2.3.3 直线与平面垂直的性质
教材分析
本节内容是数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 直线、平面垂直的判定及其性质 的第三课时．本节课是在学习了直线、平面的位置关系及相关定理后进行的，是对前面学习内容的延续与深入,也是空间中线线垂直、面面垂直关系的一个交汇点．空间中直线与平面垂直的性质定理不仅将线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，在教材中起着连接线线垂直和面面垂直、以及衔接平面几何和立体几何的重要作用．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理的综合应用，通过学习更全面地把握空间中直线、平面的位置关系．
教学目标
重 点: 探究、发现直线与平面垂直的性质定理及性质定理的简单应用． 难 点：直线与平面垂直的性质定理的推导证明以及灵活运用． 知识点：直线与平面垂直的性质定理．
能力点：能利用直线与平面垂直的性质定理解决简单的数学问题，通过直观感知、操作确认归纳线面垂直
的性质定理，提高学生的空间想象能力、几何直观能力和等价转化能力．
教育点：通过观察、操作确认，让学生获得对性质定理正确性的认识，培养学生的空间概念和应用意识；
在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神，
自主探究点：直线与平面垂直的性质定理的探究发现与证明． 考试点：直线与平面垂直的性质定理．
易错易混点：对定理理解不到位，应用不熟练，自创定理、结论．
拓展点：通过课外思考探究距离、角度问题，培养学生的空间想象能力，体会空间中的垂直、平行关系．
教具准备 多媒体课件、三角板、长方体模型 课堂模式 学案导学 一、引入新课
知识回顾：（教师出示多媒体课件并提出问题）
问题1：直线与平面垂直的定义是什么？如何判断直线和平面垂直？
问题2：如果一条直线垂直于一个平面，能得到什么结论？
【师生活动】教师展示课件、提出问题，学生思考并回答问题． 教师根据学生回答进行适当板书． 【设计意图】通过知识回顾为学习新内容作好知识上的准备，更为学生自主探究铺平道路． 问题3：如果有两条、三条或更多直线垂直于一个平面，则这些直线之间又有什么位置关系呢？ 【师生活动】学生思考、讨论问题，教师点出本节课的主题．
【设计意图】复习巩固，以旧带新． 简单的知识回顾，能唤起学生的记忆，引发学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课．
二、探究新知
（一）归纳定理
情境1：（课件展示）
师：教师展示课件，并重申问题：垂直于同一个平面的直线之间具有怎样的位置关系？观察图片，你能得到什么启发．
生：独立思考、分组讨论，同学间交流各自的意见，最终分析得出猜想结论：垂直于同一个平面的直线互相平行．
【设计意图】通过熟悉生活情境进行引入，引发学生探究知识的兴趣，培养学生发现、归纳、概括数学问 题的能力．
情境2：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA',BB',CC',DD'所在直线都与底面ABCD垂直，各侧棱之间具有什么位置关系？ 师：提出问题，引导学生分组讨论问题．
生：认真观察、思考得出结论：因为棱AA',BB',CC',DD'所在直线都垂直于平面ABCD，所以
'//DD'． AA'//BB'//CC
【设计意图】借助学生最熟悉的长方体模型和生活中的简单经验，引导学生分析，将“垂直问题”逐步转化为“平行问题”，以此为基础，进行合情推理，验证猜想，使学生的思维更加顺畅；让学生在发现定理的过程中，不仅有直观上的感知，提高几何直观能力，而且通过理性的说理，增强加逻辑思维能力．
【设计说明】在直观感知、操作确认的基础上，使学生经历从实际背景中抽象出几何结论的全过程，从而形成完整和正确的概念，这种立足于感性认识的归纳过程，既有助于学生对知识本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，在培养学生的几何直观能力同时，也勇于探索的科学精神．
经过师生对话猜想结论进行完善，并引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的性质定理． 生：学生自主完成．
师：巡视课堂,对学生的完成情况进行个别指导． 师：板书定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 符号语言：a⊥α，b⊥β⇒a//b 图形语言：
生：校对答案，完善自己作品．
【设计意图】通过板书加深学生对所学知识的印象，达到巩固新知的目的；通过三种语言间的转化，加深学生对定理的认识与记忆，培养学生的数形结合能力、转化化归能力和书写表达能力．
（二）证明定理
已知：a⊥α，b⊥β 求证：a//b． 师：怎样证明两条直线平行?
