复习参考题
A 组
1.用列举法表示下列集合:
(1)A ={x |x 2=9};
(2)B ={x ∈N |1≤x ≤2};
(3)C ={x |x 2-3x +2=0}.
1.解:(1)方程x =9的解为x 1=-3, x 2=3,即集合A ={-3,3};
(2)1≤x ≤2,且x ∈N ,则x =1, 2,即集合B ={1, 2};
(3)方程x -3x +2=0的解为x 1=1, x 2=2,即集合C ={1,2}.
2.设P 表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形?
(1){P |PA =PB }(A , B 是两个定点) ;
(2){P |PO =3cm }(O 是定点) .
2.解:(1)由PA =PB ,得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等,
即{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线;
(2){P |PO =3cm }表示的点组成以定点O 为圆心,半径为3cm 的圆.
3. 设平面内有∆ABC ,且P 表示这个平面内的动点,指出属于集合 22
{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是什么.
3.解:集合{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线,
集合{P |PA =PC }表示的点组成线段AC 的垂直平分线,
得{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的
垂直平分线的交点,即∆ABC 的外心.
24. 已知集合A ={x |x =1},B ={x |ax =1}. 若B ⊆A ,求实数a 的值.
4.解:显然集合A ={-1,1},对于集合B ={x |ax =1},
当a =0时,集合B =∅,满足B ⊆A ,即a =0;
当a ≠0时,集合B ={,而B ⊆A ,则1
a 11=-1,或=1, a a
得a =-1,或a =1,
综上得:实数a 的值为-1,0,或1.
5. 已知集合A ={(x , y ) |2x -y =0},B ={(x , y ) |3x +y =0},C ={(x , y ) |2x -y =3},求A B ,A C ,(A B ) (B C ) .
⎧⎧2x -y =0⎫5.解:集合A B =⎨(x , y ) |⎨⎬={(0,0)},即A B ={(0,0)}; 3x +y =0⎩⎩⎭
集合A C =⎨(x , y ) |⎨⎧
⎩⎧2x -y =0⎫⎬=∅,即A C =∅; ⎩2x -y =3⎭
⎧⎧3x +y =0⎫39 集合B C =⎨(x , y ) |⎨={(, -)}; ⎬2x -y =355⎩⎩⎭
则(A B ) (B C ) ={(0,0),(, -)}.
6. 求下列函数的定义域:
(1
)y 3595;
. |x |-5
⎧x -2≥0,即x ≥2,
⎩x +5≥0(2
)y =6.解:(1)要使原式有意义,则⎨
得函数的定义域为[2,+∞) ;
(2)要使原式有意义,则⎨⎧x -4≥0,即x ≥4,且x ≠5,
⎩|x |-5≠0
得函数的定义域为[4,5) (5,+∞) .
7. 已知函数f (x ) =1-x ,求: 1+x
(1)f (a ) +1(a ≠-1) ; (2)f (a +1)(a ≠-2) .
1-x , 1+x
1-a 1-a 2+1= 所以f (a ) =,得f (a ) +1=, 1+a 1+a 1+a
2 即f (a ) +1=; 1+a 7.解:(1)因为f (x ) =
1-x , 1+x
1-(a +1) a =- 所以f (a +1) =, 1+a +1a +2
a 即f (a +1) =-. a +2 (2)因为f (x ) =
1+x 2
8. 设f (x ) =,求证: 21-x
(1)f (-x ) =f (x ) ; (2)f () =-f (x ) . 1
x
1+x 2
8.证明:(1)因为f (x ) =, 1-x 2
1+(-x ) 21+x 2
所以f (-x ) ===f (x ) , 1-(-x ) 21-x 2
即f (-x ) =f (x ) ;
1+x 2
(2)因为f (x ) =, 21-x
11+() 2211+x = 所以f () ==-f (x ) , 21x 1-() 2x -1
x
1 即f () =-f (x ) . x
9. 已知函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性,求实数k 的取值范围.
