透镜初级球差的横向剪切干涉条纹研究
张权、姚焜、朱玲、孙晴、轩植华
(中国科学技术大学 天文与应用物理系 安徽 合肥230026)
摘要：利用玻璃平行平板构成简单的横向剪切干涉仪可以观察到单薄透镜的剪切干涉条纹, 由干涉条纹分布求出对应的几何象差和离焦量. 本文首先介绍在一定剪切量的情况下具有初级球差光束的干涉条纹分布的计算机模拟结果，然后介绍利用一个焦距为190毫米的单薄透镜的实验结果. 实验结果与计算机模拟结果符合. 本文并从剪切干涉条纹的分布求出透镜的轴向调整误差和初级球差，对于剪切干涉仪的应用有一定意义. 关键词：横向剪切干涉，波象差，计算机模拟，初级球差，轴向离焦
中图分类号：O43.1 文献标识码：A
1 引 言
剪切干涉是利用待测波面自身干涉的一种干涉
方法. 它具有一般光学干涉测量方法的优点即非接触
性、灵敏度高和精度高，同时由于它无需参考光束，
采用共光路系统，因此干涉条纹稳定，对环境要求低，
仪器结构简单，造价低，在光学测量领域获得了广泛
的应用. 横向剪切干涉是其中重要的一种形式. 由于剪
切干涉在光路上的简单化，不用参考光束，干涉波面
的解比较复杂. 在数学处理上较繁琐. 因此发展利用计
算机处理剪切干涉图的技术是当前光学测量技术发
展的热点. 本实验对具有初级象差的光束的横向剪切
干涉图进行计算机模拟，并利用平行平板对准直透镜
的轴上点象差和光路调整状况进行精确的检测. 波面的截面图 ∆w(ξ ,η) w ’ 图1 横向剪切的两个波面
’2 原 理： 如图1所示, 假设(ξ, η) 为观察剪切干涉的平面， w和w 分别为原始波面和剪切波面，
原始波面相对于平面波的波象差（即对应点之间的光程差）为W(ξ, η) ，剪切波面相对于平
’面波的波象差W (ξ, η) 。P 为剪切平面（ξ，η）上的任意一点。当波面在ξ方向上有一位移
’s(即剪切量为s) 时，在同一点P 上剪切波面的波象差为W (ξ, η)=W(ξ-s, η) ，所以原始波面
与剪切波面在P 点的波象差为：
∆W (ξ, η) =W (ξ, η) -W (ξ-s , η) （1）
由于两波面有光程差∆W 所以会形成干涉条纹，设在P 点的干涉条纹的级次为N ，光的波长为λ，则有
∆W =N λ （2）
3. 计算模拟公式和模拟结果：
图2 计算原理图 如图2所示为光学系统的物平面和入射光瞳平面，其坐标分别为(x,y)和(ξ, η),AO 为光
张 权（1966--），男，安徽长丰人，中国科技大学天文与应用物理系讲师，硕士，主要从事光学仪器设计和物理实验教学工作.