生：思考回答判定线线平行的方法．
师：由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，在
这种情况下，我们常采用“反证法”． 证明：假定a与b不平行，设a b=O． 过点O作直线b'//a，
a//b',a⊥α∴b'⊥α
即经过一点O的存在两条直线b,b'都与α垂直这是不可能的．
∴假设不成立，
即：a//b．
【设计意图】通过证明，加深对定理的理解和记忆，教师板书示范，让学生体会反证法的证明步骤．
三、理解新知
1．师：你是怎样理解直线与平面垂直的性质定理的，定理的实质是什么？性质定理有什么作用呢？ 生：通过合作交流，分组讨论，得出结论：
（1）直线与平面垂直的性质定理的实质是：线面垂直⇒线线平行； （2）利用直线与平面垂直的性质定理可以证明直线与直线平行．
师：对完善学生的结论给予肯定，并进行完善总结． 直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系．
【设计意图】通过学生独立思考、师生共同总结加强对性质定理的理解，正确认识定理、记忆定理，学会学习；进而培养学生的口头表达能力和归纳概括能力． 2．师：判断下列命题的正误
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行． （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行． （3）平行于同一平面的两条直线互相平行． （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行．
生：独立思考，并请一名同学起立回答；若有不足，再找学生点评完善． 答案：（1）√；(2) ×；(3) ×；(4) √． 【设计意图】为准确地运用新知作必要的铺垫．
四、运用新知
a，b分别在正方体ABCD-A'B'C'D'中两个不同的平面内，欲使a//b，则例1（教材P71探究） 设直线a，b应满足什么条件？
分析：运用两条直线平行的判定方法，如：直线与平面垂直的性质定理，直线与平面平行的性质定理，平面与平面平行的性质定理，平行性公理、线线平行的定义等等，充分考虑a，b所能满足的条件． 师：引导学生分析问题，为问题的解决点明方向． 生：思考问题，小组交流后解决问题．
解：a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a//b： （1）a，b同垂直于正方体一个面；
（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面； （3）a，b平行于同一条棱；
（4）E,F,M分别为AA',BB',CC'的中点，ED所在的直线 为a，FC或B'M所在直线为b．
[设计意图]巩固所学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力；通过问题分析，重现证明线线平行各种方法，通过方法探究，一问多解，发散思维，有益于沟通知识和方法，开拓解题思路． 例2． 已知l⊥α，l⊥β，
求证：α//β．
分析：要证明面面平行，根据面面平行的判定定理，只需 证一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行． 根据已 知条件首先利用线面垂直的性质，将线面垂直转化为线线 垂直，进而转化为线线平行，再由线面平行得到面面平行．
师生共同分析问题，师板书示范． 证明：设l α=A，l β=B
在平面内α过点A作两条直线a,b 则直线a与点B确定一个平面，设为γ B∈γ,B∈β，∴β与γ相交
设β γ=c
l⊥α，a⊂α，∴l⊥a
同理可证：l⊥c
a⊂γ,c⊂γ，∴a//c
又 c⊂β,a⊄β，∴a//β 同理可证：b//β
又直线a,b在平面内α且过点A ∴α//β
[设计意图]此题是线面垂直、线线平行、线面平行以及面面平行相互转化的问题，通过对问题的分析、解决过程，培养学生综合分析问题和转化化归的能力．通过教师板书，规范学生的证明过程和解题步骤．
a⊥b，b⊥αa⊄α，求证：a//α． 练习：（教材P71练习2变式） 已知直线
请一名学生到黑板板演证明过程．
师生共同批阅证明过程，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，纠正问题，完善证明，并校对自己的答案．
[设计意图] 通过练习，便于及时发现为题、解决问题，并规范学生的解题步骤；通过对答案的批改、校对，培养学生反思、总结的习惯．
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生总结：1．知识点：直线与平面垂直的性质定理
2．思 想：由特殊到一般的思想（定理的猜想、证明）；
等价转化的思想（由空间到平面，由垂直到平行）； 反证法的思想（性质定理的证明）．
