判断集合与函数是否可测的一些基本方法小结 PB08001087 黄山 判断集合的可测性
由定义：∀ε>0, ∃开集O ⊃E s.t. m ∗(O −E ) ≤ε⇔E 可测。
课本上根据此定义给出如下判断方法：
1． 任意开集可测；
2． 外测度为0的集合可测；
3． 可数个可测集之并仍可测；
4． 闭集可测；
5． 可测集之补仍可测。
当然，也可根据测度性质给出如下判断方法：
1. 可测集合经平移、伸缩、反射变换得到的集合必可测；
2. 与G δ型集合（开集可数交）相差一个零测集的集合可测；
3. 与F σ型集合（闭集可数并）相差一个零测集的集合可测；
判断函数的可测性
由定义判断：∀a ∈R ,{x :f (x )
等价定义：
1. ∀a ∈R ,{x :f (x ) ≤a }（记为{f ≤a }）可测⇔f 可测。
2. ∀a ∈R ,{x :f (x ) ≥a }（记为{f ≥a }）可测⇔f 可测。
若f 取值有限，那么，我们有如下判断方法:
1. ∀a , b ∈R ,{x :a ≤f (x )
3. ∀闭集F ⊂R, f −1(F ) 可测⇔f 可测。
复合函数的可测性：
f :R d →R 可测，Φ连续，则Φ f 可测，但f Φ不一定可测，即存在连续
函数将可测集映为不可测集！
例如Cantor-Lebesgue 函数F (x ) 在[0,1]上保持连续，则令G (x ) =x +F (x ) ，2
，设W 是G (C ) =[0，1]中的不可测集（例如NN），令G (x ) 是[0,1]上严格单调增的连续函数，
作g (x ) =G −1(x ) 也为[0,1]上严格单调增的连续f (x ) 是点集G −1(NN) 上的特征函数χG −1(N ) ，
函数，而显然f (x ) =0, a . e . x ∈[0,1] ，则f [g (x )]在[0,1]上不是可测函数！
可测函数列的上下极限、上下确界必可测。
可测函数的线性组合、乘积、商（分母函数不为零）也可测。
根据函数定义区域的包含关系判断函数的可测性：
1.f 是E 上的可测函数，E 1为E 的可测子集，则f :E 1→R 也为可测函数。
2．E 1, E 2..., E n ,... 为可测集，E = E
i =1∞i ，则：f 为E 上可测函数⇔f 为
E i (i =1, 2,..., n ,...) 上的可测函数
若f (x , y ) 是R 上的实值函数，且对固定的x ∈R ，f (x , y ) 是y ∈R 上的连续函数；且对固定的y ∈R ，f (x , y ) 是x ∈R 上的可测函数，则f (x , y ) 是R 上的可测函数。
集合可测与函数可测的关系
E 可测⇔E 的特征函数χE (x ) 可测 22
E 可测，且f ∈C (E ) ，则f 是E 上的可测函数
定义在零测度集的函数是可测函数。
判断集合与函数是否可测的一些基本方法小结 PB08001087 黄山 判断集合的可测性
由定义：∀ε>0, ∃开集O ⊃E s.t. m ∗(O −E ) ≤ε⇔E 可测。
课本上根据此定义给出如下判断方法：
1． 任意开集可测；
2． 外测度为0的集合可测；
3． 可数个可测集之并仍可测；
4． 闭集可测；
5． 可测集之补仍可测。
当然，也可根据测度性质给出如下判断方法：
1. 可测集合经平移、伸缩、反射变换得到的集合必可测；
2. 与G δ型集合（开集可数交）相差一个零测集的集合可测；
3. 与F σ型集合（闭集可数并）相差一个零测集的集合可测；
判断函数的可测性
由定义判断：∀a ∈R ,{x :f (x )
等价定义：
1. ∀a ∈R ,{x :f (x ) ≤a }（记为{f ≤a }）可测⇔f 可测。
2. ∀a ∈R ,{x :f (x ) ≥a }（记为{f ≥a }）可测⇔f 可测。
若f 取值有限，那么，我们有如下判断方法:
1. ∀a , b ∈R ,{x :a ≤f (x )
3. ∀闭集F ⊂R, f −1(F ) 可测⇔f 可测。
复合函数的可测性：
f :R d →R 可测，Φ连续，则Φ f 可测，但f Φ不一定可测，即存在连续
函数将可测集映为不可测集！
例如Cantor-Lebesgue 函数F (x ) 在[0,1]上保持连续，则令G (x ) =x +F (x ) ，2
，设W 是G (C ) =[0，1]中的不可测集（例如NN），令G (x ) 是[0,1]上严格单调增的连续函数，
作g (x ) =G −1(x ) 也为[0,1]上严格单调增的连续f (x ) 是点集G −1(NN) 上的特征函数χG −1(N ) ，
函数，而显然f (x ) =0, a . e . x ∈[0,1] ，则f [g (x )]在[0,1]上不是可测函数！
可测函数列的上下极限、上下确界必可测。
可测函数的线性组合、乘积、商（分母函数不为零）也可测。
根据函数定义区域的包含关系判断函数的可测性：
1.f 是E 上的可测函数，E 1为E 的可测子集，则f :E 1→R 也为可测函数。
2．E 1, E 2..., E n ,... 为可测集，E = E
i =1∞i ，则：f 为E 上可测函数⇔f 为
E i (i =1, 2,..., n ,...) 上的可测函数
若f (x , y ) 是R 上的实值函数，且对固定的x ∈R ，f (x , y ) 是y ∈R 上的连续函数；且对固定的y ∈R ，f (x , y ) 是x ∈R 上的可测函数，则f (x , y ) 是R 上的可测函数。
集合可测与函数可测的关系
E 可测⇔E 的特征函数χE (x ) 可测 22
E 可测，且f ∈C (E ) ，则f 是E 上的可测函数
定义在零测度集的函数是可测函数。