圆锥曲线的知识点.结论.易错点.真题

(一)椭圆及其标准方程

1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.

x2y2y2x2

2.椭圆的标准方程：221（a＞b＞0），221（a＞b＞0）.

abab

3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆

的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (二)椭圆的简单几何性质

x2y2

1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为221（a＞b＞0）.

ab

⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形里.

⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个A1（-a，0）、A2（a，0）B1（0，-b）、B2（0，b）.线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e

c

叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近a

c

（e＜1＝时，这个动点的a

于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义

⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e轨迹是椭圆.

x2y2a2

⑵ 准线：根据椭圆的对称性，221（a＞b＞0）的准线有两条，它们的方程为x.对于椭圆

cab

y2x2a2

1（a＞b＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即y.

ca2b2

3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

x2y2

设F1（-c，0），F2（c，0）分别为椭圆221（a＞b＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任

ab

一点，则两条焦半径长分别为MF1aex，MF2aex.

e椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a=b+c、

两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.

4.椭圆的参数方程

2

2

2

ca

xacosx2y2

椭圆221（a＞b＞0）的参数方程为（θ为参数）.

abybsin

说明: ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：

tan

b

tan； a

x2y222

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程221与三角恒等式cossin1相比较而得到，所以椭圆的参数方

ab

xacosx2y2

程的实质是三角代换. 椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsin

5.椭圆的的内外部

x2y2

（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部

abx2y2

（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部

ab

6. 椭圆的切线方程

22

x0y0

21. 2

ab22x0y0

1. a2b2

xxyyx2y2

(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

abab

xxyyx2y2

（2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021.

abab

x2y2

（3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2

ab

(三)双曲线及其标准方程

1.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.

若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

x2y2y2x2222

2. 双曲线的标准方程221和221（a＞0，b＞0）.这里bca，其中|F1F2|=2c.

abab

要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐

标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

(四)双曲线的简单几何性质

2

x2y2c

1.双曲线221的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.

aab

x2y2x2y2b

2. 双曲线221的渐近线方程为yx或表示为220.若已知双曲线的渐近线方程是

aabab

m

yx，即mxny0，那么双曲线的方程具有以下形式：m2x2n2y2k，其中k是一个不为零的常

n

数.

3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点

x2y2

的轨迹叫做双曲线.对于双曲线221，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分

ab

a2a2x2y2a2

别是x和x.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式PF1|e(x)|，

cabcc

a2

PF2|e(x)|.

c

4.双曲线的内外部

x2y2

(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部

abx2y2

(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部

ab

5.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22x0y0

1. a2b222x0y0

21. 2

ab

x2y2x2y2b

(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

abaab

x2y2xyb

(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

abaab

x2y2x2y2

(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴

abab

上）.

6. 双曲线的切线方程

xxyyx2y2

(1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

abab

xxyyx2y2

（2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021.

abab

x2y2

（3）双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.

ab

(五)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

2222

y2pxx2pyx2py. y2px2．抛物线的方程有四种类型：、、、

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是

正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。 3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例 （1）范围：x≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

x

（5）准线方程

（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

p

2；

p

;y22px:PFx12p

x22py:PFy1;x22py:PFy1

2y22px:PFx1

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x1+x2+p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。

2

p2p

2

y(,y)222

(x,y)y2px. P(2pt,2pt)或y2px2p4.抛物线上的动点可设为P或 P，其中

b24acb2b4acb22

yaxbxca(x)(,)

(a0)2a4a4a5.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为2a；

b4acb214acb21

(,)y

2a4a4a（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.

2

6.抛物线的内外部

222

P(x,y)P(x,y)y2px(p0)y2px(p0)y2px(p0)0000(1)点在抛物线的内部.点在抛物线2y2px(p0). 的外部

22P(x,y)y2px(p0)y2px(p0.)点P(x0,y0)在抛物线00(2)点在抛物线的内部

2

y22px(p0)y2px(p0). 的外部222

P(x,y)P(x,y)x2py(p0)x2py(p0)x0000(3)点在抛物线的内部.点在抛物线2py(p0)2x2py(p0). 的外部

(4) 点

P(x0,y0)在抛物线x22py(p0的)内部x22py(p0.)点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)x22py(p0). 的外部

7. 抛物线的切线方程

2

y2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0). (1)抛物线

2y2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0). （2）过抛物线

22

AxByC0y2px(p0)pB2AC. （3）抛物线与直线相切的条件是

(六).两个常见的曲线系方程 (1)过曲线

f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y2

2122222kmin{a,b}时,表示椭圆; 当kmax{a,b}akbk(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当

min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程

AB|x1x2|y1y2|ykxb

F(x,y)0 消去y得到ax2bxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

(八).圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线F(x,y)0关于点

P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.

（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x

2A(AxByC)2B(AxByC)

,y)0

A2B2A2B2.