教师强调: 1．线面垂直性质定理的实质：线面垂直⇒线线平行； 2．反证法的证明思路：反设→归谬→结论； 3．两直线平行的判定方法．．
[设计意图] 通过学生总结，培养学生的口头表达能力、归纳概括能力，教会学生学习方法，让学生再次回顾本节课的活动过程、重点、难点所在，再次对线面垂直的性质定理加以思考延伸．使学生对本节课所学知识结构有一个清晰的认识，形成知识体系．
六、布置作业
1．书面作业
必做题： P148 1，3，4，5． 71 练习 1；自主学习 P选做题：
1．下列说法不正确的是
A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边 B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
2．已知m,n是两条相交直线，l1,l2 是与m,n都垂直 的两条直线，且直线l与l1,l2都相交． 求证：∠1=∠2．
答案：1．D． 2．课外思考
思考1：已知在梯形ABCD中，AB//CD，CD在平面α内，
梯形对角线的交点O到α的距离．
思考2：对于一个三角形，它的三条高线总相交于—点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于
一点呢？若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢？
[设计意图]书面作业的布置，以不同层次出现，对不同层次学生有不同的要求，体现了分层教学的教学思想．设置“必做题”是为了进一步巩固所学，加强学生学习的自信心；课外思考探究活动进一步激励学生学习的热情，培养学生的空间想象能力．
AB2
=，AB到α的距离为10 cm，求CD3
七、教后反思
本节课在设计上注重课堂的开放性，力求充满生命活力，在学习过程中让学生主动参与，使学生在参与活动过程中感受体验由空间物体到平面图形的相互转换．
教学中使用了大量图片、多媒体课件和实物直观，使学生感知、猜想出线面垂直的性质定理，通过学生的观察思考，动手实践，实现从感性认识到理性认识的飞跃，培养学生的空间想象能力，几何直观能力．把学习的主动权还给学生，让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程，使数学课堂生动起来．
在例题讲解过程中，还是老师讲的多，可以尝试让学生分析讲解，老师补充完善，这样更有益于学生学习兴趣和学习积极性的培养．
八、板书设计
2.3.3 直线与平面垂直的性质
教材分析
本节内容是数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 直线、平面垂直的判定及其性质 的第三课时．本节课是在学习了直线、平面的位置关系及相关定理后进行的，是对前面学习内容的延续与深入,也是空间中线线垂直、面面垂直关系的一个交汇点．空间中直线与平面垂直的性质定理不仅将线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，在教材中起着连接线线垂直和面面垂直、以及衔接平面几何和立体几何的重要作用．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理的综合应用，通过学习更全面地把握空间中直线、平面的位置关系．
教学目标
重 点: 探究、发现直线与平面垂直的性质定理及性质定理的简单应用． 难 点：直线与平面垂直的性质定理的推导证明以及灵活运用． 知识点：直线与平面垂直的性质定理．
能力点：能利用直线与平面垂直的性质定理解决简单的数学问题，通过直观感知、操作确认归纳线面垂直
的性质定理，提高学生的空间想象能力、几何直观能力和等价转化能力．
教育点：通过观察、操作确认，让学生获得对性质定理正确性的认识，培养学生的空间概念和应用意识；
在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神，
自主探究点：直线与平面垂直的性质定理的探究发现与证明． 考试点：直线与平面垂直的性质定理．
易错易混点：对定理理解不到位，应用不熟练，自创定理、结论．
拓展点：通过课外思考探究距离、角度问题，培养学生的空间想象能力，体会空间中的垂直、平行关系．
教具准备 多媒体课件、三角板、长方体模型 课堂模式 学案导学 一、引入新课
知识回顾：（教师出示多媒体课件并提出问题）
问题1：直线与平面垂直的定义是什么？如何判断直线和平面垂直？
问题2：如果一条直线垂直于一个平面，能得到什么结论？
【师生活动】教师展示课件、提出问题，学生思考并回答问题． 教师根据学生回答进行适当板书． 【设计意图】通过知识回顾为学习新内容作好知识上的准备，更为学生自主探究铺平道路． 问题3：如果有两条、三条或更多直线垂直于一个平面，则这些直线之间又有什么位置关系呢？ 【师生活动】学生思考、讨论问题，教师点出本节课的主题．