轴。对于旋转轴对称的透镜系统，只需要考虑物点在y 轴上的情形（物点的坐标为（0，y 0））。波面的光程w 只是ξ、η和y 0的函数[1][2]，即
w(ξ，η，y 0)=E1+E3+… (3)
其中E 1是近轴光线的光程
22E 1=a1(ξ+η)+a2y 0η (4)
2上式中，a 1=∆z/2f, a2=1/f , y0是物点的垂轴离焦距离，∆z 为物点的轴向离焦距离。
E 3是赛得象差（初级波象差系数:b1场曲，b 2畸变，b 3球差，b 4慧差，b 5象散）
[1**********]E 3=b1y 0(ξ+η)+ b2y 0η+ b3(ξ+η) + b4y 0η(ξ+η)+ b5y 0η (5)
为了计算结果的表达方便起见将（1）式写成对称的形式，光瞳面（ξ, η）上原始波面与剪切波面的剪切干涉的结果为：
∆W (ξ, η, s ) =W (ξ+s /2, η) -W (ξ-s /2, η) （6）
将公式（4）和（5）代入（6）式就可得具体的表达式，下面只讨论透镜具有初级球差和轴向离焦的情况。
3.1. 扩束镜焦点A 与被测准直透镜焦点F 不重合（即物点与F 不重合），但只有轴向离焦（ ∆z 不为零,y 0=0）无球差，剪切方向在ξ方向的情形，按(3)和（4）式
W (ξ, η) =a 1(ξ2+η2) （7）
由于剪切方向在ξ方向，所以
∆W (ξ, η, s ) =2a 1ξs （8）
所以干涉的亮条纹方程为
2a 1ξs =m λ （9） 即ξ=m λλ（m=0, ±1, ±2,…）（为平行于η轴，间隔为 的直条纹，剪切条纹的零级2a 1s 2a 1s
条纹在ξ=0）。
3.2. 扩束镜焦点A 与被测准直透镜焦点F 不重合，只有轴向离焦（ ∆z 不为零,y 0=0），透镜具有初级球差（b 3不为零）, 剪切方向在ξ方向的情形，按(3)和（4）式
W (ξ, η) =a 1(ξ2+η2) +b 3(ξ2+η2) 2 (10)
所以波象差方程为∆W (ξ, η, s ) =2ηs (a 1+2b 3(ξ2+η2)) +b 3ηs 3 （11） 此时亮条纹方程为：2ξs (a 1+2b 3(ξ+η)) +b 3ξs =m λ（m=0, ±1, ±2,…） （12） 由[1]可知，初级球差δL '与孔径的关系式为：
⎛h ⎫ （13） δL '=A f '⎪⎪⎝⎭
222其中h =ξ+η，ξ和η为孔径坐标，f '为透镜的焦距 f，A 为初级几何球差比例系数. 2223而对应的波象差为其积分[1]，
n 'h h 2' W =δL d () （14） ⎰20f '
将（13）代入（14）积分结果为，此积分为（5）式中第三项，所以可以得到
Ah 4
W (δL ') ==b 3(ξ2+η2) 2 （13） 44f '
由于h 2=ξ2+η2，所以由（13）可以求出b 3与δL '、A 的关系式为：
b 3=δL '
4f '2h 2=A (14) 4f '4
图3是计算机根据（12）绘出的剪切干涉图，具体模拟计算的光路参数见图3的说明.
(a) (b) (c)
图3 4.
通过被检测透镜（即准直镜）后的光波被玻璃平板前后表面反射后形成的两个波面发生横向剪切干涉，剪切量为s ，
s =2dn cos i ' （13）
其中d 为平行平板的厚度，n 为平行平板的折射率，i ' 为光线在平行平板内的折射角.S 一般为1到3毫米左右. 当使用光源为氦氖激光时，由于光源的良好的时间和空间相干性，就可以看到很清晰的干涉条纹. 条纹的形状反映波面的象差. 实验中剪切量取2.5毫米,
凸薄
透镜焦距为
f '＝190mm.
表1为在三个不同轴向离焦量条件下凸薄透镜的∆z 、A. 表2为同样条件下由实验所拍摄的剪切条纹图求出的∆z 、A.
(a) (b)
图5 与模拟的相对应实验结果 (c)
三种不同轴向离焦量下凸薄透镜的∆z 、A
表2 与上表对应的实验结果
通过实验我们得出以下结论：
1、平行平板剪切干涉法具有很高的灵敏度（剪切量越大灵敏度越高），能够测量具有与平面波波象差很小的波面，在本实验中波差系数a 1和b 3都是很小的（在10-5~10-8量级）.
2、本文通过象差分析和计算机模拟了解了不同轴向离焦和球差情况下横向剪切干涉图的条纹分布特点，测量结果与计算机模拟结果符合良好， 对于波面的象差分析有一定指导意义.
