浙江理工大学学报，第２４卷，第４期，２００７年７月
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｅｊｉａｎｇＳｃｉ—ＴｅｃｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖ０１．２４，Ｎｏ．４，Ｊｕｌ．２００７
文章编号：１６７３—３８５ｔ（２００７）０４—０４３３—０６
基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析
李秦ＪＩＩ，杨元兆，陈巧红。胡旭东
（浙江理工大学浙江省现代纺织装备技术重点实验室，杭州３１００１８）
摘要：少自由度并联机构自由度的减少本质上是因为受到分支施加的结构约束的合成作用决定。运用螺旋
理论描述单个分支约束及所有分支约束的合成，并从几何上直接分析约束的线性相关性，判别出机构自由度的性
质，同时给出公共约束，冗余约束存在的几何条件和相应的判别计算公式，在此基础上得到普遍适用于少自由度并
联机构自由度计算的修正Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ计算公式和一种等价的完全依靠约束分析的自由度计算公式。笔者提
出的方法不仅适用于对称少自由度并联机构，也适用于非对称少自由度并联机构。
关键词：少自由度并联机构；螺旋理论；自由度
中围分类号：ＴＨｌｌ２文献标识码：Ａ
Ｏ引言
自由度数为３、４、５的少自由度空间并联机构是国际并联机器人学术界和工业界的研究热点。自由度分析属于机构学中的基本科学问题。然而，少自由度并联机构的自由度计算长期以来没有有效的方法和公式，一般机构自由度计算使用的Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｅｈ公式很难被正确应用于少自由度并联机器人上。正如文献［１］中指出：很难为闭环运动链定义一个通用的自由度计算公式。
自由度分析这一基本理论问题的难以解决，制约了现代空间机构学的发展，例如机型综合以及实际应用。各国研究者或以复杂的运动学分析，或经过繁琐的概念推理来导出少自由度机构的自由度性质，或靠经验直观来推断机构的自由度数和性质［２￣４］。
少自由度并联机构动平台自由度的减少本质上是因为受到了分支施加的结构约束的影响，因此通过约束分析即机构的受力分析来讨论机构的自由度应该是最直接有效的方法。然而传统的受力分析难以描绘复杂的空间受力状态，从几何的角度看，少自由度并联机构中具有多个结构约束，可以力偶、力线矢或者力螺旋的形式存在，彼此呈空间分布的关系。同时其位置和方向随机构的运动而变化，如何在连续运动中去描述和分析仍未得到解决。
本文引入螺旋理论描述单个分支约束及所有分支约束的合成，并从几何上直接分析约束的线性相关性，判别出机构自由度的性质，同时给出公共约束，冗余约束存在的几何条件和相应的判别计算公式，在此基础上得到普遍适用于少自由度并联机构自由度计算的修正Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ计算公式和一种等价的完全依靠约束分析的自由度计算公式。笔者提出的方法不仅适用于对称少自由度并联机构，也适用于非对称少自由度并联机构。
１基本概念
在螺旋理论中［５’６］，单位螺旋￥一（ｓ；ｒ×ｓ）＝（ｚ７／＇／ｎ；ａ
收稿日期：２００６～１２—２８
基金项目：浙江省教育厅资助项目（２００４０４０２／０４１０１２４一Ｆ）作者简介：李秦川（１９７５一），男，陕西西乡人，副教授，主要从事并联机器人理论和技术研究。ｂＣ）可用来表示一个转动副或一个力线矢，式
４３４浙江理工大学学报２００７年第２４卷中ｓ是螺旋轴线方向的单位矢量，ｒ是螺旋轴线上任意一点的位置矢量，式中Ｚ，Ｔｎ，咒表示转动副轴线或力线矢轴线的３个方向余弦。一个移动副或一个力偶矢量可以表示为￥＝（ｏ；ｓ）一（ｏ
当两个螺旋￥一（ｓ；轧）和￥’＝（ｓ，；ｓ。，）的互易积为零时，即：
￥。￥７＝ｓ・ｓｏ，＋ｓ，・ｓｏ＝０００；ｚｍ咒）。
称￥和￥７互为反螺旋或互逆。当￥表示一个运动螺旋，而￥７表示一个力螺旋时，上式的意义为力螺旋￥７对运动螺旋￥所表示的运动做功为零，即不约束该运动。
自由度的减少是因为受到了约束。在对称少自由度并联机构中，每个分支施加给动平台一个或几个结构约束，所有分支结构约束的合成就决定了动平台失去的自由度。可以运用螺旋理论分别在分支和机构两级来描述这种结构约束。
当分支运动链中所有的运动副都用单位运动螺旋表示，则这些单位运动螺旋构成分支运动螺旋系，和分支运动螺旋系中所有螺旋相逆的全部线性无关的反螺旋构成分支约束螺旋系，描述分支运动链对动平台施加的结构约束。所有分支约束螺旋的合成构成机构约束螺旋系，对应于机构被约束的自由度。如以单位运动螺旋表示机构的自由度，则这些螺旋构成机构运动螺旋系。注意到螺旋系的相关性已被证明与坐标系的选择无关‘引。
由于运动螺旋和力螺旋是瞬时量，在进行约束分析时就需要判别机构自由度是否为瞬时。只需通过辨别机构约束螺旋系在动平台发生可行的任意连续运动后是否改变即可。如机构约束螺旋系不改变，则机构自由度不为瞬时。一般通过对机构各分支中运动副轴线间的几何关系进行简单的分析和观察就可得到结果。
在本文中，用￥。表示第ｉ个分支中第』个运动副对应的单位运动螺旋；￥；表示第ｉ个分支施加给动平台的第Ｊ个约束螺旋；￥柳ｒ表示机构约束螺旋系中第Ｊ个约束螺旋。
２少自由度并联机构的阶和冗余约束
在１９９７年，黄真等口３用螺旋理论重新定义公共约束，给出阶的计算方法，解释了用Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ公式计算自由度的基本原理。
公共约束可以定义为：当机构所有的运动副均以运动螺旋￥“表示，构成一个螺旋系Ａ，若存在一个与螺旋系Ａ中每一个螺旋￥”均相逆的反螺旋￥’，这就是该机构的一个公共约束。所有线性无关的反螺旋￥‘构成约束螺旋系丑，则机构的公共约束数Ａ为：
Ａ—Ｒａｎｋ（毋）＝Ｒａｎｋ（｛￥７Ｉ￥７。￥”＝０，￥”∈Ａ））（１）
式（１）中Ｒａｎｋ（Ｂ）表示求螺旋系Ｂ的最大线性无关数或维数。
则机构的阶数为：
ｄ＝６一Ａ（２）
在对称的少自由度并联机构中，各分支对动平台施加的约束种类和数目都相同。根据前面的定义，这里可以得到公共约束存在的几何条件：如果每个分支对动平台施加的同类约束在空间满足共轴的几何条件，则构成一个螺旋１系，成为机构的一个公共约束。
考虑一个具有Ｐ个相同结构的分支，且自由度数为Ｍ（Ｍ＜６）的对称并联机构，每个分支向动平台施加ｑ个结构约束，则机构约束螺旋系由Ｐ・ｑ个约束螺旋构成，且在非奇异位形下机构约束螺旋系的维数必须是６一Ｍ。
除了构成公共约束的结构约束，剩余的ｚ个约束构成一个螺旋ｋ（愚≤ｚ）系，则冗余约束数ｕ可由式（３）给出：
７３＝Ｚ一是（３）
显然，施加于动平台上所有分支约束数Ｐ・ｑ应该等于生成公共约束所需的约束数Ａ・Ｐ和剩余的约束数Ｚ的总和，即：
Ｐ・ｑ＝Ａ・Ｐ＋ｌ（４）
把式（３）代入式（４），消去ｚ后可得：
Ｐ・ｑ—Ａ・Ｐ＋秒＋忌（５）
第４期李秦川等：基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析４３５根据式（５）可得冗余约束数ｕ为：
韧＝Ｐ・ｑ—Ａ・户一ｋ
３（６）基于约束分析的自由度计算公式
机构约束螺旋系决定机构在瞬时被约束的自由度。如果机构约束螺旋系在机构发生任意可行连续运动后不变，则该机构被约束的自由度不会改变，从而可知该机构的自由度。
考虑了冗余约束的一般Ｇｒｔｉｂｌｅｒ—Ｋｕｔｚｂａｃｈ公式为：
ｇ
Ｍ＝ｄ（ｎ—ｇ一１）＋∑＾＋口滓ｉ（７）
这样式（１）、（２）、（６）和式（７）共同构成了修正的Ｇｒｔｉｂｌｅｒ—Ｋｕｔｚｂａｅｈ公式，普遍适用于少自由度并联机构的自由度计算。
注意到机构被约束的自由度数为机构约束螺旋系的维数６一Ｍ，每一个公共约束约束掉机构的一个自由度，而除了公共约束后剩余的￡个约束中线性无关的走个约束约束掉机构的是个自由度，因此有式（８）成立：
