导数的工具性
湖南师大附中 罗 勇
以能力立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。在现行的高中数学教材中，导数处于一种特殊的地位，又有其几何意义，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具，它常与函数、数列、向量、不等式、解析几何等内容交叉渗透，自然交汇，使得以导数为载体的数学问题丰富多彩、新颖别致，且自然流畅。
一、教材分析
高中数学新教材在高三分册的最后一章中介绍了导数，主要包括导数的引入、导数的概念、求导的公式、求导的法则和导数的应用等。导数的应用包括两个方面，一是求函数的极值、最值，求函数的单调区间，证明函数的单调性；二是将导数内容和传统内容中有关不等式和函数等知识有机地结合，可解决不等式证明、参数的取值范围、应用题的最优化等问题。设置此类试题，旨在考查导数的基础性、工具性、现代性作用，以强化数学的应用意识。增加的这部分内容不仅是函数的继续、深化和拓展，同时也拓展了中学数学学习和研究的领域。以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、几何意义及其应用为目标，是高考有关导数试题的显著特点和命题趋向。
二、考试要求
有关导数的内容刚进入高考数学新课程卷时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，通过近五年的命题实践，高考对导数考查的思路已基本成熟。考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算与运用。这部分内容的考查一般分三个层次：
第一层次主要考查导数的概念、求导公式、求导法则和某些与实际背景有关的问题（如瞬时速度、边际成本、加速度、切线的斜率等）。
第二层次主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值、求函数的单调区间，证明函数的单调性等。
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一块，设计综合试题。
导数这部分内容在高考中主要以选择题和解答题的形式出现，题量、分值逐步趋于稳定，文科为1道解答题，分值14分，理科为一道选择题和一道解答题，分值为19分。个人统计发现，在2005年的16套试卷中，考查的热点是利用导数求函数的单调区间、证明不等式、求曲线的切线方程、或利用导数解决实际问题中的最值问题。其中直接或间接考察三次函数的问题有北京卷、天津卷、重庆卷、全国卷I 、II 等14题，文科卷尤为突出。
三、考点例析
1、导数与函数
1.1 求函数的解析式
例1 （2005年福建卷）已知函数f (x ) =x 3+bx 2+ax +d 的图象过点P (0, 2) ，且在点M (-1, f (-1)) 处的切线方程是6x -y +7=0.
（I ）求函数y =f (x ) 的解析式；
（II ）求函数y =f (x ) 的单调区间。
本题给出的函数中设置了参变量，并将题设条件改为已知函数在点M 处的切线方程，要求先求出参变量，再求单调区间。解决本题的关键是灵活运用导数的知识，正确建立一个关于待定系数的方程组。
1.2 求函数的单调区间
例2 （2004年全国卷）已知a ∈R ，求函数f (x ) =x 2e ax 的单调区间。
本题着重考查运用导数确定函数单调区间的方法，同时考查学生的运算能力和逻辑推理能力。为了加强对学生能力的考查，本题给出的函数f (x ) 中不仅设置了参变量a ，而且还要运用积的求导法则和复合函数的求导法则。解决本题的关键首先是要正确求出导数f '(x ) ，其次，在解决不等式时，还要对a 实施分类讨论，最后求出单调区间。
1.3 导数与函数的极值、最值、值域
1+x ) - 例3 （2004年全国卷）求函数f (x ) =ln(12x 在[0, 2]上的最大值和最小值。 4
用初等方法难以研究这类函数的单调性、最值，导数无疑为解决这类问题提供了很好的方法。
2、导数与方程
例4 讨论关于x 的方程ln x =k x 的解的个数。
解：如图1，方程ln x =k x 的解的个数就是直线y =kx 与曲线y =ln x 的交点的个数。设直
线y =kx 与曲线y =ln x 相切于点P (t , ln t ) ，则kt =ln t , ∵(lnt ) '=1, t
1∴=k , kt =1=ln t , t
∴t =e , k =1.
e
当k ≤0或k =
当0
当k >1时，原方程有一个解； e 1时，原方程有两个解； e 1时，原方程无解。 e
本题运用求导、数形结合等思想方法，解答简洁明快。
3、导数与数列
12n 例5 求和：4C n +5C n + +(n +3) C n .
