第
卷
年
第期
济
南 文 高等通专科 学 校 报学
目多 规标划问 题及 其 决解方 法
汽工车程 系
徐
,安
,摘 要 由于多 目标规 划 问 的题 接直 解 法难 较度高 所 木 文以 从问 的题背 景
和容 许 出性发 论 讨在 了 种 各意 义下共 多目 标规 划问题 转 化 较 为 易 决解的 单 目
,
规标 划 题问的 几 方法
种
。
关
键词 多 标目 划规
解
决 方
法
多目 标规划 问 题
我把 们 有具两 个 或两 个 以上 目 函标数 的 规 划 问题 做叫多 目标规
划个变
,量,
,。
一般地 考
虑
…
,‘
…
,
,
,
记。作,
一
,
,,
…,
,
,
。 个 束约条 件,
,,
,
二
,
记
作
,
,…
,
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,
…
,
,,
记作
,
,
,
…
,
丁则
可以不 失 一 般 性地 将
,
一
…任,
称
为多 标目规划 的标 准 形 式其
。中
。
,任
”
,仪任
一
,
,
…,
这里 有 两 点需 申要 明一 是我 们所 讨论 的 多目 规标划 戈 二 是 目标 函 数予以界 定
,。
,
中 目标 都
是 规范 化
,
的,
,
,
,
一
,王
为
一
维 向
量函 数其 最小 需值 在下
面向量 集 极的值 问
众题所 周
知,
维
间空,
,
, ,
中 的点
丁
一
,
,
,
。
了为一
,
维
向量 为了 比 较向量 集合
。
中量向大的小 需 引 进以下 几 个向量 不 等式记
号
。,
此为 设・
…
,
,
,
,
・
…
,几,
,
丁
任
并
且 规
定
本文
之
充 要的条 件
为
一收到
乡
,
…
一
充 的要 件 条为
之
’,
一
,
…
,・
,
的
充要条件为
》
,
”
,
…
任
但至 少
存在一 个 毛 砚。
。
使
,
。
接 下来
其与 则设称
。
有,
注意 里这的 。
,
为
”
中的点 集
为 书写 方 便 不另 加 标识 但应将
任
向维
量
”
区别 来
开
以下 况 类情 似
。如
果 一对切
有
。
墓
“
为
的 绝
对 最 向量小绝 对最 小 向量 是 按 其 每 分量个 最 都小 界 定的 显 然 种这向
。
量 ,是 常 理非 想 的但 一般 情 况 下 很它难 存在 三或
‘
。,
为 此再设
・
仁
“
,任
如果
一切对
任则
、
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的
最小间 量 或弱 最小 量
问,
。
维
空间 中量 和 向其与相 应 的 点不 加区 别 此因将 点 集以合
的, 对绝最
优。
有效点 点和 有弱效 点 来指代向量集 合 合
、
的
绝对 最 小 问量最 小 问量 和 弱 最 小 向 点 量
集。、
、
的 绝 对
最 优 有点效 点和 弱 有效 点 的全 分体 别 记作
。
和
二
三 者 间具之 有 以下 咬
简
的包单 含 关系
二仁
同, 时点集合
,
有的效 点和弱 有 点效 必 是
、的
边点界
。
多 目标规 的 绝划 对 最优 解 效有 和 解弱有 效
若
解则称,
’
任
’
且任对 是意多 目 规标
划
及 一 切
一
,
,
均
有毛
’
墓
。
的
对 绝 优解 其最 全 体记
的 有作效解 和 弱 有 效解 的概念 设
。
。基
与于本 前文面 同 相
。
的
道理 再 给 出 目标 多规划
月
。任
,
如果 任意
任
,
对二
或
。称
则。
是多 标目 规
划
的有,效 解 或 弱 有效解 有
,总
,
全其 体 别分 记
。作
和
二。
。
对 目多标规 划
、
,
二
哎
仁。
与 接 下来 我们自然 会 有对效 解 弱有效 解 、 有 效点 弱 有 效 之点 间 的关 系 生兴产 趣 此 对 称若
,,
任
,
约为 集 束
合二
的像 集, 则有 如下 定 理 成 则立 约 在集束合
上 便
,有
,。
定理
在
像集
任℃‘ ,
上
若知已一
、 刁 、 、厂马 声 工 ‘了勺 、 产
二任
任
,
一
、
定
理表明 像 集
。
上 效有 弱 点 效有点 的 原 像 就 是 多 目 标 划
规
的有效
(弱解有效解
)
决解 多目 规 标划 问 题 几的 种方 法要
