复习参考题
A 组
1．用列举法表示下列集合：
（1）A ={x |x 2=9}；
（2）B ={x ∈N |1≤x ≤2}；
（3）C ={x |x 2-3x +2=0}.
1．解：（1）方程x =9的解为x 1=-3, x 2=3，即集合A ={-3,3}；
（2）1≤x ≤2，且x ∈N ，则x =1, 2，即集合B ={1, 2}；
（3）方程x -3x +2=0的解为x 1=1, x 2=2，即集合C ={1,2}．
2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
（1）{P |PA =PB }(A , B 是两个定点) ；
（2）{P |PO =3cm }(O 是定点) .
2．解：（1）由PA =PB ，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，
即{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线；
（2）{P |PO =3cm }表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．
3. 设平面内有∆ABC ，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合 22
{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是什么.
3．解：集合{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线，
集合{P |PA =PC }表示的点组成线段AC 的垂直平分线，
得{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的
垂直平分线的交点，即∆ABC 的外心．
24. 已知集合A ={x |x =1}，B ={x |ax =1}. 若B ⊆A ，求实数a 的值.
4．解：显然集合A ={-1,1}，对于集合B ={x |ax =1}，
当a =0时，集合B =∅，满足B ⊆A ，即a =0；
当a ≠0时，集合B ={，而B ⊆A ，则1
a 11=-1，或=1， a a
得a =-1，或a =1，
综上得：实数a 的值为-1,0，或1．
5. 已知集合A ={(x , y ) |2x -y =0}，B ={(x , y ) |3x +y =0}，C ={(x , y ) |2x -y =3}，求A B ，A C ，(A B ) (B C ) .
⎧⎧2x -y =0⎫5．解：集合A B =⎨(x , y ) |⎨⎬={(0,0)}，即A B ={(0,0)}； 3x +y =0⎩⎩⎭
集合A C =⎨(x , y ) |⎨⎧
⎩⎧2x -y =0⎫⎬=∅，即A C =∅； ⎩2x -y =3⎭
⎧⎧3x +y =0⎫39 集合B C =⎨(x , y ) |⎨={(, -)}； ⎬2x -y =355⎩⎩⎭
则(A B ) (B C ) ={(0,0),(, -)}.
6. 求下列函数的定义域：
（1
）y 3595；
. |x |-5
⎧x -2≥0，即x ≥2，
⎩x +5≥0（2
）y =6．解：（1）要使原式有意义，则⎨
得函数的定义域为[2,+∞) ；
（2）要使原式有意义，则⎨⎧x -4≥0，即x ≥4，且x ≠5，
⎩|x |-5≠0
得函数的定义域为[4,5) (5,+∞) ．
7. 已知函数f (x ) =1-x ，求： 1+x
（1）f (a ) +1(a ≠-1) ； （2）f (a +1)(a ≠-2) .
1-x ， 1+x
1-a 1-a 2+1= 所以f (a ) =，得f (a ) +1=， 1+a 1+a 1+a
2 即f (a ) +1=； 1+a 7．解：（1）因为f (x ) =
1-x ， 1+x
1-(a +1) a =- 所以f (a +1) =， 1+a +1a +2
a 即f (a +1) =-． a +2 （2）因为f (x ) =
1+x 2
8. 设f (x ) =，求证： 21-x
（1）f (-x ) =f (x ) ； （2）f () =-f (x ) . 1
x
1+x 2
8．证明：（1）因为f (x ) =， 1-x 2
1+(-x ) 21+x 2
所以f (-x ) ===f (x ) ， 1-(-x ) 21-x 2
即f (-x ) =f (x ) ；
1+x 2
（2）因为f (x ) =， 21-x
11+() 2211+x = 所以f () ==-f (x ) ， 21x 1-() 2x -1
x
1 即f () =-f (x ) . x
9. 已知函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.
9．解：该二次函数的对称轴为x =k ， 8
函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性， k k ≥20，或≤5，得k ≥160，或k ≤40， 88
即实数k 的取值范围为k ≥160，或k ≤40． 则
10．已知函数y =x ，
（1）它是奇函数还是偶函数？
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在(0,+∞) 上是增函数还是减函数？
（4）它在(-∞,0) 上是增函数还是减函数？
-2
10．解：（1）令f (x ) =x -2，而f (-x ) =(-x ) -2=x -2=f (x ) ，
即函数y =x -2是偶函数；
（2）函数y =x -2的图象关于y 轴对称；
（3）函数y =x -2在(0,+∞) 上是减函数；
（4）函数y =x -2在(-∞,0) 上是增函数．
B 组
1. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛. 问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，
则15+8+14-3-3-x =28，得x =3，
只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9（人），
即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．
2. 已知非空集合A ={x ∈R |x 2=a }，试求实数a 的取值范围.
2．解：因为集合A ≠∅，且x ≥0，所以a ≥0． 2
B . 3. 设全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，ð1,3}，A (ðU (A B ) ={U B ) ={2,4}，求集合
3．解：由ð1,3}，得A B ={2,4,5,6,7,8,9}， U (A B ) ={
B ， 集合A B 里除去A (ðU B ) ，得集合
所以集合B ={5,6,7,8,9}.
