Lebesgue 测度
n n
设E ⊂R . 若I k 是R 中的可数个开矩体，且有E ⊂
{}
k ≥1
I k ，称{I k }为E 的L -覆盖.
Lebesgue 外测度. 若对任何的点
称m *(E ) =inf{
n
∑I :{I }为E 的L -覆盖}为点集E 的
k
k
k ≥1
集T ⊂R ，有m *(T ) =m *(T Lebesgue 可测集的性质
可测集的全体记作M ，那么 (1)φ∈M ；
(2)若E ∈M ，则E ∈M ； (3)若E 1∈M , E 2∈M ，则E 1(4)若E i ∈M (i =1,2,
*
c
E ) +m *(T E c ) ，则称E 为Lebesgue 可测集.
E 2, E 1E 2以及E 1\E 2皆属于M ；
) ，则其并集也属于M ；若进一步有E i E j =φ(i ≠j ) ，则
⎛∞⎫∞*
m E i ⎪=∑m (E i ) . ⎝i =1⎭i =1
递增可测集列的测度运算：若有递增可测集合列E 1⊂E 2⊂
⊂E k
，则
m l i m E k =l i m m E k (. )
k →∞
k →∞
()
递减可测集列的测度运算：若有递减可测集合列E 1⊃E 2⊃则m lim E k =lim m (E k ) .
k →∞
k →∞
⊃E k ⊃且m (E 1)
()
⎫Fatou 引理：设{E k }是可测集列，则m ⎛ lim E k ⎪≤lim m (E k ) ，m lim E k ≥lim m (E k ) .
⎝k →∞
⎭
k →∞
(
k →∞
)
k →∞
Lebesgue 积分
1、非负简单函数的Lebesgue 积分：E ⊆R 是可测集，ϕ(x ) 为E 上的一个非负简单函数，
q
ϕ(x ) 在E 上的Lebesgue 积分定义为⎰E ϕ(x ) dx =∑c i mE i .
i =1
k
性质：(1)对于任意的非负实数c ， (2)设
⎰
E
c ⋅ϕ(x ) dx =c ⎰ϕ(x ) dx ；
E
A 和B 是E 的两个不相交的可测子集，则
B
⎰
A B
ϕ(x ) dx =⎰ϕ(x ) dx +⎰ϕ(x ) dx ；
A
(3)设{A n }n =1是E 的一列可测子集，满足A 1⊆A 2⊆
∞
∞
⊆A n
且
n =1
A n =E ，则
lim ⎰ϕ(x ) dx =⎰ϕ(x ) dx ；
n →∞A n
E
(4)对于任意的非负实数
α
和
β
d
x
，有
α⎰
E
(x ϕ) +d
x ⎰β
E
(ψ=(x )
⎰d
E
x
α+)(ϕ. ) x
q
β(ψx )
2、非负可测函数的Lebesgue 积分：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 为E 上的一个非负可测函数，f (x ) 在E 上的Lebesgue 积分定义为
⎰
E
f (x ) dx =sup
{⎰ϕ(x ) dx :ϕ(x ) 是E 上的简单.
E
函数，且x ∈E 时，0≤ϕ(x ) ≤f (x ) }，若
积.
性质：(1)若mE =0，则 (2)若 (3)若
⎰
E
f (x ) dx
⎰
E
f (x ) dx =0；
⎰
E
f (x ) dx =0，则f (x ) =0a . e . 于E ； f (x ) dx
和
⎰
E
(4)设
B
B
为
E
的两个互不相交的子集，则
⎰
A B
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx .
A
(5)f (x ) 和g (x ) 均是E 上的非负可测函数，α和β是非负实数，则
α⎰f (x ) d x +β⎰
E
E
g (x ) d =x ⎰(α
E
(f +) x β
(g )) x . d x
定理：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 和g (x ) 为E 上的非负可测函数．我们有 (1)若f (x ) ≤g (x ) a . e . 于E ，则可积，则f (x ) 也在E 上L 可积．
(2)若f (x ) =g (x ) a . e . 于E ，则
q
⎰
E
f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx ；这时，若g (x ) 在E 上L
E
⎰
E
f (x ) dx =⎰g (x ) dx ；特别地，若
E
f (x ) =0a . e . 于E ，则⎰f (x ) dx =0．
E
∞
定理(Levi)：设E ⊆R 是可测集，{f n }n =1为E 上的一列非负可测函数，当x ∈E 时对于
q
任一自然n ，有
) f n (x ≤) f n +1x (，) 令f (x =
n →∞
l n i f m ，x x ∈E ，则
lim ⎰f n (x ) dx =⎰f (x ) dx ．
n →∞E
E
Proof ：显然f(x)在E 上非负可测且
f n (x ) ≤f n +1x (≤f ) x
，(故)
⎰
E
f n (x ≤) ⎰f n +1x (≤⎰) f x . 因而(lim ) ⎰f n (x ) ≤⎰f (x ) .