求 p 个标 目时 同实 现最 优 往 是往很 困 的难常 常是 有 所失能才有 所得 各 种在不 . 同的 思路下 对 得 的 不 失同 虑 就考引 出了各种 理合 处 理得 的 失 方法而 且 由于 直 解 多接,
,。
,
。,
目
标问 题 为 较 困 难所 以也 往 往将 它转化 们为较 易 求解 单 目标 的题问由 于 化 的 方 法 不 .转同 也 形成 了多种 方 法 在此 仅 对 种几 较为 主 要方 的 法 进行论 述,
。。 .4 1
,
,主
目要标法 . 在 所 .有 的 个 p目 标函数 中 若 根 据 体 问具题 实的际 含 义 确 定 了一主 要 目 标 而补将 ,
其
他 标目在 一 的定 允 许 界 限内 当 作 约束 条 件来 处 理 这 样 把 就 原 的 来多目 标 题 问转化 为 一 以 个主 要标目 为 目 的 标单 目标 规 划 .: 不 妨设 f ( X为) 主要 目 而标 对 其余目 标 给 定一组允 许 界限 如 . . 簇 落f p 二 3 羁2 f 一 ;. 其 当 中f 一 为 或 二; f 为。时 转 为 单边 限 制如 此处 理 后 目标规多 划(V P) 即 转 化 为 下述 目单 标规 m划 nif;(X X)R任R 任 R ! fi 簇f ,( X 簇 )灯 …,
,
。
,
,,
(
X
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(6
)
,
。
,
’
,
.
,
,
~
{
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~
2
3
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要 目主标法 简 可单行 它 可 以 保在 证次要 目 标 值 取的前 下 提 出求主 要 目 标尽 能可
好,
,
值的 因而对实 际题 往往 很间适 用
. 42
,
。
分层序列 法 由 于同 时 处 理多 目标 规划 ( V ) P比较 困 故 可 将难 各标 按 目 重其 要 程度排 出 一 个 次
, ,, ,
序 然 在后前 一 目标最 解 优的 基础上 求 一后目
标 的 最优 解 因 而 每次需 解 的决都 是一个
单标 目 题间
此为 不妨设 各 标 函目 数 按 重其 程要 度 排 成如 次下序 f(:X ) … 几X() . , 首先对 第 个一目 标 函数 求 优最并 找 其出 有 最 所优解 的集 合 记为 R 然后在 R 内 I
求,
,
,:
,
,
f
(
X
,)
,,
,
二 个第目 标 数 函的最 优 记 此 时解的 最 优 解集 合为 . :p数 的 最优 解R 求 过 解程的 模型如 下
m i n,f
X 〔R
,
.
R:
依次 类 推 直
至 求出第p 个 标目函
,
(
X
)
i: n ( X m f x 份l暇
)
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一f
1
P
(X
)
,
(
)
x}
: 丫Rl,
。 的 情形给 出 R 和 R几的 何 解释 显 分然层序 . :列 法意 义 下 最的优 解 只 能 证 保最重 要 目标 f ( X) 的最 优 同 时 方 该 有法 解的 提 前是 R., … 一…R 非 且空R 都 不能 只 一 个 有元 否则素 难很 进下 行
, 去R
中
. 1图 就 ~n1 p 3二
,
,
(一一
二,
。 一
,)
:
。
,
R
。,
:
,
・
,
,p
,
,
,
。
R
R
R
以证可
.明 43
,
R
。
R 办仁即 分 层 列序法 意 义 的下 最优解 都 有是 效解,
,
。
功
效系 数 法
在 涉 某些 及多 目标 优 问化题 时要 求 p个 目 函 标数 中前 k个目 越标 小 好 越后p 一 k
,
。
, 目个标大越越 所 谓好 效 功系数 法就 是 针 这对些 标 函目数值的 坏好 别分给定 一 功个 效J j, 系o 数 … ( 是d 〔在〕 之 的 间一个 目 数标 值达 到 最 意 时满有 d一 l d或 、. j 1 ) 而;当 目标 值为 最 差时 d一 。 于 用描 述d 与J(X )f之 间 关系 的 函 d数 =;d j fjX ( 二1) …,
,
., ,.
