高一数学参考答案
一选择题: A B B A C；D C B C A. 二填空题: 11. 61； 12. 1；
13.
三解答题:
15解：解：（1）①处填20，②处填0.35；
……4分 （2）507个画师中年龄在[30, 35)的人数为
18
； 14. . 315
0. 35⨯507≈177 人 ……8分
补全频率分布直方图如图所示. ……12分
岁
16解:（1）从6个玻璃球中任取一个，共有6种结果，并且每种结果出现的可能性相同，
取得红球或黑球共有5种结果. 所以，由古典概率公式得P =
5
· ………………5分 6
（2）从6个玻璃球中任取两个，共有15种结果，并且每种结果出现的可能性相同，
取到的球中没有红球共有6种结果. 又没有红球和至少一个红球为对立事件, 所以
63
=· ………………12分 155
πππ
17解法一：（1）由cos cos φ-sin sin φ=0得cos(+ϕ) =0
444
ππ
又0
24
P =1-
（2）由（1）得，f (x )=sin x +
⎛
⎝
π⎫⎪ 4⎭
⎛⎝
π⎫⎪ 4⎭
函数f (x ) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )=sin x +m + g (x ) 是偶函数当且仅当m + 即 m =k π+
ππ
=k π+，(k ∈Z ) 42
π
，(k ∈
Z )
4
从而，最小正实数m =解法二：
（1）同解法一
（2）由（1）得，f (x )=sin x +
π
. ………………14分 4
⎛⎝
π⎫⎪ 4⎭
⎛⎝
π⎫⎪ 4⎭
函数f (x ) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )=sin x +m + g (x ) 是偶函数当且仅当g (-x )=g (x )，对x ∈R 恒成立(k ∈Z )
亦即sin -x +m +
⎛⎝
π⎫⎛
⎪=sin x +m +4⎭⎝π⎫
⎪对x ∈R 恒成立。 4⎭
π⎫π⎫⎛⎛
∴sin (-x )cos m +⎪+cos (-x )sin m +⎪
4⎭4⎭⎝⎝π⎫π⎫⎛⎛
=sin x cos m +⎪+cos x sin m +⎪
4⎭4⎭⎝⎝
即2sin (x )cos m +
⎛⎝
π⎫
⎪=0 对x ∈R 恒成立 4⎭
⎛∴cos m +
⎝
故m +
π⎫⎪=0 4⎭
πππ
=k π+，(k ∈Z ) 即 m =k π+，(k ∈Z ) 424
π
从而，最小正实数m =. ………………14分
4
1
18解：（1）甲=⨯(25+41+40+37+22+15)=30(cm )
6
x 乙=
1
⨯(29+18+45+31+46+17)=31(cm ) 6
所以 x 甲
2
（2）S 甲=
122222
⨯(25-30)+(41-30)+ +(22-30)+(15-30)≈97. 3cm 6
[]
()
2S 乙=
12222
⨯(29-31)+(18-31)+ +(46-31)+(17-31)≈131. 7cm 2 6
[]
()
22
所以S 甲，故甲种玉米长得齐． ………………14分
19解:由已知a =(1，-1) ，b =(4，3) ………………2分
（1）⋅=1⨯4+(-1)⨯3=1
∵+=(1, -1)+(4, 3)=(5, 2)
∴
|a +b |= ………………8分
（2）设a ，b 夹角为θ
则
cos θ=1=2 ………………14分
2⨯51020解：f (x )=⋅= 2cos
⎛
⎝
x ⎫⎛⎛x π⎫⎫, 1⎪⋅ 2sin +⎪, -1⎪⎪ 2⎭ 24⎝⎭⎭⎝
π⎫
⎪-1 4⎭
=22cos
x ⎛x ⋅sin +2⎝2
=sin x +cos x =
π⎫⎛
2sin x +⎪ ………………4分
4⎭⎝
（1）y =sin x 的单调区间是⎡2k π-π, 2k π+π⎤ k ∈Z 和⎡2k π+π, 2k π+3π⎤k ∈Z ； ⎢⎢22⎥22⎥⎣⎦⎣⎦
由2k π- 由2k π+
πππ3ππ
≤x +≤2k π+，解得：2k π-≤x ≤2k π+ k ∈Z ； 24244ππ3ππ5π
k ∈Z ≤x +≤2k π+，解得：2k π+≤x ≤2k π+
24244
函数f (x )=
π⎫⎛3ππ⎤k ∈Z ；
2sin x +⎪的单调增区间是⎡2k π-, 2k π+⎢4⎭44⎥⎝⎣⎦
单调减区间是⎡2k π+π, 2k π+5π⎤k ∈Z ………9分
⎢24⎥⎣⎦
（2）当x ∈⎢-
π⎡π3π⎤⎛
, ⎥时，0≤x +≤π，sin x +
4⎣44⎦⎝π⎫
⎪∈[0, 1] 4⎭
f (x )=
2sin ⎛
π⎫⎝
x +4⎪⎭≤2
所以当m ∈2, +∞)时，f (x )-m ≤0恒成立.
