弧长及扇形面积

弧长及扇形面积

高店中学 焦忠义

教学目标：

1．知识与技能：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题

2．过程与方法：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力；了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．

3．情感态度与价值观：经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．

教学重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题．

教学难点：探索弧长及扇形面积计算公式；用公式解决实际问题．

教学设计：

一、创设问题情境，引入新课

在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．

二、新课讲解

1复习

（1）．圆的周长如何计算?

（2）．圆的面积如何计算? A

（3）．圆的圆心角是多少度?

（若圆的半径为r，，则周长l2r，面积

） Sr2，圆的圆心角是360°．

2．探索弧长的计算公式

如右图，某传送带的一个转动轮的半径为lOcm．

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?

分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转l°，传送带上的物品A被传送圆周长的1；转动轮转n°，360

传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍．

解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2×lO＝20cm；

20cm； (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送36018

(3)转动轮转n。，传送带上的物品A被传送n20ncm． 36018

根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．

根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2R，那么1°的圆心角对应的弧长2RR为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即360180

nR

180nR． 180

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：l

下面我们看弧长公式的运用．

3．例题讲解

例1：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展

直长度”再下料。试计算下图中管道的展直长度，

即AB的长(结果精确到O.1mm) ．

分析：要求管道的展直长度，即求AB的长，根据弧长公式lnR． 180AB11040mnR可求得AB的长，其中n为圆心角，R为半径， 180

n110R4076.8mm 180180 解：R＝40 mm，n＝110． ∴AB的长=

因此，管道的展直长度约为76．8mm．

三、探索研究

1．想一想

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

(1)这只狗的最大活动区域有多大?

(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?

(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9．

(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形。扇形是圆的一部分， 360°的圆心角对应的圆面积，l°的圆心角对应圆面积的11，即×9＝，n°的圆心角对应的圆面积为 36036040

n×n＝．4040

R2n 如果圆的半径为R，则圆的面积为R，l°的圆心角对应的扇形面积为，°的圆3602

nR2nR2

心角对应的扇形面积为n．因此扇形面积的计算公式为S扇形 360360360其中R为扇形的半径，n为圆心角．

2．弧长与扇形面积的关系

我们探讨了弧长和扇形面积的公式。在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计2nRnR算公式为l，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形，在这两个公式中，弧180360R2

长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗?请大家互相交流．

2nRnR ∵l，S扇形 180360

n1nR2RR 3602180

1 ∴S扇形lR 2 ∴

3．扇形面积的应用

例2：扇形AOB的半径为l2cm，∠AOB＝120°，求AB的长(结果精确到O.1cm)和扇形A0B的面积(结果精确到O.1cm2) ．

分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了 

1201225.1cm． 解：AB的长=180

S扇形=120122150.7cm2． 360

因此，AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．

4．随堂练习:

四、课时小结

本节课学习了如下内容： 

1．探索弧长的计算公式lnR，并运用公式进行计算； 180

2．探索扇形的面积公式S扇形nR2，并运用公式进行计算； 360

3．探索弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知一方求另一方。

五、课后作业

1．复习本课的内容；

2．课本P142习题 1、2、3

六、活动与探究

如图，两个同心圆被两条半径截得的AB的长为6cm，CD的长为10cm，又AC=12cm，求阴影部分ABDC的面积．

分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S扇形1lR，l已知，则需要求两个半径0C与OA，因为OC＝OA+AC，AC已知，所以只要2

能求出OA即可．

解：设OA=R，0C＝R十12，∠O＝n°，根据已知条件有： n6R180 n10(R12)180

(1)3R得 (2)5R12

∴3（R+12）=5R

∴R=18

∴OC=18+12=30

∴S=S扇形CODS扇形AOB(1) C(2)OBD11103061896cm2 22

所以阴影部分的面积为96cm2．

弧长及扇形面积

高店中学 焦忠义

教学目标：

1．知识与技能：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题

2．过程与方法：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力；了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．

3．情感态度与价值观：经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．

教学重点：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题．

教学难点：探索弧长及扇形面积计算公式；用公式解决实际问题．

教学设计：

一、创设问题情境，引入新课

在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．

二、新课讲解

1复习

（1）．圆的周长如何计算?

（2）．圆的面积如何计算? A

（3）．圆的圆心角是多少度?

（若圆的半径为r，，则周长l2r，面积

） Sr2，圆的圆心角是360°．

2．探索弧长的计算公式

如右图，某传送带的一个转动轮的半径为lOcm．

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?

分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转l°，传送带上的物品A被传送圆周长的1；转动轮转n°，360

传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍．

解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2×lO＝20cm；

20cm； (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送36018

(3)转动轮转n。，传送带上的物品A被传送n20ncm． 36018

根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．

根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2R，那么1°的圆心角对应的弧长2RR为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即360180

nR

180nR． 180

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：l

下面我们看弧长公式的运用．

3．例题讲解

例1：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展

直长度”再下料。试计算下图中管道的展直长度，

即AB的长(结果精确到O.1mm) ．

分析：要求管道的展直长度，即求AB的长，根据弧长公式lnR． 180AB11040mnR可求得AB的长，其中n为圆心角，R为半径， 180

n110R4076.8mm 180180 解：R＝40 mm，n＝110． ∴AB的长=

因此，管道的展直长度约为76．8mm．

三、探索研究

1．想一想

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

(1)这只狗的最大活动区域有多大?

(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?

(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9．

(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形。扇形是圆的一部分， 360°的圆心角对应的圆面积，l°的圆心角对应圆面积的11，即×9＝，n°的圆心角对应的圆面积为 36036040

n×n＝．4040

R2n 如果圆的半径为R，则圆的面积为R，l°的圆心角对应的扇形面积为，°的圆3602

nR2nR2

心角对应的扇形面积为n．因此扇形面积的计算公式为S扇形 360360360其中R为扇形的半径，n为圆心角．

2．弧长与扇形面积的关系

我们探讨了弧长和扇形面积的公式。在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计2nRnR算公式为l，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形，在这两个公式中，弧180360R2

长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗?请大家互相交流．

2nRnR ∵l，S扇形 180360

n1nR2RR 3602180

1 ∴S扇形lR 2 ∴

3．扇形面积的应用

例2：扇形AOB的半径为l2cm，∠AOB＝120°，求AB的长(结果精确到O.1cm)和扇形A0B的面积(结果精确到O.1cm2) ．

分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了 

1201225.1cm． 解：AB的长=180

S扇形=120122150.7cm2． 360

因此，AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．

4．随堂练习:

四、课时小结

本节课学习了如下内容： 

1．探索弧长的计算公式lnR，并运用公式进行计算； 180

2．探索扇形的面积公式S扇形nR2，并运用公式进行计算； 360

3．探索弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知一方求另一方。

五、课后作业

1．复习本课的内容；

2．课本P142习题 1、2、3

六、活动与探究

如图，两个同心圆被两条半径截得的AB的长为6cm，CD的长为10cm，又AC=12cm，求阴影部分ABDC的面积．

分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S扇形1lR，l已知，则需要求两个半径0C与OA，因为OC＝OA+AC，AC已知，所以只要2

能求出OA即可．

解：设OA=R，0C＝R十12，∠O＝n°，根据已知条件有： n6R180 n10(R12)180

(1)3R得 (2)5R12

∴3（R+12）=5R

∴R=18

∴OC=18+12=30

∴S=S扇形CODS扇形AOB(1) C(2)OBD11103061896cm2 22

所以阴影部分的面积为96cm2．