函数定义，定义域以及解析式问题
[基本概念]
1、函数定义：设A、B是非空的f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集 合A到集合B的一个函数，记作 ，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集{f(x)| x∈A}叫做函数的值域。 2、函数三要素：才是同一函数。
3A、B是两个非空的，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个元素x，在集合B中都有 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
4、求函数y=f(x)的定义域，要注意以下几点： （1）若f(x)是整式，则函数的定义域是R；
（2）若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； （3）若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合。 5、函数解析式：自变量（x）与因变量(y)之间的关系。
[基本题型]
类型一：函数的定义问题 [典型例题]
1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是( ) 112
A．f(x)→y＝x B．f(x)→y＝x C．f(x)→y＝x D．f(x)→yx
233
注意：①集合A中每一个元素x在集合B都有元素与之对应；②集合A中的一个元素x在集合B只有唯一一个元素y与之对应，不能两个y值对应同一个x值；③允许集合B中的元素y在A中找不到元素x与之对应，例如本题的B选项当y取2的时候，我们在集合A中找不到元素x与之对应。
2．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
A.
C.
D.
注意：①在函数图像中一个x值只能对应一个y值，但一个y值可以对应多个x值；本题B选项一个x对应两个y，所以不是函数图像。②思考：圆的图像是函数图像吗？答案：否。
3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.
x
A. y=1,y=
B. yy
x
B.
C. y=x,y=
D.
y=|x
|,y=
2
注意：①两个函数只有定义域、对应关系（常见的是解析式）、值域这三要素完全相同，这两个函数才是同一函数（相同的两个函数）。②两个函数只要定义域和对应关系相同，那么这两个函数的值域一定相同；所以只要两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数就是同一函数。③在判断两个函数是不是同一函数的时候，我们首先去看它们的定义域是否相同，若定义域不同则不是同一函数；定义域相同的话再看对应关系是否形同。④f(x)=和g(t)=的定义域相同，对应关系也相同，所以它们是同一函数。⑤若两个函数的值域不同则可以直接判断这两个函数不是同一函数。 [课堂训练]
1. 已知函数y=f(x)，则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ） A．y=f(x)图像与直线x=a必有一个交点 B．y=f(x)图像与直线x=a没有交点 C．y=f(x)图像与直线x=a最少有一个交点 D．y=f(x)图像与直线x=a最多有一个交点
2.下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）
A．f(x)=(x-1)0,g(x)=1
B
．f(x)=x,g(x)=1x1t
1-x1+x
C．f(x)=2 ,g(x)=2
x+1x+1
3.可表示函数y=f(x)的图象的只可能是（ ）
D
．f(x)g(t)=
2
A B C D
4、函数f(x)定义在区间[－2，3]上，则y=f(x)的图象与直线x=2的交点个数为（ ） A．0 B．1 5、判断下列对应哪些是由A到B的映射？
1
（1）A=R，B={y|y＞0}，f：x→y=1+
x （2）A=R，B={y|y≥0}，f：x→y=x2
（3）A={x|x≥3}，B={y|y≥0}，f：x→y=x （4）A=Z，B=Q，f：x→y=
类型二：函数的定义域问题 [典型例题
]
C．2 D．不确定
1 x
例1、求下列函数的定义域
（1
）f(x)（2
）f(x)1
2-x
0-34
( 3 )f(x)=(x+1)
x-1
(4)f(x)=log2 2
例2、函数f(x)＝ 例3、函数
例4、函数
1
的定义域为R，则实数a的取值范围是________________
ax＋4ax＋3
f(x)=log2
ax2+4ax+3
的定义域为R，则实数a的取值范围是________________
f(x)=log2
ax2+4ax+3
的值域为R，则实数a的取值范围是________________
例5、(1)若函数y＝f(x)的定义域为[－2，2]，则f(x2－1)的定义域为____________________
(2)若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1，3]，则y＝f(x)的定义域是_________________
(3)若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1，3]，则f(x2－1))的定义域是_________________
[课堂训练]
1、求下列函数的定义域
（1
）f(x)1 2+x
（2
）f(x)=
( 3 )f(x)=(x+1)
-43
x+1
(4)f(x)=log2 2
2、
函数f(x)=
的定义域为R，则实数a的取值范围是
________________ 3、函数 4、函数
5、(1)若函数y＝f(x)的定义域为[－3，2]，则f(x2－1)的定义域为____________________
(2)若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1，5]，则y＝f(x)的定义域是_________________
(3)若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1，4]，则f(x2－1))的定义域是_________________
类型三：函数的解析式问题 [典型例题]
ax2+4ax+5
f(x)=log2