E
E
n →∞E E
现证相反的不等式，任取E 上的一个非负简单函数ϕ(x ) 使得x ∈E 时
0≤ϕ(x ) ≤f (x ) ，再任取0
n →∞E
E
令E n =E (f n ≥c ϕ) ，则E n 是E 的可测子集，E n ⊂E n +1，
∞
E n =E 且
n =1
⎰
E
f n (x ) dx ≥⎰f n (x ) dx ≥⎰c ϕ(x ) dx =c ⎰ϕ(x ) dx .
E n
E n
E n
易知lim 故lim
n →∞E n
⎰ϕ(x ) dx =⎰ϕ(x ) dx ，
E n →∞E n
E
n →∞E
⎰f n (x ) dx ≥c (lim⎰ϕ(x ) dx ) =c ⎰ϕ(x ) dx ，由于0
E
n →∞E
E
lim ⎰f n (x ) dx ≥⎰ϕ(x ) dx ，再由ϕ的任意性知lim ⎰f n (x ) dx ≥⎰f (x ) dx .
n →∞E
综上所述，即得lim
n →∞E
⎰f n (x ) dx =⎰f (x ) dx .
E
q
E 上的一列非负可测函数，则 逐项积分定理：设E ⊆R 是可测集，{f n }∞n =1为
∞
∞
⎰(∑f (x )) dx =∑⎰
E
n n =1
n =1
E
f n (x ) dx ．
q
E 上的一列非负可测函数，则 Fatou 引理：设E ⊆R 是可测集，{f n }∞n =1为
⎰⎰⎰
E x →∞n
l i m f x (dx ) ≤
x →∞E
l i ⎰m f n x dx (．)
q
3、一般可测函数的Lebesgue 积分：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 是E 上的可测函数，若
E
f +(x ) dx 和⎰f -(x ) dx 中至少有一个有限，则称f 在E 上积分确定，称⎰f +(x ) dx —
E
E
E
f -(x ) dx 为f 在E 上的Lebesgue 积分，记作⎰f (x ) dx ．若⎰f +(x ) dx 和⎰f -(x ) dx 都
E
E
E
有限，则称f 在E 上L 可积．
TH1：(1)若E ≠φ但mE =0，则E 上的任何实函数f 都是E 上的L 可积且
⎰
E
f (x ) dx =0；
(2)若f 在E 上L 可积，则mE (f =+∞) =0，即f (x )
(3)设f 在E 上积分确定，则f 在E 上的任何子集A 上也积分确定，又若E =A 这里A 和B 都是E 的可测子集且A
B ，
B =φ, 则⎰f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx ；
E
A
B
(4)设f 在E 上积分确定且f (x ) =g (x ) a . e . 于E ，则g 也在E 上积分确定且
⎰
E
f (x ) dx =⎰g (x ) dx ；
E
(5)设f 和g 都在E 上积分确定且f (x ) ≤g (x ) a . e . 于E ，则 (6)设f 在E 上可积，则f 在E 上也可积，且
⎰
E
f ()x dx ≤⎰()g x dx ；
E
⎰
E
f (x ) dx ≤⎰f (x ) ；
E
(7)设f 是E 上的可测函数，g 是E 上的非负L 可积函数且f (x ) ≤g (x ) a . e . 于E ，则f 在E 上也可积，且
q
⎰
E
f (x ) dx ≤⎰f (x ) ≤⎰g (x ) dx .
E
E
TH2：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 和g (x ) 是E 上的L 可积函数，则对于任何的α, β∈R ，
αf +βg 在E 上可积，且α⎰f (x ) dx +β⎰g (x ) dx =⎰(αf (x ) +βg (x ) )dx .
E
E
E
TH3(积分的绝对连续性) ：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 是E 上的L 可积函数，则对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的可测集A ⊂E ，只要mA
q
⎰
A
f (x ) dx ≤⎰f (x dx )
A
q
∞
TH4积分的可数可加性：设E ⊆R 是可测集，E =
n =1∞
E n ，E n 都是可测集且i ≠j 时
E i
E j =φ，设f 在E 上积分确定，则⎰f (x ) dx =∑⎰f (x ) dx .