ｋ＝６一Ｍ—Ａ
把式（８）代入式（６），消去ｋ整理后可得：
Ｍ＝６一Ｐ・ｑ＋Ａ（户一１）＋７３（８）（９）
式（９）即为基于约束分析的少自由度并联机构自由度计算公式。下面证明式（７）和修正的Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ公式是等价的。
为便于分析，把多自由度的运动副或铰链看作是单自由度运动副的组合。考虑一个自由度数为Ｍ（Ｍ＜６）的对称并联机构，每个分支中含有叫个单自由度运动副，则分支约束数为：
ｇ＝６一ｗ（１０）
机构中运动副的总数ｇ可由下式（１１）给出：
ｇ＝ｐｗ（１１）
显然，ｇ同时也是机构中所有运动副具有的自由度数的总和，即：
ｇ
∑五一ｇ
ｉ＝１（１２）
分支中的杆件数咒可由式（１３）给出：
ｎ＝痧（∞一１）＋２（１３）
把式（２）、式（１１）、式（１２）、式（１３）代入式（７）整理后有：
Ｍ＝６—６户一Ａ＋，ｔｐ＋抛＋秽
把式（１０）代入式（９）整理后同样可得：（１４）
Ｍ＝６—６ｐ～Ａ＋矽＋ｐｗ＋７２
可见式（１４）和式（１５）是相同的，因此可证明式（７）和修正的Ｇｒｉａｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ公式是等价的。
基于螺旋理论的少自由度并联机构的自由度分析的具体步骤可归纳如下：
步骤１
步骤ｚ在初始位形下，写出分支运动螺旋系，对其求反螺旋可得分支约束螺旋系。（１５）分析分支约束在不同几何条件下的线性相关性，确定机构的公共约束Ａ，冗余约束ｕ，并得到机构约束螺旋系。
步骤３检查机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后是否改变，如不改变，则机构不是瞬时机构，由机构约束螺旋系可知动平台被约束的自由度。
步骤４
４用式（７）或式（９）验证结果。非对称并联机构自由度分析实例图１所示为一种三分支的非对称并联机构，其中Ｍ表示动平台，Ｂ表示定平台；（ＲＲＲ）表示三个轴线交
４３６浙江理工大学学报２００７年第２４卷于一点的转动副，称为３Ｒ球面子链；（ＲＲ）表示两个轴线交于
一点的转动副，称为２Ｒ球面子链；ＲＲＲ表示三个轴线相互平行
的转动副；ＲＲ表示两个轴线相互平行的转动副。
在分支ｌ中，第一个移动副￥。，平行于定平台；第二个转动
副的轴线￥。。垂直于定平台；第三、四、五个转动副轴线￥孙
￥。。、￥，。交于一点，构成一个３Ｒ球面子链。
在分支２中，前三个转动副轴线￥。。、￥ｚ。和￥ｚ。均垂直于
定平台，后两个转动副轴线￥：。、￥。。交于一点，构成一个２Ｒ球
面子链。
在分支３中，第一个移动副￥。。平行定平台；第二、三转动
副轴线￥。。和￥。。垂直于定平台；最后两个转动副轴线￥ｓ。、
￥。。交于一点，构成一个２Ｒ球面子链。
称分支中２Ｒ或３Ｒ球面子链的中心点为分支中心点，在装
配时保证三个分支中心点重合为一点，称为机构中心点。选取机构中心点为参考系坐标Ｏ－ＸＹＺ原点，参考坐标系Ｚ轴垂直于定平台向上。
分支１的运动螺旋系为：
￥１１一（Ｏ００；Ｚ１ｍ１Ｏ）
￥１２一（００１；口２ｂ２Ｏ）
￥１３一（Ｚ３ｍ３竹３；００Ｏ）
￥１４一（Ｚ４ｍ４ｎ４；０００）
￥１５一（Ｚ５ｍ５，１５；０００）（１６）图１ＰＲ（ＲＲＲ）一墨堕（ＲＲ）一遇垦（ＲＲ）并联机构
对式（１６）求反螺旋可得分支１的约束螺旋系为：
￥ｉ１＝（００１；Ｏ００）（１７）
式（１７）中￥ｉ。表示一个过机构中心点且垂直于定平台的约束力。
分支２的运动螺旋系为：
￥２１一（Ｏ０１；口１ｂ１Ｏ）
￥２２一（Ｏ０１；盘２ｂ２Ｏ）
￥２３一（Ｏ０１；口３ｂ３０）
￥２４一（Ｚ４ｍ４ｎ４；００Ｏ）
￥２５＝（１５仇５挖５；０００）（１８）
对式（１８）求反螺旋可得分支２的约束螺旋系和分支１的约束螺旋系相同，即￥；－一￥ｉ－。
分支３的运动螺旋系为：
￥３ｌ一（Ｏ００；ｌｌ优ｌＯ）
￥３２＝（００１；ａ２ｂ２Ｏ）
￥３３＝（Ｏ０１；口３ｂ３Ｏ）
￥３４一（Ｚ４ｍ４咒４；００Ｏ）
￥３５一（１５ｍ５咒５；００Ｏ）（１９）
对式（１９）求反螺旋可得分支３的约束螺旋系和分支１的约束螺旋系相同，即￥；ｔ一￥；ｔ。
显然尽管三个分支运动链结构不同，它们对动平台施加的结构约束相同。三个分支约束力线矢满足共轴的几何条件，构成一个公共约束，即Ａ＝１。且此公共约束即为机构约束螺旋系，约束动平台沿Ｚ轴方向的移动。由式（２）可知，ｄ＝５。
容易看出分支运动链中各运动副轴线问的几何关系在动平台发生连续运动时并不改变，因此各分支运动螺旋系和约束螺旋系也不改变。由于三个分支中心点重合为机构中心点，从而保证三个分支约束力线矢始
第４期李秦川等：基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析４３７终共轴，即机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后不变。因此该机构不是瞬时机构，具有三个转动自由度和两个ＸＹ平面内的移动自由度。
由于三个分支约束力线矢构成了公共约束，没有剩余的约束，即有ｌ一０，是＝０。由式（６）可得：
口＝３・１—１・３—０＝０（２０）
由式（９）可得：
Ｍ一６～３・ｌ＋１（３—１）＋０＝５
５（２１）对称并联机构自由度分析实例
图２所示为４一ＲＰＲＲＲ并联机构，其中第一个转动副轴线￥ｉ，和第
三个转动副轴线￥诅平行于定平台；第二个移动副￥ｉ。垂直于￥ｎ和
￥川最后两个转动副轴线￥“和￥；。都垂直于动平台。初始位形下，动
平台平行于定平台。
Ｒ
取第ｉ个分支的第一个转动副的中心点为第ｉ个分支坐标系的原
点，ｚ；轴和第一个转动副轴线重合，２。轴垂直于定平台向上。则第ｉ个
分支运动螺旋系为：
￥ｆ１＝（１００；００Ｏ）
￥ｉｚ一（Ｏｏｏ；Ｏｍ２住２）
￥ｆ３＝（１００；０ｂ３ｆ３）（２２）
￥ｉ４一（Ｏｏ１；ａ４ｂ４０）
￥ｆ５＝（Ｏｏ１；口５ｂ５０）图２４－ＲＰＲ堕并联机构
（２３）对式（２３）求反螺旋可得第ｉ个分支约束螺旋系为：￥ｒ１一（０ｏｏ；ｏ１Ｏ）．
式（２３）表明一个ＲＰＲＲＲ分支对动平台施加一个Ｙｉ方向的约束力偶。全部四个分支一共施加四个力偶，都平行于定平台，满足共面的几何条件。在此几何条件下，这四个力偶线性相关，等价子两个力偶，即：
￥知一（０ｏｏ；１ｏ０）
（２４）
￥：：１２一（Ｏｏｏ；ｏ１Ｏ）
式（２５）中两个力偶构成机构约束螺旋系，约束动平台在ＸＹ平面内的两个转动自由度。
动平台在发生任意可行连续运动后仍平行于定平台，分支运动链中各运动副轴线间的几何关系在动平台发生连续运动时并不改变，因此各分支运动螺旋系和约束螺旋系也不改变。即机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后不变。因此该机构不是瞬时机构，具有三个移动自由度和一个绕Ｚ轴的转动自由度。
由于没有共轴的约束，该机构没有公共约束，即Ａ一０。四个共面的约束力偶线性相关，构成一个螺旋２系，即ｋ＝２。由式（６）可得：
∥一４・１—０・４—２＝２（２５）
由式（９）可得：
Ｍ一６～４．１＋０（３—１）＋２＝４．
６（２６）结论
ａ）在约束分析这个统一的框架下，公共约束和冗余约束可以通过引入螺旋理论，从几何上直接判别约束的线性相关性，从而分别给出有效的计算判别方法。，
ｂ）本文提出的修正Ｇｒａｂｌｅｒ—Ｋｕｔｚｂａｃｈ计算公式和基于约束分析的自由度计算公式可普遍适用于对称及非对称少自由度并联机构自由度分析和计算。
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（ＰｒｏｖｉｎｃｉａｌＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＭｏｄｅｒｎＴｅｘｔｉｌｅＭａｃｈｉｎｅｒｙ，ＺｈｅｊｉａｎｇＳｃｉ—ＴｅｃｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，