的定义域为R，则实数a的取值范围是________________
f(x)=log2
ax2+4ax+5
的值域为R，则实数a的取值范围是________________
1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3，求f(x)
2、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配
成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
11
)=x2+2 (x>0) ，求 f(x)的解析式 xx1121
解： f(x+)=(x+)-2， x+≥2
xxx
例2 已知f(x+
∴f(x)=x2-2 (x≥2)
3、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑
法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知f(x+1)=x+2x，求f(x+1) 解：令t=
x+1，则t≥1，x=(t-1)2
f(x+1)=x+2x
∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, ∴f(x)=x2-1 (x≥1)
∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x (x≥0)
4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式 解：设M(x,y)为y=g(x)上任一点，且M'(x',y')为M(x,y)关于点(-2,3)的对称点
⎧x'+x
⎪2=-2⎧x'=-x-4
则⎨，解得：⎨ ，
y'+y'y=6-y⎩⎪=3⎩2
点M'(x',y')在y=x2+x上 ∴y'=x'2+x'
把⎨
⎧x'=-x-4
代入得：
⎩y'=6-y
6-y=(-x-4)2+(-x-4)
整理得y=-x2-7x-6
∴g(x)=-x2-7x-6
5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方
程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5 设f(x)满足f(x)-2f()=x,求f(x) 解 f(x)-2f()=x ① 显然x≠0,将x换成
1x
1x
1
，得： x
11
f()-2f(x)= ② xx
解① ②联立的方程组，得：
f(x)=-
x2
- 33x
1
,试求f(x)和g(x)的解析式 x-1
例6 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)+g(x)=解 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)
又f(x)+g(x)=
1
① ， x-1
1 x+1
用-x替换x得：f(-x)+g(-x)=-即f(x)-g(x)=-
1
② x+1
解① ②联立的方程组，得 f(x)=
11
g(x)=， 22
x-1x-x
6、对称性法
即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式. 例7 已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式. 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称. 当x≥0时，f（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），
⎧2x-x2，x≥0因此当x
2
⎩x+2x,x
2
2
评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.
7、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例8 已知：f(0)=1，对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立，
求f(x) 解
对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立，
不妨令x=0，则有f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y(y-1)=y-y+1
2
再令 -y=x 得函数解析式为：f(x)=x+x+1
2
8、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、
迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例9 设f(x)是定义在N+上的函数，满足f(1)=1，对任意的自然数a,b 都有
f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，求f(x)
解 f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，a,b∈N+，
∴不妨令a=x,b=1，得：f(x)+f(1)=f(x+1)-x，
又f(1)=1,故f(x+1)-f(x)=x+1 ① 分别令①式中的x=1,2
n-1 得：
f(2)-f(1)=2,
f(3)-f(2)=3,f(n)-f(n-
1)=n,
将上述各式相加得：f(n)-f(1)=2+3+ n，
∴f(n)=1+2+3+ n=∴f(x)=
n(n+1)
2
121
x+x,x∈N+ 22
[课堂训练]
1、已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，求f(x)；
2 、已知∴f(x-
3
、已知f
4、已知：函数y=x+x与y=g(x)的图象关于点(-3,2)对称，求g(x)的解析式
2
1
x
)=x2+
1
x
2
+3 (x>0) ，求 f(x)的解析式
+1)=x++3，求f(x+1)
满足3f(x)+2f()=x+2,求f(x) 5、设f(x)
1
x
6、设f(x)奇函数，g(x)为偶函数，又f(x)+2g(x)=
1
,试求f(x)和g(x)的解析式 x-1
7、已知是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式.
