特征值和特征向量的性质与求法

特征值和特征向量的性质与求法

方磊

（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西 汉中 723000）”

指导老师：周亚兰

[摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵 线性变换 特征值 特征向量

1 特征值与特征向量的定义及性质

定义1：（ⅰ）设A是数域p上的n阶矩阵，则多项式|λE-A|称A的特征多项式，则它在 c上的根称为A的特征值。

（ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X=0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。

定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0存在一个非零向量ξ，使得aξ=0ξ，那么0 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0的一个特征向量。

性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0、则1 为1 的特征知值。 证明： 设12n为A的特征值，则A=12n ∴λi≠0(i=1、2…n)

设A的属于λ的特征向量为ξ 则i则λ

∴

1

1

ξ=ξ即有 

1

ξ=

1

ξ

为

1

的特征值，由于A最多只有n个特征值 ξ的特征值

∴

1

为

1

性质2：若λ为A的特征值，则f()为f(A)的特征值 f=an

n

+an1x

n1

a1xax

101

证明：设ξ为A的属于λ的特征向量，则Aξ=λξ ∴ fξ=(anA+an1A

nn

n1

a1Aa0E)ξ

= anAξ+ an1A =anξ+an1 =fξ

又ξ≠0

∴ f是f的特征值

n

n1

n1

ξ+… +a0E ξ

+…+a0ξ

性质3：n阶矩阵A的每一行元素之和为a，则a一定是A的特征值

a11a21

证明：设 A= 

an1

a12a22an2



a1n

a2n

ann

则由题设条件知：

a11

a21an1

a12a22an2



a1n1a1a2n1a1

==a ann1a1

∴a是A的特征值

推论：若λ为A 的特征值，且A 可逆，则



A



为A 的特征值(A为A 的伴随矩阵)。



证明：因为 A=AA1 而A

1

的特征值为

A

1

.

再由性质2知 ：



是A的特征值



性质4：一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。

证明：因为 



*



*

所以 A与A具有相同的特征多项式，则它们具有相同的特征值。

性质5：如果λ是正交矩阵A的特征值，那么

1

也是A的特征值。

证明：设λ是A的特征值，那么存在非零向量ξ使得 Aξ=λξ 用A

1

作用之后得ξ=λA

1

ξ

又 A的特征值一定不为零 ，所以λ 0

 

是A的特征值，



1

11

又 A是正交矩阵 A=A

1

为A的特征值





1

又 A与A相似，A与A有相同的特征根



性质6：设

1

也是 A特征根

'

x是A对应于特征值i的特征向量，yi 是A的对应与j的特征向量。

'

'

'

若 Axi=ixi 则A=ixixi (1)

并有 Ayi=iyi (2)

给(1)右乘以yi、(2)左乘以xi相减得 0=ixiyi-jxiyi 则xiyi=0

性质7：设A、B均为n阶矩阵，则AB 与BA的特征向量相同。

证明：若λ是AB的特征值，x是相应的特征向量 若 BX≠ 0 则 BABX=λBX

若 BX=0 B不是可逆矩阵(否则x=0) ∴ BA也不是可逆矩阵

故必有特征值0 同样AB也有特征值0 由此AB与 BA有相同的特征值。

'

'

''

'

2 特征值与特征向量的求法

2.1 矩阵特征值与特征向量的求法 ① 基本计算法

（ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式fEA （ⅱ）求出EA的全部根

（ⅲ）把特征值i 逐个代入齐次线性方程组i0 并求它的基础解系，即为A的属

于特征根i的线性无关的特征向量。

② 用初等变换法

利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的

特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。



定理1：设F=IA 且 

FB

列初等变换→

P

，其中B为下三角矩阵，则B的

主对角线上的全部元素的乘积的λ多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根，且对于矩阵A 的每一特征根i ，若矩阵B中非零解向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵P 中和 B 中零向

i

i

I

令所对应的列向量是属于特征根i 的全部线性无关的特征向量，否则继续进行列变化到 Bi 中飞零向量的列构成列满秩矩阵，那么Pi 中和Bi 中零向量所对应的列向量是属于特征根i 的全部线向无关的特征向量。

证明：设

*

*

*

A

=ij



nn

且



f1m

f2n

，其中fiffnnnn

F

f11



f21



fn1

f12f22fn2

aijij.

