数值分析实验指导
潘志斌
2014年3月
实验七数值积分
数值实验综述：通过数值积分实验掌握数值积分的实现，理解各种数值积分公式的特性，并能用数值积分求解积分方程和微分方程。
基础实验
7.1 Newton-cotes型求积公式
实验目的：学会Newton-cotes 型求积公式, 并应用该算法于实际问题.
实验内容：求定积分
实验要求：选择等分份数, 用复化Simpson 求积公式求上述定积分的误差不超过的近似值, 用MATLAB 中的内部函数int 求此定积分的准确值, 与利用复化Simpson 求积公式计算的近似值进行比较。
7.2 Romberg算法
实验目的：学会数值求积的Romberg 算法, 并应用该算法于实际问题.
实验内容：求定积分
实验要求：
（1）要求程序不断加密对积分区间的等分, 自动地控制Romberg 算法中的加速收敛过程, 直到定积分近似值的误差不超过为止, 输出求得的定积分近似值。
（2）可用MATLAB 中的内部函数int 求得此定积分的准确值与Romberg 算法计算的近似值进行比较。
7.3 Gauss型求积公式
实验目的：学会Gauss 型求积公式, 并应用该算法于实际问题.
实验内容：求定积分
实验要求：
（1）把Gauss 点的表格存入计算机, 以Gauss-Legendre 求积公式作为本实验的例子, 要求程序可以根据不同的阶数, 自动地用阶Gauss-Legendre 求积公式计算上述定积分的近似值. 体会Gauss 型求积公式是具有尽可能高的代数精度的数值求积公式。
（2）可用MATLAB 中的内部函数int 求得此定积分的准确值与Gauss 型求积公式求得的值进行比较。
相关MATLAB 函数提示：
diff(x) 如果x 是向量，返回向量x 的差分；如果x 是矩阵，则按各列作差分 diff(x,k) k 阶差分
q=polyder(p) 求得由向量p 表示的多项式导函数的向量表示q
Fx=gradient(F,x) 返回向量F 表示的一元函数沿x 方向的导函数F'(x)，其中x 是与F 同维数的向量
z=trapz(x,y) x 表示积分区间的离散化向量；y 是与x 同维数的向量，表示被积函数；z 返回积分的近似值
z=guad(fun,a,b,tol) 自适应步长Simpson 积分法求得Fun 在区间[a,b]上的定积分，Fun 为M 文件函数句柄，tol 为积分精度
z=dblquad(fun,a,b,c,d,tol,method) 求得二元函数Fun(x,y)的重积分
z=triplequad(fun,a,b,c,d,e,f,tol,method) 求得三元函数Fun(x,y,z)的重积分
数值分析实验指导
潘志斌
2014年3月
实验七数值积分
数值实验综述：通过数值积分实验掌握数值积分的实现，理解各种数值积分公式的特性，并能用数值积分求解积分方程和微分方程。
基础实验
7.1 Newton-cotes型求积公式
实验目的：学会Newton-cotes 型求积公式, 并应用该算法于实际问题.
实验内容：求定积分
实验要求：选择等分份数, 用复化Simpson 求积公式求上述定积分的误差不超过的近似值, 用MATLAB 中的内部函数int 求此定积分的准确值, 与利用复化Simpson 求积公式计算的近似值进行比较。
7.2 Romberg算法
实验目的：学会数值求积的Romberg 算法, 并应用该算法于实际问题.
实验内容：求定积分
实验要求：
（1）要求程序不断加密对积分区间的等分, 自动地控制Romberg 算法中的加速收敛过程, 直到定积分近似值的误差不超过为止, 输出求得的定积分近似值。
（2）可用MATLAB 中的内部函数int 求得此定积分的准确值与Romberg 算法计算的近似值进行比较。
7.3 Gauss型求积公式
实验目的：学会Gauss 型求积公式, 并应用该算法于实际问题.
实验内容：求定积分
实验要求：
（1）把Gauss 点的表格存入计算机, 以Gauss-Legendre 求积公式作为本实验的例子, 要求程序可以根据不同的阶数, 自动地用阶Gauss-Legendre 求积公式计算上述定积分的近似值. 体会Gauss 型求积公式是具有尽可能高的代数精度的数值求积公式。
（2）可用MATLAB 中的内部函数int 求得此定积分的准确值与Gauss 型求积公式求得的值进行比较。
相关MATLAB 函数提示：
diff(x) 如果x 是向量，返回向量x 的差分；如果x 是矩阵，则按各列作差分 diff(x,k) k 阶差分
q=polyder(p) 求得由向量p 表示的多项式导函数的向量表示q
Fx=gradient(F,x) 返回向量F 表示的一元函数沿x 方向的导函数F'(x)，其中x 是与F 同维数的向量
z=trapz(x,y) x 表示积分区间的离散化向量；y 是与x 同维数的向量，表示被积函数；z 返回积分的近似值
z=guad(fun,a,b,tol) 自适应步长Simpson 积分法求得Fun 在区间[a,b]上的定积分，Fun 为M 文件函数句柄，tol 为积分精度
z=dblquad(fun,a,b,c,d,tol,method) 求得二元函数Fun(x,y)的重积分
z=triplequad(fun,a,b,c,d,e,f,tol,method) 求得三元函数Fun(x,y,z)的重积分