函数定义，定义域以及解析式问题
[基本概念]
1、函数定义：设A、B是非空的f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集 合A到集合B的一个函数，记作 ，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集{f(x)| x∈A}叫做函数的值域。 2、函数三要素：才是同一函数。
3A、B是两个非空的，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个元素x，在集合B中都有 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
4、求函数y=f(x)的定义域，要注意以下几点： （1）若f(x)是整式，则函数的定义域是R；
（2）若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； （3）若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合。 5、函数解析式：自变量（x）与因变量(y)之间的关系。
[基本题型]
类型一：函数的定义问题 [典型例题]
1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是( ) 112
A．f(x)→y＝x B．f(x)→y＝x C．f(x)→y＝x D．f(x)→yx
233
注意：①集合A中每一个元素x在集合B都有元素与之对应；②集合A中的一个元素x在集合B只有唯一一个元素y与之对应，不能两个y值对应同一个x值；③允许集合B中的元素y在A中找不到元素x与之对应，例如本题的B选项当y取2的时候，我们在集合A中找不到元素x与之对应。
2．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
A.
C.
D.
注意：①在函数图像中一个x值只能对应一个y值，但一个y值可以对应多个x值；本题B选项一个x对应两个y，所以不是函数图像。②思考：圆的图像是函数图像吗？答案：否。
3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.
x
A. y=1,y=
B. yy
x
B.
C. y=x,y=
D.
y=|x
|,y=
2
注意：①两个函数只有定义域、对应关系（常见的是解析式）、值域这三要素完全相同，这两个函数才是同一函数（相同的两个函数）。②两个函数只要定义域和对应关系相同，那么这两个函数的值域一定相同；所以只要两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数就是同一函数。③在判断两个函数是不是同一函数的时候，我们首先去看它们的定义域是否相同，若定义域不同则不是同一函数；定义域相同的话再看对应关系是否形同。④f(x)=和g(t)=的定义域相同，对应关系也相同，所以它们是同一函数。⑤若两个函数的值域不同则可以直接判断这两个函数不是同一函数。 [课堂训练]
1. 已知函数y=f(x)，则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ） A．y=f(x)图像与直线x=a必有一个交点 B．y=f(x)图像与直线x=a没有交点 C．y=f(x)图像与直线x=a最少有一个交点 D．y=f(x)图像与直线x=a最多有一个交点
2.下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）
A．f(x)=(x-1)0,g(x)=1
B
．f(x)=x,g(x)=1x1t
1-x1+x
C．f(x)=2 ,g(x)=2
x+1x+1
3.可表示函数y=f(x)的图象的只可能是（ ）
D
．f(x)g(t)=
2
A B C D
4、函数f(x)定义在区间[－2，3]上，则y=f(x)的图象与直线x=2的交点个数为（ ） A．0 B．1 5、判断下列对应哪些是由A到B的映射？
1
（1）A=R，B={y|y＞0}，f：x→y=1+
x （2）A=R，B={y|y≥0}，f：x→y=x2
（3）A={x|x≥3}，B={y|y≥0}，f：x→y=x （4）A=Z，B=Q，f：x→y=
类型二：函数的定义域问题 [典型例题
]
C．2 D．不确定
1 x
例1、求下列函数的定义域
（1
）f(x)（2
）f(x)1
2-x
0-34
( 3 )f(x)=(x+1)
x-1
(4)f(x)=log2 2
例2、函数f(x)＝ 例3、函数
例4、函数
1
的定义域为R，则实数a的取值范围是________________
ax＋4ax＋3
f(x)=log2
ax2+4ax+3
的定义域为R，则实数a的取值范围是________________
f(x)=log2
ax2+4ax+3
的值域为R，则实数a的取值范围是________________
例5、(1)若函数y＝f(x)的定义域为[－2，2]，则f(x2－1)的定义域为____________________
(2)若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1，3]，则y＝f(x)的定义域是_________________
(3)若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1，3]，则f(x2－1))的定义域是_________________
[课堂训练]
1、求下列函数的定义域
（1
）f(x)1 2+x
（2
）f(x)=
( 3 )f(x)=(x+1)
-43
x+1
(4)f(x)=log2 2
2、
函数f(x)=
的定义域为R，则实数a的取值范围是
________________ 3、函数 4、函数
5、(1)若函数y＝f(x)的定义域为[－3，2]，则f(x2－1)的定义域为____________________
(2)若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1，5]，则y＝f(x)的定义域是_________________
(3)若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1，4]，则f(x2－1))的定义域是_________________
类型三：函数的解析式问题 [典型例题]
ax2+4ax+5
f(x)=log2