E
n =1
E n
E 上的一列可测函数，F TH5 Lebesgue 控制收敛定理：设E ⊆R 是可测集，{f n }∞n =1为
是E 上的非负L 可积函数，如果对于任意的自然数n ，f n (x ) ≤F (x ) a . e . 于E 且
q
lim f n (x ) =f (x ) a . e . 于E ，则(i)lim ⎰f n (x ) -f (x ) dx =0;(ii)lim ⎰f n (x ) dx =⎰f (x ) dx .
n →∞
n →∞E n →∞E E
Proof ：(i)显然f 在E 上可测且f n (x ) ≤F (x ) a . e . 于E ．由TH1可知f 在E 上可积，每个f n 也在E 上L 可积.
令g n (x ) =f n (x ) -f (x ) , x ∈E , 则g n 在E 上非负L 可积，0≤g n (x ) ≤2F (x ) a . e . 于E 且lim g n (x ) =0a . e . 于E .
n →∞
因而2F (x ) -g n (x ) ≥0a . e . 于E -且lim(2F (x ) -g n (x )) =2F (x ) a . e . 于E ，由Fatou 引
n →∞
理2
⎰
E
F (x ) dx =⎰lim(2F (x ) -g n (x )) dx ≤⎰(2F (x ) -g n (x )) dx
E n →∞
x →∞E
=⎰F (x ) dx -⎰g n (x ) dx ) =2⎰F (x ) dx -lim ⎰g n (x ) dx .
x →∞
E
E
E
n →∞E
所以lim 由于到(ii).
n →∞E
⎰
g n (x ) dx ≤0.
n →∞E
n →∞E
⎰
E
g n (x ) dx ≥0，故lim ⎰g n (x ) dx =0，即lim ⎰f n (x ) -f (x ) dx =0，继而得
q
TH6设E ⊆R 是可测集，f (x , t ) 是E ⨯(a , b ) 上的实函数，如果对于任意的t ∈(a , b ) ，
f (x , t ) 作为x 的函数在E 上L 可积，对于a . e . 的x ∈E ，f (x , t ) 作为t 的函数在(a , b ) 上可
导且
∂
f (x , t ) ≤F (x ) ，这里F 是E 上的某个非负L 可积函数，则⎰f (x , t ) dx 作为t 的函
E ∂t
d ∂
f (x , t ) dx =⎰E ∂t f (x , t ) dx . dt ⎰E
数在(a , b ) 可导，且
Lebesgue 测度
n n
设E ⊂R . 若I k 是R 中的可数个开矩体，且有E ⊂
{}
k ≥1
I k ，称{I k }为E 的L -覆盖.
Lebesgue 外测度. 若对任何的点
称m *(E ) =inf{
n
∑I :{I }为E 的L -覆盖}为点集E 的
k
k
k ≥1
集T ⊂R ，有m *(T ) =m *(T Lebesgue 可测集的性质
可测集的全体记作M ，那么 (1)φ∈M ；
(2)若E ∈M ，则E ∈M ； (3)若E 1∈M , E 2∈M ，则E 1(4)若E i ∈M (i =1,2,
*
c
E ) +m *(T E c ) ，则称E 为Lebesgue 可测集.
E 2, E 1E 2以及E 1\E 2皆属于M ；
) ，则其并集也属于M ；若进一步有E i E j =φ(i ≠j ) ，则
⎛∞⎫∞*
m E i ⎪=∑m (E i ) . ⎝i =1⎭i =1
递增可测集列的测度运算：若有递增可测集合列E 1⊂E 2⊂
⊂E k
，则
m l i m E k =l i m m E k (. )
k →∞
k →∞
()
递减可测集列的测度运算：若有递减可测集合列E 1⊃E 2⊃则m lim E k =lim m (E k ) .
k →∞
k →∞
⊃E k ⊃且m (E 1)
()
⎫Fatou 引理：设{E k }是可测集列，则m ⎛ lim E k ⎪≤lim m (E k ) ，m lim E k ≥lim m (E k ) .
⎝k →∞
⎭
k →∞
(
k →∞
)
k →∞
Lebesgue 积分
1、非负简单函数的Lebesgue 积分：E ⊆R 是可测集，ϕ(x ) 为E 上的一个非负简单函数，
q
ϕ(x ) 在E 上的Lebesgue 积分定义为⎰E ϕ(x ) dx =∑c i mE i .
