数学校本课程 励志阅读： 成功并不像你想像的那么难
——并不是因为事情难我们不敢做，而是因为我们不敢做事情才难的。
1965年，一位韩国学生到剑桥大学主修心理学。在喝下午茶的时候，他常到学校的咖
啡厅或茶座听一些成功人士聊天。这些成功人士包括诺贝尔奖获得者，某一些领域的学术权
威和一些创造了经济神话的人，这些人幽默风趣，举重若轻，把自己的成功都看得非常自然
和顺理成章。
时间长了，他发现，在国内时，他被一些成功人士欺骗了。那些人为了让正在创业的人知
难而退，普遍把自己的创业艰辛夸大了，也就是说，他们在用自己的成功经历吓唬那些还没
有取得成功的人。作为心理系的学生，他认为很有必要对韩国成功人士的心态加以研究。
1970年，他把《成功并不像你想像的那么难》作为毕业论文，提交给现代经济心理学的
创始人威尔·布雷登教授。布雷登教授读后，大为惊喜，他认为这是个新发现，这种现象虽
然在东方甚至在世界各地普遍存在，但此前还没有一个人大胆地提出来并加以研究。惊喜之
余，他写信给他的剑桥校友，当时正坐在韩国政坛第一把交椅上的人——朴正熙。他在信中
说，“我不敢说这部著作对你有多大的帮助，但我敢肯定它比你的任何一个政令都能产生震
动。”
后来这本书果然伴随着韩国的经济起飞了。这本书鼓舞了许多人，因为他们从一个新的角
度告诉人们，成功与“劳其筋骨，饿其体肤”、“三更灯火五更鸡”、“头悬梁，锥刺股”没有必然
的联系。只要你对某一事业感兴趣，长久地坚持下去就会成功，因为上帝赋予你的时间和智
慧够你圆满做完一件事情。后来，这位青年也获得了成功，他成了韩国泛业汽车公司的总裁。
温馨提示：
人世中的许多事，只要想做，都能做到，该克服的困难，也都能克服，用不着什么钢铁般
的意志，更用不着什么技巧或谋略。只要一个人还在朴实而饶有兴趣地生活着，他终究会发
现，造物主对世事的安排，都是水到渠成的。
一．新知导读：
1、平行四边形：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．
平行四边形性质3 平行四边形的对角线互相平分．
性质：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
判定：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2、特殊平行四边形：
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形) ．
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形性质1 菱形的四条边都相等．
菱形性质2 菱形的对角线互相垂直．
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（
2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角
的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
3、梯形：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而
并不是指位置来说的．）
（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
等腰梯形的性质： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．
②等腰梯形同一底上的两个角相等．
③等腰梯形的两条对角线相等．
等腰梯形判定方法 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
几何表达式：梯形ABCD 中，若∠B=∠C，则AB=DC．
【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“两腰相等”“或同一底上
的两个角相等”来判定它是等腰梯形．
4、中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半。
青春是有限的，智慧是无穷的，趁短的青春，去学习无穷的智慧。
——高尔基
二．范例精读：
例1、如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF，
求证：AF=CE．
分析：要证AF=CE，需证△ADF ≌△CBE ，由于四边形ABCD 是平行四边形，因此有∠D=
∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要
的结论．
证明略
例2 已知：如图4－21，
ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD
分别相交于点E 、F ．
求证：OE ＝OF ，AE=CF，BE=DF．
证明：在
ABCD 中，AB ∥CD ，
∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．
又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分) ，
∴ △AOE ≌△COF （ASA ）．
∴ OE ＝OF ，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵
ABCD ，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴ AB—AE=CD—CF ． 即 BE=FD．
※【引申】若例1中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例1的结论是否成
立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例1的结
论是否成立，说明你的理由．
解略
例3、已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明
四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥CB ，AD=CD．
∵ E、F 分别是AD 、BC 的中点，
∴ DE∥BF ，且DE=
∴ DE=BF．
∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
∴ BE=DF．