四．基本方法和数学思想

x2y2

212ab1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则

（e为离心率）； x2y2

212ab2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则: （1）当P点在右支上时，（2）当P点在左支上时，

PF1aex0,PF2aex0

PF1aex0,PF2aex0PF1aex0,PF2aex0

；

；（e为离心率）；

x2y2x2y2

212022abab另：双曲线（a>0,b>0）的渐进线方程为；

3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则

PFx0

p

2；y2=2px(p＜0)

上任意一点，F为焦点，

4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；

22

b

5.共渐进线yx的双曲线标准方程为xy(为参数，≠0）；

22

aab

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，

一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ABk2x2x1

(1k2)[(x1x2)24x1x2]

PFx0

p2；



112

yy(1)[(yy)4y1y2],这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 2112k2k2

2222

7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为2b，焦准距为p=b，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线xy1

caa2b2

（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax+Bx＝1；

9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）AB＝x1+x2+p;（2）

2

py1y2=－p，x1x2=; 4

22

2

22

10.过椭圆x2y21（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则AB2ae(x1x2)，过右焦点的弦

ab

AB2ae(x1x2)；

2

y0

11.对于y=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;

2p

2

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆x2y21（a>b>0）

ab

2

b2b2y2x上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=2；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=2；212

aaab

2p2

对于y=2px(p≠0)抛物线有KAB＝

y1y213.求轨迹的常用方法：

（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；

（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；

（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；

（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；

（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程 有关解析几何的经典结论

22

一、椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2

211222P(x,y)Pabb5. 若000在椭圆a上，则过0的椭圆的切线方程是.

x2y2

212P(x,y)b6. 若000在椭圆a外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程x0xy0y

212ab是.

x2y2

212FPF，则椭圆的焦ab7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12

SF1PF2b2tan



2.

点角形的面积为

x2y2

212ab8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

9.

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

10. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

11. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b2

kOMkAB2212(x0,y0)a， ab12. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则

KAB

13. 即

b2x0

2

ay0。

x0xy0yx02y02x2y2

2222122P(x,y)bab. b14. 若000在椭圆a内，则被Po所平分的中点弦的方程是a

x2y2x2y2x0xy0y2222122P(x0,y0)0abab. ab15. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

二、双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x0xy0yx2y2

211222P(x,y)Pab0000ab5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

x2y2

212P(x,y)b6. 若000在双曲线a（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点x0xy0y212

b弦P1P2的直线方程是a.

x2y2

212F1PF2，则b7. 双曲线a（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点

SF1PF2b2cot



2.

双曲线的焦点角形的面积为

x2y2

212F(c,0) , F2(c,0) b8. 双曲线a（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(1

9. 当10. 当

M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a. M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

11. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

12. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2

212(x,y)ab13. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M00为AB的中点，则

KOMKAB

b2x0b2x0

2KAB2

ay0，即ay0。

x2y2

212P(x0,y0)0ab14. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是x0xy0yx02y02

2222abab.

x2y2x2y2x0xy0y

2222122P(x,y)bab. b15. 若000在双曲线a（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y2

1. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1

ab

x2y2

与A2P2交点的轨迹方程是221.

ab

x2y2

212A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则b2. 过椭圆a (a＞0, b＞0)上任一点

b2x0

kBC2

ay0（常数）.

直线BC有定向且

x2y2

212PF1F2, PF2F1，b3. 若P为椭圆a（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

ac

tancot

22. 则ac

x2y2

212ab4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，

sinc

e

F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有sinsina记. x2y2

212ab5. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e

1时，可在椭

圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

212

b6. P为椭圆a（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|A,F2,P

,当且仅当

三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)2

122xab7. 椭圆与直线A

22

A2aBb2(Ax0By0C).

By0C有公共点的充要条件是

x2y2

212

b8. 已知椭圆a（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

222211114abab

|OP|2|OQ|2a2b2;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为a2b2;（3）SOPQ的最小值是a2b2. x2y2

212

b9. 过椭圆a（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于

|PF|e



P，则|MN|2.

x2y2

212P(x0,0)b10. 已知椭圆a（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,

a2b2a2b2x0

aa. 则

x2y2

212F1PF2，则ab11. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记2b2

SPF1F2b2tan|PF1||PF2|

2. 1cos.(2) (1)

x2y2

212ab12. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

2ab2|cos||PA|222

PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)accos.(2)

tantan1e2.(3)

SPAB

2a2b2

2cotba2.

x2y2

212

b13. 已知椭圆a（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、

B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 17. （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 18. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 19. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

x2y2

1. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2

ab

x2y2

时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

ab

x2y2

212A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，ab2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点

b2x0

kBC2

ay0（常数）.

则直线BC有定向且

x2y2

212PF1F2b3. 若P为双曲线a（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , caca

tancottancot

PF2F122（或ca22）. ，则ca

x2y2

212ab4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△

sinc

e

F1PF2PF1F2F1F2PPF1F2中，记, ,，则有(sinsin)a. x2y2

212ab5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e

1时，可

在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

212

b6. P为双曲线a（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y2

21222222ab7. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

x2y2

212

b8. 已知双曲线a（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

222211114abab22

22SOPQ|OP||OQ|abb2a2b2a2

9. （1）

;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为

;（3）

的最小值是

.

x2y2

212

b10. 过双曲线a（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线|PF|e

|MN|2. 交x轴于P，则

x2y2

212P(x0,0), b11. 已知双曲线a（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

a2b2a2b2

x0x0

a. a则或x2y2

212F1PF2，则b12. 设P点是双曲线a（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记2b2

SPF1F2b2cot|PF1||PF2|

2. 1cos.(2) (1)

x2y2

212

b13. 设A、B是双曲线a（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,

2ab2|cos|

|PA|222

PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|accos|.