0122n n 解：由x 3(1+x ) n =x 3(C n +C n x +C n x + +C n x ) 得，
031425n n +3x 3(1+x ) n =C n x +C n x +C n x + +C n x
将两边同对x 求导，得
021324n n +23x 2(1+x ) n +x 3⋅n (1+x ) n -1=3C n x +4C n x +5C n x + +(n +3) C n x
012n 令x =1得，3⋅2n +n ⋅2n -1=3C n +4C n +5C n + +(n +3) C n
即原式＝(n +6) 2n -1-3.
本题若当作数列求和，用传统方法求解则技巧性较高. 以上解法通过构造二项式，运用导数工具来求和，显得别具一格。
4、导数与三角函数
例6 某人在海上以打鱼为生，他在海上A 地（如图2）捕鱼，
A 地离海岸最近点B 的距离为6km ，点B 离他家C 点10km ，如
果他划船的速度为3km/h，在海岸线BC 上的步行速度为6km/h，
一天回家有事，为了尽快到家，他应在海岸线BC 上离他家多远
的D 点着陆？并求出所用的最少时间。
这是发表在《数学通报》2005年第二期上的文章《一个最优
化问题的多角度探求》中的问题，也是三角函数的应用中的常见
问题。作者用了3种不同的思想方法来解决它，如果用导数解决这一个问题，就会显得轻松、自然、合理。
解：如图2，设∠ADB =θ(∠ACB ≤θ≤图2 C A π
2), 则有
AD =6, BD =6cot θ, DC =10-6cot θ. sin θ
由A 经D 到C 所用的时间
6
AD DC 10-6cot θ52-cos θy =+=+=+. 36363sin θ
求导可得y ′＝(2-cos θ) '⋅sin θ-(2-cos θ) ⋅si n 'θ1-2cos θ=, 22sin θsin θ
1π⇒θ=. 23令y '=0⇒cos θ=
在定义域内只有一个值，根据实际问题的意义，当θ=π
3时，即在海岸线BC 上离家
5DC =10-23的D 点着陆时，所用时间最少为(3+) 小时. 3
5、导数与向量
例7 （2005年湖北卷）已知向量=(x 2, x +1), =(1-x , t ) ，若函数f (x ) =⋅在区间（－1,1）上是增函数，求t 的取值范围。
本题借助向量的坐标得到了f(x)的解析式，然后用导数知识得到了变量t 必须满足的不等式组，交汇自然流畅。
6、导数与不等式
不等式证明是高中数学中的重要内容，也是不等式的难点，虽然证明不等式有众多方法，但有些问题也很难下手，导数这一工具性知识的引入，为我们证明不等式开辟了一条新的路径，将导数和不等式知识有机地结合起来，可以设计出题型新颖、综合性较强的试题，往往可以作为压轴题出现。
例8 （2001年全国卷）已知m 、n 是正整数，且1(1+n ) m 。证明：因为1. m n
于是，构造函数f (x ) =ln(1+x ) (x ≥2). x
可求得f '(x ) =x -(1+x ) ln(1+x ) . 2x (1+x )
1+x ) >1, ∵x ≥2, ∴ln(
1+x )
∴f(x)在[2, +∞) 内是减函数. ∵1
∴f (m ) >f (n ).
即ln(1+m ) ln(1+n ) >. m n
从而有(1+m ) n >(1+n ) m .
例9 （2004年全国卷）设f (x ) =x ln x , 0
0
a +x )(x >0), 2证明：设F (x ) =f (a ) +f (x ) -2f (
F '(x ) =(x ln x ) '-2(a +x a +x a +x , ln ) '=ln x -ln 222
当x >a , F '(x ) >0，当0∴F(x)在(a , +∞) 是单调递增，在(0,a)是单调递减，又∵F(a)＝0，
∴对x >a >0, F (x ) >0. 令x =b ，
∴当b ＞a ＞0时，0
设G (x ) =F (x ) -(x -a ) ln 2 (x＞0) ， a +b ), 2
G '(x )=ln x -ln a +x -ln 2=ln x -ln(a +x ). 2
∵a ＞0， ∴当x ＞0时，G '(x )
又∵G(a)＝0，∴对b >a >0, G (b )
综上所述，原命题为真.