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，
先运用平行四边形的性质得到判定另一个四
11AD ，BF=BC ． 22
边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，
且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．
例4、 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC． 求证：CE ＝
EF ．
分析：CE 、EF 分别是BC ，AE 等线段上的一部分，若AF ＝BE ，则问题解决，而证明AF
＝BE ，只要证明△ABE ≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD ∥BC ． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE ， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD ．又 AD=AE，
∴ △ABE ≌△DFA （AAS ）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接DE ，证明△DEF ≌△DEC ，得到EF ＝EC ．
例5 、已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相
交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．
分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图
形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC ．
∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，
∴ ∠EAB ＋∠ABG=1×180°=90°． 2
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
例6、 已知：如图，△ABC 中， ∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB 与D ，EH ⊥AB 于H ，
CD 交BE 于F ．
求证：四边形CEHF 为菱形．
略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，
∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．
所以，CF=CE=EH，CF ∥EH ，所以四边形CEHF 为菱形．
例7 、已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A 、C 两点作l 1∥l 2，作BM ⊥l 1于
M ，DN ⊥l 1于N ，直线MB 、DN 分别交l 2于Q 、P 点．
求证：四边形PQMN 是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN 是矩形，再证△ABM ≌△DAN ，
证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结
论．
证明：∵ PN⊥l 1，QM⊥l 1，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN 是矩形．
∵ 四边形ABCD 是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
例8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD 的长．
分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便
可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A 作AE ∥DC 交BC
于E ，因此四边形AECD 是平行四边形，由已知又可以得到△ABE 是等腰三角形（EA=EB），因
此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．
解（略）．
例9 证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．
已知：如图，梯形ABCD 中，对角线AC=BD．
求证：梯形ABCD 是等腰梯形．
分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC 和
ΔDCB 中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB 得到AB=DC．
证明：过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，
又 AD∥BC ，∴ 四边形ACED 为平行四边形， ∴ DE=AC ．
∵ AC=BD ， ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E
∵ ∠2=∠E ， ∴ ∠1=∠2
又 AC=DB，BC=CE， ∴ ΔABC ≌ΔDCB ． ∴ AB=CD．
∴ 梯形ABCD 是等腰梯形．
说明：如果AC 、BD 交于点O ，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，
即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这
个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．
问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，
DF⊥BC ，可证 RtΔABC≌Rt ΔCAE ，得∠1=∠2．
一个人最怕不老实，青年人最可贵的是老实作风。
“老实”就是不自欺欺人，做到不欺骗人家容易，不欺骗
自己最难。“老实作风”就是脚踏实地、不占便宜。世界
上没有便宜的事，谁想占便宜谁就会吃亏。——徐特立
三．课外泛读： 1、 平行四边形问题导语