aijij

通过列初等变换将化为

f1

g21

gn1

0g22





f1g2n

记为 

gnn0



 G 中第一行元素不可能全为0，否G

gn2

则秩F

可任取其中次数最低的一多项式，设为g1,再对G施以列初等变换，可使该行期于元素都化为零多项式或次数低于g1 的λ多项式，在这些次数低于g1的多项式元素中，再任取其中

f20

一个次数最低的多项式,继续进行列变化，最终使G化为可将F化*H 如此下去，



为F三角矩阵

f1



B



0f2

0



*

00

 fn

2.2 线性变换的特征值与特征向量的求法 2.2.1 利用定义求解：

(1) 在线性空间

v中取一组基12



n

写出在此基下的矩阵A 。

(2) 求出A 的特征多项式IA 在数域P中的全部根。

x1x2

IA把所有不同的特征值代入0

xn

0 ， 对每一个特征值I 解方程组

x1x2

IiA

xn

0 求其基础解系，解的一组属于I 的线性无关的特征向量，从而求得A的全

部特征向量。

2.2.2 利用相似性求解

同一个线性变换在不同基下矩阵相似而相似矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值，这样可利用相似性求解。 3 例子

1

例1求矩阵A=2

012

F0

解：1



00

0100

0

1的特征根与特征向量。 1

1

12

01

01

00



010

01

1

12

00

01

10



000

01



02

1

所以A 的0

1

10

10010

1001

1001

特征根11当11

(二重)

21

时，因 的非零向量的列构成非满秩矩阵因此进行列初等变换

02

B10

P=11

00

010001

0000

00

0010

212

010001

0

0

*

0B1

* 0P1

12

由

B1

*

的非零解向量构成列满秩矩阵，且第一，三列为零向量，故第一，三列向量为

2

*

1

的全

1

部线性无关的特征向量为

属

0和

11

20

*

。

21

0

的线性无关的特征向量为

*

例2：设 是四维线性空间v的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵为

53A=

310

2123

439211

2

5，求A的特征值和特征向量。

27

3



解： A的特征多项式为

0657

54

322

12

000

00





2



25

1

1

2

所以A的特征值为： 120 31 4

所以A的属于特征值0 的线性无关特征向量为121323

2124

属于1的特征向量为：3312324 属于 的特征向量为：44122364

2

参考文献：

[1]北京大学数学系 〈高等代数〉 高教出版社 1988.2月第二版176-178 [2] 王向东、周士谨 〈高等代数的常用方法〉科学出版社 1989.5月第二版105页 [3] 威尔全集 〈代数特征值问题〉科学出版社 2001.4月第三版53-59 [4] 张贤科、许莆华 〈高等代数学〉 清华出版社 1998.2月第二版 121-124

特征值和特征向量的性质与求法

方磊

（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西 汉中 723000）”

指导老师：周亚兰

[摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵 线性变换 特征值 特征向量

1 特征值与特征向量的定义及性质

定义1：（ⅰ）设A是数域p上的n阶矩阵，则多项式|λE-A|称A的特征多项式，则它在 c上的根称为A的特征值。

（ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X=0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。

定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0存在一个非零向量ξ，使得aξ=0ξ，那么0 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0的一个特征向量。

性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0、则1 为1 的特征知值。 证明： 设12n为A的特征值，则A=12n ∴λi≠0(i=1、2…n)

设A的属于λ的特征向量为ξ 则i则λ

∴

1

1

ξ=ξ即有 

1

ξ=

1

ξ

为

1

的特征值，由于A最多只有n个特征值 ξ的特征值

∴

1

为

1

性质2：若λ为A的特征值，则f()为f(A)的特征值 f=an

n

+an1x

n1

a1xax

101

证明：设ξ为A的属于λ的特征向量，则Aξ=λξ ∴ fξ=(anA+an1A

nn

n1

a1Aa0E)ξ

= anAξ+ an1A =anξ+an1 =fξ

又ξ≠0

∴ f是f的特征值

n

n1

n1

ξ+… +a0E ξ

+…+a0ξ

性质3：n阶矩阵A的每一行元素之和为a，则a一定是A的特征值

a11a21

证明：设 A= 

an1

a12a22an2



a1n

a2n

ann

则由题设条件知：

a11

a21an1

a12a22an2



a1n1a1a2n1a1

==a ann1a1

∴a是A的特征值

推论：若λ为A 的特征值，且A 可逆，则



A



为A 的特征值(A为A 的伴随矩阵)。



证明：因为 A=AA1 而A

1

的特征值为

A

1

.