例10 （2005年湖南卷）已知函数f (x ) =ln x , g (x ) =12ax +bx , a ≠0. 2
（I ）若b ＝2，且h (x ) =f (x ) -g (x ) 存在单调递减区间，求a 的取值范围；
（II ）设函数f (x ) 的图象C 1与函数g(x)图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行。
（II ）证法一： 设点P 、Q 的坐标分别是(x 1, y 1), (x 2, y 2), 0
的斜率k 2=a (x 1+x 2) +b . 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则2
k 1=k 2. 即a (x 1+x 2) 2=+b ，则 x 1+x 22
2(x 2-x 1) a 2a 2a 22=(x 2-x 1) +b (x 2-x 1) =(x 2+bx 2) -(x 1+bx 1) x 1+x 2222
=y 2-y 1=ln x 2-ln x 1.
x 2-1) x x 2x 12(t -1) , t >1. ① 所以ln =. 设t =2, 则ln t =x 1+t x 1x 11+2
x 12(
2(t -1) 14(t -1) 2
, t >1. 则r '(t ) =-令r (t ) =ln t -=. 1+t t (t +1) 2t (t +1) 2
因为t ＞1时，r '(t ) >0，所以r(t)在[1, +∞) 上单调递增. 故r (t ) >r (1) =0. 则ln t >2(t -1) . 这与①矛盾，所以假设不成立. 1+t
故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行。
证法二： 同证法一得(x 2+x 1)(lnx 2-ln x 1) =2(x 2-x 1).
因为x 1>0, 所以(x 2x x +1) ln 2=2(2-1). x 1x 1x 1
令t =x 2, 得(t +1) ln t =2(t -1), t >1. ② x 1
1-1. t 令r (t ) =(t +1) ln t -2(t -1), t >1, 则r '(t ) =ln t +
因为(lnt +) '=1
t 11t -11-2=2, 所以t ＞1时，(lnt +) '>0. t t t t
故ln t +11在[1, +∞) 上单调递增. 从而ln t +-1>0, 即r '(t ) >0. t t
于是r (t ) 在[1, +∞）上单调递增.
故r (t ) >r (1) =0. 即(t +1) ln t >2(t -1). 这与②矛盾，所以假设不成立。
故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行。
7、导数与解析几何
例11 （2003年全国高考题）已知抛物线C 1:y =x 2+2x 和C 2:y =-x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线. 公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
（1）a 取什么值时，C 1和C 2有且只有一条公切线？写出此公切线的方程；
（2）若C 1和C 2有两公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。
导数的几何意义为导数与解析几何的结合奠定了坚实的基础，从这个意义上讲，导数也是数形结合的桥梁。本题中通过公切线引入，新颖别致，在解题过程中还渗透了同一法的思想。
8、导数与立体几何
例12 （2005年全国卷III ）用长为90cm
的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别
截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再
焊接而成（如图3），问该容器的高为多少时，容
器的容积最大？最大容积是多少？ 图3
老教材中涉及到的这类问题，在建立数学模型后，通常要运用基本不等式求最值，有时还需探讨函数的单调性，技巧性较强，过程繁杂，凭借导数这一先进工具，大大降低了这类问题解决的难度。
9、导数与应用题
例13 如图4，若电灯（B ）可在过桌面上一点O 的垂线上
移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点O 的
距离为多大时，可使点A 处有最大的照度？（由光学知识知，照
度y 与sin θ成正比，与r 成反比）
解： 设O 到B 的距离为x ，则sin θ=
于是
2图4 x , r =r x 2+a 2,
y =c ⋅x =c ⋅r (x 2+a 2) x (x 2+a 2) 3
2， (x ≥0) （c 是与灯光强度有关的常数）
因为y '=c ⋅a 2-2x 2
(x 2+a 2) 5
2. 由y '=0得x =2a . 2
易知y =f (x ) 在 0, ⎛
⎝⎡2a ⎫2a ⎤⎪上递减。 , +∞上递增，在⎥⎢⎪2⎦⎣2⎭
所以函数y =f (x ) 在x =2a 处有极大值，也是最大值，即当电灯B 与O 点距离为2
2a 时. 点A 的照度y 为最大。 2