且说卧龙岗真是一处风景秀丽，美景怡人的宝地，山不高而秀雅，水不深而澄清，地不广而平坦，林不大而茂盛，猿鹤相亲，松竹交翠，遥望山畔数人，荷
锄耕于田间，一派安详宁静的气氛。
诸葛亮就是住在这里，一天，他家隔壁的王老汉因病去世，临死前将自己的儿子叫到床前，对他们说：“我死以后，你们把咱家的田地分了吧，怎么分你们
自己想办法，但是，我有两点要求：一是你们两个分的田地必须一样，二是田地
中间那口井是先祖留下来的，所以不能分，你们切记。”说完，就闭目了。
两个儿子看到老父亲死了，抱头痛哭，在邻居们的帮助下安葬了父亲，回到
家中后，想起了老父亲临终前交代的事情却犯了难，这地可怎么分是好啊? 原来呀，王家老汉的地的形状是一个平行四边形，那口井也没有在中间，而在靠近一边的左下角的部位，二人正在犯难的时候，邻居李二给他们出主意说：
“既然我们都分不了这块地，不如去找孔明先生吧，他肯定有办法。”于是，兄
弟两人来到了孔明先生的家里，将事情的原委讲给孔明先生，并请孔明先生帮忙
来分地。只见先生沉吟片刻，便说道:“你们按照下面我说的这样做呀，定能平
分这块地，并且不分掉那口井。”
原来，诸葛先生首先让兄弟两人到地里画出这块地的对角线，然后将其交点
与井口位置相连并延长，从而得到了两块面积相等的土地。众人看到，纷纷赞叹
孔明先生才智过人。
学生激动的不得了，好奇的在争辩这样做的理由。四个人一组，自动开始了
探究。。。。。
2、四边形的故事
很久很久以前，这是一个四边形的世界。到处是四边形，大街小巷，无不是四边
形的身影。突然有一天，在医院里生出了一个怪胎，只有一对边平行，他的父母
十分无奈，便叫他“梯形”，因为他长得像梯形。正在这时，世界另一边生出了
一个十分十分怪的四边形，为啥哪？因为她只有三条边，而且有两条边相等，所
以他父母叫她“三角形”。
有一天，三角形来到了梯形的国家，意外的遇见了梯形。他们一见钟情，
不久他们就结婚了。有不久，他们生下了一个像梯形但又像等腰三角形所以就叫
他等腰梯形，姓“等腰”和他妈姓，名“梯形”因为他又两边平行。再一次与朋
友玩耍时，意外的来到了一家伐木场。看见一个伐木机在运作，好奇的他走过去
看，一不小心滑了一跤摔在了传送带上，机器的刀把他沿他的高正好切了开来，
他哭着回到了家。父母看了心急如焚想：这下等腰梯形残疾了，嫁不出去了，只
好改名后送到非洲因为那里都是怪胎，于是叫他“直角梯形”并送她去了非洲。
后来他爱上了一个对角相等的姑娘，不久结婚了生下了一个两组对边互相平行的男孩和一个邻边相等且两组对边平行的女孩，夫妻两个就叫他们“平行四边形”
和“邻边相等平行四边形”后来因为女孩的名字太长，所以改为：“菱形◇”不
久平行四边形娶了有一个角为直角的直角四边形生下了一个：有一个角为90°
的平行四边形叫“矩形”，菱形嫁给了只有一个为直角的不知叫啥的X 形（新型
状）生下了一个：有一个角为90°的菱形叫“正方形”
终于，一个大家族诞生了包括：四边形，梯形，等腰梯形，直角梯形，平行四边形，矩形，菱形，正方形。而正方形是最高级的，因为他是一个“有个角
为90°的两边平行的梯形”简单点说就是“有一个角为90°的邻边相等的平行
四边形”也就是说“一组邻边相等的矩形”也是“一个角为90°的菱形”。 故事就这么圆满结束了。
你不能同时又有青春又有关于青春的知识。因为青春忙于生活，
而顾不得去了解；而知识为着要生活，而忙于自我寻求。——纪伯伦
四、典题思读：
一、试试你的身手：
1．平行四边形ABCD 的周长为30cm ，对角线AC 、BD 交于点O ，且△AOB 的周长比△BOC 的周
长小1cm ，则AB = ，BC = ．
2．等腰梯形的中位线长为4cm ，腰长为6cm ，则梯形的周长为 cm ．
3．如图1，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE =2∠BAE ，则∠EAC = ．
4．如图2，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 的延长线上一点，CE =CF ， ∠BEC =60°，则∠EFD = ．
5．如图3，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ，若AD =6，BC =10，
则GH 的长为 ．
6．□ABCD ，AB 、BC 、CD 三边的长度分别为（x -1）cm ，（x +2）cm ，5cm ，则它的周长为 ．
7．如图4，菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，那么∠EAF = ．
8．已知点E 是正方形ABCD 内的一点，且AB =AE =BE ，则∠ECD = ．
9．梯形的面积是24，它的上、下底分别为5、7，则梯形的高是 ．
10．如图5，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，连接DE 、EF 、FD ，当△ABC 满足 时，四边形AEDF 是菱形（填写一个你认为恰当的条件即可）．
二、相信你的选择：
1．一个正方形的对角线长为2cm ，它的面积是（ ）
A ．2cm 2 B ．4cm 2C ．6cm 2D ．1cm 2
2．在平行四边形ABCD 中，AB =6，BC =10，∠A =150°，则平行四边形ABCD 的面积是（ ）
A ．15 B ．18 C ．30 D ．60
3．平行四边形的一边长是12cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A ．5cm 和7cm B ．20cm 和30cm C ．8cm 和16cm D ．6cm 和10cm
4．矩形的边长为10cm 和15cm ，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长分别为（ ）
A ．6cm 和9cm B ．5cm 和10cm C ．4cm 和11cm D ．7cm 和8cm
5．顺次连接等腰梯形的四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得的四边形四边中点得到的图形是（ ）
A ．等腰梯形 B ．直角梯形 C ．菱形 D ．矩形
6．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3∶4，那么两条对角线的长分别为（ ）
A ．6cm ，8cm
B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm
7．如图6，E 是正方形ABCD 的边AD 上一点，对角线AC 、BD 交于一点O ，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥BD 于点G ，若AC =10cm，则EF +EG 为（ ）
A ．4cm B ．5cm C ．10cm D ．20cm
8．下列四边形中对角线互相垂直平分但不一定相等的是（ ）
A ．正方形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．菱形
9．下列说法正确的是（ ）
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．直角三角形的短直角边是斜边长的一半
C ．若顺次连接一个四边形的四边中点得到四边形是矩形，则原四边形是菱形
D ．有一个角是直角的平行四边形是矩形
10．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A ．对角线互相平分
C ．四个角是直角
三、挑战你的技能：
1．如图7，在四边形ABCD 中，AB =CD ，BC =AD ，EF 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证： B ．对角线相等 D ．每条对角线平分一组对角 BE =DF ．
2．如图8，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，ED ⊥BC ，DF ∥AB ．求证：四边形AFDE 是菱形．
3．如图9，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，M 为BC 中点，MD ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点D ，求证：AM =DM ．
4．已知，如图10，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =BC ，延长AB 到点E ，使BE =DC ，求证：AC =CE ．
5．如图11，在△ABC 中，∠BCA =90°，D 、E 分别是AC 、AB 边的中点，F 在BC 的延长线上，∠CDF =∠A ．
求证：四边形DECF 是平行四边形．
四、超越你的极限：
1．如图12，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 、DC 的延长线交于点F ，连接AC 、BF ．
（1）求证：AB =CF ；
（2）四边形ABFC 是什么四边形？说明你的理由．
2．如图13，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =24cm，AB =8cm，BC =26cm，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/s的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形和等腰梯形？
青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁
数学校本课程 励志阅读： 成功并不像你想像的那么难
——并不是因为事情难我们不敢做，而是因为我们不敢做事情才难的。
1965年，一位韩国学生到剑桥大学主修心理学。在喝下午茶的时候，他常到学校的咖
啡厅或茶座听一些成功人士聊天。这些成功人士包括诺贝尔奖获得者，某一些领域的学术权
威和一些创造了经济神话的人，这些人幽默风趣，举重若轻，把自己的成功都看得非常自然
和顺理成章。
时间长了，他发现，在国内时，他被一些成功人士欺骗了。那些人为了让正在创业的人知
难而退，普遍把自己的创业艰辛夸大了，也就是说，他们在用自己的成功经历吓唬那些还没
有取得成功的人。作为心理系的学生，他认为很有必要对韩国成功人士的心态加以研究。
1970年，他把《成功并不像你想像的那么难》作为毕业论文，提交给现代经济心理学的
创始人威尔·布雷登教授。布雷登教授读后，大为惊喜，他认为这是个新发现，这种现象虽
然在东方甚至在世界各地普遍存在，但此前还没有一个人大胆地提出来并加以研究。惊喜之
余，他写信给他的剑桥校友，当时正坐在韩国政坛第一把交椅上的人——朴正熙。他在信中
说，“我不敢说这部著作对你有多大的帮助，但我敢肯定它比你的任何一个政令都能产生震
动。”
后来这本书果然伴随着韩国的经济起飞了。这本书鼓舞了许多人，因为他们从一个新的角
度告诉人们，成功与“劳其筋骨，饿其体肤”、“三更灯火五更鸡”、“头悬梁，锥刺股”没有必然
的联系。只要你对某一事业感兴趣，长久地坚持下去就会成功，因为上帝赋予你的时间和智
慧够你圆满做完一件事情。后来，这位青年也获得了成功，他成了韩国泛业汽车公司的总裁。
温馨提示：
人世中的许多事，只要想做，都能做到，该克服的困难，也都能克服，用不着什么钢铁般
的意志，更用不着什么技巧或谋略。只要一个人还在朴实而饶有兴趣地生活着，他终究会发
现，造物主对世事的安排，都是水到渠成的。
一．新知导读：
1、平行四边形：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．
平行四边形性质3 平行四边形的对角线互相平分．
性质：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
判定：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2、特殊平行四边形：
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形) ．
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形性质1 菱形的四条边都相等．
菱形性质2 菱形的对角线互相垂直．
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（
2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角
的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
3、梯形：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而
并不是指位置来说的．）