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Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃｏｍｂｉｎｅｄｅｆｆｅｃｔｏｆｌｉｍｂｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｂａｓｉｃａｌｌｙｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓｔｈｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆｍｏｂｉｌｉｔｙｏｆｌｏｗｅｒ—ｍｏｂｉｌｉｔｙｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ．Ｔｈｅｌｉｍｂｃｏｎｓｔｒａｉｎｔａｎｄｔｈｅｃｏｍｂｉｎｅｄｅｆｆｅｃｔｏｆａｌｌ１ｉｍｂｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｃａｎｂｅｄｅｓｃｒｉｂｅｄｕｓｉｎｇｓｃｒｅｗｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅｌｉｎｅａｒｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅｏｆａｌｌｌｉｍｂｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ
ｃａｎｃａｎｂｅｊｕｄｇｅｄｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙａｎｄｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｍｏｂｉｌｉｔｙｂｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒ，ｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆ
ａｒｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｃｏｍｍｏｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｔａｎｄｒｅｄｕｎｄａｎｔｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｐｒｏｐｏｓｅｄｗｉｔｈｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｏｎ—
ａｒｅｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ａｒｅｖｉｓｅｄＧｒｏｂｌｅｒ—Ｋｕｔｚｂａｃｈｃｒｉｔｅｒｉｏｎａｎｄ
ｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｂｏｔｈｏｆｗｈｉｃｈｃａｎａｍｏｂｉｌｉｔｙｃｒｉｔｅｒｉｏｎｉｎｔｅｒｍｓｏｆｃｏｎｓｔｒａｉｎｔａｎａｌｙｓｉｓｂｅａｐｐｌｉｅｄｔｏｍｏｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｌｏｗｅｒ－ｍｏｂｉｌｉｔｙｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ．
ｔｏＴｈｅｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｈｅｒｅｉｓａｐｐｌｉｃａｂｌｅ
１ｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ．ｂｏｔｈｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌａｎｄａｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌｌｏｗｅｒ—－ｍｏｂｉｌｉｔｙｐａｒａｌ－－
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基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析
作者：
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英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：李秦川， 杨元兆， 陈巧红， 胡旭东， LI Qin-chuan， YANG Yuan-zhao， CHEN Qiao-hong ， HU Xu-dong浙江理工大学浙江省现代纺织装备技术重点实验室,杭州,310018浙江理工大学学报JOURNAL OF ZHEJIANG SCI-TECH UNIVERSITY2007，24(4)0次
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运用虚功原理，建立了新型两自由度机械手的逆动力学模型。提出一种新型S形速度曲线方案，并在操作空间对其进行轨迹规划。以单次拾放周期最短为目标，对轨迹参数进行优化。提出一种以综合拾放操作时间最短为目标的齿轮箱减速优化配置方法，采用该方法能充分发挥驱动电机的性能，从而有利于降低机械手驱动系统的成本。
设计、制作2自由度并联机械手样机，并开发其控制系统。分别采用PID控制、PID结合速度前馈控制、鲁棒饱和控制、指数趋近率变结构控制、加速度反馈控制等控制算法，进行拾放操作实验研究，并根据实验结果对上述各种算法的应用效果进行了比较。
5.学位论文 李仕华 几种空间少自由度并联机器人机构分析与综合的理论研究 2004
首先本文对一种新型三维移动3-RRUR并联机构的运动学问题进行了研究。建立了机构的反解方程及位置反解的表达式。研究了在杆长限制下的理想工作空间，并绘出沿Z向理想工作空间截面曲线和理想工作空间的三维实体模型。导出了机构的一阶综合影响系数矩阵，绘制了位移、速度的曲线。然后采用螺旋理论，分别建立了3-UPU并联角台机构在初始位形下和沿X轴方向发生移动后的一阶影响系数矩阵。根据得到的一阶影响系数矩阵，给出了该并联角台机构在初始位形下和沿X轴方向发生移动后的速度和加速度方程，并绘制了对应的关系曲线；其次，又研究一种两转一移3-UPU平台型并联机构的运动特性，建立了上下平台平行时的一阶影响系数矩阵，进一步计算出其主螺旋及其节距，绘制了上下平台平行时所有运动螺旋的空间分布图。接着采用连续法理论，对一种新型的、结构复杂的三维移动并联平台机构进行了位置分析。建立了该机构的结构约束方程组和构造了初始方程组，编制了求解
输入合理性。不仅讨论了初始位形下的合理性，而且还验算在任何可能位移后之合理性。讨论了输入选取好坏的标准，并分析多种新的少自由度空间并联机构的输入选取。 另外讨论了机构存在不合理输入选取的原因，并给出了解决办法。
6.期刊论文 韩书葵. 方跃法. 郭盛. HAN Shukui. FANG Yuefa. GUO Sheng 少自由度并联机构真实运动分析 -机械工程学报2009,45(9)
利用螺旋理论分析组成少自由度并联机构的转动副轴线和移动副轴线之间的几何关系,根据运动副轴线之间的关系,分析由于加工、安装等原因造成的机构运动副轴线可能存在的误差形式.给出当机器人存在不相交误差和不平行误差时,少自由度机器人的各分支对于机器人的动平台的约束形式,以及存在这些约束下,少自由度并联机器人可能实现的运动形式.对具有相同分支的少自由度并联机器人建立误差模型.给出机器人动平台的真实运动模型,试验验证了前面分析的正确性.