在数学建模，函数与导数等的交汇处设计应用题，是高考新课程的一大特点，本题运用导数知识，降低了计算的难度，淡化了计算的技巧，解法流畅。
导数作为工具不但为研究函数相关问题提供了有效的途径和简便的方法，同时在解决其它的问题上也有不可替代的优越性。积极利用导数解题，一方面体现了与新教材的主动接轨，另一方面则突出了通法，淡化了技巧。教师在平时的教学中应有意识的培养学生应用导数解决数学中的其它问题。这不仅体现了新教材增加导数内容的本意，同时也拓展了学生的解题空间，开阔了学生的视野、提高了学生的解题能力，体现了新课程的要求和特点。
不当之处，敬请各位同行斧正。
导数的工具性
湖南师大附中 罗 勇
以能力立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。在现行的高中数学教材中，导数处于一种特殊的地位，又有其几何意义，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具，它常与函数、数列、向量、不等式、解析几何等内容交叉渗透，自然交汇，使得以导数为载体的数学问题丰富多彩、新颖别致，且自然流畅。
一、教材分析
高中数学新教材在高三分册的最后一章中介绍了导数，主要包括导数的引入、导数的概念、求导的公式、求导的法则和导数的应用等。导数的应用包括两个方面，一是求函数的极值、最值，求函数的单调区间，证明函数的单调性；二是将导数内容和传统内容中有关不等式和函数等知识有机地结合，可解决不等式证明、参数的取值范围、应用题的最优化等问题。设置此类试题，旨在考查导数的基础性、工具性、现代性作用，以强化数学的应用意识。增加的这部分内容不仅是函数的继续、深化和拓展，同时也拓展了中学数学学习和研究的领域。以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、几何意义及其应用为目标，是高考有关导数试题的显著特点和命题趋向。
二、考试要求
有关导数的内容刚进入高考数学新课程卷时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，通过近五年的命题实践，高考对导数考查的思路已基本成熟。考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算与运用。这部分内容的考查一般分三个层次：
第一层次主要考查导数的概念、求导公式、求导法则和某些与实际背景有关的问题（如瞬时速度、边际成本、加速度、切线的斜率等）。
第二层次主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值、求函数的单调区间，证明函数的单调性等。
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一块，设计综合试题。
导数这部分内容在高考中主要以选择题和解答题的形式出现，题量、分值逐步趋于稳定，文科为1道解答题，分值14分，理科为一道选择题和一道解答题，分值为19分。个人统计发现，在2005年的16套试卷中，考查的热点是利用导数求函数的单调区间、证明不等式、求曲线的切线方程、或利用导数解决实际问题中的最值问题。其中直接或间接考察三次函数的问题有北京卷、天津卷、重庆卷、全国卷I 、II 等14题，文科卷尤为突出。
三、考点例析
1、导数与函数
1.1 求函数的解析式
例1 （2005年福建卷）已知函数f (x ) =x 3+bx 2+ax +d 的图象过点P (0, 2) ，且在点M (-1, f (-1)) 处的切线方程是6x -y +7=0.
（I ）求函数y =f (x ) 的解析式；
（II ）求函数y =f (x ) 的单调区间。
本题给出的函数中设置了参变量，并将题设条件改为已知函数在点M 处的切线方程，要求先求出参变量，再求单调区间。解决本题的关键是灵活运用导数的知识，正确建立一个关于待定系数的方程组。
1.2 求函数的单调区间
例2 （2004年全国卷）已知a ∈R ，求函数f (x ) =x 2e ax 的单调区间。
本题着重考查运用导数确定函数单调区间的方法，同时考查学生的运算能力和逻辑推理能力。为了加强对学生能力的考查，本题给出的函数f (x ) 中不仅设置了参变量a ，而且还要运用积的求导法则和复合函数的求导法则。解决本题的关键首先是要正确求出导数f '(x ) ，其次，在解决不等式时，还要对a 实施分类讨论，最后求出单调区间。
1.3 导数与函数的极值、最值、值域
1+x ) - 例3 （2004年全国卷）求函数f (x ) =ln(12x 在[0, 2]上的最大值和最小值。 4
用初等方法难以研究这类函数的单调性、最值，导数无疑为解决这类问题提供了很好的方法。
2、导数与方程
例4 讨论关于x 的方程ln x =k x 的解的个数。
解：如图1，方程ln x =k x 的解的个数就是直线y =kx 与曲线y =ln x 的交点的个数。设直
线y =kx 与曲线y =ln x 相切于点P (t , ln t ) ，则kt =ln t , ∵(lnt ) '=1, t
1∴=k , kt =1=ln t , t
∴t =e , k =1.
e
当k ≤0或k =
当0
当k >1时，原方程有一个解； e 1时，原方程有两个解； e 1时，原方程无解。 e
本题运用求导、数形结合等思想方法，解答简洁明快。
3、导数与数列
12n 例5 求和：4C n +5C n + +(n +3) C n .