（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
等腰梯形的性质： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．
②等腰梯形同一底上的两个角相等．
③等腰梯形的两条对角线相等．
等腰梯形判定方法 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
几何表达式：梯形ABCD 中，若∠B=∠C，则AB=DC．
【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“两腰相等”“或同一底上
的两个角相等”来判定它是等腰梯形．
4、中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半。
青春是有限的，智慧是无穷的，趁短的青春，去学习无穷的智慧。
——高尔基
二．范例精读：
例1、如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF，
求证：AF=CE．
分析：要证AF=CE，需证△ADF ≌△CBE ，由于四边形ABCD 是平行四边形，因此有∠D=
∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要
的结论．
证明略
例2 已知：如图4－21，
ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD
分别相交于点E 、F ．
求证：OE ＝OF ，AE=CF，BE=DF．
证明：在
ABCD 中，AB ∥CD ，
∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．
又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分) ，
∴ △AOE ≌△COF （ASA ）．
∴ OE ＝OF ，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵
ABCD ，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴ AB—AE=CD—CF ． 即 BE=FD．
※【引申】若例1中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例1的结论是否成
立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例1的结
论是否成立，说明你的理由．
解略
例3、已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明
四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥CB ，AD=CD．
∵ E、F 分别是AD 、BC 的中点，
∴ DE∥BF ，且DE=
∴ DE=BF．
∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
∴ BE=DF．
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，
先运用平行四边形的性质得到判定另一个四
11AD ，BF=BC ． 22
边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，
且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．
例4、 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC． 求证：CE ＝
EF ．
分析：CE 、EF 分别是BC ，AE 等线段上的一部分，若AF ＝BE ，则问题解决，而证明AF
＝BE ，只要证明△ABE ≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD ∥BC ． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE ， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD ．又 AD=AE，
∴ △ABE ≌△DFA （AAS ）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接DE ，证明△DEF ≌△DEC ，得到EF ＝EC ．
例5 、已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相
交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．
分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图
形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC ．
∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，
∴ ∠EAB ＋∠ABG=1×180°=90°． 2
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
例6、 已知：如图，△ABC 中， ∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB 与D ，EH ⊥AB 于H ，
CD 交BE 于F ．
求证：四边形CEHF 为菱形．
略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，
∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．
所以，CF=CE=EH，CF ∥EH ，所以四边形CEHF 为菱形．
例7 、已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A 、C 两点作l 1∥l 2，作BM ⊥l 1于
M ，DN ⊥l 1于N ，直线MB 、DN 分别交l 2于Q 、P 点．
求证：四边形PQMN 是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN 是矩形，再证△ABM ≌△DAN ，