3、利用单幅剪切干涉条纹图求解原始波面的方法有傅里叶变换法和最小二乘拟合法等. 在干涉条纹数较少的情况下最小二乘拟合法的误差较小[5]，由于本实验研究的是用于准直光路的光束的剪切干涉条纹，条纹数较少，理论上又有较准确的公式进行描述，所以我们采用最小二乘拟合法。
参考文献
[1] 张以谟. 应用光学(上)[M]. 北京:机械工业出版社，1982.
[2][日]久保田广，波动光学[M],
刘瑞详译，北京
:
科学出版社，1983, 189－239.
[3]徐文东等，恢复横向剪切干涉原始波面的新方法[J]，中国激光，1999:Vol.326,No.11:982-986.
[4]史红民等，剪切干涉技术新进展[J]，激光杂志，1999:Vol.20,No.4:6-8
[5]James S.Slepicka and Soyoung S.Cha,Stabilized Nonlinear Regression for Interferogram Analysis[J],Applied Optics,Vol.34,No.23,5039-5044
Determination of Primary Spherical Aberrations of a Lens
Using the Lateral Shearing Interferogram
ZHANG Quan,YAO Kun, ZHU Ling,SUN Qing,XUAN Zhi-hua
The Department of Astronomy and Applied Physics of University of Science and Technology of China
Hefei, Anhui, 230026
Abstract:
Using a glass plate with two parallel surfaces to construct a simple lateral shearing interferometer for testing wave front aberrations of a thin lens , and then using these interferograms we can get the related geometric
aberrations and the distance from focus .
At first we study the patterns of computer simulation of the light beam with primary spherical aberration and longitudinal distance from focus in fixed lateral displacement. Then we introduce the results of results of the experiment using a thin lens of 190mm focal length . The results of computer simulation conform to the results of experiments. We can get the errors of collimation of the lens and the primary spherical aberration from the interferograms. It is sense for application of shearing interferometry.
Keywords: lateral shearing interferometry,geometric aberrations, wave front aberrations, computer simulation, primary spherical aberration, longitudinal distance from focus.
透镜初级球差的横向剪切干涉条纹研究
张权、姚焜、朱玲、孙晴、轩植华
(中国科学技术大学 天文与应用物理系 安徽 合肥230026)
摘要：利用玻璃平行平板构成简单的横向剪切干涉仪可以观察到单薄透镜的剪切干涉条纹, 由干涉条纹分布求出对应的几何象差和离焦量. 本文首先介绍在一定剪切量的情况下具有初级球差光束的干涉条纹分布的计算机模拟结果，然后介绍利用一个焦距为190毫米的单薄透镜的实验结果. 实验结果与计算机模拟结果符合. 本文并从剪切干涉条纹的分布求出透镜的轴向调整误差和初级球差，对于剪切干涉仪的应用有一定意义. 关键词：横向剪切干涉，波象差，计算机模拟，初级球差，轴向离焦
中图分类号：O43.1 文献标识码：A
1 引 言
剪切干涉是利用待测波面自身干涉的一种干涉
方法. 它具有一般光学干涉测量方法的优点即非接触
性、灵敏度高和精度高，同时由于它无需参考光束，
采用共光路系统，因此干涉条纹稳定，对环境要求低，
仪器结构简单，造价低，在光学测量领域获得了广泛
的应用. 横向剪切干涉是其中重要的一种形式. 由于剪
切干涉在光路上的简单化，不用参考光束，干涉波面
的解比较复杂. 在数学处理上较繁琐. 因此发展利用计
算机处理剪切干涉图的技术是当前光学测量技术发
展的热点. 本实验对具有初级象差的光束的横向剪切
干涉图进行计算机模拟，并利用平行平板对准直透镜
的轴上点象差和光路调整状况进行精确的检测. 波面的截面图 ∆w(ξ ,η) w ’ 图1 横向剪切的两个波面
’2 原 理： 如图1所示, 假设(ξ, η) 为观察剪切干涉的平面， w和w 分别为原始波面和剪切波面，
原始波面相对于平面波的波象差（即对应点之间的光程差）为W(ξ, η) ，剪切波面相对于平
’面波的波象差W (ξ, η) 。P 为剪切平面（ξ，η）上的任意一点。当波面在ξ方向上有一位移
’s(即剪切量为s) 时，在同一点P 上剪切波面的波象差为W (ξ, η)=W(ξ-s, η) ，所以原始波面
与剪切波面在P 点的波象差为：
∆W (ξ, η) =W (ξ, η) -W (ξ-s , η) （1）
由于两波面有光程差∆W 所以会形成干涉条纹，设在P 点的干涉条纹的级次为N ，光的波长为λ，则有
∆W =N λ （2）
3. 计算模拟公式和模拟结果：
图2 计算原理图 如图2所示为光学系统的物平面和入射光瞳平面，其坐标分别为(x,y)和(ξ, η),AO 为光
张 权（1966--），男，安徽长丰人，中国科技大学天文与应用物理系讲师，硕士，主要从事光学仪器设计和物理实验教学工作.
