棱 锥 习 题 课
例1 已知正六棱锥的侧面和底面所成的角为φ，底面边长为a ，求这个正六棱锥的高、侧棱和斜高．
分析 正棱锥的高、斜高和斜高在底面射影组成一个直角三角形，斜高、侧棱和半个边长组成直角三角形．
解 作出正六棱锥的特征图形，如图2-8，过底面中心O 作OM ⊥AB 于M ，连SM ，则由三垂线定理
a
SM ⊥AB ，∠SMO =φ，AM ＝ 2
在Rt △SAO 中
注
图形较复杂时，可以作出与已知数量和所求数量有关的特征图
应熟记．
例2 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，侧面与底面所成角为60°，求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值．
分析 如图2-9作SO ⊥底面于O ，由正三棱锥的定义知O 是△ABC 的中心，连结CO 并延长交AB 于D ，连SD 则CD ⊥AB
∵SO ⊥底面，OD 是SD 在底面上的射影
∴SD ⊥AB ，∠SDC 是侧面与底面所成二面角的平面角，∠SDC ＝60°
∵△ABC 是边长为a 的正三角形
作BE ⊥SC 于E ，连结AE
∵BC ＝AC ，∠BCE ＝∠ACE ，CE ＝CE
∴△BCE ≌△ACE ，
∴∠AEC ＝∠BEC ＝90°
∴∠AEB 是正三棱锥两相邻侧面所成二面角的平面角．
又∵BC ·SF ＝SC ·
BE
评注 本题充分应用了正棱锥的性质，在正棱锥中有三个直角三角形及一个等腰三角形在计算中起重要作用，它们分别是高、斜高和底面边心距构成的直角三角形，高、侧棱、底面的外接圆半径构成的直角三角形，斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形，以及含有相邻两个侧面所构成二面角的平面角的三角形(如△ABE) ．
例3 已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为a ，过BC 作截面DBC 垂直侧棱PA 于D ，且此截面与底面成30°二面角，求此正三棱锥的侧面积．
分析 关键：求斜高→解直角三角形．
如图2-10，作PO ⊥底面ABC 于O ．
∵P －ABC 为正三棱锥，
∴O 为底面正三角形ABC 的中心连结AO 交BC 于M ，连结PM ，则
AM ⊥BC ，PM ⊥BC ，
∴BC ⊥平面APM ，BC ⊥DM ．
∵截面DBC 与底面成30°二面角，
∴∠AMD ＝3O °．
∵PA ⊥平面DBC ，
∴PA ⊥DM ，∠PAM ＝60°
∵正三角形ABC 的边长为a ，
评注 熟悉正多边形的元素之间的关系会给解题带来很多方便．
例4 已知四棱锥V —ABCD 的高为h ，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 夹角为120°，且都垂直于底面，另两侧面与底面夹角都是45°，求棱锥的全面积
分析 关键是找出另两个侧面与底面的二面角的平面角，并证明是二面角的平面角，使空间问题转化到平面问题
解 如图2-11
∵面VDA ⊥底面ABCD ，
面VDC ⊥底面ABCD ，
且平面VDA ∩平面VDC ＝VD ，
∴VD ⊥底面ABCD ，VD ⊥AD ，VD ⊥CD
∠ADC 是二面角A-VD-C 的平面角．∴∠ADC ＝120°，
又∵底面ABCD 是菱形，∴∠DAB ＝60°，连BD ，△ABD 是等边三角形，取AB 的中点H ，连DH 、VH ，则DH ⊥AB ，由三垂线定理知VH ⊥AB ，
∴∠VHD 是侧面VAB 与底面所成角的平面角，
∴△VAB ≌△VCB
∴S 全＝2S △VAD＋2S △VAB＋S
ABCD ，
棱 锥 习 题 课
例1 已知正六棱锥的侧面和底面所成的角为φ，底面边长为a ，求这个正六棱锥的高、侧棱和斜高．
分析 正棱锥的高、斜高和斜高在底面射影组成一个直角三角形，斜高、侧棱和半个边长组成直角三角形．
解 作出正六棱锥的特征图形，如图2-8，过底面中心O 作OM ⊥AB 于M ，连SM ，则由三垂线定理
a
SM ⊥AB ，∠SMO =φ，AM ＝ 2
在Rt △SAO 中
注
图形较复杂时，可以作出与已知数量和所求数量有关的特征图
应熟记．
例2 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，侧面与底面所成角为60°，求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值．
分析 如图2-9作SO ⊥底面于O ，由正三棱锥的定义知O 是△ABC 的中心，连结CO 并延长交AB 于D ，连SD 则CD ⊥AB
∵SO ⊥底面，OD 是SD 在底面上的射影
∴SD ⊥AB ，∠SDC 是侧面与底面所成二面角的平面角，∠SDC ＝60°
∵△ABC 是边长为a 的正三角形
作BE ⊥SC 于E ，连结AE
∵BC ＝AC ，∠BCE ＝∠ACE ，CE ＝CE
∴△BCE ≌△ACE ，
∴∠AEC ＝∠BEC ＝90°
∴∠AEB 是正三棱锥两相邻侧面所成二面角的平面角．
又∵BC ·SF ＝SC ·
BE
评注 本题充分应用了正棱锥的性质，在正棱锥中有三个直角三角形及一个等腰三角形在计算中起重要作用，它们分别是高、斜高和底面边心距构成的直角三角形，高、侧棱、底面的外接圆半径构成的直角三角形，斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形，以及含有相邻两个侧面所构成二面角的平面角的三角形(如△ABE) ．
例3 已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为a ，过BC 作截面DBC 垂直侧棱PA 于D ，且此截面与底面成30°二面角，求此正三棱锥的侧面积．
分析 关键：求斜高→解直角三角形．
如图2-10，作PO ⊥底面ABC 于O ．
∵P －ABC 为正三棱锥，
∴O 为底面正三角形ABC 的中心连结AO 交BC 于M ，连结PM ，则
AM ⊥BC ，PM ⊥BC ，
∴BC ⊥平面APM ，BC ⊥DM ．
∵截面DBC 与底面成30°二面角，
∴∠AMD ＝3O °．
∵PA ⊥平面DBC ，
∴PA ⊥DM ，∠PAM ＝60°
∵正三角形ABC 的边长为a ，
评注 熟悉正多边形的元素之间的关系会给解题带来很多方便．
例4 已知四棱锥V —ABCD 的高为h ，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 夹角为120°，且都垂直于底面，另两侧面与底面夹角都是45°，求棱锥的全面积
分析 关键是找出另两个侧面与底面的二面角的平面角，并证明是二面角的平面角，使空间问题转化到平面问题
解 如图2-11
∵面VDA ⊥底面ABCD ，
面VDC ⊥底面ABCD ，
且平面VDA ∩平面VDC ＝VD ，
∴VD ⊥底面ABCD ，VD ⊥AD ，VD ⊥CD
∠ADC 是二面角A-VD-C 的平面角．∴∠ADC ＝120°，
又∵底面ABCD 是菱形，∴∠DAB ＝60°，连BD ，△ABD 是等边三角形，取AB 的中点H ，连DH 、VH ，则DH ⊥AB ，由三垂线定理知VH ⊥AB ，
∴∠VHD 是侧面VAB 与底面所成角的平面角，
∴△VAB ≌△VCB
∴S 全＝2S △VAD＋2S △VAB＋S
ABCD ，