【设计意图】复习巩固，以旧带新． 简单的知识回顾，能唤起学生的记忆，引发学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课．
二、探究新知
（一）归纳定理
情境1：（课件展示）
师：教师展示课件，并重申问题：垂直于同一个平面的直线之间具有怎样的位置关系？观察图片，你能得到什么启发．
生：独立思考、分组讨论，同学间交流各自的意见，最终分析得出猜想结论：垂直于同一个平面的直线互相平行．
【设计意图】通过熟悉生活情境进行引入，引发学生探究知识的兴趣，培养学生发现、归纳、概括数学问 题的能力．
情境2：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA',BB',CC',DD'所在直线都与底面ABCD垂直，各侧棱之间具有什么位置关系？ 师：提出问题，引导学生分组讨论问题．
生：认真观察、思考得出结论：因为棱AA',BB',CC',DD'所在直线都垂直于平面ABCD，所以
'//DD'． AA'//BB'//CC
【设计意图】借助学生最熟悉的长方体模型和生活中的简单经验，引导学生分析，将“垂直问题”逐步转化为“平行问题”，以此为基础，进行合情推理，验证猜想，使学生的思维更加顺畅；让学生在发现定理的过程中，不仅有直观上的感知，提高几何直观能力，而且通过理性的说理，增强加逻辑思维能力．
【设计说明】在直观感知、操作确认的基础上，使学生经历从实际背景中抽象出几何结论的全过程，从而形成完整和正确的概念，这种立足于感性认识的归纳过程，既有助于学生对知识本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，在培养学生的几何直观能力同时，也勇于探索的科学精神．
经过师生对话猜想结论进行完善，并引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的性质定理． 生：学生自主完成．
师：巡视课堂,对学生的完成情况进行个别指导． 师：板书定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 符号语言：a⊥α，b⊥β⇒a//b 图形语言：
生：校对答案，完善自己作品．
【设计意图】通过板书加深学生对所学知识的印象，达到巩固新知的目的；通过三种语言间的转化，加深学生对定理的认识与记忆，培养学生的数形结合能力、转化化归能力和书写表达能力．
（二）证明定理
已知：a⊥α，b⊥β 求证：a//b． 师：怎样证明两条直线平行?
生：思考回答判定线线平行的方法．
师：由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，在
这种情况下，我们常采用“反证法”． 证明：假定a与b不平行，设a b=O． 过点O作直线b'//a，
a//b',a⊥α∴b'⊥α
即经过一点O的存在两条直线b,b'都与α垂直这是不可能的．
∴假设不成立，
即：a//b．
【设计意图】通过证明，加深对定理的理解和记忆，教师板书示范，让学生体会反证法的证明步骤．
三、理解新知
1．师：你是怎样理解直线与平面垂直的性质定理的，定理的实质是什么？性质定理有什么作用呢？ 生：通过合作交流，分组讨论，得出结论：
（1）直线与平面垂直的性质定理的实质是：线面垂直⇒线线平行； （2）利用直线与平面垂直的性质定理可以证明直线与直线平行．
师：对完善学生的结论给予肯定，并进行完善总结． 直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系．
【设计意图】通过学生独立思考、师生共同总结加强对性质定理的理解，正确认识定理、记忆定理，学会学习；进而培养学生的口头表达能力和归纳概括能力． 2．师：判断下列命题的正误
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行． （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行． （3）平行于同一平面的两条直线互相平行． （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行．
生：独立思考，并请一名同学起立回答；若有不足，再找学生点评完善． 答案：（1）√；(2) ×；(3) ×；(4) √． 【设计意图】为准确地运用新知作必要的铺垫．
四、运用新知
a，b分别在正方体ABCD-A'B'C'D'中两个不同的平面内，欲使a//b，则例1（教材P71探究） 设直线a，b应满足什么条件？
分析：运用两条直线平行的判定方法，如：直线与平面垂直的性质定理，直线与平面平行的性质定理，平面与平面平行的性质定理，平行性公理、线线平行的定义等等，充分考虑a，b所能满足的条件． 师：引导学生分析问题，为问题的解决点明方向． 生：思考问题，小组交流后解决问题．
解：a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a//b： （1）a，b同垂直于正方体一个面；