,
,
,,
,
j
~
1
2
p
d1
。,
「
〕
,
,,
,
j
2
(
p
7
)
称为
效功 数函如 令: 告 h( F )一、 d
)。
六
(
8)
然
后求
. m ah 二 (x )〕 m a xX { d月〔 F f ~会〕} ( )9 d p的最 优 其解 体 全 作 R 记则 可以 证 明 仁RR J ))式 (8 或( 9表 明 采 功 用 系数效 法 时一 个 方案中 只要 一 个 有目 值标 太 如差 d 一。,
( X
),
,
‘
。
,。
,
,
,
就
会 导致两式 的值 为0 因而 拒绝 方 该案
,
・
. 。:J 采 用功 系 数效 法 时关键 在于 如 何 选取 功效 系 数 d 的 选 取d方 法常 用 的 直有 线
,法。
、折线 法指和 法
数文本仅 给出 直 线
法
l・ 2・
。
若设
f 琴 瞿,f 矛赞 X
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) 一 X” f j 一二
”
, ’
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,
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,
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,
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一
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.
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一)
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。,
而当 j一 + k
1,
k
十
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,一
,
p
;
) 时由 于 f(X )越 大越好 故由图 Z b 知可
,
1
1
. 、,‘
J七 口 I If
s X )
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如;
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X
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一
神
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:
二 f
(s
( X )
沁
二
:
;
一f
让
神(
1 1 )
j
f ( X
一 ),f
,
、
下面 我 们 仍 将 根 问 据 的题 实际 背 景 几或 何 的上 考 虑对 多目标 问 (V 题P)作 出 评 价
,
函
数 从而 将 题问 转 化 求 相 应为 单的 目标规 划的 最 解
,优
、,
。
这
一 类方 法 称为 评价 函 数法
。
。
在
仅讨此 论 其 中 的理想 法点 性线 加 和权 法 及以 平 方和 权 法加. 4
4
理点想法 ac 娜阳a朋。
一
提
的出 理想点 法 先 出 p求个 单 目标 规划 最 优的 值 分 别 记作,
,.然 后 评作 价函数
fj 一
裂晋 fj(x ’
‘
, j
一1
, 2
,
一
p
J
h F ()一 hf
(
,,
f
Z
,
・
…pf )
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习〔 (X )一 f广
’
〕(1
2
)
再 求
应 单 相标 目 划规
二
,
h, ( x〔 )〕 一F
客了。
x哪卜二。
1 ()3
一般 情况
, f下,
。
最 优的 并解其 记 全 体 为 下面 R针对 P 2 一的情 况 出 给想 点理法 的 几 何 解 ( 释 见图 3)
,
(
f
. 丁犷 ) 犷 任F( R) 时 我这 们 自然对 F
距,‘
“
f
一
f厂 ()夕
,f
T
下
近最 的点 F一 (王 万f)感 兴 趣也即 ,
飞 Inh F ( X e )F R()
=
少 ( )X 〕 Fn lfn(lR X 任)F
"勺 /
、
乙 〔王 X(
j
)一 f厂一 h(F)
〕,
1( )
此 即构造评 价4 数函 1 2( 的)依 据
.lf
,
f
一
一
一十
图34 5 .
. 对
给定 的 p 目标 个 数函视 各自的 重 要 程 度 不 同取 一 组 权系 数A任 A {A一一 ( 入,
线 性 加 权 法
和,
,
2,入
,
…T
;动} *
。
),
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,,
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…
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.
集
。
.
