§1.4 克拉默（Cramer）法则
一.基本概念
关于n个待求量xi的n个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1⎪ax+ax+L+ax=b⎪2222nn2
⎨212 （1）；
MM⎪
⎪⎩an1x1+an2x2+L+annxn=bn
若bi=0，(i=1,2,L,n)则称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组．n阶行列式
a11D=
a21Man1
a12a22M
La1nLa2nO
M
an2Lann
称为方程组（1）的系数行列式． 二.Cramer（克拉默）法则
1.法则内容：若n元方程组（1）的系数行列式D ≠ 0 ，则方程组有唯一解 xj=
DjD
(j=1,2,L,n) （2）
其中Dj是把D中的第j列换成（1）中右端的b1,b2,…,bn所构成的n阶行列式，
即 Dj=
a11La1j−1a21La2j−1
b1b2
a1j+1La1na2j+1La2nManj+1
MMLann
MMMMan1Lanj−1bn
n
．
2.说明：①.本法则的证明，见教材P.29-30；首先要习惯（1）式的缩写法 ∑aijxj=bi
j=1
(i=1,2,L,n) （3）
②. 证明(2)是(1)的解，就是把(2)代入(3)中，成立；
③. 证明(2)是(1)的唯一解，就是先设(1)有某解，再证明它是取(2)的形式．
3.推论：若全部bi=0，即对齐次线性方程组，
①.若D≠0，则全部xi=0；②.若xi不全为零，则D = 0 ．
三.例题
1.二元线性方程组的Cramer法则
⎧ax+a12y=b1
⎨11 ．
axayb+=222⎩21
解：本题 D=
a11a21
a12a22
，D1=
D1
D
,
b1b2
a12a22
，D2=
a11a21
b1b2
，
若 D≠0 ，则 x=y=
D2
．D
2.三元线性方程组的Cramer法则
⎧a11x+a12y+a13z=b1⎪
⎨a21x+a22y+a23z=b2 ．⎪ax+ay+az=b
22332⎩21
a11
a21a22
a23b1b2b3D1Da31
b1
a21a22a23a21a22a23
a31a32 ，a33b1b2 ，b3
解：本题 D=a12
a13
a11
a32 ， D1=b2a33b3a31
a11
a32 ， D3=a12a33a13
,
D2=a12
a13
若 D≠0，则 x=y=
D2D
,z=
D3
．D
⎧2x−4y+z=1⎪
3. [P.3例l]：⎨x−5y+3z=2
⎪x−y+z=−1⎩
2−41
1
−41
解： D=1−53=−8 ， D1=2−53=11 ，
1−11−1−11
2
1
1
2−4
1
D2=123=9 ， D3=1−52=6 ，1−111−1−1∴ x=−
11
,8
y=−
93
,z=− ．84
4.[P.31例3] 问 λ 为何值时，方程组
⎧λx1+x2+x3=0⎪
⎨x1+λx2+x3=0⎪x+x+λx=0
23⎩1
有非零解．
解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ1
1
1
1
0=1λ1======(λ+2)λ1
再c1÷(λ+2)
11λ1λ
===(λ+2)λ−10=(λ+2)(λ−1)2 ,
j=2,3
0λ−1得 λ = -2或λ = 1．
[讨论：易见，对 λ = 1，原三个方程，其实只是一个方程；三个变量中，有两个变量是完全“自由”的．]
cj−c1
c1+(c2+c3)
00
作业(P.32)： 1.(1)； 2；
§1.4 克拉默（Cramer）法则
一.基本概念
关于n个待求量xi的n个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1⎪ax+ax+L+ax=b⎪2222nn2
⎨212 （1）；
MM⎪
⎪⎩an1x1+an2x2+L+annxn=bn
若bi=0，(i=1,2,L,n)则称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组．n阶行列式
a11D=
a21Man1
a12a22M
La1nLa2nO
M
an2Lann
称为方程组（1）的系数行列式． 二.Cramer（克拉默）法则
1.法则内容：若n元方程组（1）的系数行列式D ≠ 0 ，则方程组有唯一解 xj=
DjD
(j=1,2,L,n) （2）
其中Dj是把D中的第j列换成（1）中右端的b1,b2,…,bn所构成的n阶行列式，
即 Dj=
a11La1j−1a21La2j−1
b1b2
a1j+1La1na2j+1La2nManj+1
MMLann
MMMMan1Lanj−1bn
n
．
2.说明：①.本法则的证明，见教材P.29-30；首先要习惯（1）式的缩写法 ∑aijxj=bi
j=1
(i=1,2,L,n) （3）
②. 证明(2)是(1)的解，就是把(2)代入(3)中，成立；
③. 证明(2)是(1)的唯一解，就是先设(1)有某解，再证明它是取(2)的形式．
3.推论：若全部bi=0，即对齐次线性方程组，
①.若D≠0，则全部xi=0；②.若xi不全为零，则D = 0 ．
三.例题
1.二元线性方程组的Cramer法则
⎧ax+a12y=b1
⎨11 ．
axayb+=222⎩21
解：本题 D=
a11a21
a12a22
，D1=
D1
D
,
b1b2
a12a22
，D2=
a11a21
b1b2
，
若 D≠0 ，则 x=y=
D2
．D
2.三元线性方程组的Cramer法则
⎧a11x+a12y+a13z=b1⎪
⎨a21x+a22y+a23z=b2 ．⎪ax+ay+az=b
22332⎩21
a11
a21a22
a23b1b2b3D1Da31
b1
a21a22a23a21a22a23
a31a32 ，a33b1b2 ，b3
解：本题 D=a12
a13
a11
a32 ， D1=b2a33b3a31
a11
a32 ， D3=a12a33a13
,
D2=a12
a13
若 D≠0，则 x=y=
D2D
,z=
D3
．D
⎧2x−4y+z=1⎪
3. [P.3例l]：⎨x−5y+3z=2
⎪x−y+z=−1⎩
2−41
1
−41
解： D=1−53=−8 ， D1=2−53=11 ，
1−11−1−11
2
1
1
2−4
1
D2=123=9 ， D3=1−52=6 ，1−111−1−1∴ x=−
11
,8
y=−
93
,z=− ．84
4.[P.31例3] 问 λ 为何值时，方程组
⎧λx1+x2+x3=0⎪
⎨x1+λx2+x3=0⎪x+x+λx=0
23⎩1
有非零解．
解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ1
1
1
1
0=1λ1======(λ+2)λ1
再c1÷(λ+2)
11λ1λ
===(λ+2)λ−10=(λ+2)(λ−1)2 ,
j=2,3
0λ−1得 λ = -2或λ = 1．
[讨论：易见，对 λ = 1，原三个方程，其实只是一个方程；三个变量中，有两个变量是完全“自由”的．]
cj−c1
c1+(c2+c3)
00
作业(P.32)： 1.(1)； 2；