i =1
k
性质：(1)对于任意的非负实数c ， (2)设
⎰
E
c ⋅ϕ(x ) dx =c ⎰ϕ(x ) dx ；
E
A 和B 是E 的两个不相交的可测子集，则
B
⎰
A B
ϕ(x ) dx =⎰ϕ(x ) dx +⎰ϕ(x ) dx ；
A
(3)设{A n }n =1是E 的一列可测子集，满足A 1⊆A 2⊆
∞
∞
⊆A n
且
n =1
A n =E ，则
lim ⎰ϕ(x ) dx =⎰ϕ(x ) dx ；
n →∞A n
E
(4)对于任意的非负实数
α
和
β
d
x
，有
α⎰
E
(x ϕ) +d
x ⎰β
E
(ψ=(x )
⎰d
E
x
α+)(ϕ. ) x
q
β(ψx )
2、非负可测函数的Lebesgue 积分：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 为E 上的一个非负可测函数，f (x ) 在E 上的Lebesgue 积分定义为
⎰
E
f (x ) dx =sup
{⎰ϕ(x ) dx :ϕ(x ) 是E 上的简单.
E
函数，且x ∈E 时，0≤ϕ(x ) ≤f (x ) }，若
积.
性质：(1)若mE =0，则 (2)若 (3)若
⎰
E
f (x ) dx
⎰
E
f (x ) dx =0；
⎰
E
f (x ) dx =0，则f (x ) =0a . e . 于E ； f (x ) dx
和
⎰
E
(4)设
B
B
为
E
的两个互不相交的子集，则
⎰
A B
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx .
A
(5)f (x ) 和g (x ) 均是E 上的非负可测函数，α和β是非负实数，则
α⎰f (x ) d x +β⎰
E
E
g (x ) d =x ⎰(α
E
(f +) x β
(g )) x . d x
定理：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 和g (x ) 为E 上的非负可测函数．我们有 (1)若f (x ) ≤g (x ) a . e . 于E ，则可积，则f (x ) 也在E 上L 可积．
(2)若f (x ) =g (x ) a . e . 于E ，则
q
⎰
E
f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx ；这时，若g (x ) 在E 上L
E
⎰
E
f (x ) dx =⎰g (x ) dx ；特别地，若
E
f (x ) =0a . e . 于E ，则⎰f (x ) dx =0．
E
∞
定理(Levi)：设E ⊆R 是可测集，{f n }n =1为E 上的一列非负可测函数，当x ∈E 时对于
q
任一自然n ，有
) f n (x ≤) f n +1x (，) 令f (x =
n →∞
l n i f m ，x x ∈E ，则
lim ⎰f n (x ) dx =⎰f (x ) dx ．
n →∞E
E
Proof ：显然f(x)在E 上非负可测且
f n (x ) ≤f n +1x (≤f ) x
，(故)
⎰
E
f n (x ≤) ⎰f n +1x (≤⎰) f x . 因而(lim ) ⎰f n (x ) ≤⎰f (x ) .
E
E
n →∞E E
现证相反的不等式，任取E 上的一个非负简单函数ϕ(x ) 使得x ∈E 时
0≤ϕ(x ) ≤f (x ) ，再任取0
n →∞E
E
令E n =E (f n ≥c ϕ) ，则E n 是E 的可测子集，E n ⊂E n +1，
∞
E n =E 且
n =1
⎰
E
f n (x ) dx ≥⎰f n (x ) dx ≥⎰c ϕ(x ) dx =c ⎰ϕ(x ) dx .
E n
E n
E n
易知lim 故lim
n →∞E n
⎰ϕ(x ) dx =⎰ϕ(x ) dx ，
E n →∞E n
E
n →∞E
⎰f n (x ) dx ≥c (lim⎰ϕ(x ) dx ) =c ⎰ϕ(x ) dx ，由于0
E
n →∞E
E
lim ⎰f n (x ) dx ≥⎰ϕ(x ) dx ，再由ϕ的任意性知lim ⎰f n (x ) dx ≥⎰f (x ) dx .
n →∞E
综上所述，即得lim
n →∞E
⎰f n (x ) dx =⎰f (x ) dx .