2

tantan1e14. (2) .(3)

SPAB

2a2b2

2cot2ba.

x2y2

212ab15. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相

交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

16. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

17. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 18. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 19. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 20. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 21. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 其他常用公式：

1

、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：

AB1x21y2

2、直线的一般式方程：任何直线均可写成3、知直线横截距直线可表示为

，常设其方程为

。

(A,B不同时为0)的形式。

(它不适用于斜率为0的直线)与直线

垂直的

4、两平行线5、若直线则

6、圆的一般方程：

（斜率）且

与直线

（在

间的距离为

平行

。

轴上截距） （充要条件）

，特别提醒：只有当

时，方程

才表示圆心

为，半径

为

且

且

的圆。二元二次方

程

。

表示圆的充要条件是

7、圆的参数方程：角换元：

8、

切线长：过

圆

（

（为参数），其中圆心为

；

为直径端点的圆方程

（

）

，半径为。圆的参数方程的主要应用是三

）外一

点

所引圆的切线的长

为

9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径

所构成的直角三角形来解：

；②过两圆

时，方程

、交点的圆(公共弦)系为

，当

为两圆公共弦所在直线方程.

习题部分

例题1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。

xy

1。 ab211

∵（2，1）在直线上，∴1， ① 又ab＝4，即ab = 8 ， ②

ab2

错解：设所求直线方程为

由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。

剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。

事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（

11

ab，而不是ab。 22

2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。

例题2 已知三角形的三个顶点为A（6，3），B（9，3），C（3，6），求A。 错解：∵ kAB = 0 ，k AC =

630(1)kABkAC

= -1，∴ tanA===1.又0＜A＜1800，∴ A=450。 361kACkAB10(1)

剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。

事实上，所求角应是直线AB到AC（注意：不是AC到AB）的角。∴ tanA=例题3 求过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。 错解：设直线斜率为k，其方程为y – 2 = k（x + 4），则与x轴的交点为（-4-

kACkAB0

= - 1，A=135。

1kACkAB

2

，0）， k

∴4

12

5，解得k = -。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。

5k

剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。

例题4 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。

xy

1，将（1，1）代入得a = 2，从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。 aa

xy

剖析：上述错解所设方程为1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点

aa

错解：设所求方程为

（1，1）的直线y = x 也符合条件。

例题5 已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的

取值范围。

43a2a2 2 错解：将圆的方程配方得： ( x + )+ ( y + 1 )= 。

24

43a2a

∵其圆心坐标为C（－，－1），半径r ＝。

24

当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则AC ＞ r 。

a243a22

即(1)(21) ＞。即a2 + a + 9 ＞ 0，解得a∈R。

24

2 2 2

剖析：本题的“陷阱”是方程x+ y+ ax + 2y + a = 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出AC ＞ r ，即

a2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a的另一制约条件4 – 3 a2 ＞ 0。

事实上，由a2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a2 ＞ 0可得a的取值范围是（

223,3）。 33

例题6 已知直线L：y = x + b与曲线C：y =x2有两个公共点，求实线b的取值范围。

yxb,

错解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 （ * ）

yx2

∵ L与曲线C有两个公共点， ∴ = 4b– 8 ( b－1 ) > 0，解得－

2

2

2

2＜b＜2

剖析：上述解法忽视了方程y =x中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出了错误的结论。

事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。



  4b2-8(b2-1) 0-2b

0 解得1≤ b ≤2。 y1y2-22

yyb10

122

例题7 等腰三角形顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程。

2222

错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），AC=AB，(x4)(y2)=(43)(25)

∴ （x - 4）+ (y - 2) = 10即为C点的轨迹方程。这是以A（4，2）为圆心、以为半径的圆。

剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A一直

径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。

2 2

x324x3

事实上，C点的坐标须满足，且，

y5y522

故端点C的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y－1)。

它表示以（4，2）为圆心，以为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。

 5x3y15



例题8 求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y满足约束条件： yx1

x5y3

错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。

由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近，

x5y3

故z = 3 x + 5 y在B点取得最小值。解方程组，得B点坐标为（3，0），∴ z最小＝33＋50=9。

5x3y15

由于经过A点且与L0平行的直线与原点的距离最大，故z = 3x + 5y在A点取得最大值。 解方程组

yx13535

，得A点坐标为（，）。∴ z最大＝3＋5= 17 。

22225x3y15

剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。 事实上，过原点作直线L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的区域为直线L0的

右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的区域为L0的

左下方。由图知：z = 3x + 5y应在A点取得最大值，在C点取得最小值。

解方程组∴ z

最小

yx1

，得C（－2，－1）。

x5y3

＝3（－2）＋5（－1）= －11。

例题9 已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为yx .抛物线f(x)x2bxc过B，D两点 （1）若正方形中心M为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。 （2）求证方程f(x)x的两实根x1，x2满足|x1x2|2 解答：（1）设B(2s,2s),D(2s,2s),s0

2s(2S)2b(2S)c

因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得 2

2S(2S)b(2S)c

2s8s2sb 则b5代入（1） 得2ss4s4105sc c8s8 故点N(b,c)的方程x5(y8)是一条射线。

2

2

ts(ts)2b(ts)c

（2）设B(ts,ts),D(ts,ts)s0 同上2

ts(ts)b(ts)c

（1）-（2）得t

(1)(2)

b12

(3)

（1）+（2）得s2(b1)tt2c0

2

(4)

b21(b1)2

c0 （3）代入（4）消去t得s24

22

得(b1)4c4 又f(x)x即x(b1)xc0的两根x1,x2满足 x1x21b x1x2c

|x1x2|(x1x2)4x1x2(b1)4c4 故|x1x2|2。 易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。 例题10 已知双曲线两焦点F1,F2，其中F1为y

222

1

(x1)21的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，4

（1）求点F（2）求点F2的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线yxt与F2的轨迹方程有且1的坐标；