轴。对于旋转轴对称的透镜系统，只需要考虑物点在y 轴上的情形（物点的坐标为（0，y 0））。波面的光程w 只是ξ、η和y 0的函数[1][2]，即
w(ξ，η，y 0)=E1+E3+… (3)
其中E 1是近轴光线的光程
22E 1=a1(ξ+η)+a2y 0η (4)
2上式中，a 1=∆z/2f, a2=1/f , y0是物点的垂轴离焦距离，∆z 为物点的轴向离焦距离。
E 3是赛得象差（初级波象差系数:b1场曲，b 2畸变，b 3球差，b 4慧差，b 5象散）
[1**********]E 3=b1y 0(ξ+η)+ b2y 0η+ b3(ξ+η) + b4y 0η(ξ+η)+ b5y 0η (5)
为了计算结果的表达方便起见将（1）式写成对称的形式，光瞳面（ξ, η）上原始波面与剪切波面的剪切干涉的结果为：
∆W (ξ, η, s ) =W (ξ+s /2, η) -W (ξ-s /2, η) （6）
将公式（4）和（5）代入（6）式就可得具体的表达式，下面只讨论透镜具有初级球差和轴向离焦的情况。
3.1. 扩束镜焦点A 与被测准直透镜焦点F 不重合（即物点与F 不重合），但只有轴向离焦（ ∆z 不为零,y 0=0）无球差，剪切方向在ξ方向的情形，按(3)和（4）式
W (ξ, η) =a 1(ξ2+η2) （7）
由于剪切方向在ξ方向，所以
∆W (ξ, η, s ) =2a 1ξs （8）
所以干涉的亮条纹方程为
2a 1ξs =m λ （9） 即ξ=m λλ（m=0, ±1, ±2,…）（为平行于η轴，间隔为 的直条纹，剪切条纹的零级2a 1s 2a 1s
条纹在ξ=0）。
3.2. 扩束镜焦点A 与被测准直透镜焦点F 不重合，只有轴向离焦（ ∆z 不为零,y 0=0），透镜具有初级球差（b 3不为零）, 剪切方向在ξ方向的情形，按(3)和（4）式
W (ξ, η) =a 1(ξ2+η2) +b 3(ξ2+η2) 2 (10)
所以波象差方程为∆W (ξ, η, s ) =2ηs (a 1+2b 3(ξ2+η2)) +b 3ηs 3 （11） 此时亮条纹方程为：2ξs (a 1+2b 3(ξ+η)) +b 3ξs =m λ（m=0, ±1, ±2,…） （12） 由[1]可知，初级球差δL '与孔径的关系式为：
⎛h ⎫ （13） δL '=A f '⎪⎪⎝⎭
222其中h =ξ+η，ξ和η为孔径坐标，f '为透镜的焦距 f，A 为初级几何球差比例系数. 2223而对应的波象差为其积分[1]，
n 'h h 2' W =δL d () （14） ⎰20f '
将（13）代入（14）积分结果为，此积分为（5）式中第三项，所以可以得到
Ah 4
W (δL ') ==b 3(ξ2+η2) 2 （13） 44f '
由于h 2=ξ2+η2，所以由（13）可以求出b 3与δL '、A 的关系式为：
b 3=δL '
4f '2h 2=A (14) 4f '4
图3是计算机根据（12）绘出的剪切干涉图，具体模拟计算的光路参数见图3的说明.