7.学位论文 黄勇刚 面向约束及其误差的少自由度并联机构分析与构型综合 2009
少自由度并联机构由支链内以及支链间运动副轴线的严格几何约束关系限制动平台非期望运动自由度，获得预期的少自由度运动特性。由于误差的不可避免性，运动副轴线间严格的几何约束条件通常难以得到精确满足，从而对机构的工作性能可能产生一系列不良影响。
针对此问题，本论文首先应用螺旋理论及集合论原理，系统分析少自由度并联机构的力约束系统及其过约束特性，从而确定机构在动平台不可动自由度空间中的静定与超静定性质。在机构过约束分析基础上，从结构力学理论出发，应用拆开连架副方法，通过误差建模，定量分析运动副轴线间几何约束误差在少自由度并联机构中的传递与耦合规律，揭示了过约束结构对几何约束误差的敏感性及其对机构性能影响的机理。针对过约束少自由度并联机构对几何约束误差敏感的固有特点，为改善机构对此类误差的自适应性和提高机构的动力学性能，对无过约束构型设计方法进行了系统研究。本论文的主要工作如下：
①以螺旋理论和集合论为数学工具，系统总结并深入研究了运动副、串联开链机构、单回路机构的自由度和约束系统的分析方法。在此基础上，按支链并联和回路耦合两种结构组成观点，系统分析了少自由度并联机构的约束系统和过约束特性，得出了少自由度并联机构基于支链约束的构型条件及构型特征，和基于基本回路的过约束特征。提出了一种表示少自由度并联机构约束特征的符号方法，并给出一种机构总过约束数计算、过约束回路识别以及分析过约束在回路中的分布与协调的系统方法。提出了全回路过约束、多回路过约束以及单回路过约束的概念。为按约束特征及过约束特性进行并联机构构型设计与分析奠定了理论基础。
②应用运动螺旋的指数映射描述刚体运动和坐标变换，进行了串联开链机构几何约束误差建模方法的研究。将误差看成虚拟运动副运动的结果，应用螺旋理论分析运动副轴线位姿误差的螺旋表示，从而建立了串联开链机构含误差螺旋的运动学指数积模型。并将工具坐标系的位置和姿态误差看成虚拟移动副和虚拟转动副运动的结果，给出了相应运动螺旋参数的计算公式。在Matlab环境下开发了一套通用的螺旋计算软件包，对两种典型的串联开链机构进行了误差仿真分析，并使用Adams进行了对比仿真，验证了该建模方法的正确性和有效性。该误差建模方法具有良好的几何直观性，便于从整体上描述机构的误差，为按拆开连架副法分析运动副轴线几何约束误差对少自由度并联机构的影响提供了有效的方法与工具。
③在过约束分析基础上，采用拆开连架副法，通过基于螺旋理论的误差建模，系统分析了运动副轴线几何约束误差对少自由度并联机构的不良影响。提出了基于矩阵力法的误差影响分析方法和步骤，并以计算过约束回路强制装配力、机构运动副中的附加载荷、连杆弹性变形、动平台寄生运动和机构的应变能波动等一系列定量指标，评估过约束并联机构对运动副轴线间几何约束误差的敏感性。通过对一种过约束并联机构的分析与仿真，揭示了过约束回路对运动副轴线间几何约束误差的敏感性及其对机构性能影响的机理。同时分析了运动副轴线几何约束误差对一种完全解耦并联机构的影响。研究结果为少自由度并联机构的构型分析、构型优选以及评估其实用性提供了一种新的思路和方法。
④针对过约束少自由度并联机构对运动副轴线间几何约束误差敏感的固有缺点，提出采用无过约束构型来消除此类不良影响的主动设计方法。提出了少自由度并联机构无过约束构型设计的支链力约束条件和支链间力约束几何方位配置条件。基于直接约束设计的理念，归纳总结出了一种根据支链约束要求设计具体支链结构，并按支链间约束配置几何条件并联装配，综合无过约束少自由度并联机构的系统方法和一般步骤。详细讨论了只提供一个力约束以及只提供一个力偶约束的两类支链的结构设计，并简要讨论了几种含多个约束的支链设计问题。应用按约束要求设计的支链结构，利用与静平台以及与动平台直接连接的运动副轴线确定支链间约束的几何关系，根据相关的约束配置要求，综合出了一类新的完全对称结构的平面3自由度、球面3自由度以及空间3移动并联机构无过约束构型。并对无过约束构型和过约束构型进行了对比分析。为少自由度并联机构的创新设计及消除运动副轴线几何约束误差对过约束构型的不良影响提供了一种新的思路和解决途径。
以上研究工作，解释了少自由度并联机构支链约束以及回路过约束的作用和耦合特点，揭示了过约束构型对运动副轴线间几何约束误差的敏感性及其对机构性能影响的机理，为过约束少自由度并联机构的分析提供了一种新的观点。无过约束构型设计方法为少自由度并联机构的构型综合提供了一种新的思路和创新方法，并为消除过约束的影响和提高机构的实用性提供了一条新的途径。本文的研究成果，对丰富和拓展少自由度并联机构的分析理论与方法，开拓无过约束构型的创新设计及应用领域，具有重要的理论意义和工程实用价值。
8.期刊论文 房海蓉. 方跃法. 郭胜. Fang Hairong. Fang Yuefa. Guo Sheng 四自由度对称并联机器人结构综合方法 -北京航空航天大学学报2005,31(3)
利用螺旋理论,分析了少自由度并联机构中支链运动螺旋系与动平台约束螺旋系的关系,列举了五阶运动螺旋系的支链类型,在此基础上提出了一种四自由度对称并联机器人结构综合的方法,并利用该方法针对动平台3转动1移动的运动特征要求,进行了结构综合,得到多种具有对称结构的四自由度并联机器人机构类型.结果表明:少自由度并联机构的运动与约束通过螺旋数学模型来表达简单直观,便于机构的型综合;同时该方法针对给定动平台的运动特征,可以方便快捷地进行对称结构的型综合,有利于少自由度并联机器人机构的结构创新,为少自由度并联机构的优化设计奠定了基础.
9.学位论文 房海蓉 少自由度并联机器人机构的结构综合方法研究 2005
现代机构学的最高任务，是为创造适用于现代机械系统的新机构提供系统的理论和有效的方法，并在此基础上创造出满足特定要求的新机构。为了减小机构创新的盲目性，开拓以功能为导向创造满足特定运动性能要求的新机构途径，本文对少自由度并联机器人机构结构综合的方法和过程进行了系统的研究，尤其是针对存在过约束的4、5自由度对称并联机构的结构综合问题进行了深入研究，具体内容包括以下几个方面：
1.以螺旋理论为数学工具，对少自由度并联机器人机构动平台的运动特征和组成并联机构的少自由度串联支链约束力之间的关系进行了分析，利用运动螺旋与约束力螺旋的互易积关系，建立了少自由度并联机构中支链运动螺旋与动平台所需约束力螺旋之间的抽象数学模型，分析了支链约束力螺旋的性质，将组成少自由度并联机器人机构的运动支链定义为力约束支链和力偶约束支链两大类，以利于少自由度串联支链和少自由度并联机构的结构综合。
2.系统研究了力约束支链和力偶约束支链中运动副的配置与支链约束力之间的关系，建立了支链中基本运动副的运动螺旋数学模型，揭示出不同约束支链运动副的配置规律，并据此提出不同类型少自由度串联支链的运动副配置条件，找出了满足相应要求的所有可行支链结构类型，为少自由度并联机器人机构的结构综合奠定了基础。
3.研究了少自由度并联机器人机构结构综合的系统理论，提出了基于螺旋理论的少自由度并联机器人机构的结构综合方法和基本步骤。按照传统机构设计理论，4、5自由度并联机构不可能存在对称的支链结构。为此，利用螺旋理论系统分析了4、5自由度对称并联机构动平台产生过约束的问题，提出了非对称并联机构的设计准则和避免过约束的4、5自由度对称并联机构的设计准则，并根据设计准则列举了大量满足动平台预定运动特征的4、5自由度对称并联机构和非对称并联机构的结构类型，解决了4、5自由度对称并联机构结构综合中过约束的难题。
4.利用螺旋理论对少自由度并联机器人机构的运动自由度、雅可比矩阵和奇异位形进行了分析研究。结合提出的新型少自由度并联机构实例，说明了少自由度并联机构动平台运动自由度的分析方法、雅可比矩阵建立的方法和奇异位形的分析方法。研制开发了一套少自由度并联机器人机构结构综合的软件系统，通过计算机辅助虚拟设计生成满足要求的多种并联机构三维实体模型，结合机械系统动态仿真技术，利用ADAMS软件对一些典型的新机构进行了运动仿真，仿真结果表明了所提方法和研究成果的正确性。
10.期刊论文 李永刚. 宋轶民. 冯志友. 张策. LI Yonggang. SONG Yimin. FENG Zhiyou. ZHANG Ce 4自由度非全对称并联机构的完整雅可比矩阵 -机械工程学报2007,43(6)
少自由度并联机构完整雅可比矩阵为6x6矩阵,包括运动子矩阵和约束子矩阵两部分,由于前者的代数特征不能反映出机构的约束特性,在对此类机构
进行运动学分析和几何参数优化设计时,必须建立完整的6x6雅可比矩阵.鉴于此,基于对偶螺旋理论,以4自由度机构2RPS-2UPS为例,给出非全对称少自由度并联机构完整雅可比矩阵的推导方法.首先,根据螺旋理论推导约束支链中的运动螺旋系和反螺旋系,并利用互易积获得约束子矩阵.其次,锁定每个支链中的主动关节,根据螺旋理论计算约束支链和全运动支链中新增反螺旋系,并利用互易积建立运动子矩阵.将约束子矩阵和运动子矩阵联立建立机构完整雅可比矩阵.最后,分析雅可比矩阵的秩,得到2RPS-2UPS并联机构产生奇异位形的条件.