再由性质2知 ：



是A的特征值



性质4：一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。

证明：因为 



*



*

所以 A与A具有相同的特征多项式，则它们具有相同的特征值。

性质5：如果λ是正交矩阵A的特征值，那么

1

也是A的特征值。

证明：设λ是A的特征值，那么存在非零向量ξ使得 Aξ=λξ 用A

1

作用之后得ξ=λA

1

ξ

又 A的特征值一定不为零 ，所以λ 0

 

是A的特征值，



1

11

又 A是正交矩阵 A=A

1

为A的特征值





1

又 A与A相似，A与A有相同的特征根



性质6：设

1

也是 A特征根

'

x是A对应于特征值i的特征向量，yi 是A的对应与j的特征向量。

'

'

'

若 Axi=ixi 则A=ixixi (1)

并有 Ayi=iyi (2)

给(1)右乘以yi、(2)左乘以xi相减得 0=ixiyi-jxiyi 则xiyi=0

性质7：设A、B均为n阶矩阵，则AB 与BA的特征向量相同。

证明：若λ是AB的特征值，x是相应的特征向量 若 BX≠ 0 则 BABX=λBX

若 BX=0 B不是可逆矩阵(否则x=0) ∴ BA也不是可逆矩阵

故必有特征值0 同样AB也有特征值0 由此AB与 BA有相同的特征值。

'

'

''

'

2 特征值与特征向量的求法

2.1 矩阵特征值与特征向量的求法 ① 基本计算法

（ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式fEA （ⅱ）求出EA的全部根

（ⅲ）把特征值i 逐个代入齐次线性方程组i0 并求它的基础解系，即为A的属

于特征根i的线性无关的特征向量。

② 用初等变换法

利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的

特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。



定理1：设F=IA 且 

FB

列初等变换→

P

，其中B为下三角矩阵，则B的

主对角线上的全部元素的乘积的λ多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根，且对于矩阵A 的每一特征根i ，若矩阵B中非零解向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵P 中和 B 中零向

i

i

I

令所对应的列向量是属于特征根i 的全部线性无关的特征向量，否则继续进行列变化到 Bi 中飞零向量的列构成列满秩矩阵，那么Pi 中和Bi 中零向量所对应的列向量是属于特征根i 的全部线向无关的特征向量。

证明：设

*

*

*

A

=ij



nn

且



f1m

f2n

，其中fiffnnnn

F

f11



f21



fn1

f12f22fn2

aijij.

aijij

通过列初等变换将化为

f1

g21

gn1

0g22





f1g2n

记为 

gnn0



 G 中第一行元素不可能全为0，否G

gn2

则秩F

可任取其中次数最低的一多项式，设为g1,再对G施以列初等变换，可使该行期于元素都化为零多项式或次数低于g1 的λ多项式，在这些次数低于g1的多项式元素中，再任取其中

f20

一个次数最低的多项式,继续进行列变化，最终使G化为可将F化*H 如此下去，



为F三角矩阵

f1



B



0f2

0



*

00

 fn

2.2 线性变换的特征值与特征向量的求法 2.2.1 利用定义求解：

(1) 在线性空间

v中取一组基12



n

写出在此基下的矩阵A 。

(2) 求出A 的特征多项式IA 在数域P中的全部根。

x1x2

IA把所有不同的特征值代入0

xn

0 ， 对每一个特征值I 解方程组

x1x2

IiA

xn

0 求其基础解系，解的一组属于I 的线性无关的特征向量，从而求得A的全

部特征向量。

2.2.2 利用相似性求解

同一个线性变换在不同基下矩阵相似而相似矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值，这样可利用相似性求解。 3 例子

1

例1求矩阵A=2

012

F0

解：1



00

0100

0

1的特征根与特征向量。 1

1

12

01

01

00



010

01

1

12

00

01

10



000

01



02

1

所以A 的0

1

10

10010

1001

1001

特征根11当11

(二重)

21

时，因 的非零向量的列构成非满秩矩阵因此进行列初等变换

02

B10

P=11

00

010001

0000

00

0010

212

010001

0

0

*

0B1

* 0P1

12

由

B1

*

的非零解向量构成列满秩矩阵，且第一，三列为零向量，故第一，三列向量为

2

*

1

的全

1

部线性无关的特征向量为

属

0和

11

20

*

。

21

0

的线性无关的特征向量为

*

例2：设 是四维线性空间v的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵为

53A=

310

2123

439211

2

5，求A的特征值和特征向量。

27

3



解： A的特征多项式为

0657

54

322

12

000

00





2



25

1

1

2

所以A的特征值为： 120 31 4

所以A的属于特征值0 的线性无关特征向量为121323

2124

属于1的特征向量为：3312324 属于 的特征向量为：44122364

2

参考文献：

[1]北京大学数学系 〈高等代数〉 高教出版社 1988.2月第二版176-178 [2] 王向东、周士谨 〈高等代数的常用方法〉科学出版社 1989.5月第二版105页 [3] 威尔全集 〈代数特征值问题〉科学出版社 2001.4月第三版53-59 [4] 张贤科、许莆华 〈高等代数学〉 清华出版社 1998.2月第二版 121-124