(a) (b) (c)
图3 4.
通过被检测透镜（即准直镜）后的光波被玻璃平板前后表面反射后形成的两个波面发生横向剪切干涉，剪切量为s ，
s =2dn cos i ' （13）
其中d 为平行平板的厚度，n 为平行平板的折射率，i ' 为光线在平行平板内的折射角.S 一般为1到3毫米左右. 当使用光源为氦氖激光时，由于光源的良好的时间和空间相干性，就可以看到很清晰的干涉条纹. 条纹的形状反映波面的象差. 实验中剪切量取2.5毫米,
凸薄
透镜焦距为
f '＝190mm.
表1为在三个不同轴向离焦量条件下凸薄透镜的∆z 、A. 表2为同样条件下由实验所拍摄的剪切条纹图求出的∆z 、A.
(a) (b)
图5 与模拟的相对应实验结果 (c)
三种不同轴向离焦量下凸薄透镜的∆z 、A
表2 与上表对应的实验结果
通过实验我们得出以下结论：
1、平行平板剪切干涉法具有很高的灵敏度（剪切量越大灵敏度越高），能够测量具有与平面波波象差很小的波面，在本实验中波差系数a 1和b 3都是很小的（在10-5~10-8量级）.
2、本文通过象差分析和计算机模拟了解了不同轴向离焦和球差情况下横向剪切干涉图的条纹分布特点，测量结果与计算机模拟结果符合良好， 对于波面的象差分析有一定指导意义.
3、利用单幅剪切干涉条纹图求解原始波面的方法有傅里叶变换法和最小二乘拟合法等. 在干涉条纹数较少的情况下最小二乘拟合法的误差较小[5]，由于本实验研究的是用于准直光路的光束的剪切干涉条纹，条纹数较少，理论上又有较准确的公式进行描述，所以我们采用最小二乘拟合法。
参考文献
[1] 张以谟. 应用光学(上)[M]. 北京:机械工业出版社，1982.
[2][日]久保田广，波动光学[M],
刘瑞详译，北京
:
科学出版社，1983, 189－239.
[3]徐文东等，恢复横向剪切干涉原始波面的新方法[J]，中国激光，1999:Vol.326,No.11:982-986.
[4]史红民等，剪切干涉技术新进展[J]，激光杂志，1999:Vol.20,No.4:6-8
[5]James S.Slepicka and Soyoung S.Cha,Stabilized Nonlinear Regression for Interferogram Analysis[J],Applied Optics,Vol.34,No.23,5039-5044
Determination of Primary Spherical Aberrations of a Lens
Using the Lateral Shearing Interferogram
ZHANG Quan,YAO Kun, ZHU Ling,SUN Qing,XUAN Zhi-hua
The Department of Astronomy and Applied Physics of University of Science and Technology of China
Hefei, Anhui, 230026
Abstract:
Using a glass plate with two parallel surfaces to construct a simple lateral shearing interferometer for testing wave front aberrations of a thin lens , and then using these interferograms we can get the related geometric
aberrations and the distance from focus .
At first we study the patterns of computer simulation of the light beam with primary spherical aberration and longitudinal distance from focus in fixed lateral displacement. Then we introduce the results of results of the experiment using a thin lens of 190mm focal length . The results of computer simulation conform to the results of experiments. We can get the errors of collimation of the lens and the primary spherical aberration from the interferograms. It is sense for application of shearing interferometry.
Keywords: lateral shearing interferometry,geometric aberrations, wave front aberrations, computer simulation, primary spherical aberration, longitudinal distance from focus.