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浙江理工大学学报，第２４卷，第４期，２００７年７月
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｅｊｉａｎｇＳｃｉ—ＴｅｃｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖ０１．２４，Ｎｏ．４，Ｊｕｌ．２００７
文章编号：１６７３—３８５ｔ（２００７）０４—０４３３—０６
基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析
李秦ＪＩＩ，杨元兆，陈巧红。胡旭东
（浙江理工大学浙江省现代纺织装备技术重点实验室，杭州３１００１８）
摘要：少自由度并联机构自由度的减少本质上是因为受到分支施加的结构约束的合成作用决定。运用螺旋
理论描述单个分支约束及所有分支约束的合成，并从几何上直接分析约束的线性相关性，判别出机构自由度的性
质，同时给出公共约束，冗余约束存在的几何条件和相应的判别计算公式，在此基础上得到普遍适用于少自由度并
联机构自由度计算的修正Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ计算公式和一种等价的完全依靠约束分析的自由度计算公式。笔者提
出的方法不仅适用于对称少自由度并联机构，也适用于非对称少自由度并联机构。
关键词：少自由度并联机构；螺旋理论；自由度
中围分类号：ＴＨｌｌ２文献标识码：Ａ
Ｏ引言
自由度数为３、４、５的少自由度空间并联机构是国际并联机器人学术界和工业界的研究热点。自由度分析属于机构学中的基本科学问题。然而，少自由度并联机构的自由度计算长期以来没有有效的方法和公式，一般机构自由度计算使用的Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｅｈ公式很难被正确应用于少自由度并联机器人上。正如文献［１］中指出：很难为闭环运动链定义一个通用的自由度计算公式。
自由度分析这一基本理论问题的难以解决，制约了现代空间机构学的发展，例如机型综合以及实际应用。各国研究者或以复杂的运动学分析，或经过繁琐的概念推理来导出少自由度机构的自由度性质，或靠经验直观来推断机构的自由度数和性质［２￣４］。
少自由度并联机构动平台自由度的减少本质上是因为受到了分支施加的结构约束的影响，因此通过约束分析即机构的受力分析来讨论机构的自由度应该是最直接有效的方法。然而传统的受力分析难以描绘复杂的空间受力状态，从几何的角度看，少自由度并联机构中具有多个结构约束，可以力偶、力线矢或者力螺旋的形式存在，彼此呈空间分布的关系。同时其位置和方向随机构的运动而变化，如何在连续运动中去描述和分析仍未得到解决。
本文引入螺旋理论描述单个分支约束及所有分支约束的合成，并从几何上直接分析约束的线性相关性，判别出机构自由度的性质，同时给出公共约束，冗余约束存在的几何条件和相应的判别计算公式，在此基础上得到普遍适用于少自由度并联机构自由度计算的修正Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ计算公式和一种等价的完全依靠约束分析的自由度计算公式。笔者提出的方法不仅适用于对称少自由度并联机构，也适用于非对称少自由度并联机构。
１基本概念
在螺旋理论中［５’６］，单位螺旋￥一（ｓ；ｒ×ｓ）＝（ｚ７／＇／ｎ；ａ
收稿日期：２００６～１２—２８
基金项目：浙江省教育厅资助项目（２００４０４０２／０４１０１２４一Ｆ）作者简介：李秦川（１９７５一），男，陕西西乡人，副教授，主要从事并联机器人理论和技术研究。ｂＣ）可用来表示一个转动副或一个力线矢，式
４３４浙江理工大学学报２００７年第２４卷中ｓ是螺旋轴线方向的单位矢量，ｒ是螺旋轴线上任意一点的位置矢量，式中Ｚ，Ｔｎ，咒表示转动副轴线或力线矢轴线的３个方向余弦。一个移动副或一个力偶矢量可以表示为￥＝（ｏ；ｓ）一（ｏ
当两个螺旋￥一（ｓ；轧）和￥’＝（ｓ，；ｓ。，）的互易积为零时，即：
￥。￥７＝ｓ・ｓｏ，＋ｓ，・ｓｏ＝０００；ｚｍ咒）。
称￥和￥７互为反螺旋或互逆。当￥表示一个运动螺旋，而￥７表示一个力螺旋时，上式的意义为力螺旋￥７对运动螺旋￥所表示的运动做功为零，即不约束该运动。
自由度的减少是因为受到了约束。在对称少自由度并联机构中，每个分支施加给动平台一个或几个结构约束，所有分支结构约束的合成就决定了动平台失去的自由度。可以运用螺旋理论分别在分支和机构两级来描述这种结构约束。
当分支运动链中所有的运动副都用单位运动螺旋表示，则这些单位运动螺旋构成分支运动螺旋系，和分支运动螺旋系中所有螺旋相逆的全部线性无关的反螺旋构成分支约束螺旋系，描述分支运动链对动平台施加的结构约束。所有分支约束螺旋的合成构成机构约束螺旋系，对应于机构被约束的自由度。如以单位运动螺旋表示机构的自由度，则这些螺旋构成机构运动螺旋系。注意到螺旋系的相关性已被证明与坐标系的选择无关‘引。
由于运动螺旋和力螺旋是瞬时量，在进行约束分析时就需要判别机构自由度是否为瞬时。只需通过辨别机构约束螺旋系在动平台发生可行的任意连续运动后是否改变即可。如机构约束螺旋系不改变，则机构自由度不为瞬时。一般通过对机构各分支中运动副轴线间的几何关系进行简单的分析和观察就可得到结果。
在本文中，用￥。表示第ｉ个分支中第』个运动副对应的单位运动螺旋；￥；表示第ｉ个分支施加给动平台的第Ｊ个约束螺旋；￥柳ｒ表示机构约束螺旋系中第Ｊ个约束螺旋。
２少自由度并联机构的阶和冗余约束
在１９９７年，黄真等口３用螺旋理论重新定义公共约束，给出阶的计算方法，解释了用Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ公式计算自由度的基本原理。
公共约束可以定义为：当机构所有的运动副均以运动螺旋￥“表示，构成一个螺旋系Ａ，若存在一个与螺旋系Ａ中每一个螺旋￥”均相逆的反螺旋￥’，这就是该机构的一个公共约束。所有线性无关的反螺旋￥‘构成约束螺旋系丑，则机构的公共约束数Ａ为：
Ａ—Ｒａｎｋ（毋）＝Ｒａｎｋ（｛￥７Ｉ￥７。￥”＝０，￥”∈Ａ））（１）
式（１）中Ｒａｎｋ（Ｂ）表示求螺旋系Ｂ的最大线性无关数或维数。
则机构的阶数为：
ｄ＝６一Ａ（２）
在对称的少自由度并联机构中，各分支对动平台施加的约束种类和数目都相同。根据前面的定义，这里可以得到公共约束存在的几何条件：如果每个分支对动平台施加的同类约束在空间满足共轴的几何条件，则构成一个螺旋１系，成为机构的一个公共约束。
考虑一个具有Ｐ个相同结构的分支，且自由度数为Ｍ（Ｍ＜６）的对称并联机构，每个分支向动平台施加ｑ个结构约束，则机构约束螺旋系由Ｐ・ｑ个约束螺旋构成，且在非奇异位形下机构约束螺旋系的维数必须是６一Ｍ。
除了构成公共约束的结构约束，剩余的ｚ个约束构成一个螺旋ｋ（愚≤ｚ）系，则冗余约束数ｕ可由式（３）给出：
７３＝Ｚ一是（３）
显然，施加于动平台上所有分支约束数Ｐ・ｑ应该等于生成公共约束所需的约束数Ａ・Ｐ和剩余的约束数Ｚ的总和，即：
Ｐ・ｑ＝Ａ・Ｐ＋ｌ（４）
把式（３）代入式（４），消去ｚ后可得：
Ｐ・ｑ—Ａ・Ｐ＋秒＋忌（５）
第４期李秦川等：基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析４３５根据式（５）可得冗余约束数ｕ为：
韧＝Ｐ・ｑ—Ａ・户一ｋ
３（６）基于约束分析的自由度计算公式
机构约束螺旋系决定机构在瞬时被约束的自由度。如果机构约束螺旋系在机构发生任意可行连续运动后不变，则该机构被约束的自由度不会改变，从而可知该机构的自由度。
考虑了冗余约束的一般Ｇｒｔｉｂｌｅｒ—Ｋｕｔｚｂａｃｈ公式为：
ｇ
Ｍ＝ｄ（ｎ—ｇ一１）＋∑＾＋口滓ｉ（７）
