第2章 牛顿运动定律及其应用 习题解答
1．质量为10kg 的质点在xOy 平面内运动，其运动规律为:
x =5con 4t +3(m),y =5sin 4t -5(m).求t 时刻质点所受的力．
解: 本题属于第一类问题
x =5con 4t +3
dx v x ==-20sin 4t dt
dv a x =x =-80cos 4t dt
y =5sin 4t -5
v y =20cos 4t
a y =-80sin 4t
F x =ma x =-800cos 4t (N )
F y =ma y =-800sin 4t (N )
F =(F x +F y ) =800(N )
2．质量为m 的质点沿x 轴正向运动，设质点通过坐标x 位置时其速率为kx （k 为比例系数），求：
（1）此时作用于质点的力；
（2）质点由x =x 1处出发，运动到x =x 2处所需要的时间。
解:(1) F =m 12dv dx =mk =mk 2x (N ) dt dt
x 22dx 11x 2=ln x =ln ⎰kx k k x 1x 1x 1dx ⇒t = (2) v =kx =dt x
3．质量为m 的质点在合力F =F 0-kt(N ) （F 0,k 均为常量）的作用下作直线运动，求：
（1）质点的加速度；
（2）质点的速度和位置（设质点开始静止于坐标原点处）.
解:由牛顿第二运动定律 F -kt dv =F 0-kt ⇒a =0(ms -2) dt m
12F t -kt v t F -kt 0dt ⇒v =(ms -1) ⎰dv =⎰0 m m 00
121312F 0t -kt F t -kt x t 0dt ⇒x =(m ) ⎰dx =⎰m m 00m
4．质量为m 的质点最初静止在x 0处，在力F =-k /x (N)（k 是常量）的作用下沿X 轴运动，求质点在x 处的速度。
解: 由牛顿第二运动定律
2
F =-k /x 2=m
v x dv dv dx dv =m =mv dt dx dt dx k ms -1) ⎰vdv =⎰-2dx ⇒v =mx 0x 0
5．已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即f =-k /x 2(N)，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求
质点在x =A /4处的速度的大小． 解: 由牛顿第二运动定律
F =-k /x 2=m
v x dv dv dx dv =m =mv dt dx dt dx k vdv =-dx ⇒v ===ms -1) ⎰⎰2mx 0x 0
6．质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数) 作用，t =0时质点的速度为v 0，证明
(1) t 时刻的速度为v ＝v 0e k -() t m ；
k -() t m v 0(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝() ［1-e m ］； k
m ) ； k
1(4)当t =k 时速度减至v 0的，式中m 为质点的质量． e (3)停止运动前经过的距离为v 0(
证明: (1) t 时刻的速度为v ＝v 0e k -() t m F =-kv =m
v t dv dt k -t dv k v k m =⎰-dt ⇒ln =-t ⇒v =v 0e ⎰v m v 0m v 00
-() t m v 0 (2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝() ［1-e m ］ k k
x k -t dx v ==v 0e m dt t
0⎰dx =⎰v e
00k -t m k -t mv 0dt ⇒x =(1-e m ) k
(3)停止运动前经过的距离为v 0(m ) k
m ) k 在x 的表达式中令t=0得到: 停止运动前经过的距离为v 0(
(4)当t =m k 时速度减至v 0的1，式中m 为质点的质量． e
在v 的表达式中令t =k 得到:v 1= v 0e
7．质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：
(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；
(2) 子弹进入沙土的最大深度．
解: 由牛顿第二运动定律 (1) m dv dv k =-kv ⇒=-dt dt v m
t 考虑初始条件, 对上式两边积分: k -t dv k =-⎰dt ⇒v =v 0e m ⎰v m v 00
x max k -t mv dx =-⎰v 0e m dt ⇒x max =0 dt k 0∞v (2) ⎰0
8．质量为m 的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为v = 5.0 m/s．设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，问：当雨滴下降速率为v = 4.0 m/s时，其加速度a 多大？(取g =9.8m /s 2)
解: 由牛顿第二运动定律
雨滴下降未达到极限速度前运动方程为
mg -kv 2=ma （1）
雨滴下降达到极限速度后运动方程为
mg -kv 2=0 （2）
将v = 4.0 m/s代入（2）式得
k =mg （3） 2v max
v v =42 由（1）、（3）式 a v =4=g (1-2v m a x ) =10⨯(1-16) =3.6m /s 2 25
9．一人在平地上拉一个质量为M 的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6. 设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h ＝1.5 m，不计箱高，问绳长l 为多长时最省力? 解: 由牛顿第二运动定律有
T sin θ+N -mg =0
T cos θ-μN =0
联立以上2式得 T (θ) =μmg
cos θ+μsin θ
上式T 取得最小值的条件为
tg θ==μ
由此得到
l =≈2. 9m 2
第2章 牛顿运动定律及其应用 习题解答
1．质量为10kg 的质点在xOy 平面内运动，其运动规律为:
x =5con 4t +3(m),y =5sin 4t -5(m).求t 时刻质点所受的力．
解: 本题属于第一类问题
x =5con 4t +3
dx v x ==-20sin 4t dt
dv a x =x =-80cos 4t dt
y =5sin 4t -5
v y =20cos 4t
a y =-80sin 4t
F x =ma x =-800cos 4t (N )
F y =ma y =-800sin 4t (N )
F =(F x +F y ) =800(N )
2．质量为m 的质点沿x 轴正向运动，设质点通过坐标x 位置时其速率为kx （k 为比例系数），求：
（1）此时作用于质点的力；
（2）质点由x =x 1处出发，运动到x =x 2处所需要的时间。
解:(1) F =m 12dv dx =mk =mk 2x (N ) dt dt
x 22dx 11x 2=ln x =ln ⎰kx k k x 1x 1x 1dx ⇒t = (2) v =kx =dt x
3．质量为m 的质点在合力F =F 0-kt(N ) （F 0,k 均为常量）的作用下作直线运动，求：
（1）质点的加速度；
（2）质点的速度和位置（设质点开始静止于坐标原点处）.