只有一个公共点，求实数 t的取值范围。 解答：（1）由y

1

(x1)21得：(x1)24(y1)，故F1(1,0) 4

（2）设点F2(x,y)，则又双曲线的定义得||AF1||AF2||||BF1||BF2||0

又|AF2||AF1||AF2|

|BF2|或|F2A||F2B||AF1||BF1|

点F2的轨迹是以A,B为焦点的椭圆

(x1)2(y2)2

1除去点 x10 除去点(1,0),(1,4)或

84(1,0),(1,4) 图略。

yxt



（3）联列：(x1)2(y2)消去y得

1

48

(x1)22(xt2)28 整理得：3x2(4t6)x2t28t10

当0时

得t3

从图可知：t(,3(3)，

又因为轨迹除去点(1,0),(1,4) 所以当直线过点(1,0),(1,4)时也只有一个交点，即t1或

5

t(,3(3){1,5}

易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点F2的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。

例题11 已知圆O1:x2y21，圆O2:x2y210x90都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。 错解：圆O2：x2y210x90，即为(x5)2y216 所以圆O2的圆心为O2(5,0),半径r24, 而圆O1:x2y21的圆心为O1(0,0),半径r11, 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r

则r|O1M|1且r|O2M|4，所以|O1M||O2M|3 即

x2y2(x5)2y23

，

化简得16x80x9y640

22

5

(x)2

y21为所求动圆圆心的轨迹方程。 即

944

剖析：上述解法将|O1M||O2M|=3看成||O1M||O2M||3,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲

线的概念不清所致。

事实上，|O1M||O2M|3表示动点M到定点O1及O2的距离差为一常数3。

5(x)2

y2 且|O1O2|53,点M的轨迹为双曲线右支，方程为1(x4)

944

例题12 点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点P1(,3)距离的最值。

54

(x2)2y21|PF|1

 错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则, 即

d3|x8|3

5

(x)2

522292y2 两边平方、整理得=1 （1） 由此式可得：(x)(1y)() 

99494()242

因为|PP1|

52911377(x)2(y3)2(1y2)()2(y3)2 (y24)2

4948163

 164

所以|PP1|max

剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了性给予解决 即：当y

332y这一取值范围，由以上解题过程知，|P1P|的最值可由二次函数在区间上的单调22

33

2时，|PP1|max32 22

x2y22

3, 过点A（0,b）和B(a,0)的直线与原点的距例题13 已知双曲线221(a0,b0)的离心率e=3ab

离为

,直线y=kx+m(k0,m0)与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆2

上，求m 的取值范围。

2

24be1

3x2a22

y21 错解

由已知，有 解之得：a3,b1 所以双曲线方程为3



把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：(13k)x6kmx3m30 所以m13k0(1)

2

2

222

设CD中点为P(x0,y0)，则APCD，且易知：x0

3kmm

,y022

13k13k

所以kAP

m

121

13k 3k24m1 (2)

3kmk13k2

将(2)式代入(1)式得m24m0 解得m>4或m0 故所求m的范围是m(,0)(4,) 剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，

4m1

代入(1) 式时，m受k的制约。 3

11

因为k20 所以m故所求m的范围应为m>4或m0

44

将k2

例题14 椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e求这个椭圆的方程。

33

,已知点P（0,）到椭圆上的点最远距离是7，

22

x2y2

错解 设所求椭圆方程为221(ab0)

ab

b

因为

a

a2c2x2y212

e所以a=2b 于是椭圆方程为221 2

2，4bba

32

设椭圆上点M（x,y）到点P(0,) 的距离为d,

y293212222

则：dx(y)4b(12)y3y3(y)4b3

224b

2

2

x2122

y21 所以当y时，有dmax4b37,b1 所以所求椭圆方程为

24x2y2

剖析 由椭圆方程221(ab0)得byb

ab

2

由(1)式知d是y的二次函数，其对称轴为y

1 2

上述错解在于没有就对称轴在区间[b,b]内或外进行分类， 其正解应对f(y)=3(y

12

)4b23的最值情况进行讨论： 2

x211122

y21 （1）当b，即b时 dmaxf()4b3=7b1,方程为

2224

（2）当

11311

b, 即b时， d2maxf(b)7b7，与b矛盾。 22222

x2

综上所述，所求椭圆方程为y21

4

y2

例题15 已知双曲线x1,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段

2

2

PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线l存在，并设P(x1,x2)、Q(x2,y2)

2y12

1(1)x1

2 则

2

x2y21(2)22

（1）(2)得(x1x2)(x1x2)

1

(y1y2)(y1y2)(3) 2

因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以 将(4)、(5)代入（3）得x1x2 若x1x2，则直线l的斜率k

x1x22(4)

y1y22(5)

1

(y1y2) 2

y1y2

2

x1x2

所以符合题设条件的直线l存在。其方程为2xy10

剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

y2x122 应在上述解题的基础上，再由 得2x4x30 根据80,说明所求直线不存在。 y2

1x2(x1)2y2

1，例题16 已知椭圆C:F为它的右焦点，直线l过原点交椭圆C于A、B两点。求|FA||FB|43

是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。 错解 设A、B两点坐标分别为(xA,yA)、(xB,yB)

c1a2

4 因为a4,b3 所以cab1，e,，a2c

2

2

22

又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以

11|FA|1

 即|FA|(5xA)同理|FB|(5xB)

225xA2，

所以|FA||FB|

1

[255(xAxB)xAxB](1) 4

设直线l的方程为y=kx，代入椭圆方程得(34k2)x26x90

69139

代入(1)式得,xx(25) |FA||FB|AB

434k234k234k2

25

所以3|FA||FB|，所以|FA|FB|有最小值3,无最大值。

4

剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当l的斜率不存在时，

5525

有|FA||FB| 所以|FA|FB有最小值为 3，最大值为25/4

所以xAxB224

(一)椭圆及其标准方程

1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.

x2y2y2x2

2.椭圆的标准方程：221（a＞b＞0），221（a＞b＞0）.

abab

3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆

的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (二)椭圆的简单几何性质

x2y2

1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为221（a＞b＞0）.

ab

⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形里.

⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个A1（-a，0）、A2（a，0）B1（0，-b）、B2（0，b）.线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e

c

叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近a

c

（e＜1＝时，这个动点的a

于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义

⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e轨迹是椭圆.

x2y2a2

⑵ 准线：根据椭圆的对称性，221（a＞b＞0）的准线有两条，它们的方程为x.对于椭圆

cab

y2x2a2

1（a＞b＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即y.

ca2b2

3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

x2y2

设F1（-c，0），F2（c，0）分别为椭圆221（a＞b＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任

ab

一点，则两条焦半径长分别为MF1aex，MF2aex.

e椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a=b+c、

两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.

4.椭圆的参数方程

2

2

2

ca

xacosx2y2

椭圆221（a＞b＞0）的参数方程为（θ为参数）.

abybsin

说明: ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：

tan

b

tan； a

x2y222

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程221与三角恒等式cossin1相比较而得到，所以椭圆的参数方

ab

xacosx2y2

程的实质是三角代换. 椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsin

5.椭圆的的内外部

x2y2

（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部

abx2y2

（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部

ab

6. 椭圆的切线方程

22

x0y0

21. 2

ab22x0y0

1. a2b2

xxyyx2y2

(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

abab

xxyyx2y2

（2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021.

abab

x2y2

（3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2

ab

(三)双曲线及其标准方程

1.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.

若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

x2y2y2x2222

2. 双曲线的标准方程221和221（a＞0，b＞0）.这里bca，其中|F1F2|=2c.

abab

要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐

标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

(四)双曲线的简单几何性质

2

x2y2c

1.双曲线221的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.

aab

x2y2x2y2b

2. 双曲线221的渐近线方程为yx或表示为220.若已知双曲线的渐近线方程是

aabab

m

yx，即mxny0，那么双曲线的方程具有以下形式：m2x2n2y2k，其中k是一个不为零的常

n

数.

3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点

x2y2

的轨迹叫做双曲线.对于双曲线221，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分

ab

a2a2x2y2a2

别是x和x.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式PF1|e(x)|，

cabcc

a2

PF2|e(x)|.

c

4.双曲线的内外部

x2y2

(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部

abx2y2

(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部

ab

5.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22x0y0

1. a2b222x0y0

21. 2

ab

x2y2x2y2b

(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

abaab

x2y2xyb

(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

abaab

x2y2x2y2

(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴

abab

上）.

6. 双曲线的切线方程

xxyyx2y2

(1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

abab

xxyyx2y2

（2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021.

abab

x2y2

（3）双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.

ab

(五)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

2222

y2pxx2pyx2py. y2px2．抛物线的方程有四种类型：、、、

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是

正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。 3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例 （1）范围：x≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

x

（5）准线方程

（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

p

2；

p

;y22px:PFx12p

x22py:PFy1;x22py:PFy1

2y22px:PFx1

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x1+x2+p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。

2

p2p

2

y(,y)222

(x,y)y2px. P(2pt,2pt)或y2px2p4.抛物线上的动点可设为P或 P，其中

b24acb2b4acb22

yaxbxca(x)(,)

(a0)2a4a4a5.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为2a；

b4acb214acb21

(,)y

2a4a4a（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.

2

6.抛物线的内外部

222

P(x,y)P(x,y)y2px(p0)y2px(p0)y2px(p0)0000(1)点在抛物线的内部.点在抛物线2y2px(p0). 的外部

22P(x,y)y2px(p0)y2px(p0.)点P(x0,y0)在抛物线00(2)点在抛物线的内部

2

y22px(p0)y2px(p0). 的外部222

P(x,y)P(x,y)x2py(p0)x2py(p0)x0000(3)点在抛物线的内部.点在抛物线2py(p0)2x2py(p0). 的外部

(4) 点

P(x0,y0)在抛物线x22py(p0的)内部x22py(p0.)点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)x22py(p0). 的外部

7. 抛物线的切线方程

2

y2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0). (1)抛物线

2y2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0). （2）过抛物线

22

AxByC0y2px(p0)pB2AC. （3）抛物线与直线相切的条件是

(六).两个常见的曲线系方程 (1)过曲线

f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y2

2122222kmin{a,b}时,表示椭圆; 当kmax{a,b}akbk(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当

min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程

AB|x1x2|y1y2|ykxb

F(x,y)0 消去y得到ax2bxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

(八).圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线F(x,y)0关于点

P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.

（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x

2A(AxByC)2B(AxByC)

,y)0

A2B2A2B2.