这样式（１）、（２）、（６）和式（７）共同构成了修正的Ｇｒｔｉｂｌｅｒ—Ｋｕｔｚｂａｅｈ公式，普遍适用于少自由度并联机构的自由度计算。
注意到机构被约束的自由度数为机构约束螺旋系的维数６一Ｍ，每一个公共约束约束掉机构的一个自由度，而除了公共约束后剩余的￡个约束中线性无关的走个约束约束掉机构的是个自由度，因此有式（８）成立：
ｋ＝６一Ｍ—Ａ
把式（８）代入式（６），消去ｋ整理后可得：
Ｍ＝６一Ｐ・ｑ＋Ａ（户一１）＋７３（８）（９）
式（９）即为基于约束分析的少自由度并联机构自由度计算公式。下面证明式（７）和修正的Ｇｒｔｉｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ公式是等价的。
为便于分析，把多自由度的运动副或铰链看作是单自由度运动副的组合。考虑一个自由度数为Ｍ（Ｍ＜６）的对称并联机构，每个分支中含有叫个单自由度运动副，则分支约束数为：
ｇ＝６一ｗ（１０）
机构中运动副的总数ｇ可由下式（１１）给出：
ｇ＝ｐｗ（１１）
显然，ｇ同时也是机构中所有运动副具有的自由度数的总和，即：
ｇ
∑五一ｇ
ｉ＝１（１２）
分支中的杆件数咒可由式（１３）给出：
ｎ＝痧（∞一１）＋２（１３）
把式（２）、式（１１）、式（１２）、式（１３）代入式（７）整理后有：
Ｍ＝６—６户一Ａ＋，ｔｐ＋抛＋秽
把式（１０）代入式（９）整理后同样可得：（１４）
Ｍ＝６—６ｐ～Ａ＋矽＋ｐｗ＋７２
可见式（１４）和式（１５）是相同的，因此可证明式（７）和修正的Ｇｒｉａｂｌｅｒ－Ｋｕｔｚｂａｃｈ公式是等价的。
基于螺旋理论的少自由度并联机构的自由度分析的具体步骤可归纳如下：
步骤１
步骤ｚ在初始位形下，写出分支运动螺旋系，对其求反螺旋可得分支约束螺旋系。（１５）分析分支约束在不同几何条件下的线性相关性，确定机构的公共约束Ａ，冗余约束ｕ，并得到机构约束螺旋系。
步骤３检查机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后是否改变，如不改变，则机构不是瞬时机构，由机构约束螺旋系可知动平台被约束的自由度。
步骤４
４用式（７）或式（９）验证结果。非对称并联机构自由度分析实例图１所示为一种三分支的非对称并联机构，其中Ｍ表示动平台，Ｂ表示定平台；（ＲＲＲ）表示三个轴线交
４３６浙江理工大学学报２００７年第２４卷于一点的转动副，称为３Ｒ球面子链；（ＲＲ）表示两个轴线交于
一点的转动副，称为２Ｒ球面子链；ＲＲＲ表示三个轴线相互平行
的转动副；ＲＲ表示两个轴线相互平行的转动副。
在分支ｌ中，第一个移动副￥。，平行于定平台；第二个转动
副的轴线￥。。垂直于定平台；第三、四、五个转动副轴线￥孙
￥。。、￥，。交于一点，构成一个３Ｒ球面子链。
在分支２中，前三个转动副轴线￥。。、￥ｚ。和￥ｚ。均垂直于
定平台，后两个转动副轴线￥：。、￥。。交于一点，构成一个２Ｒ球
面子链。
在分支３中，第一个移动副￥。。平行定平台；第二、三转动
副轴线￥。。和￥。。垂直于定平台；最后两个转动副轴线￥ｓ。、
￥。。交于一点，构成一个２Ｒ球面子链。
称分支中２Ｒ或３Ｒ球面子链的中心点为分支中心点，在装
配时保证三个分支中心点重合为一点，称为机构中心点。选取机构中心点为参考系坐标Ｏ－ＸＹＺ原点，参考坐标系Ｚ轴垂直于定平台向上。
分支１的运动螺旋系为：
￥１１一（Ｏ００；Ｚ１ｍ１Ｏ）
￥１２一（００１；口２ｂ２Ｏ）
￥１３一（Ｚ３ｍ３竹３；００Ｏ）
￥１４一（Ｚ４ｍ４ｎ４；０００）
￥１５一（Ｚ５ｍ５，１５；０００）（１６）图１ＰＲ（ＲＲＲ）一墨堕（ＲＲ）一遇垦（ＲＲ）并联机构
对式（１６）求反螺旋可得分支１的约束螺旋系为：
￥ｉ１＝（００１；Ｏ００）（１７）
式（１７）中￥ｉ。表示一个过机构中心点且垂直于定平台的约束力。
分支２的运动螺旋系为：
￥２１一（Ｏ０１；口１ｂ１Ｏ）
￥２２一（Ｏ０１；盘２ｂ２Ｏ）
￥２３一（Ｏ０１；口３ｂ３０）
￥２４一（Ｚ４ｍ４ｎ４；００Ｏ）
￥２５＝（１５仇５挖５；０００）（１８）
对式（１８）求反螺旋可得分支２的约束螺旋系和分支１的约束螺旋系相同，即￥；－一￥ｉ－。
分支３的运动螺旋系为：
￥３ｌ一（Ｏ００；ｌｌ优ｌＯ）
￥３２＝（００１；ａ２ｂ２Ｏ）
￥３３＝（Ｏ０１；口３ｂ３Ｏ）
￥３４一（Ｚ４ｍ４咒４；００Ｏ）
￥３５一（１５ｍ５咒５；００Ｏ）（１９）
对式（１９）求反螺旋可得分支３的约束螺旋系和分支１的约束螺旋系相同，即￥；ｔ一￥；ｔ。
显然尽管三个分支运动链结构不同，它们对动平台施加的结构约束相同。三个分支约束力线矢满足共轴的几何条件，构成一个公共约束，即Ａ＝１。且此公共约束即为机构约束螺旋系，约束动平台沿Ｚ轴方向的移动。由式（２）可知，ｄ＝５。
容易看出分支运动链中各运动副轴线问的几何关系在动平台发生连续运动时并不改变，因此各分支运动螺旋系和约束螺旋系也不改变。由于三个分支中心点重合为机构中心点，从而保证三个分支约束力线矢始
第４期李秦川等：基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析４３７终共轴，即机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后不变。因此该机构不是瞬时机构，具有三个转动自由度和两个ＸＹ平面内的移动自由度。
由于三个分支约束力线矢构成了公共约束，没有剩余的约束，即有ｌ一０，是＝０。由式（６）可得：
口＝３・１—１・３—０＝０（２０）
由式（９）可得：
Ｍ一６～３・ｌ＋１（３—１）＋０＝５
５（２１）对称并联机构自由度分析实例
图２所示为４一ＲＰＲＲＲ并联机构，其中第一个转动副轴线￥ｉ，和第
三个转动副轴线￥诅平行于定平台；第二个移动副￥ｉ。垂直于￥ｎ和
￥川最后两个转动副轴线￥“和￥；。都垂直于动平台。初始位形下，动
平台平行于定平台。
Ｒ
取第ｉ个分支的第一个转动副的中心点为第ｉ个分支坐标系的原
点，ｚ；轴和第一个转动副轴线重合，２。轴垂直于定平台向上。则第ｉ个
分支运动螺旋系为：
￥ｆ１＝（１００；００Ｏ）
￥ｉｚ一（Ｏｏｏ；Ｏｍ２住２）
￥ｆ３＝（１００；０ｂ３ｆ３）（２２）
￥ｉ４一（Ｏｏ１；ａ４ｂ４０）
￥ｆ５＝（Ｏｏ１；口５ｂ５０）图２４－ＲＰＲ堕并联机构
（２３）对式（２３）求反螺旋可得第ｉ个分支约束螺旋系为：￥ｒ１一（０ｏｏ；ｏ１Ｏ）．
式（２３）表明一个ＲＰＲＲＲ分支对动平台施加一个Ｙｉ方向的约束力偶。全部四个分支一共施加四个力偶，都平行于定平台，满足共面的几何条件。在此几何条件下，这四个力偶线性相关，等价子两个力偶，即：
￥知一（０ｏｏ；１ｏ０）
（２４）
￥：：１２一（Ｏｏｏ；ｏ１Ｏ）
式（２５）中两个力偶构成机构约束螺旋系，约束动平台在ＸＹ平面内的两个转动自由度。
动平台在发生任意可行连续运动后仍平行于定平台，分支运动链中各运动副轴线间的几何关系在动平台发生连续运动时并不改变，因此各分支运动螺旋系和约束螺旋系也不改变。即机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后不变。因此该机构不是瞬时机构，具有三个移动自由度和一个绕Ｚ轴的转动自由度。
由于没有共轴的约束，该机构没有公共约束，即Ａ一０。四个共面的约束力偶线性相关，构成一个螺旋２系，即ｋ＝２。由式（６）可得：
∥一４・１—０・４—２＝２（２５）
由式（９）可得：
Ｍ一６～４．１＋０（３—１）＋２＝４．
６（２６）结论
ａ）在约束分析这个统一的框架下，公共约束和冗余约束可以通过引入螺旋理论，从几何上直接判别约束的线性相关性，从而分别给出有效的计算判别方法。，
ｂ）本文提出的修正Ｇｒａｂｌｅｒ—Ｋｕｔｚｂａｃｈ计算公式和基于约束分析的自由度计算公式可普遍适用于对称及非对称少自由度并联机构自由度分析和计算。
参考文献：