解:由牛顿第二运动定律 F -kt dv =F 0-kt ⇒a =0(ms -2) dt m
12F t -kt v t F -kt 0dt ⇒v =(ms -1) ⎰dv =⎰0 m m 00
121312F 0t -kt F t -kt x t 0dt ⇒x =(m ) ⎰dx =⎰m m 00m
4．质量为m 的质点最初静止在x 0处，在力F =-k /x (N)（k 是常量）的作用下沿X 轴运动，求质点在x 处的速度。
解: 由牛顿第二运动定律
2
F =-k /x 2=m
v x dv dv dx dv =m =mv dt dx dt dx k ms -1) ⎰vdv =⎰-2dx ⇒v =mx 0x 0
5．已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即f =-k /x 2(N)，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求
质点在x =A /4处的速度的大小． 解: 由牛顿第二运动定律
F =-k /x 2=m
v x dv dv dx dv =m =mv dt dx dt dx k vdv =-dx ⇒v ===ms -1) ⎰⎰2mx 0x 0
6．质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数) 作用，t =0时质点的速度为v 0，证明
(1) t 时刻的速度为v ＝v 0e k -() t m ；
k -() t m v 0(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝() ［1-e m ］； k
m ) ； k
1(4)当t =k 时速度减至v 0的，式中m 为质点的质量． e (3)停止运动前经过的距离为v 0(
证明: (1) t 时刻的速度为v ＝v 0e k -() t m F =-kv =m
v t dv dt k -t dv k v k m =⎰-dt ⇒ln =-t ⇒v =v 0e ⎰v m v 0m v 00
-() t m v 0 (2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝() ［1-e m ］ k k
x k -t dx v ==v 0e m dt t
0⎰dx =⎰v e
00k -t m k -t mv 0dt ⇒x =(1-e m ) k
(3)停止运动前经过的距离为v 0(m ) k
m ) k 在x 的表达式中令t=0得到: 停止运动前经过的距离为v 0(
(4)当t =m k 时速度减至v 0的1，式中m 为质点的质量． e
在v 的表达式中令t =k 得到:v 1= v 0e
7．质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：
(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；
(2) 子弹进入沙土的最大深度．
解: 由牛顿第二运动定律 (1) m dv dv k =-kv ⇒=-dt dt v m
t 考虑初始条件, 对上式两边积分: k -t dv k =-⎰dt ⇒v =v 0e m ⎰v m v 00
x max k -t mv dx =-⎰v 0e m dt ⇒x max =0 dt k 0∞v (2) ⎰0
8．质量为m 的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为v = 5.0 m/s．设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，问：当雨滴下降速率为v = 4.0 m/s时，其加速度a 多大？(取g =9.8m /s 2)
解: 由牛顿第二运动定律
雨滴下降未达到极限速度前运动方程为
mg -kv 2=ma （1）
雨滴下降达到极限速度后运动方程为
mg -kv 2=0 （2）
将v = 4.0 m/s代入（2）式得
k =mg （3） 2v max
v v =42 由（1）、（3）式 a v =4=g (1-2v m a x ) =10⨯(1-16) =3.6m /s 2 25
9．一人在平地上拉一个质量为M 的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6. 设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h ＝1.5 m，不计箱高，问绳长l 为多长时最省力? 解: 由牛顿第二运动定律有
T sin θ+N -mg =0
T cos θ-μN =0
联立以上2式得 T (θ) =μmg
cos θ+μsin θ
上式T 取得最小值的条件为
tg θ==μ
由此得到
l =≈2. 9m 2