四．基本方法和数学思想

x2y2

212ab1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则

（e为离心率）； x2y2

212ab2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则: （1）当P点在右支上时，（2）当P点在左支上时，

PF1aex0,PF2aex0

PF1aex0,PF2aex0PF1aex0,PF2aex0

；

；（e为离心率）；

x2y2x2y2

212022abab另：双曲线（a>0,b>0）的渐进线方程为；

3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则

PFx0

p

2；y2=2px(p＜0)

上任意一点，F为焦点，

4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；

22

b

5.共渐进线yx的双曲线标准方程为xy(为参数，≠0）；

22

aab

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，

一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ABk2x2x1

(1k2)[(x1x2)24x1x2]

PFx0

p2；



112

yy(1)[(yy)4y1y2],这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 2112k2k2

2222

7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为2b，焦准距为p=b，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线xy1

caa2b2

（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax+Bx＝1；

9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）AB＝x1+x2+p;（2）

2

py1y2=－p，x1x2=; 4

22

2

22

10.过椭圆x2y21（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则AB2ae(x1x2)，过右焦点的弦

ab

AB2ae(x1x2)；

2

y0

11.对于y=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;

2p

2

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆x2y21（a>b>0）

ab

2

b2b2y2x上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=2；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=2；212

aaab

2p2

对于y=2px(p≠0)抛物线有KAB＝

y1y213.求轨迹的常用方法：

（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；

（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；

（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；

（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；

（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程 有关解析几何的经典结论

22

一、椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2

211222P(x,y)Pabb5. 若000在椭圆a上，则过0的椭圆的切线方程是.

x2y2

212P(x,y)b6. 若000在椭圆a外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程x0xy0y

212ab是.

x2y2

212FPF，则椭圆的焦ab7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12

SF1PF2b2tan



2.

点角形的面积为

x2y2

212ab8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

9.

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

10. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

11. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b2

kOMkAB2212(x0,y0)a， ab12. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则

KAB

13. 即

b2x0

2

ay0。

x0xy0yx02y02x2y2

2222122P(x,y)bab. b14. 若000在椭圆a内，则被Po所平分的中点弦的方程是a

x2y2x2y2x0xy0y2222122P(x0,y0)0abab. ab15. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

二、双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x0xy0yx2y2

211222P(x,y)Pab0000ab5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

x2y2

212P(x,y)b6. 若000在双曲线a（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点x0xy0y212

b弦P1P2的直线方程是a.

x2y2

212F1PF2，则b7. 双曲线a（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点

SF1PF2b2cot



2.

双曲线的焦点角形的面积为

x2y2

212F(c,0) , F2(c,0) b8. 双曲线a（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(1

9. 当10. 当

M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a. M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

11. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

12. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2

212(x,y)ab13. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M00为AB的中点，则

KOMKAB

b2x0b2x0

2KAB2

ay0，即ay0。

x2y2

212P(x0,y0)0ab14. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是x0xy0yx02y02

2222abab.

x2y2x2y2x0xy0y

2222122P(x,y)bab. b15. 若000在双曲线a（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y2

1. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1

ab

x2y2

与A2P2交点的轨迹方程是221.

ab

x2y2

212A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则b2. 过椭圆a (a＞0, b＞0)上任一点

b2x0

kBC2

ay0（常数）.

直线BC有定向且

x2y2

212PF1F2, PF2F1，b3. 若P为椭圆a（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

ac

tancot

22. 则ac

x2y2

212ab4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，

sinc

e

F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有sinsina记. x2y2

212ab5. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e

1时，可在椭

圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

212

b6. P为椭圆a（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|A,F2,P

,当且仅当

三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)2

122xab7. 椭圆与直线A

22

A2aBb2(Ax0By0C).

By0C有公共点的充要条件是

x2y2

212

b8. 已知椭圆a（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

222211114abab

|OP|2|OQ|2a2b2;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为a2b2;（3）SOPQ的最小值是a2b2. x2y2

212

b9. 过椭圆a（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于

|PF|e



P，则|MN|2.

x2y2

212P(x0,0)b10. 已知椭圆a（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,

a2b2a2b2x0

aa. 则

x2y2

212F1PF2，则ab11. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记2b2

SPF1F2b2tan|PF1||PF2|

2. 1cos.(2) (1)

x2y2

212ab12. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

2ab2|cos||PA|222

PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)accos.(2)

tantan1e2.(3)

SPAB

2a2b2

2cotba2.

x2y2

212

b13. 已知椭圆a（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、

B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 17. （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 18. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 19. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

x2y2

1. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2

ab

x2y2

时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

ab

x2y2

212A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，ab2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点

b2x0

kBC2

ay0（常数）.

则直线BC有定向且

x2y2

212PF1F2b3. 若P为双曲线a（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , caca

tancottancot

PF2F122（或ca22）. ，则ca

x2y2

212ab4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△

sinc

e

F1PF2PF1F2F1F2PPF1F2中，记, ,，则有(sinsin)a. x2y2

212ab5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e

1时，可

在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

212

b6. P为双曲线a（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y2

21222222ab7. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

x2y2

212

b8. 已知双曲线a（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

222211114abab22

22SOPQ|OP||OQ|abb2a2b2a2

9. （1）

;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为

;（3）

的最小值是

.

x2y2

212

b10. 过双曲线a（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线|PF|e

|MN|2. 交x轴于P，则

x2y2

212P(x0,0), b11. 已知双曲线a（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

a2b2a2b2

x0x0

a. a则或x2y2

212F1PF2，则b12. 设P点是双曲线a（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记2b2

SPF1F2b2cot|PF1||PF2|

2. 1cos.(2) (1)

x2y2

212

b13. 设A、B是双曲线a（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,

2ab2|cos|

|PA|222

PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|accos|.

2

tantan1e14. (2) .(3)

SPAB

2a2b2

2cot2ba.

x2y2

212ab15. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相

交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

16. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

17. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 18. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 19. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 20. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 21. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 其他常用公式：

1

、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：

AB1x21y2

2、直线的一般式方程：任何直线均可写成3、知直线横截距直线可表示为

，常设其方程为

。

(A,B不同时为0)的形式。

(它不适用于斜率为0的直线)与直线

垂直的

4、两平行线5、若直线则

6、圆的一般方程：

（斜率）且

与直线

（在

间的距离为

平行

。

轴上截距） （充要条件）

，特别提醒：只有当

时，方程

才表示圆心

为，半径

为

且

且

的圆。二元二次方

程

。

表示圆的充要条件是

7、圆的参数方程：角换元：

8、

切线长：过

圆

（

（为参数），其中圆心为

；

为直径端点的圆方程

（

）

，半径为。圆的参数方程的主要应用是三

）外一

点

所引圆的切线的长

为

9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径

所构成的直角三角形来解：

；②过两圆

时，方程

、交点的圆(公共弦)系为

，当

为两圆公共弦所在直线方程.