………………14分
高一数学参考答案
一选择题: A B B A C；D C B C A. 二填空题: 11. 61； 12. 1；
13.
三解答题:
15解：解：（1）①处填20，②处填0.35；
……4分 （2）507个画师中年龄在[30, 35)的人数为
18
； 14. . 315
0. 35⨯507≈177 人 ……8分
补全频率分布直方图如图所示. ……12分
岁
16解:（1）从6个玻璃球中任取一个，共有6种结果，并且每种结果出现的可能性相同，
取得红球或黑球共有5种结果. 所以，由古典概率公式得P =
5
· ………………5分 6
（2）从6个玻璃球中任取两个，共有15种结果，并且每种结果出现的可能性相同，
取到的球中没有红球共有6种结果. 又没有红球和至少一个红球为对立事件, 所以
63
=· ………………12分 155
πππ
17解法一：（1）由cos cos φ-sin sin φ=0得cos(+ϕ) =0
444
ππ
又0
24
P =1-
（2）由（1）得，f (x )=sin x +
⎛
⎝
π⎫⎪ 4⎭
⎛⎝
π⎫⎪ 4⎭
函数f (x ) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )=sin x +m + g (x ) 是偶函数当且仅当m + 即 m =k π+
ππ
=k π+，(k ∈Z ) 42
π
，(k ∈
Z )
4
从而，最小正实数m =解法二：
（1）同解法一
（2）由（1）得，f (x )=sin x +
π
. ………………14分 4
⎛⎝
π⎫⎪ 4⎭
⎛⎝
π⎫⎪ 4⎭
函数f (x ) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )=sin x +m + g (x ) 是偶函数当且仅当g (-x )=g (x )，对x ∈R 恒成立(k ∈Z )
亦即sin -x +m +
⎛⎝
π⎫⎛
⎪=sin x +m +4⎭⎝π⎫
⎪对x ∈R 恒成立。 4⎭
π⎫π⎫⎛⎛
∴sin (-x )cos m +⎪+cos (-x )sin m +⎪
4⎭4⎭⎝⎝π⎫π⎫⎛⎛
=sin x cos m +⎪+cos x sin m +⎪
4⎭4⎭⎝⎝
即2sin (x )cos m +
⎛⎝
π⎫
⎪=0 对x ∈R 恒成立 4⎭
⎛∴cos m +
⎝
故m +
π⎫⎪=0 4⎭
πππ
=k π+，(k ∈Z ) 即 m =k π+，(k ∈Z ) 424
π
从而，最小正实数m =. ………………14分
4
1
18解：（1）甲=⨯(25+41+40+37+22+15)=30(cm )
6
x 乙=
1
⨯(29+18+45+31+46+17)=31(cm ) 6
所以 x 甲
2
（2）S 甲=
122222
⨯(25-30)+(41-30)+ +(22-30)+(15-30)≈97. 3cm 6
[]
()
2S 乙=
12222
⨯(29-31)+(18-31)+ +(46-31)+(17-31)≈131. 7cm 2 6
[]
()
22
所以S 甲，故甲种玉米长得齐． ………………14分
19解:由已知a =(1，-1) ，b =(4，3) ………………2分
（1）⋅=1⨯4+(-1)⨯3=1
∵+=(1, -1)+(4, 3)=(5, 2)
∴
|a +b |= ………………8分
（2）设a ，b 夹角为θ
则
cos θ=1=2 ………………14分
2⨯51020解：f (x )=⋅= 2cos
⎛
⎝
x ⎫⎛⎛x π⎫⎫, 1⎪⋅ 2sin +⎪, -1⎪⎪ 2⎭ 24⎝⎭⎭⎝
π⎫
⎪-1 4⎭
=22cos
x ⎛x ⋅sin +2⎝2
=sin x +cos x =
π⎫⎛
2sin x +⎪ ………………4分
4⎭⎝
（1）y =sin x 的单调区间是⎡2k π-π, 2k π+π⎤ k ∈Z 和⎡2k π+π, 2k π+3π⎤k ∈Z ； ⎢⎢22⎥22⎥⎣⎦⎣⎦
由2k π- 由2k π+
πππ3ππ
≤x +≤2k π+，解得：2k π-≤x ≤2k π+ k ∈Z ； 24244ππ3ππ5π
k ∈Z ≤x +≤2k π+，解得：2k π+≤x ≤2k π+
24244
函数f (x )=
π⎫⎛3ππ⎤k ∈Z ；
2sin x +⎪的单调增区间是⎡2k π-, 2k π+⎢4⎭44⎥⎝⎣⎦
单调减区间是⎡2k π+π, 2k π+5π⎤k ∈Z ………9分
⎢24⎥⎣⎦
（2）当x ∈⎢-
π⎡π3π⎤⎛
, ⎥时，0≤x +≤π，sin x +
4⎣44⎦⎝π⎫
⎪∈[0, 1] 4⎭
f (x )=
2sin ⎛
π⎫⎝
x +4⎪⎭≤2
所以当m ∈2, +∞)时，f (x )-m ≤0恒成立.
………………14分