证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结
论．
证明：∵ PN⊥l 1，QM⊥l 1，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN 是矩形．
∵ 四边形ABCD 是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
例8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．
求CD 的长．
分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便
可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A 作AE ∥DC 交BC
于E ，因此四边形AECD 是平行四边形，由已知又可以得到△ABE 是等腰三角形（EA=EB），因
此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．
解（略）．
例9 证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．
已知：如图，梯形ABCD 中，对角线AC=BD．
求证：梯形ABCD 是等腰梯形．
分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC 和
ΔDCB 中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB 得到AB=DC．
证明：过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，
又 AD∥BC ，∴ 四边形ACED 为平行四边形， ∴ DE=AC ．
∵ AC=BD ， ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E
∵ ∠2=∠E ， ∴ ∠1=∠2
又 AC=DB，BC=CE， ∴ ΔABC ≌ΔDCB ． ∴ AB=CD．
∴ 梯形ABCD 是等腰梯形．
说明：如果AC 、BD 交于点O ，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，
即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这
个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．
问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，
DF⊥BC ，可证 RtΔABC≌Rt ΔCAE ，得∠1=∠2．
一个人最怕不老实，青年人最可贵的是老实作风。
“老实”就是不自欺欺人，做到不欺骗人家容易，不欺骗
自己最难。“老实作风”就是脚踏实地、不占便宜。世界
上没有便宜的事，谁想占便宜谁就会吃亏。——徐特立
三．课外泛读： 1、 平行四边形问题导语
且说卧龙岗真是一处风景秀丽，美景怡人的宝地，山不高而秀雅，水不深而澄清，地不广而平坦，林不大而茂盛，猿鹤相亲，松竹交翠，遥望山畔数人，荷
锄耕于田间，一派安详宁静的气氛。
诸葛亮就是住在这里，一天，他家隔壁的王老汉因病去世，临死前将自己的儿子叫到床前，对他们说：“我死以后，你们把咱家的田地分了吧，怎么分你们
自己想办法，但是，我有两点要求：一是你们两个分的田地必须一样，二是田地
中间那口井是先祖留下来的，所以不能分，你们切记。”说完，就闭目了。
两个儿子看到老父亲死了，抱头痛哭，在邻居们的帮助下安葬了父亲，回到
家中后，想起了老父亲临终前交代的事情却犯了难，这地可怎么分是好啊? 原来呀，王家老汉的地的形状是一个平行四边形，那口井也没有在中间，而在靠近一边的左下角的部位，二人正在犯难的时候，邻居李二给他们出主意说：
“既然我们都分不了这块地，不如去找孔明先生吧，他肯定有办法。”于是，兄
弟两人来到了孔明先生的家里，将事情的原委讲给孔明先生，并请孔明先生帮忙
来分地。只见先生沉吟片刻，便说道:“你们按照下面我说的这样做呀，定能平
分这块地，并且不分掉那口井。”
原来，诸葛先生首先让兄弟两人到地里画出这块地的对角线，然后将其交点
与井口位置相连并延长，从而得到了两块面积相等的土地。众人看到，纷纷赞叹
孔明先生才智过人。
学生激动的不得了，好奇的在争辩这样做的理由。四个人一组，自动开始了
探究。。。。。
2、四边形的故事
很久很久以前，这是一个四边形的世界。到处是四边形，大街小巷，无不是四边
形的身影。突然有一天，在医院里生出了一个怪胎，只有一对边平行，他的父母
十分无奈，便叫他“梯形”，因为他长得像梯形。正在这时，世界另一边生出了
一个十分十分怪的四边形，为啥哪？因为她只有三条边，而且有两条边相等，所
以他父母叫她“三角形”。
有一天，三角形来到了梯形的国家，意外的遇见了梯形。他们一见钟情，
不久他们就结婚了。有不久，他们生下了一个像梯形但又像等腰三角形所以就叫
他等腰梯形，姓“等腰”和他妈姓，名“梯形”因为他又两边平行。再一次与朋
友玩耍时，意外的来到了一家伐木场。看见一个伐木机在运作，好奇的他走过去
看，一不小心滑了一跤摔在了传送带上，机器的刀把他沿他的高正好切了开来，
他哭着回到了家。父母看了心急如焚想：这下等腰梯形残疾了，嫁不出去了，只
好改名后送到非洲因为那里都是怪胎，于是叫他“直角梯形”并送她去了非洲。
后来他爱上了一个对角相等的姑娘，不久结婚了生下了一个两组对边互相平行的男孩和一个邻边相等且两组对边平行的女孩，夫妻两个就叫他们“平行四边形”
和“邻边相等平行四边形”后来因为女孩的名字太长，所以改为：“菱形◇”不
久平行四边形娶了有一个角为直角的直角四边形生下了一个：有一个角为90°
的平行四边形叫“矩形”，菱形嫁给了只有一个为直角的不知叫啥的X 形（新型
状）生下了一个：有一个角为90°的菱形叫“正方形”
终于，一个大家族诞生了包括：四边形，梯形，等腰梯形，直角梯形，平行四边形，矩形，菱形，正方形。而正方形是最高级的，因为他是一个“有个角
为90°的两边平行的梯形”简单点说就是“有一个角为90°的邻边相等的平行
四边形”也就是说“一组邻边相等的矩形”也是“一个角为90°的菱形”。 故事就这么圆满结束了。
你不能同时又有青春又有关于青春的知识。因为青春忙于生活，