为 简化记 法 两 个A 未加 区 别) 然 后 作 出 评 价 函数P 卜(F 一 、 无,
,
互
二 入1 J 1~
(
注意 此 第 一处个 A 为 p 维 问
,
量
,第
二个 为A点
喜
(
5 )
1
接 求 相 着应单 目标规 划
一、f(j x )l Fm i:h (〔 X)〕 互
p
h的 最 解集 优
R. 4
XR〔
(1 6
)里
飞 岔
。
. 至 于 定 权确 系 数的 方法 主 要 有 专 家 法平 方 和 加 权
、
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一
法
、沃
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。
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“
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,
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, 2
,
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(17.
)
然 后・ 取 权系 数A任
A,
,
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一.
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.
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。
二,、 一 ,
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,
J
,
要求 p个函
f
数
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( x )
,
…,
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分
别 与 值定 f厂一 x
一
,
p
差 平的 方和尽 量 小且考 虑 到 对
不同
函
数 的侧重 不 同作评 函价 h数( F 、
一
,
,习
一 i (f、 i:
8 1)
然 后求 相 应 目标 规 单
划
h
裂F 〔 。(X
,
, 一
的〕最 优 解并 记 全 体 为其
R菩
、。
2
j ‘ ‘ 〔j (X )一 、 〕厂
(
9 )1
.
上述 种种处 多理目 标 规划 的 方 法 由于 将 问 题转化 为一 个或 一 系 单 列目 标 间题 并 将 对后者求 得的 解 作为前 者 的解 所 以一 般 来 说 都 只能 求 出者前 一 的部 有分 效解( 或弱 . 效 解有) 为 解 决此 问题 出现了 一 类 直 接求所 有有 解效 的方 法另 外 多对 标 线目性 划规 、也 有 些特 殊 的解法 特 别 值 得一 的提 是 Ze’l等 } 将 解 性线规 划 的单 纯 形 法予 以 当 适修e } n
,。
,
,。
,
。・
。
后 正用 于 多 目 解 线标 性 划 问规题
,
。
主
参 考 要文献 .
.:等 戮 规学 与 优划 化设 计 北京 国 防工业 出 版 社 . .. . :刘帷 信 孟祠宗 机 械 最 优 化设 计 北京 清 大华 学 出版社 19 8 6 . .:董 礼加 等 程 工筹运学 北京 北工 业京大 学 版出 . .社; 日。 钱顽迪 子 筹 学运 修 仃 (版 )北 京 清华 大学 出 版 补.. 张 建 中许 绍 吉 线 规性划 京 科北 学出 版社 魏 权龄,
19 8
4
,
1
9
8
8
,
19
,
,1
99
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年
第期
济
南 文 高等通专科 学 校 报学
目多 规标划问 题及 其 决解方 法
汽工车程 系
徐
,安
,摘 要 由于多 目标规 划 问 的题 接直 解 法难 较度高 所 木 文以 从问 的题背 景
和容 许 出性发 论 讨在 了 种 各意 义下共 多目 标规 划问题 转 化 较 为 易 决解的 单 目
,
规标 划 题问的 几 方法
种
。
关
键词 多 标目 划规
解
决 方
法
多目 标规划 问 题
我把 们 有具两 个 或两 个 以上 目 函标数 的 规 划 问题 做叫多 目标规
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这里 有 两 点需 申要 明一 是我 们所 讨论 的 多目 规标划 戈 二 是 目标 函 数予以界 定
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,
中 目标 都
是 规范 化
,
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,
,
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量函 数其 最小 需值 在下
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众题所 周
知,
维
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,
, ,
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,
,
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,
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绝对 最 小 问量最 小 问量 和 弱 最 小 向 点 量
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、
的 绝 对
最 优 有点效 点和 弱 有效 点 的全 分体 别 记作
。
和
二
三 者 间具之 有 以下 咬
简
的包单 含 关系
二仁
同, 时点集合
,
有的效 点和弱 有 点效 必 是
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边点界
。
多 目标规 的 绝划 对 最优 解 效有 和 解弱有 效
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’
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。
上 效有 弱 点 效有点 的 原 像 就 是 多 目 标 划
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(弱解有效解
)
决解 多目 规 标划 问 题 几的 种方 法要
求 p 个标 目时 同实 现最 优 往 是往很 困 的难常 常是 有 所失能才有 所得 各 种在不 . 同的 思路下 对 得 的 不 失同 虑 就考引 出了各种 理合 处 理得 的 失 方法而 且 由于 直 解 多接,
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。,
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。。 .4 1
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标 的 最优 解 因 而 每次需 解 的决都 是一个
单标 目 题间
此为 不妨设 各 标 函目 数 按 重其 程要 度 排 成如 次下序 f(:X ) … 几X() . , 首先对 第 个一目 标 函数 求 优最并 找 其出 有 最 所优解 的集 合 记为 R 然后在 R 内 I
求,
,
,:
,
,
f
(
X
,)
,,
,
二 个第目 标 数 函的最 优 记 此 时解的 最 优 解集 合为 . :p数 的 最优 解R 求 过 解程的 模型如 下
m i n,f
X 〔R
,
.