E
q
E 上的一列非负可测函数，则 逐项积分定理：设E ⊆R 是可测集，{f n }∞n =1为
∞
∞
⎰(∑f (x )) dx =∑⎰
E
n n =1
n =1
E
f n (x ) dx ．
q
E 上的一列非负可测函数，则 Fatou 引理：设E ⊆R 是可测集，{f n }∞n =1为
⎰⎰⎰
E x →∞n
l i m f x (dx ) ≤
x →∞E
l i ⎰m f n x dx (．)
q
3、一般可测函数的Lebesgue 积分：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 是E 上的可测函数，若
E
f +(x ) dx 和⎰f -(x ) dx 中至少有一个有限，则称f 在E 上积分确定，称⎰f +(x ) dx —
E
E
E
f -(x ) dx 为f 在E 上的Lebesgue 积分，记作⎰f (x ) dx ．若⎰f +(x ) dx 和⎰f -(x ) dx 都
E
E
E
有限，则称f 在E 上L 可积．
TH1：(1)若E ≠φ但mE =0，则E 上的任何实函数f 都是E 上的L 可积且
⎰
E
f (x ) dx =0；
(2)若f 在E 上L 可积，则mE (f =+∞) =0，即f (x )
(3)设f 在E 上积分确定，则f 在E 上的任何子集A 上也积分确定，又若E =A 这里A 和B 都是E 的可测子集且A
B ，
B =φ, 则⎰f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx ；
E
A
B
(4)设f 在E 上积分确定且f (x ) =g (x ) a . e . 于E ，则g 也在E 上积分确定且
⎰
E
f (x ) dx =⎰g (x ) dx ；
E
(5)设f 和g 都在E 上积分确定且f (x ) ≤g (x ) a . e . 于E ，则 (6)设f 在E 上可积，则f 在E 上也可积，且
⎰
E
f ()x dx ≤⎰()g x dx ；
E
⎰
E
f (x ) dx ≤⎰f (x ) ；
E
(7)设f 是E 上的可测函数，g 是E 上的非负L 可积函数且f (x ) ≤g (x ) a . e . 于E ，则f 在E 上也可积，且
q
⎰
E
f (x ) dx ≤⎰f (x ) ≤⎰g (x ) dx .
E
E
TH2：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 和g (x ) 是E 上的L 可积函数，则对于任何的α, β∈R ，
αf +βg 在E 上可积，且α⎰f (x ) dx +β⎰g (x ) dx =⎰(αf (x ) +βg (x ) )dx .
E
E
E
TH3(积分的绝对连续性) ：设E ⊆R 是可测集，f (x ) 是E 上的L 可积函数，则对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的可测集A ⊂E ，只要mA
q
⎰
A
f (x ) dx ≤⎰f (x dx )
A
q
∞
TH4积分的可数可加性：设E ⊆R 是可测集，E =
n =1∞
E n ，E n 都是可测集且i ≠j 时
E i
E j =φ，设f 在E 上积分确定，则⎰f (x ) dx =∑⎰f (x ) dx .
E
n =1
E n
E 上的一列可测函数，F TH5 Lebesgue 控制收敛定理：设E ⊆R 是可测集，{f n }∞n =1为
是E 上的非负L 可积函数，如果对于任意的自然数n ，f n (x ) ≤F (x ) a . e . 于E 且
q
lim f n (x ) =f (x ) a . e . 于E ，则(i)lim ⎰f n (x ) -f (x ) dx =0;(ii)lim ⎰f n (x ) dx =⎰f (x ) dx .
n →∞
n →∞E n →∞E E
Proof ：(i)显然f 在E 上可测且f n (x ) ≤F (x ) a . e . 于E ．由TH1可知f 在E 上可积，每个f n 也在E 上L 可积.
令g n (x ) =f n (x ) -f (x ) , x ∈E , 则g n 在E 上非负L 可积，0≤g n (x ) ≤2F (x ) a . e . 于E 且lim g n (x ) =0a . e . 于E .
n →∞
因而2F (x ) -g n (x ) ≥0a . e . 于E -且lim(2F (x ) -g n (x )) =2F (x ) a . e . 于E ，由Fatou 引
n →∞
理2
⎰
E
F (x ) dx =⎰lim(2F (x ) -g n (x )) dx ≤⎰(2F (x ) -g n (x )) dx
E n →∞
x →∞E
=⎰F (x ) dx -⎰g n (x ) dx ) =2⎰F (x ) dx -lim ⎰g n (x ) dx .
x →∞
E
E
E
n →∞E
所以lim 由于到(ii).
n →∞E
⎰
g n (x ) dx ≤0.
n →∞E
n →∞E
⎰
E
g n (x ) dx ≥0，故lim ⎰g n (x ) dx =0，即lim ⎰f n (x ) -f (x ) dx =0，继而得
q
TH6设E ⊆R 是可测集，f (x , t ) 是E ⨯(a , b ) 上的实函数，如果对于任意的t ∈(a , b ) ，
f (x , t ) 作为x 的函数在E 上L 可积，对于a . e . 的x ∈E ，f (x , t ) 作为t 的函数在(a , b ) 上可
导且
∂
f (x , t ) ≤F (x ) ，这里F 是E 上的某个非负L 可积函数，则⎰f (x , t ) dx 作为t 的函
E ∂t
d ∂
f (x , t ) dx =⎰E ∂t f (x , t ) dx . dt ⎰E
数在(a , b ) 可导，且