9.解:该二次函数的对称轴为x =k , 8
函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性, k k ≥20,或≤5,得k ≥160,或k ≤40, 88
即实数k 的取值范围为k ≥160,或k ≤40. 则
10.已知函数y =x ,
(1)它是奇函数还是偶函数?
(2)它的图象具有怎样的对称性?
(3)它在(0,+∞) 上是增函数还是减函数?
(4)它在(-∞,0) 上是增函数还是减函数?
-2
10.解:(1)令f (x ) =x -2,而f (-x ) =(-x ) -2=x -2=f (x ) ,
即函数y =x -2是偶函数;
(2)函数y =x -2的图象关于y 轴对称;
(3)函数y =x -2在(0,+∞) 上是减函数;
(4)函数y =x -2在(-∞,0) 上是增函数.
B 组
1. 学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛. 问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?
1.解:设同时参加田径和球类比赛的有x 人,
则15+8+14-3-3-x =28,得x =3,
只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9(人),
即同时参加田径和球类比赛的有3人,只参加游泳一项比赛的有9人.
2. 已知非空集合A ={x ∈R |x 2=a },试求实数a 的取值范围.
2.解:因为集合A ≠∅,且x ≥0,所以a ≥0. 2
B . 3. 设全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9},ð1,3},A (ðU (A B ) ={U B ) ={2,4},求集合
3.解:由ð1,3},得A B ={2,4,5,6,7,8,9}, U (A B ) ={
B , 集合A B 里除去A (ðU B ) ,得集合
所以集合B ={5,6,7,8,9}.
4. 已知函数f (x ) =⎨⎧x (x +4), x ≥0. 求f (1),f (-3) ,f (a +1) 的值.
⎩x (x -4), x
4.解:当x ≥0时,f (x ) =x (x +4) ,得f (1)=1⨯(1+4) =5;
当x
f (a +1) =⎨
5. 证明:
(1)若f (x ) =ax +b ,则f (⎧(a +1)(a +5), a ≥-1. ⎩(a +1)(a -3), a
x 1+x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤. 22
x +x 2x +x a ) =a 12+b =(x 1+x 2) +b , 5.证明:(1)因为f (x ) =ax +b ,得f (1
222
f (x 1) +f (x 2) ax 1+b +ax 2+b a ==(x 1+x 2) +b , 222
x +x 2f (x 1) +f (x 2) ) = 所以f (1; 22(2)若g (x ) =x 2+ax +b ,则g (
(2)因为g (x ) =x 2+ax +b , x 1+x 2x +x 1) =(x 12+x 22+2x 1x 2) +a (12) +b , 242
g (x 1) +g (x 2) 1=[(x 12+ax 1+b ) +(x 22+ax 2+b )] 22
x +x 2122) +b , =(x 1+x 2) +a (1
22
12121222因为(x 1+x 2+2x 1x 2) -(x 1+x 2) =-(x 1-x 2) ≤0, 424
121222即(x 1+x 2+2x 1x 2) ≤(x 1+x 2) , 42
x +x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤所以g (1. 22得g (
6. (1)已知奇函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数,试问:它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数?
(2)已知偶函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数,试问:它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数?
6.解:(1)函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数,证明如下:
设-b
因为函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数,则f (-x 2) >f (-x 1) ,
又因为函数f (x ) 是奇函数,则-f (x 2) >-f (x 1) ,即f (x 1) >f (x 2) ,
所以函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数;
(2)函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数,证明如下:
设-b
因为函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数,则g (-x 2)
又因为函数g (x ) 是偶函数,则g (x 2) g (x 2) ,
所以函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数.
7. 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分
不必纳税,超过2000元的部分为全月应纳税所得额. 此项税款按下表分段累计计算:
某人一月份应交纳此项税款为26.78元,那么他当月的工资、薪金所得是多少
7.解:设某人的全月工资、薪金所得为x 元,应纳此项税款为y 元,则
⎧0,0≤x ≤2000⎪(x -2000) ⨯5%,2000
由该人一月份应交纳此项税款为26.78元,得2500
25+(x -2500) ⨯10%=26.78,得x =2517.8, 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元.