0122n n 解：由x 3(1+x ) n =x 3(C n +C n x +C n x + +C n x ) 得，
031425n n +3x 3(1+x ) n =C n x +C n x +C n x + +C n x
将两边同对x 求导，得
021324n n +23x 2(1+x ) n +x 3⋅n (1+x ) n -1=3C n x +4C n x +5C n x + +(n +3) C n x
012n 令x =1得，3⋅2n +n ⋅2n -1=3C n +4C n +5C n + +(n +3) C n
即原式＝(n +6) 2n -1-3.
本题若当作数列求和，用传统方法求解则技巧性较高. 以上解法通过构造二项式，运用导数工具来求和，显得别具一格。
4、导数与三角函数
例6 某人在海上以打鱼为生，他在海上A 地（如图2）捕鱼，
A 地离海岸最近点B 的距离为6km ，点B 离他家C 点10km ，如
果他划船的速度为3km/h，在海岸线BC 上的步行速度为6km/h，
一天回家有事，为了尽快到家，他应在海岸线BC 上离他家多远
的D 点着陆？并求出所用的最少时间。
这是发表在《数学通报》2005年第二期上的文章《一个最优
化问题的多角度探求》中的问题，也是三角函数的应用中的常见
问题。作者用了3种不同的思想方法来解决它，如果用导数解决这一个问题，就会显得轻松、自然、合理。
解：如图2，设∠ADB =θ(∠ACB ≤θ≤图2 C A π
2), 则有
AD =6, BD =6cot θ, DC =10-6cot θ. sin θ
由A 经D 到C 所用的时间
6
AD DC 10-6cot θ52-cos θy =+=+=+. 36363sin θ
求导可得y ′＝(2-cos θ) '⋅sin θ-(2-cos θ) ⋅si n 'θ1-2cos θ=, 22sin θsin θ
1π⇒θ=. 23令y '=0⇒cos θ=
在定义域内只有一个值，根据实际问题的意义，当θ=π
3时，即在海岸线BC 上离家
5DC =10-23的D 点着陆时，所用时间最少为(3+) 小时. 3
5、导数与向量
例7 （2005年湖北卷）已知向量=(x 2, x +1), =(1-x , t ) ，若函数f (x ) =⋅在区间（－1,1）上是增函数，求t 的取值范围。
本题借助向量的坐标得到了f(x)的解析式，然后用导数知识得到了变量t 必须满足的不等式组，交汇自然流畅。
6、导数与不等式
不等式证明是高中数学中的重要内容，也是不等式的难点，虽然证明不等式有众多方法，但有些问题也很难下手，导数这一工具性知识的引入，为我们证明不等式开辟了一条新的路径，将导数和不等式知识有机地结合起来，可以设计出题型新颖、综合性较强的试题，往往可以作为压轴题出现。
例8 （2001年全国卷）已知m 、n 是正整数，且1(1+n ) m 。证明：因为1. m n
于是，构造函数f (x ) =ln(1+x ) (x ≥2). x
可求得f '(x ) =x -(1+x ) ln(1+x ) . 2x (1+x )
1+x ) >1, ∵x ≥2, ∴ln(
1+x )
∴f(x)在[2, +∞) 内是减函数. ∵1
∴f (m ) >f (n ).
即ln(1+m ) ln(1+n ) >. m n
从而有(1+m ) n >(1+n ) m .
例9 （2004年全国卷）设f (x ) =x ln x , 0
0
a +x )(x >0), 2证明：设F (x ) =f (a ) +f (x ) -2f (
F '(x ) =(x ln x ) '-2(a +x a +x a +x , ln ) '=ln x -ln 222
当x >a , F '(x ) >0，当0∴F(x)在(a , +∞) 是单调递增，在(0,a)是单调递减，又∵F(a)＝0，
∴对x >a >0, F (x ) >0. 令x =b ，
∴当b ＞a ＞0时，0
设G (x ) =F (x ) -(x -a ) ln 2 (x＞0) ， a +b ), 2
G '(x )=ln x -ln a +x -ln 2=ln x -ln(a +x ). 2
∵a ＞0， ∴当x ＞0时，G '(x )
又∵G(a)＝0，∴对b >a >0, G (b )
综上所述，原命题为真.