R:
依次 类 推 直
至 求出第p 个 标目函
,
(
X
)
i: n ( X m f x 份l暇
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1
P
(X
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,
(
)
x}
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。 的 情形给 出 R 和 R几的 何 解释 显 分然层序 . :列 法意 义 下 最的优 解 只 能 证 保最重 要 目标 f ( X) 的最 优 同 时 方 该 有法 解的 提 前是 R., … 一…R 非 且空R 都 不能 只 一 个 有元 否则素 难很 进下 行
, 去R
中
. 1图 就 ~n1 p 3二
,
,
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二,
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,)
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,
R
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,
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,
,
,
。
R
R
R
以证可
.明 43
,
R
。
R 办仁即 分 层 列序法 意 义 的下 最优解 都 有是 效解,
,
。
功
效系 数 法
在 涉 某些 及多 目标 优 问化题 时要 求 p个 目 函 标数 中前 k个目 越标 小 好 越后p 一 k
,
。
, 目个标大越越 所 谓好 效 功系数 法就 是 针 这对些 标 函目数值的 坏好 别分给定 一 功个 效J j, 系o 数 … ( 是d 〔在〕 之 的 间一个 目 数标 值达 到 最 意 时满有 d一 l d或 、. j 1 ) 而;当 目标 值为 最 差时 d一 。 于 用描 述d 与J(X )f之 间 关系 的 函 d数 =;d j fjX ( 二1) …,
,
., ,.
,
,
,,
,
j
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1
2
p
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,
,,
,
j
2
(
p
7
)
称为
效功 数函如 令: 告 h( F )一、 d
)。
六
(
8)
然
后求
. m ah 二 (x )〕 m a xX { d月〔 F f ~会〕} ( )9 d p的最 优 其解 体 全 作 R 记则 可以 证 明 仁RR J ))式 (8 或( 9表 明 采 功 用 系数效 法 时一 个 方案中 只要 一 个 有目 值标 太 如差 d 一。,
( X
),
,
‘
。
,。
,
,
,
就
会 导致两式 的值 为0 因而 拒绝 方 该案
,
・
. 。:J 采 用功 系 数效 法 时关键 在于 如 何 选取 功效 系 数 d 的 选 取d方 法常 用 的 直有 线
,法。
、折线 法指和 法
数文本仅 给出 直 线
法
l・ 2・
。
若设
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”
, ’
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而当 j一 + k
1,
k
十
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,
p
;
) 时由 于 f(X )越 大越好 故由图 Z b 知可
,
1
1
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( X )
沁
二
:
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神(
1 1 )
j
f ( X
一 ),f
,
、
下面 我 们 仍 将 根 问 据 的题 实际 背 景 几或 何 的上 考 虑对 多目标 问 (V 题P)作 出 评 价
,
函
数 从而 将 题问 转 化 求 相 应为 单的 目标规 划的 最 解
,优
、,
。
这
一 类方 法 称为 评价 函 数法
。
。
在
仅讨此 论 其 中 的理想 法点 性线 加 和权 法 及以 平 方和 权 法加. 4
4
理点想法 ac 娜阳a朋。
一
提
的出 理想点 法 先 出 p求个 单 目标 规划 最 优的 值 分 别 记作,
,.然 后 评作 价函数
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裂晋 fj(x ’
‘
, j
一1
, 2
,
一
p
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,
・
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〕(1
2
)
再 求
应 单 相标 目 划规
二
,
h, ( x〔 )〕 一F
客了。
x哪卜二。
1 ()3
一般 情况
, f下,
。
最 优的 并解其 记 全 体 为 下面 R针对 P 2 一的情 况 出 给想 点理法 的 几 何 解 ( 释 见图 3)
,
(
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距,‘
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一
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,f
T
下
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飞 Inh F ( X e )F R()
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少 ( )X 〕 Fn lfn(lR X 任)F
"勺 /
、
乙 〔王 X(
j
)一 f厂一 h(F)
〕,
1( )
此 即构造评 价4 数函 1 2( 的)依 据
.lf
,
f
一
一
一十
图34 5 .