习题部分

例题1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。

xy

1。 ab211

∵（2，1）在直线上，∴1， ① 又ab＝4，即ab = 8 ， ②

ab2

错解：设所求直线方程为

由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。

剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。

事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（

11

ab，而不是ab。 22

2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。

例题2 已知三角形的三个顶点为A（6，3），B（9，3），C（3，6），求A。 错解：∵ kAB = 0 ，k AC =

630(1)kABkAC

= -1，∴ tanA===1.又0＜A＜1800，∴ A=450。 361kACkAB10(1)

剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。

事实上，所求角应是直线AB到AC（注意：不是AC到AB）的角。∴ tanA=例题3 求过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。 错解：设直线斜率为k，其方程为y – 2 = k（x + 4），则与x轴的交点为（-4-

kACkAB0

= - 1，A=135。

1kACkAB

2

，0）， k

∴4

12

5，解得k = -。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。

5k

剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。

例题4 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。

xy

1，将（1，1）代入得a = 2，从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。 aa

xy

剖析：上述错解所设方程为1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点

aa

错解：设所求方程为

（1，1）的直线y = x 也符合条件。

例题5 已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的

取值范围。

43a2a2 2 错解：将圆的方程配方得： ( x + )+ ( y + 1 )= 。

24

43a2a

∵其圆心坐标为C（－，－1），半径r ＝。

24

当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则AC ＞ r 。

a243a22

即(1)(21) ＞。即a2 + a + 9 ＞ 0，解得a∈R。

24

2 2 2

剖析：本题的“陷阱”是方程x+ y+ ax + 2y + a = 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出AC ＞ r ，即

a2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a的另一制约条件4 – 3 a2 ＞ 0。

事实上，由a2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a2 ＞ 0可得a的取值范围是（

223,3）。 33

例题6 已知直线L：y = x + b与曲线C：y =x2有两个公共点，求实线b的取值范围。

yxb,

错解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 （ * ）

yx2

∵ L与曲线C有两个公共点， ∴ = 4b– 8 ( b－1 ) > 0，解得－

2

2

2

2＜b＜2

剖析：上述解法忽视了方程y =x中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出了错误的结论。

事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。



  4b2-8(b2-1) 0-2b

0 解得1≤ b ≤2。 y1y2-22

yyb10

122

例题7 等腰三角形顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程。

2222

错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），AC=AB，(x4)(y2)=(43)(25)

∴ （x - 4）+ (y - 2) = 10即为C点的轨迹方程。这是以A（4，2）为圆心、以为半径的圆。

剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A一直

径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。

2 2

x324x3

事实上，C点的坐标须满足，且，

y5y522

故端点C的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y－1)。

它表示以（4，2）为圆心，以为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。

 5x3y15



例题8 求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y满足约束条件： yx1

x5y3

错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。

由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近，

x5y3

故z = 3 x + 5 y在B点取得最小值。解方程组，得B点坐标为（3，0），∴ z最小＝33＋50=9。

5x3y15

由于经过A点且与L0平行的直线与原点的距离最大，故z = 3x + 5y在A点取得最大值。 解方程组

yx13535

，得A点坐标为（，）。∴ z最大＝3＋5= 17 。

22225x3y15

剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。 事实上，过原点作直线L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的区域为直线L0的

右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的区域为L0的

左下方。由图知：z = 3x + 5y应在A点取得最大值，在C点取得最小值。

解方程组∴ z

最小

yx1

，得C（－2，－1）。

x5y3

＝3（－2）＋5（－1）= －11。

例题9 已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为yx .抛物线f(x)x2bxc过B，D两点 （1）若正方形中心M为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。 （2）求证方程f(x)x的两实根x1，x2满足|x1x2|2 解答：（1）设B(2s,2s),D(2s,2s),s0

2s(2S)2b(2S)c

因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得 2

2S(2S)b(2S)c

2s8s2sb 则b5代入（1） 得2ss4s4105sc c8s8 故点N(b,c)的方程x5(y8)是一条射线。

2

2

ts(ts)2b(ts)c

（2）设B(ts,ts),D(ts,ts)s0 同上2

ts(ts)b(ts)c

（1）-（2）得t

(1)(2)

b12

(3)

（1）+（2）得s2(b1)tt2c0

2

(4)

b21(b1)2

c0 （3）代入（4）消去t得s24

22

得(b1)4c4 又f(x)x即x(b1)xc0的两根x1,x2满足 x1x21b x1x2c

|x1x2|(x1x2)4x1x2(b1)4c4 故|x1x2|2。 易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。 例题10 已知双曲线两焦点F1,F2，其中F1为y

222

1

(x1)21的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，4

（1）求点F（2）求点F2的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线yxt与F2的轨迹方程有且1的坐标；