复习参考题
A 组
1.用列举法表示下列集合:
(1)A ={x |x 2=9};
(2)B ={x ∈N |1≤x ≤2};
(3)C ={x |x 2-3x +2=0}.
1.解:(1)方程x =9的解为x 1=-3, x 2=3,即集合A ={-3,3};
(2)1≤x ≤2,且x ∈N ,则x =1, 2,即集合B ={1, 2};
(3)方程x -3x +2=0的解为x 1=1, x 2=2,即集合C ={1,2}.
2.设P 表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形?
(1){P |PA =PB }(A , B 是两个定点) ;
(2){P |PO =3cm }(O 是定点) .
2.解:(1)由PA =PB ,得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等,
即{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线;
(2){P |PO =3cm }表示的点组成以定点O 为圆心,半径为3cm 的圆.
3. 设平面内有∆ABC ,且P 表示这个平面内的动点,指出属于集合 22
{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是什么.
3.解:集合{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线,
集合{P |PA =PC }表示的点组成线段AC 的垂直平分线,
得{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的
垂直平分线的交点,即∆ABC 的外心.
24. 已知集合A ={x |x =1},B ={x |ax =1}. 若B ⊆A ,求实数a 的值.
4.解:显然集合A ={-1,1},对于集合B ={x |ax =1},
当a =0时,集合B =∅,满足B ⊆A ,即a =0;
当a ≠0时,集合B ={,而B ⊆A ,则1
a 11=-1,或=1, a a
得a =-1,或a =1,
综上得:实数a 的值为-1,0,或1.
5. 已知集合A ={(x , y ) |2x -y =0},B ={(x , y ) |3x +y =0},C ={(x , y ) |2x -y =3},求A B ,A C ,(A B ) (B C ) .
⎧⎧2x -y =0⎫5.解:集合A B =⎨(x , y ) |⎨⎬={(0,0)},即A B ={(0,0)}; 3x +y =0⎩⎩⎭
集合A C =⎨(x , y ) |⎨⎧
⎩⎧2x -y =0⎫⎬=∅,即A C =∅; ⎩2x -y =3⎭
⎧⎧3x +y =0⎫39 集合B C =⎨(x , y ) |⎨={(, -)}; ⎬2x -y =355⎩⎩⎭
则(A B ) (B C ) ={(0,0),(, -)}.
6. 求下列函数的定义域:
(1
)y 3595;
. |x |-5
⎧x -2≥0,即x ≥2,
⎩x +5≥0(2
)y =6.解:(1)要使原式有意义,则⎨
得函数的定义域为[2,+∞) ;
(2)要使原式有意义,则⎨⎧x -4≥0,即x ≥4,且x ≠5,
⎩|x |-5≠0
得函数的定义域为[4,5) (5,+∞) .
7. 已知函数f (x ) =1-x ,求: 1+x
(1)f (a ) +1(a ≠-1) ; (2)f (a +1)(a ≠-2) .
1-x , 1+x
1-a 1-a 2+1= 所以f (a ) =,得f (a ) +1=, 1+a 1+a 1+a
2 即f (a ) +1=; 1+a 7.解:(1)因为f (x ) =
1-x , 1+x
1-(a +1) a =- 所以f (a +1) =, 1+a +1a +2
a 即f (a +1) =-. a +2 (2)因为f (x ) =
1+x 2
8. 设f (x ) =,求证: 21-x
(1)f (-x ) =f (x ) ; (2)f () =-f (x ) . 1
x
1+x 2
8.证明:(1)因为f (x ) =, 1-x 2
1+(-x ) 21+x 2
所以f (-x ) ===f (x ) , 1-(-x ) 21-x 2
即f (-x ) =f (x ) ;
1+x 2
(2)因为f (x ) =, 21-x
11+() 2211+x = 所以f () ==-f (x ) , 21x 1-() 2x -1
x
1 即f () =-f (x ) . x
9. 已知函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性,求实数k 的取值范围.