. 对
给定 的 p 目标 个 数函视 各自的 重 要 程 度 不 同取 一 组 权系 数A任 A {A一一 ( 入,
线 性 加 权 法
和,
,
2,入
,
…T
;动} *
。
),
j一1
,,
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…
,p
.
集
。
.
为 简化记 法 两 个A 未加 区 别) 然 后 作 出 评 价 函数P 卜(F 一 、 无,
,
互
二 入1 J 1~
(
注意 此 第 一处个 A 为 p 维 问
,
量
,第
二个 为A点
喜
(
5 )
1
接 求 相 着应单 目标规 划
一、f(j x )l Fm i:h (〔 X)〕 互
p
h的 最 解集 优
R. 4
XR〔
(1 6
)里
飞 岔
。
. 至 于 定 权确 系 数的 方法 主 要 有 专 家 法平 方 和 加 权
、
。法
一
法
、沃
等法一
。
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“
‘ j
., 1一 …
二‘
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,
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j
, 2
,
一p’
(17.
)
然 后・ 取 权系 数A任
A,
,
2 A、一 、 。 、
一.
… 杯厂} )、
, 2 ,, j
J
。
,j
: 。一,
.
・…
。
二,、 一 ,
:
,
J
,
要求 p个函
f
数
, (X )
f
,Z
( x )
,
…,
f
p (
x )
分
别 与 值定 f厂一 x
一
,
p
差 平的 方和尽 量 小且考 虑 到 对
不同
函
数 的侧重 不 同作评 函价 h数( F 、
一
,
,习
一 i (f、 i:
8 1)
然 后求 相 应 目标 规 单
划
h
裂F 〔 。(X
,
, 一
的〕最 优 解并 记 全 体 为其
R菩
、。
2
j ‘ ‘ 〔j (X )一 、 〕厂
(
9 )1
.
上述 种种处 多理目 标 规划 的 方 法 由于 将 问 题转化 为一 个或 一 系 单 列目 标 间题 并 将 对后者求 得的 解 作为前 者 的解 所 以一 般 来 说 都 只能 求 出者前 一 的部 有分 效解( 或弱 . 效 解有) 为 解 决此 问题 出现了 一 类 直 接求所 有有 解效 的方 法另 外 多对 标 线目性 划规 、也 有 些特 殊 的解法 特 别 值 得一 的提 是 Ze’l等 } 将 解 性线规 划 的单 纯 形 法予 以 当 适修e } n
,。
,
,。
,
。・
。
后 正用 于 多 目 解 线标 性 划 问规题
,
。
主
参 考 要文献 .
.:等 戮 规学 与 优划 化设 计 北京 国 防工业 出 版 社 . .. . :刘帷 信 孟祠宗 机 械 最 优 化设 计 北京 清 大华 学 出版社 19 8 6 . .:董 礼加 等 程 工筹运学 北京 北工 业京大 学 版出 . .社; 日。 钱顽迪 子 筹 学运 修 仃 (版 )北 京 清华 大学 出 版 补.. 张 建 中许 绍 吉 线 规性划 京 科北 学出 版社 魏 权龄,
19 8
4
,
1
9
8
8
,
19
,
,1
99
0