只有一个公共点，求实数 t的取值范围。 解答：（1）由y

1

(x1)21得：(x1)24(y1)，故F1(1,0) 4

（2）设点F2(x,y)，则又双曲线的定义得||AF1||AF2||||BF1||BF2||0

又|AF2||AF1||AF2|

|BF2|或|F2A||F2B||AF1||BF1|

点F2的轨迹是以A,B为焦点的椭圆

(x1)2(y2)2

1除去点 x10 除去点(1,0),(1,4)或

84(1,0),(1,4) 图略。

yxt



（3）联列：(x1)2(y2)消去y得

1

48

(x1)22(xt2)28 整理得：3x2(4t6)x2t28t10

当0时

得t3

从图可知：t(,3(3)，

又因为轨迹除去点(1,0),(1,4) 所以当直线过点(1,0),(1,4)时也只有一个交点，即t1或

5

t(,3(3){1,5}

易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点F2的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。

例题11 已知圆O1:x2y21，圆O2:x2y210x90都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。 错解：圆O2：x2y210x90，即为(x5)2y216 所以圆O2的圆心为O2(5,0),半径r24, 而圆O1:x2y21的圆心为O1(0,0),半径r11, 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r

则r|O1M|1且r|O2M|4，所以|O1M||O2M|3 即

x2y2(x5)2y23

，

化简得16x80x9y640

22

5

(x)2

y21为所求动圆圆心的轨迹方程。 即

944

剖析：上述解法将|O1M||O2M|=3看成||O1M||O2M||3,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲

线的概念不清所致。

事实上，|O1M||O2M|3表示动点M到定点O1及O2的距离差为一常数3。

5(x)2

y2 且|O1O2|53,点M的轨迹为双曲线右支，方程为1(x4)

944

例题12 点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点P1(,3)距离的最值。

54

(x2)2y21|PF|1

 错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则, 即

d3|x8|3

5

(x)2

522292y2 两边平方、整理得=1 （1） 由此式可得：(x)(1y)() 

99494()242

因为|PP1|

52911377(x)2(y3)2(1y2)()2(y3)2 (y24)2

4948163

 164

所以|PP1|max

剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了性给予解决 即：当y

332y这一取值范围，由以上解题过程知，|P1P|的最值可由二次函数在区间上的单调22

33

2时，|PP1|max32 22

x2y22

3, 过点A（0,b）和B(a,0)的直线与原点的距例题13 已知双曲线221(a0,b0)的离心率e=3ab

离为

,直线y=kx+m(k0,m0)与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆2

上，求m 的取值范围。

2

24be1

3x2a22

y21 错解

由已知，有 解之得：a3,b1 所以双曲线方程为3



把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：(13k)x6kmx3m30 所以m13k0(1)

2

2

222

设CD中点为P(x0,y0)，则APCD，且易知：x0

3kmm

,y022

13k13k

所以kAP

m

121

13k 3k24m1 (2)

3kmk13k2

将(2)式代入(1)式得m24m0 解得m>4或m0 故所求m的范围是m(,0)(4,) 剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，

4m1

代入(1) 式时，m受k的制约。 3

11

因为k20 所以m故所求m的范围应为m>4或m0

44

将k2

例题14 椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e求这个椭圆的方程。

33

,已知点P（0,）到椭圆上的点最远距离是7，

22

x2y2

错解 设所求椭圆方程为221(ab0)

ab

b

因为

a

a2c2x2y212

e所以a=2b 于是椭圆方程为221 2

2，4bba

32

设椭圆上点M（x,y）到点P(0,) 的距离为d,

y293212222

则：dx(y)4b(12)y3y3(y)4b3

224b

2

2

x2122

y21 所以当y时，有dmax4b37,b1 所以所求椭圆方程为

24x2y2

剖析 由椭圆方程221(ab0)得byb

ab

2

由(1)式知d是y的二次函数，其对称轴为y

1 2

上述错解在于没有就对称轴在区间[b,b]内或外进行分类， 其正解应对f(y)=3(y

12

)4b23的最值情况进行讨论： 2

x211122

y21 （1）当b，即b时 dmaxf()4b3=7b1,方程为

2224

（2）当

11311

b, 即b时， d2maxf(b)7b7，与b矛盾。 22222

x2

综上所述，所求椭圆方程为y21

4

y2

例题15 已知双曲线x1,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段

2

2

PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线l存在，并设P(x1,x2)、Q(x2,y2)

2y12

1(1)x1

2 则

2

x2y21(2)22

（1）(2)得(x1x2)(x1x2)

1

(y1y2)(y1y2)(3) 2

因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以 将(4)、(5)代入（3）得x1x2 若x1x2，则直线l的斜率k

x1x22(4)

y1y22(5)

1

(y1y2) 2

y1y2

2

x1x2

所以符合题设条件的直线l存在。其方程为2xy10

剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

y2x122 应在上述解题的基础上，再由 得2x4x30 根据80,说明所求直线不存在。 y2

1x2(x1)2y2

1，例题16 已知椭圆C:F为它的右焦点，直线l过原点交椭圆C于A、B两点。求|FA||FB|43

是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。 错解 设A、B两点坐标分别为(xA,yA)、(xB,yB)

c1a2

4 因为a4,b3 所以cab1，e,，a2c

2

2

22

又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以

11|FA|1

 即|FA|(5xA)同理|FB|(5xB)

225xA2，

所以|FA||FB|

1

[255(xAxB)xAxB](1) 4

设直线l的方程为y=kx，代入椭圆方程得(34k2)x26x90

69139

代入(1)式得,xx(25) |FA||FB|AB

434k234k234k2

25

所以3|FA||FB|，所以|FA|FB|有最小值3,无最大值。

4

剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当l的斜率不存在时，

5525

有|FA||FB| 所以|FA|FB有最小值为 3，最大值为25/4

所以xAxB224