(+f213m)a22
……
k+1)
x(=m
k)k)k)
(-am1x(-am2x(-…-am,m-1x(12m-1)+fmamm
0)0)(0)(0)T
这即是Jacobi迭代法的分量形式,给定初始向量x(=(x(,按此公式计算的1,x2,…,xm)和误差限εk)k-1)
(((k)
x,满足
代法的收敛条件,就可以得到方程组Ax=b的一个解向量。再分别取定前面所述的(n-m)个单位向量,将各得到一个不同的迭代方程,并且每一个这样的方程都有唯一的解向量,这个解向量就是方程组
(kAx=b的数值解,一共求解(n-m)个方程组就可求得方程组Ax=b的所有(n-m)个线性无关的解向量,他即是方程组Ax=b的基础解系。
2.2 高斯-塞得尔(Gauss-Seidel)迭代法
对雅可比迭代格式作修改,即尽量用最新计算信息,雅可比迭代格式变为:
(k+1)
(k)(k)(k)-a12x2-a13x3-…-a1mxm)+f1=a(
11
x1
k+1)k)k)
x2(k+1)=-a21x(-a23x(-…-a2mx(+f213m)a22
……
k+1)x(=m
k+1)k+1)k+1)
(-am1x(-am2x(-…-am,m-1x(12m-1)+fmamm
k)((k-1),满足
0)
这就是高斯-塞得尔(Gauss-Seidel)迭代法的分量形式。同雅可比迭代一样,对给定初始向量x(=(0)
(x1,
(0)
x2,
…,
(0)Txm)
和误差限ε,x
(k
第16卷 第2期塔 里 木 农 垦 大 学 学 报Vol.16No.2
2004年6月JournalofTarimUniversityofAgriculturalReclamationJun.2004
① 文章编号:1009-0568(2004)02-0057-03
谈谈汉语教师的知识结构
李曙光
(新疆大学预科部,新疆乌鲁木齐 830008)
在语言教学中,教师与学生处于对立统一之中,是一个事物的两个方面,两者的关系如何,不同的教育学理论、心理学理论有不同的见解。中国的传统教育思想是教师中心论,十分强调教师的主导作用,认为在教学活动中,教师处于主导方面,学生处于次要方面,甚至提倡学生要绝对服从教师。在西方也有不少教育学理论强调教师的主导作用,但也有人认为教师是教不会语言的,只能向学生提供学习语言的条件,语言是学生自己学会的。60年代以来,西方以学生为中心的教育理论和教学方法的出现,使人们更加重视学生的因素,重视发挥学生的主动性和积极性。不管是教师中心论还是学生中心论,教师在教学活动中发挥的作用是毋庸置疑的。教师作为教学活动的参与者,在教学中应起主导作用,要承担起引导学生、组织教学的重担。要做到这一点,教师的知识结构、教学能力和教学技巧就显得十分重要,而知识结构,则是教学能力和教学技巧的基础,如果没有合理的知识结构,教学能力和教学技巧就会成为无源之水。作为一名从事少数民族汉语教学的教师,应该具备什么样的知识结构呢?我认为,下面这些
k)
的x(即为方程组A1x=gi的数值解。从而可求得方程组Ax=b的一个基础解系,并且在迭代收敛的
情况下,高斯-塞得尔迭代法一般比雅可比迭代收敛得要快。
3 迭代的收敛性
迭代法的求解过程相当于求极限过程,如何判断这个极限是否收敛许多文献都有详细的论述,在由
k+1)k迭代格式x(=Bx(k)+f (k=0,1,2,…),x(是否收敛与初始向量0)0)(0)(0)Tx(=(x(具体地说,如果limBk=0,或者迭1,x2,…,xm)和常数项f无关,仅与迭代矩阵B有关。
k※∞
k+1)k)代矩阵B的谱半径p(B)
=(x(x(k收敛得越快,初始向量x(1,x2,…,xm)仅对收敛速度有一定的影响。
4 结论
应用雅可比(Jacobi)迭代法,高斯-塞得尔(Gauss-Seidel)迭代法一样可以求有无穷解的线性方程组的数值解,对大型稀疏线性方程组的求解问题,上述迭代法不但是保持线性方程组稀疏性的有效算法,而且应用Matlab,由于各方程组A1x=g的系数矩阵A1相同,仅需简单的程序就可方便、快速的求得
有无穷解的线性方程组的数值解。
参考文献
[1] 王沫然.MATLAB6.0与科学计算.电子工业出版社,2001.4.[2] 施吉林等.计算机数值方法.高等教育出版社,1999.[3] 施妙根等.科学和工程计算基础.清华大学出版社,1999.8
①收稿日期:2003-12-31
,男,,,。