例10 （2005年湖南卷）已知函数f (x ) =ln x , g (x ) =12ax +bx , a ≠0. 2
（I ）若b ＝2，且h (x ) =f (x ) -g (x ) 存在单调递减区间，求a 的取值范围；
（II ）设函数f (x ) 的图象C 1与函数g(x)图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行。
（II ）证法一： 设点P 、Q 的坐标分别是(x 1, y 1), (x 2, y 2), 0
的斜率k 2=a (x 1+x 2) +b . 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则2
k 1=k 2. 即a (x 1+x 2) 2=+b ，则 x 1+x 22
2(x 2-x 1) a 2a 2a 22=(x 2-x 1) +b (x 2-x 1) =(x 2+bx 2) -(x 1+bx 1) x 1+x 2222
=y 2-y 1=ln x 2-ln x 1.
x 2-1) x x 2x 12(t -1) , t >1. ① 所以ln =. 设t =2, 则ln t =x 1+t x 1x 11+2
x 12(
2(t -1) 14(t -1) 2
, t >1. 则r '(t ) =-令r (t ) =ln t -=. 1+t t (t +1) 2t (t +1) 2
因为t ＞1时，r '(t ) >0，所以r(t)在[1, +∞) 上单调递增. 故r (t ) >r (1) =0. 则ln t >2(t -1) . 这与①矛盾，所以假设不成立. 1+t
故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行。
证法二： 同证法一得(x 2+x 1)(lnx 2-ln x 1) =2(x 2-x 1).
因为x 1>0, 所以(x 2x x +1) ln 2=2(2-1). x 1x 1x 1
令t =x 2, 得(t +1) ln t =2(t -1), t >1. ② x 1
1-1. t 令r (t ) =(t +1) ln t -2(t -1), t >1, 则r '(t ) =ln t +
因为(lnt +) '=1
t 11t -11-2=2, 所以t ＞1时，(lnt +) '>0. t t t t
故ln t +11在[1, +∞) 上单调递增. 从而ln t +-1>0, 即r '(t ) >0. t t
于是r (t ) 在[1, +∞）上单调递增.
故r (t ) >r (1) =0. 即(t +1) ln t >2(t -1). 这与②矛盾，所以假设不成立。
故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行。
7、导数与解析几何
例11 （2003年全国高考题）已知抛物线C 1:y =x 2+2x 和C 2:y =-x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线. 公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
（1）a 取什么值时，C 1和C 2有且只有一条公切线？写出此公切线的方程；
（2）若C 1和C 2有两公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。
导数的几何意义为导数与解析几何的结合奠定了坚实的基础，从这个意义上讲，导数也是数形结合的桥梁。本题中通过公切线引入，新颖别致，在解题过程中还渗透了同一法的思想。
8、导数与立体几何
例12 （2005年全国卷III ）用长为90cm
的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别
截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再
焊接而成（如图3），问该容器的高为多少时，容
器的容积最大？最大容积是多少？ 图3
老教材中涉及到的这类问题，在建立数学模型后，通常要运用基本不等式求最值，有时还需探讨函数的单调性，技巧性较强，过程繁杂，凭借导数这一先进工具，大大降低了这类问题解决的难度。
9、导数与应用题
例13 如图4，若电灯（B ）可在过桌面上一点O 的垂线上
移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点O 的
距离为多大时，可使点A 处有最大的照度？（由光学知识知，照
度y 与sin θ成正比，与r 成反比）
解： 设O 到B 的距离为x ，则sin θ=
于是
2图4 x , r =r x 2+a 2,
y =c ⋅x =c ⋅r (x 2+a 2) x (x 2+a 2) 3
2， (x ≥0) （c 是与灯光强度有关的常数）
因为y '=c ⋅a 2-2x 2
(x 2+a 2) 5
2. 由y '=0得x =2a . 2
易知y =f (x ) 在 0, ⎛
⎝⎡2a ⎫2a ⎤⎪上递减。 , +∞上递增，在⎥⎢⎪2⎦⎣2⎭
所以函数y =f (x ) 在x =2a 处有极大值，也是最大值，即当电灯B 与O 点距离为2
2a 时. 点A 的照度y 为最大。 2
在数学建模，函数与导数等的交汇处设计应用题，是高考新课程的一大特点，本题运用导数知识，降低了计算的难度，淡化了计算的技巧，解法流畅。
导数作为工具不但为研究函数相关问题提供了有效的途径和简便的方法，同时在解决其它的问题上也有不可替代的优越性。积极利用导数解题，一方面体现了与新教材的主动接轨，另一方面则突出了通法，淡化了技巧。教师在平时的教学中应有意识的培养学生应用导数解决数学中的其它问题。这不仅体现了新教材增加导数内容的本意，同时也拓展了学生的解题空间，开阔了学生的视野、提高了学生的解题能力，体现了新课程的要求和特点。
不当之处，敬请各位同行斧正。