而顾不得去了解；而知识为着要生活，而忙于自我寻求。——纪伯伦
四、典题思读：
一、试试你的身手：
1．平行四边形ABCD 的周长为30cm ，对角线AC 、BD 交于点O ，且△AOB 的周长比△BOC 的周
长小1cm ，则AB = ，BC = ．
2．等腰梯形的中位线长为4cm ，腰长为6cm ，则梯形的周长为 cm ．
3．如图1，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE =2∠BAE ，则∠EAC = ．
4．如图2，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 的延长线上一点，CE =CF ， ∠BEC =60°，则∠EFD = ．
5．如图3，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ，若AD =6，BC =10，
则GH 的长为 ．
6．□ABCD ，AB 、BC 、CD 三边的长度分别为（x -1）cm ，（x +2）cm ，5cm ，则它的周长为 ．
7．如图4，菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，那么∠EAF = ．
8．已知点E 是正方形ABCD 内的一点，且AB =AE =BE ，则∠ECD = ．
9．梯形的面积是24，它的上、下底分别为5、7，则梯形的高是 ．
10．如图5，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，连接DE 、EF 、FD ，当△ABC 满足 时，四边形AEDF 是菱形（填写一个你认为恰当的条件即可）．
二、相信你的选择：
1．一个正方形的对角线长为2cm ，它的面积是（ ）
A ．2cm 2 B ．4cm 2C ．6cm 2D ．1cm 2
2．在平行四边形ABCD 中，AB =6，BC =10，∠A =150°，则平行四边形ABCD 的面积是（ ）
A ．15 B ．18 C ．30 D ．60
3．平行四边形的一边长是12cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A ．5cm 和7cm B ．20cm 和30cm C ．8cm 和16cm D ．6cm 和10cm
4．矩形的边长为10cm 和15cm ，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长分别为（ ）
A ．6cm 和9cm B ．5cm 和10cm C ．4cm 和11cm D ．7cm 和8cm
5．顺次连接等腰梯形的四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得的四边形四边中点得到的图形是（ ）
A ．等腰梯形 B ．直角梯形 C ．菱形 D ．矩形
6．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3∶4，那么两条对角线的长分别为（ ）
A ．6cm ，8cm
B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm
7．如图6，E 是正方形ABCD 的边AD 上一点，对角线AC 、BD 交于一点O ，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥BD 于点G ，若AC =10cm，则EF +EG 为（ ）
A ．4cm B ．5cm C ．10cm D ．20cm
8．下列四边形中对角线互相垂直平分但不一定相等的是（ ）
A ．正方形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．菱形
9．下列说法正确的是（ ）
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．直角三角形的短直角边是斜边长的一半
C ．若顺次连接一个四边形的四边中点得到四边形是矩形，则原四边形是菱形
D ．有一个角是直角的平行四边形是矩形
10．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A ．对角线互相平分
C ．四个角是直角
三、挑战你的技能：
1．如图7，在四边形ABCD 中，AB =CD ，BC =AD ，EF 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证： B ．对角线相等 D ．每条对角线平分一组对角 BE =DF ．
2．如图8，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，ED ⊥BC ，DF ∥AB ．求证：四边形AFDE 是菱形．
3．如图9，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，M 为BC 中点，MD ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点D ，求证：AM =DM ．
4．已知，如图10，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =BC ，延长AB 到点E ，使BE =DC ，求证：AC =CE ．
5．如图11，在△ABC 中，∠BCA =90°，D 、E 分别是AC 、AB 边的中点，F 在BC 的延长线上，∠CDF =∠A ．
求证：四边形DECF 是平行四边形．
四、超越你的极限：
1．如图12，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 、DC 的延长线交于点F ，连接AC 、BF ．
（1）求证：AB =CF ；
（2）四边形ABFC 是什么四边形？说明你的理由．
2．如图13，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =24cm，AB =8cm，BC =26cm，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/s的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形和等腰梯形？
青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