（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面； （3）a，b平行于同一条棱；
（4）E,F,M分别为AA',BB',CC'的中点，ED所在的直线 为a，FC或B'M所在直线为b．
[设计意图]巩固所学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力；通过问题分析，重现证明线线平行各种方法，通过方法探究，一问多解，发散思维，有益于沟通知识和方法，开拓解题思路． 例2． 已知l⊥α，l⊥β，
求证：α//β．
分析：要证明面面平行，根据面面平行的判定定理，只需 证一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行． 根据已 知条件首先利用线面垂直的性质，将线面垂直转化为线线 垂直，进而转化为线线平行，再由线面平行得到面面平行．
师生共同分析问题，师板书示范． 证明：设l α=A，l β=B
在平面内α过点A作两条直线a,b 则直线a与点B确定一个平面，设为γ B∈γ,B∈β，∴β与γ相交
设β γ=c
l⊥α，a⊂α，∴l⊥a
同理可证：l⊥c
a⊂γ,c⊂γ，∴a//c
又 c⊂β,a⊄β，∴a//β 同理可证：b//β
又直线a,b在平面内α且过点A ∴α//β
[设计意图]此题是线面垂直、线线平行、线面平行以及面面平行相互转化的问题，通过对问题的分析、解决过程，培养学生综合分析问题和转化化归的能力．通过教师板书，规范学生的证明过程和解题步骤．
a⊥b，b⊥αa⊄α，求证：a//α． 练习：（教材P71练习2变式） 已知直线
请一名学生到黑板板演证明过程．
师生共同批阅证明过程，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，纠正问题，完善证明，并校对自己的答案．
[设计意图] 通过练习，便于及时发现为题、解决问题，并规范学生的解题步骤；通过对答案的批改、校对，培养学生反思、总结的习惯．
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生总结：1．知识点：直线与平面垂直的性质定理
2．思 想：由特殊到一般的思想（定理的猜想、证明）；
等价转化的思想（由空间到平面，由垂直到平行）； 反证法的思想（性质定理的证明）．
教师强调: 1．线面垂直性质定理的实质：线面垂直⇒线线平行； 2．反证法的证明思路：反设→归谬→结论； 3．两直线平行的判定方法．．
[设计意图] 通过学生总结，培养学生的口头表达能力、归纳概括能力，教会学生学习方法，让学生再次回顾本节课的活动过程、重点、难点所在，再次对线面垂直的性质定理加以思考延伸．使学生对本节课所学知识结构有一个清晰的认识，形成知识体系．
六、布置作业
1．书面作业
必做题： P148 1，3，4，5． 71 练习 1；自主学习 P选做题：
1．下列说法不正确的是
A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边 B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
2．已知m,n是两条相交直线，l1,l2 是与m,n都垂直 的两条直线，且直线l与l1,l2都相交． 求证：∠1=∠2．
答案：1．D． 2．课外思考
思考1：已知在梯形ABCD中，AB//CD，CD在平面α内，
梯形对角线的交点O到α的距离．
思考2：对于一个三角形，它的三条高线总相交于—点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于
一点呢？若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢？
[设计意图]书面作业的布置，以不同层次出现，对不同层次学生有不同的要求，体现了分层教学的教学思想．设置“必做题”是为了进一步巩固所学，加强学生学习的自信心；课外思考探究活动进一步激励学生学习的热情，培养学生的空间想象能力．
AB2
=，AB到α的距离为10 cm，求CD3
七、教后反思
本节课在设计上注重课堂的开放性，力求充满生命活力，在学习过程中让学生主动参与，使学生在参与活动过程中感受体验由空间物体到平面图形的相互转换．
教学中使用了大量图片、多媒体课件和实物直观，使学生感知、猜想出线面垂直的性质定理，通过学生的观察思考，动手实践，实现从感性认识到理性认识的飞跃，培养学生的空间想象能力，几何直观能力．把学习的主动权还给学生，让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程，使数学课堂生动起来．
在例题讲解过程中，还是老师讲的多，可以尝试让学生分析讲解，老师补充完善，这样更有益于学生学习兴趣和学习积极性的培养．
八、板书设计