第10讲 柱锥台球的表面积和体积
【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.
【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m2）
图2-3-12
【例4】有一根长为10 cm，底面半径是0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01 cm）
2. 锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：
11S ' =0S ' =S
− V 台=(S ' +S ) h −−−→ V 柱=S h . V 锥=S h ←−−
33
【例1
】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .
【例2】一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器, 试建立容器的容积V 与x 的函数关系式, 并求出函数的定义域.
【例3】母线长为6，现将该容器盛满水，
5
然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与
6
水平面所成的角的大小为 .
【例4】在边长为a 的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.
【例5】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1= 8. 若AA 1B 1B 水平放置
时，液面恰好过AC , BC , AC 11, B 1C 1的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为多少？
4
1. 表面积：S 球面=4πR 2 （R ：球的半径）
. 2. 体积：V 球面=πR 3
.
3
【例1】有一种空心钢球，质量为142g ，测得外径等于5cm ，求它的内径（钢的密度为7.9g /cm 2，精确到0.1cm ）．
【例2】表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积. '
【例3】设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.
A
． B
． C
． D
．
【例4】如图，正四棱锥P -ABCD 底面的四个顶点A , B , C , D 在球O 的同一个大
16
圆上，点P 在球面上，如果V P -ABCD =，则球O 的表面积是
3
A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π
【例5】如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体
的表面积和体积.
练习： 1．【2008年宁夏理】 15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同
一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 8
2．【2008年宁夏文】 14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在
，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．
3．【2008年福建理】（15）（文科15）
表面积是 ． 4．【2008年江西理】 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）。有下列四个命题：
A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）． 5．【2008年江西文】 15．连结球面上两点的线段称为球的一条弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等
于
、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ． 6．【2008年宁夏文】 18．（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ． 7．【2007广东文】17．（本小题满分12分） 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S 。
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第10讲 柱锥台球的表面积和体积
【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.
【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m2）
图2-3-12
【例4】有一根长为10 cm，底面半径是0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01 cm）
2. 锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：
11S ' =0S ' =S
− V 台=(S ' +S ) h −−−→ V 柱=S h . V 锥=S h ←−−
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【例1
】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .
【例2】一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器, 试建立容器的容积V 与x 的函数关系式, 并求出函数的定义域.
【例3】母线长为6，现将该容器盛满水，
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然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与
6
水平面所成的角的大小为 .
【例4】在边长为a 的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.
【例5】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1= 8. 若AA 1B 1B 水平放置
时，液面恰好过AC , BC , AC 11, B 1C 1的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为多少？
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1. 表面积：S 球面=4πR 2 （R ：球的半径）
. 2. 体积：V 球面=πR 3
.
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【例1】有一种空心钢球，质量为142g ，测得外径等于5cm ，求它的内径（钢的密度为7.9g /cm 2，精确到0.1cm ）．
【例2】表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积. '
【例3】设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.
A
． B
． C
． D
．
【例4】如图，正四棱锥P -ABCD 底面的四个顶点A , B , C , D 在球O 的同一个大
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圆上，点P 在球面上，如果V P -ABCD =，则球O 的表面积是
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A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π
【例5】如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体
的表面积和体积.
练习： 1．【2008年宁夏理】 15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同
一个球面上，且该六棱柱的体积为
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，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 8
2．【2008年宁夏文】 14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在
，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．
3．【2008年福建理】（15）（文科15）
表面积是 ． 4．【2008年江西理】 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）。有下列四个命题：
A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）． 5．【2008年江西文】 15．连结球面上两点的线段称为球的一条弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等
于
、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ． 6．【2008年宁夏文】 18．（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ． 7．【2007广东文】17．（本小题满分12分） 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S 。
文章来源：福州五佳教育网www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分，就上福州五佳教育)