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４３８浙江理工大学学报
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基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析
作者：
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年，卷(期)：
被引用次数：李秦川， 杨元兆， 陈巧红， 胡旭东， LI Qin-chuan， YANG Yuan-zhao， CHEN Qiao-hong ， HU Xu-dong浙江理工大学浙江省现代纺织装备技术重点实验室,杭州,310018浙江理工大学学报JOURNAL OF ZHEJIANG SCI-TECH UNIVERSITY2007，24(4)0次
参考文献(7条)
1. 黄真;孔令富;方跃法 并联机器人机构学理论及控制 1997
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6. Tsai L W;Walsh G C;Stamper R E Kinematics of a Novel Three DOF Translational Platform 1996
7. Merlet J P Parallel robots 2000
相似文献(10条)
1.学位论文 李秦川 对称少自由度并联机器人型综合理论及新机型综合 2003
本文研究对称少自由度并联机构的型综合问题，旨在建立全面有效的型综合理论以及综合出具有自主知识产权的新机构。主要内容包括以下几方面：根据约束螺旋在空间不同几何条件下的线性相关性对约束螺旋系进行分类，并通过螺旋理论的互逆定理获取每种约束螺旋系所约束的运动。引入螺旋理论，重新定义公共约束和冗余约束的概念和几何存在条件，并提出少自由度并联机构中公共约束和冗余约束的计算公式，在此基础上给出普遍适用于少自由度并联机构自由度计算的修正Grübler-Kutzbach计算公式。根据自由度的性质把少自由度并联机构分为九类，给出全部九类并联机构的分支约束螺旋系和机构约束螺旋系，以及保证所有分支约束螺旋的合成是期望的机构约束螺旋系的几何条件。用约束综合理论对两类对称五自由度并联机构进行系统的型综合，首次得到可以实现连续运动的对称五自由度并联机构，得到了多种新机型，并系统地揭示了对称五自由度并联机构的结构特性。用约束综合理论对全部三类对称四自由度并联机构进行系统的型综合,得到多种新机型，并系统地揭示了对称四自由度并联机构的结构特性。用约束综合理论对三类对称三自由度并联机构进行系统的型综合,得到多种新机型，并系统的揭示了对称三自由度并联机构的结构特性。提出基于李群理论的少自由度并联机构的位移流形综合理论，利用前几章中得出的各类少自由度并联机构的结构特性，得到保证分支位移流形的交集是机构位移流形的几何条件。
2.学位论文 胡明 少自由度并联机构型综合开发系统 2005
本文在少自由度并联机器人机构型综合系统分析方法基础上，开发出少自由度并联机构设计开发系统，能根据所需要的并联机器人自由度数目和性质提供可供使用的并联机构。文章根据少自由度并联机构型综合系统方法，分析出了所有可供构建少自由度并联机构的F型支链和C型支链，并得出了各种类型少自由度并联机器人的构建准则。在少自由度并联机器人构建准则基础上，创建了少自由度并联机器人机构设计开发系统。本文同时利用运动学仿真软件ADAMS对通过少自由度并联机构型综合开发系统生成的几种并联机构进行运动学仿真，其结果验证了该系统的可实用性。
3.期刊论文 刘宏伟. LIU Hong-wei 基于螺旋理论的少自由度并联机构运动分析 -制造业自动化2009,31(7)
本文在介绍螺旋和反螺旋理论的基础上,分析了一种3-TPT并联机构的自由度及其运动特性,指出该机构动平台受到垂直于Z轴的3个纯力偶矩的约束,具有三平动一转动4个自由度,为少自由度并联机构运动学及动力学分析提供基础.
4.学位论文 袁剑锋 新型少自由度并联机构运动学分析与控制 2007
与传统的六自由度并联机构相比，少自由度并联机构具有结构简单，设计、制造和控制的成本相对较低等特点，在工业领域具有广泛的应用前景。本文研究几种新型少自由度并联机构的运动学、逆动力学及控制等问题，主要内容如下：
提出一种新型四自由度并联机构。该构型的特点是：具有优势作业方向、动平台转角范围较大。运用螺旋理论分析该机构的自由度，给出了封闭形式的位置正解和逆解。建立了机构的速度映射模型并求解雅可比矩阵。分析了机构的三种奇异形位，给出了解析形式的位置工作空间和可达工作空间。 研究一种在Tricept机构基础上提出的新型三自由度并联机构。对其结构特点、位置正解、位置逆解、速度映射关系、工作空间以及运动学性能等进行了分析。分析表明该机构具有与Tricept机构基本相似的运动学性能。
在归纳从动支链可能构型的基础上，提出一种含有两条从动支链的新型两自由度平动并联机构。求解了机构的位置正解、逆解及雅可比矩阵，对其工作空间进行了分析。在此基础上，对机构进行尺度综合。
运用虚功原理，建立了新型两自由度机械手的逆动力学模型。提出一种新型S形速度曲线方案，并在操作空间对其进行轨迹规划。以单次拾放周期最短为目标，对轨迹参数进行优化。提出一种以综合拾放操作时间最短为目标的齿轮箱减速优化配置方法，采用该方法能充分发挥驱动电机的性能，从而有利于降低机械手驱动系统的成本。
设计、制作2自由度并联机械手样机，并开发其控制系统。分别采用PID控制、PID结合速度前馈控制、鲁棒饱和控制、指数趋近率变结构控制、加速度反馈控制等控制算法，进行拾放操作实验研究，并根据实验结果对上述各种算法的应用效果进行了比较。
5.学位论文 李仕华 几种空间少自由度并联机器人机构分析与综合的理论研究 2004
首先本文对一种新型三维移动3-RRUR并联机构的运动学问题进行了研究。建立了机构的反解方程及位置反解的表达式。研究了在杆长限制下的理想工作空间，并绘出沿Z向理想工作空间截面曲线和理想工作空间的三维实体模型。导出了机构的一阶综合影响系数矩阵，绘制了位移、速度的曲线。然后采用螺旋理论，分别建立了3-UPU并联角台机构在初始位形下和沿X轴方向发生移动后的一阶影响系数矩阵。根据得到的一阶影响系数矩阵，给出了该并联角台机构在初始位形下和沿X轴方向发生移动后的速度和加速度方程，并绘制了对应的关系曲线；其次，又研究一种两转一移3-UPU平台型并联机构的运动特性，建立了上下平台平行时的一阶影响系数矩阵，进一步计算出其主螺旋及其节距，绘制了上下平台平行时所有运动螺旋的空间分布图。接着采用连续法理论，对一种新型的、结构复杂的三维移动并联平台机构进行了位置分析。建立了该机构的结构约束方程组和构造了初始方程组，编制了求解
输入合理性。不仅讨论了初始位形下的合理性，而且还验算在任何可能位移后之合理性。讨论了输入选取好坏的标准，并分析多种新的少自由度空间并联机构的输入选取。 另外讨论了机构存在不合理输入选取的原因，并给出了解决办法。
6.期刊论文 韩书葵. 方跃法. 郭盛. HAN Shukui. FANG Yuefa. GUO Sheng 少自由度并联机构真实运动分析 -机械工程学报2009,45(9)
利用螺旋理论分析组成少自由度并联机构的转动副轴线和移动副轴线之间的几何关系,根据运动副轴线之间的关系,分析由于加工、安装等原因造成的机构运动副轴线可能存在的误差形式.给出当机器人存在不相交误差和不平行误差时,少自由度机器人的各分支对于机器人的动平台的约束形式,以及存在这些约束下,少自由度并联机器人可能实现的运动形式.对具有相同分支的少自由度并联机器人建立误差模型.给出机器人动平台的真实运动模型,试验验证了前面分析的正确性.