9.解:该二次函数的对称轴为x =k , 8
函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性, k k ≥20,或≤5,得k ≥160,或k ≤40, 88
即实数k 的取值范围为k ≥160,或k ≤40. 则
10.已知函数y =x ,
(1)它是奇函数还是偶函数?
(2)它的图象具有怎样的对称性?
(3)它在(0,+∞) 上是增函数还是减函数?
(4)它在(-∞,0) 上是增函数还是减函数?
-2
10.解:(1)令f (x ) =x -2,而f (-x ) =(-x ) -2=x -2=f (x ) ,
即函数y =x -2是偶函数;
(2)函数y =x -2的图象关于y 轴对称;
(3)函数y =x -2在(0,+∞) 上是减函数;
(4)函数y =x -2在(-∞,0) 上是增函数.
B 组
1. 学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛. 问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?
1.解:设同时参加田径和球类比赛的有x 人,
则15+8+14-3-3-x =28,得x =3,
只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9(人),
即同时参加田径和球类比赛的有3人,只参加游泳一项比赛的有9人.
2. 已知非空集合A ={x ∈R |x 2=a },试求实数a 的取值范围.
2.解:因为集合A ≠∅,且x ≥0,所以a ≥0. 2
B . 3. 设全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9},ð1,3},A (ðU (A B ) ={U B ) ={2,4},求集合
3.解:由ð1,3},得A B ={2,4,5,6,7,8,9}, U (A B ) ={
B , 集合A B 里除去A (ðU B ) ,得集合
所以集合B ={5,6,7,8,9}.
4. 已知函数f (x ) =⎨⎧x (x +4), x ≥0. 求f (1),f (-3) ,f (a +1) 的值.
⎩x (x -4), x
4.解:当x ≥0时,f (x ) =x (x +4) ,得f (1)=1⨯(1+4) =5;
当x
f (a +1) =⎨
5. 证明:
(1)若f (x ) =ax +b ,则f (⎧(a +1)(a +5), a ≥-1. ⎩(a +1)(a -3), a
x 1+x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤. 22
x +x 2x +x a ) =a 12+b =(x 1+x 2) +b , 5.证明:(1)因为f (x ) =ax +b ,得f (1
222
f (x 1) +f (x 2) ax 1+b +ax 2+b a ==(x 1+x 2) +b , 222
x +x 2f (x 1) +f (x 2) ) = 所以f (1; 22(2)若g (x ) =x 2+ax +b ,则g (
(2)因为g (x ) =x 2+ax +b , x 1+x 2x +x 1) =(x 12+x 22+2x 1x 2) +a (12) +b , 242
g (x 1) +g (x 2) 1=[(x 12+ax 1+b ) +(x 22+ax 2+b )] 22
x +x 2122) +b , =(x 1+x 2) +a (1
22
12121222因为(x 1+x 2+2x 1x 2) -(x 1+x 2) =-(x 1-x 2) ≤0, 424
121222即(x 1+x 2+2x 1x 2) ≤(x 1+x 2) , 42
x +x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤所以g (1. 22得g (
6. (1)已知奇函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数,试问:它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数?
(2)已知偶函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数,试问:它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数?
6.解:(1)函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数,证明如下:
设-b
因为函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数,则f (-x 2) >f (-x 1) ,
又因为函数f (x ) 是奇函数,则-f (x 2) >-f (x 1) ,即f (x 1) >f (x 2) ,
所以函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数;
(2)函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数,证明如下:
设-b
因为函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数,则g (-x 2)
又因为函数g (x ) 是偶函数,则g (x 2) g (x 2) ,
所以函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数.
7. 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分
不必纳税,超过2000元的部分为全月应纳税所得额. 此项税款按下表分段累计计算:
某人一月份应交纳此项税款为26.78元,那么他当月的工资、薪金所得是多少
7.解:设某人的全月工资、薪金所得为x 元,应纳此项税款为y 元,则
⎧0,0≤x ≤2000⎪(x -2000) ⨯5%,2000
由该人一月份应交纳此项税款为26.78元,得2500
25+(x -2500) ⨯10%=26.78,得x =2517.8, 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元.