的定义域为R，则实数a的取值范围是________________
f(x)=log2
ax2+4ax+5
的值域为R，则实数a的取值范围是________________
1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3，求f(x)
2、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配
成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
11
)=x2+2 (x>0) ，求 f(x)的解析式 xx1121
解： f(x+)=(x+)-2， x+≥2
xxx
例2 已知f(x+
∴f(x)=x2-2 (x≥2)
3、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑
法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知f(x+1)=x+2x，求f(x+1) 解：令t=
x+1，则t≥1，x=(t-1)2
f(x+1)=x+2x
∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, ∴f(x)=x2-1 (x≥1)
∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x (x≥0)
4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式 解：设M(x,y)为y=g(x)上任一点，且M'(x',y')为M(x,y)关于点(-2,3)的对称点
⎧x'+x
⎪2=-2⎧x'=-x-4
则⎨，解得：⎨ ，
y'+y'y=6-y⎩⎪=3⎩2
点M'(x',y')在y=x2+x上 ∴y'=x'2+x'
把⎨
⎧x'=-x-4
代入得：
⎩y'=6-y
6-y=(-x-4)2+(-x-4)
整理得y=-x2-7x-6
∴g(x)=-x2-7x-6
5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方
程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5 设f(x)满足f(x)-2f()=x,求f(x) 解 f(x)-2f()=x ① 显然x≠0,将x换成
1x
1x
1
，得： x
11
f()-2f(x)= ② xx
解① ②联立的方程组，得：
f(x)=-
x2
- 33x
1
,试求f(x)和g(x)的解析式 x-1
例6 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)+g(x)=解 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)
又f(x)+g(x)=
1
① ， x-1
1 x+1
用-x替换x得：f(-x)+g(-x)=-即f(x)-g(x)=-
1
② x+1
解① ②联立的方程组，得 f(x)=
11
g(x)=， 22
x-1x-x
6、对称性法
即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式. 例7 已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式. 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称. 当x≥0时，f（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），
⎧2x-x2，x≥0因此当x
2
⎩x+2x,x
2
2
评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.
7、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例8 已知：f(0)=1，对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立，
求f(x) 解
对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立，
不妨令x=0，则有f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y(y-1)=y-y+1
2
再令 -y=x 得函数解析式为：f(x)=x+x+1
2
8、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、
迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例9 设f(x)是定义在N+上的函数，满足f(1)=1，对任意的自然数a,b 都有
f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，求f(x)
解 f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，a,b∈N+，
∴不妨令a=x,b=1，得：f(x)+f(1)=f(x+1)-x，
又f(1)=1,故f(x+1)-f(x)=x+1 ① 分别令①式中的x=1,2
n-1 得：
f(2)-f(1)=2,
f(3)-f(2)=3,f(n)-f(n-
1)=n,
将上述各式相加得：f(n)-f(1)=2+3+ n，
∴f(n)=1+2+3+ n=∴f(x)=
n(n+1)
2
121
x+x,x∈N+ 22
[课堂训练]
1、已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，求f(x)；
2 、已知∴f(x-
3
、已知f
4、已知：函数y=x+x与y=g(x)的图象关于点(-3,2)对称，求g(x)的解析式
2
1
x
)=x2+
1
x
2
+3 (x>0) ，求 f(x)的解析式
+1)=x++3，求f(x+1)
满足3f(x)+2f()=x+2,求f(x) 5、设f(x)
1
x
6、设f(x)奇函数，g(x)为偶函数，又f(x)+2g(x)=
1
,试求f(x)和g(x)的解析式 x-1
7、已知是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式.