7.学位论文 黄勇刚 面向约束及其误差的少自由度并联机构分析与构型综合 2009
少自由度并联机构由支链内以及支链间运动副轴线的严格几何约束关系限制动平台非期望运动自由度，获得预期的少自由度运动特性。由于误差的不可避免性，运动副轴线间严格的几何约束条件通常难以得到精确满足，从而对机构的工作性能可能产生一系列不良影响。
针对此问题，本论文首先应用螺旋理论及集合论原理，系统分析少自由度并联机构的力约束系统及其过约束特性，从而确定机构在动平台不可动自由度空间中的静定与超静定性质。在机构过约束分析基础上，从结构力学理论出发，应用拆开连架副方法，通过误差建模，定量分析运动副轴线间几何约束误差在少自由度并联机构中的传递与耦合规律，揭示了过约束结构对几何约束误差的敏感性及其对机构性能影响的机理。针对过约束少自由度并联机构对几何约束误差敏感的固有特点，为改善机构对此类误差的自适应性和提高机构的动力学性能，对无过约束构型设计方法进行了系统研究。本论文的主要工作如下：
①以螺旋理论和集合论为数学工具，系统总结并深入研究了运动副、串联开链机构、单回路机构的自由度和约束系统的分析方法。在此基础上，按支链并联和回路耦合两种结构组成观点，系统分析了少自由度并联机构的约束系统和过约束特性，得出了少自由度并联机构基于支链约束的构型条件及构型特征，和基于基本回路的过约束特征。提出了一种表示少自由度并联机构约束特征的符号方法，并给出一种机构总过约束数计算、过约束回路识别以及分析过约束在回路中的分布与协调的系统方法。提出了全回路过约束、多回路过约束以及单回路过约束的概念。为按约束特征及过约束特性进行并联机构构型设计与分析奠定了理论基础。
②应用运动螺旋的指数映射描述刚体运动和坐标变换，进行了串联开链机构几何约束误差建模方法的研究。将误差看成虚拟运动副运动的结果，应用螺旋理论分析运动副轴线位姿误差的螺旋表示，从而建立了串联开链机构含误差螺旋的运动学指数积模型。并将工具坐标系的位置和姿态误差看成虚拟移动副和虚拟转动副运动的结果，给出了相应运动螺旋参数的计算公式。在Matlab环境下开发了一套通用的螺旋计算软件包，对两种典型的串联开链机构进行了误差仿真分析，并使用Adams进行了对比仿真，验证了该建模方法的正确性和有效性。该误差建模方法具有良好的几何直观性，便于从整体上描述机构的误差，为按拆开连架副法分析运动副轴线几何约束误差对少自由度并联机构的影响提供了有效的方法与工具。
③在过约束分析基础上，采用拆开连架副法，通过基于螺旋理论的误差建模，系统分析了运动副轴线几何约束误差对少自由度并联机构的不良影响。提出了基于矩阵力法的误差影响分析方法和步骤，并以计算过约束回路强制装配力、机构运动副中的附加载荷、连杆弹性变形、动平台寄生运动和机构的应变能波动等一系列定量指标，评估过约束并联机构对运动副轴线间几何约束误差的敏感性。通过对一种过约束并联机构的分析与仿真，揭示了过约束回路对运动副轴线间几何约束误差的敏感性及其对机构性能影响的机理。同时分析了运动副轴线几何约束误差对一种完全解耦并联机构的影响。研究结果为少自由度并联机构的构型分析、构型优选以及评估其实用性提供了一种新的思路和方法。
④针对过约束少自由度并联机构对运动副轴线间几何约束误差敏感的固有缺点，提出采用无过约束构型来消除此类不良影响的主动设计方法。提出了少自由度并联机构无过约束构型设计的支链力约束条件和支链间力约束几何方位配置条件。基于直接约束设计的理念，归纳总结出了一种根据支链约束要求设计具体支链结构，并按支链间约束配置几何条件并联装配，综合无过约束少自由度并联机构的系统方法和一般步骤。详细讨论了只提供一个力约束以及只提供一个力偶约束的两类支链的结构设计，并简要讨论了几种含多个约束的支链设计问题。应用按约束要求设计的支链结构，利用与静平台以及与动平台直接连接的运动副轴线确定支链间约束的几何关系，根据相关的约束配置要求，综合出了一类新的完全对称结构的平面3自由度、球面3自由度以及空间3移动并联机构无过约束构型。并对无过约束构型和过约束构型进行了对比分析。为少自由度并联机构的创新设计及消除运动副轴线几何约束误差对过约束构型的不良影响提供了一种新的思路和解决途径。
以上研究工作，解释了少自由度并联机构支链约束以及回路过约束的作用和耦合特点，揭示了过约束构型对运动副轴线间几何约束误差的敏感性及其对机构性能影响的机理，为过约束少自由度并联机构的分析提供了一种新的观点。无过约束构型设计方法为少自由度并联机构的构型综合提供了一种新的思路和创新方法，并为消除过约束的影响和提高机构的实用性提供了一条新的途径。本文的研究成果，对丰富和拓展少自由度并联机构的分析理论与方法，开拓无过约束构型的创新设计及应用领域，具有重要的理论意义和工程实用价值。
8.期刊论文 房海蓉. 方跃法. 郭胜. Fang Hairong. Fang Yuefa. Guo Sheng 四自由度对称并联机器人结构综合方法 -北京航空航天大学学报2005,31(3)
利用螺旋理论,分析了少自由度并联机构中支链运动螺旋系与动平台约束螺旋系的关系,列举了五阶运动螺旋系的支链类型,在此基础上提出了一种四自由度对称并联机器人结构综合的方法,并利用该方法针对动平台3转动1移动的运动特征要求,进行了结构综合,得到多种具有对称结构的四自由度并联机器人机构类型.结果表明:少自由度并联机构的运动与约束通过螺旋数学模型来表达简单直观,便于机构的型综合;同时该方法针对给定动平台的运动特征,可以方便快捷地进行对称结构的型综合,有利于少自由度并联机器人机构的结构创新,为少自由度并联机构的优化设计奠定了基础.
9.学位论文 房海蓉 少自由度并联机器人机构的结构综合方法研究 2005
现代机构学的最高任务，是为创造适用于现代机械系统的新机构提供系统的理论和有效的方法，并在此基础上创造出满足特定要求的新机构。为了减小机构创新的盲目性，开拓以功能为导向创造满足特定运动性能要求的新机构途径，本文对少自由度并联机器人机构结构综合的方法和过程进行了系统的研究，尤其是针对存在过约束的4、5自由度对称并联机构的结构综合问题进行了深入研究，具体内容包括以下几个方面：
1.以螺旋理论为数学工具，对少自由度并联机器人机构动平台的运动特征和组成并联机构的少自由度串联支链约束力之间的关系进行了分析，利用运动螺旋与约束力螺旋的互易积关系，建立了少自由度并联机构中支链运动螺旋与动平台所需约束力螺旋之间的抽象数学模型，分析了支链约束力螺旋的性质，将组成少自由度并联机器人机构的运动支链定义为力约束支链和力偶约束支链两大类，以利于少自由度串联支链和少自由度并联机构的结构综合。
2.系统研究了力约束支链和力偶约束支链中运动副的配置与支链约束力之间的关系，建立了支链中基本运动副的运动螺旋数学模型，揭示出不同约束支链运动副的配置规律，并据此提出不同类型少自由度串联支链的运动副配置条件，找出了满足相应要求的所有可行支链结构类型，为少自由度并联机器人机构的结构综合奠定了基础。
3.研究了少自由度并联机器人机构结构综合的系统理论，提出了基于螺旋理论的少自由度并联机器人机构的结构综合方法和基本步骤。按照传统机构设计理论，4、5自由度并联机构不可能存在对称的支链结构。为此，利用螺旋理论系统分析了4、5自由度对称并联机构动平台产生过约束的问题，提出了非对称并联机构的设计准则和避免过约束的4、5自由度对称并联机构的设计准则，并根据设计准则列举了大量满足动平台预定运动特征的4、5自由度对称并联机构和非对称并联机构的结构类型，解决了4、5自由度对称并联机构结构综合中过约束的难题。
4.利用螺旋理论对少自由度并联机器人机构的运动自由度、雅可比矩阵和奇异位形进行了分析研究。结合提出的新型少自由度并联机构实例，说明了少自由度并联机构动平台运动自由度的分析方法、雅可比矩阵建立的方法和奇异位形的分析方法。研制开发了一套少自由度并联机器人机构结构综合的软件系统，通过计算机辅助虚拟设计生成满足要求的多种并联机构三维实体模型，结合机械系统动态仿真技术，利用ADAMS软件对一些典型的新机构进行了运动仿真，仿真结果表明了所提方法和研究成果的正确性。
10.期刊论文 李永刚. 宋轶民. 冯志友. 张策. LI Yonggang. SONG Yimin. FENG Zhiyou. ZHANG Ce 4自由度非全对称并联机构的完整雅可比矩阵 -机械工程学报2007,43(6)
少自由度并联机构完整雅可比矩阵为6x6矩阵,包括运动子矩阵和约束子矩阵两部分,由于前者的代数特征不能反映出机构的约束特性,在对此类机构
进行运动学分析和几何参数优化设计时,必须建立完整的6x6雅可比矩阵.鉴于此,基于对偶螺旋理论,以4自由度机构2RPS-2UPS为例,给出非全对称少自由度并联机构完整雅可比矩阵的推导方法.首先,根据螺旋理论推导约束支链中的运动螺旋系和反螺旋系,并利用互易积获得约束子矩阵.其次,锁定每个支链中的主动关节,根据螺旋理论计算约束支链和全运动支链中新增反螺旋系,并利用互易积建立运动子矩阵.将约束子矩阵和运动子矩阵联立建立机构完整雅可比矩阵.最后,分析雅可比矩阵的秩,得到2RPS-2UPS并联机构产生奇异位形的条件.
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下载时间：2011年5月12日