4. 已知函数f (x ) =⎨⎧x (x +4), x ≥0. 求f (1)，f (-3) ，f (a +1) 的值.
⎩x (x -4), x
4．解：当x ≥0时，f (x ) =x (x +4) ，得f (1)=1⨯(1+4) =5；
当x
f (a +1) =⎨
5. 证明：
（1）若f (x ) =ax +b ，则f (⎧(a +1)(a +5), a ≥-1． ⎩(a +1)(a -3), a
x 1+x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤. 22
x +x 2x +x a ) =a 12+b =(x 1+x 2) +b ， 5．证明：（1）因为f (x ) =ax +b ，得f (1
222
f (x 1) +f (x 2) ax 1+b +ax 2+b a ==(x 1+x 2) +b ， 222
x +x 2f (x 1) +f (x 2) ) = 所以f (1； 22（2）若g (x ) =x 2+ax +b ，则g (
（2）因为g (x ) =x 2+ax +b ， x 1+x 2x +x 1) =(x 12+x 22+2x 1x 2) +a (12) +b ， 242
g (x 1) +g (x 2) 1=[(x 12+ax 1+b ) +(x 22+ax 2+b )] 22
x +x 2122) +b ， =(x 1+x 2) +a (1
22
12121222因为(x 1+x 2+2x 1x 2) -(x 1+x 2) =-(x 1-x 2) ≤0， 424
121222即(x 1+x 2+2x 1x 2) ≤(x 1+x 2) ， 42
x +x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤所以g (1. 22得g (
6. （1）已知奇函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数，试问：它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数？
（2）已知偶函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数，试问：它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数？
6．解：（1）函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数，证明如下：
设-b
因为函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数，则f (-x 2) >f (-x 1) ，
又因为函数f (x ) 是奇函数，则-f (x 2) >-f (x 1) ，即f (x 1) >f (x 2) ，
所以函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数；
（2）函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数，证明如下：
设-b
因为函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数，则g (-x 2)
又因为函数g (x ) 是偶函数，则g (x 2) g (x 2) ，
所以函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数．
7. 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分
不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额. 此项税款按下表分段累计计算：
某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少
7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则
⎧0,0≤x ≤2000⎪(x -2000) ⨯5%,2000
由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得2500
25+(x -2500) ⨯10%=26.78，得x =2517.8， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．
复习参考题
A 组
1．用列举法表示下列集合：
（1）A ={x |x 2=9}；
（2）B ={x ∈N |1≤x ≤2}；
（3）C ={x |x 2-3x +2=0}.
1．解：（1）方程x =9的解为x 1=-3, x 2=3，即集合A ={-3,3}；
（2）1≤x ≤2，且x ∈N ，则x =1, 2，即集合B ={1, 2}；
（3）方程x -3x +2=0的解为x 1=1, x 2=2，即集合C ={1,2}．
2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
（1）{P |PA =PB }(A , B 是两个定点) ；
（2）{P |PO =3cm }(O 是定点) .
2．解：（1）由PA =PB ，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，
即{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线；
（2）{P |PO =3cm }表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．
3. 设平面内有∆ABC ，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合 22
{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是什么.
3．解：集合{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线，
集合{P |PA =PC }表示的点组成线段AC 的垂直平分线，
得{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的
垂直平分线的交点，即∆ABC 的外心．
24. 已知集合A ={x |x =1}，B ={x |ax =1}. 若B ⊆A ，求实数a 的值.
4．解：显然集合A ={-1,1}，对于集合B ={x |ax =1}，
当a =0时，集合B =∅，满足B ⊆A ，即a =0；
当a ≠0时，集合B ={，而B ⊆A ，则1
a 11=-1，或=1， a a
得a =-1，或a =1，
综上得：实数a 的值为-1,0，或1．
5. 已知集合A ={(x , y ) |2x -y =0}，B ={(x , y ) |3x +y =0}，C ={(x , y ) |2x -y =3}，求A B ，A C ，(A B ) (B C ) .
⎧⎧2x -y =0⎫5．解：集合A B =⎨(x , y ) |⎨⎬={(0,0)}，即A B ={(0,0)}； 3x +y =0⎩⎩⎭
集合A C =⎨(x , y ) |⎨⎧
⎩⎧2x -y =0⎫⎬=∅，即A C =∅； ⎩2x -y =3⎭
⎧⎧3x +y =0⎫39 集合B C =⎨(x , y ) |⎨={(, -)}； ⎬2x -y =355⎩⎩⎭
则(A B ) (B C ) ={(0,0),(, -)}.
6. 求下列函数的定义域：
（1
）y 3595；
. |x |-5
⎧x -2≥0，即x ≥2，
⎩x +5≥0（2
）y =6．解：（1）要使原式有意义，则⎨
得函数的定义域为[2,+∞) ；
（2）要使原式有意义，则⎨⎧x -4≥0，即x ≥4，且x ≠5，
⎩|x |-5≠0
得函数的定义域为[4,5) (5,+∞) ．
7. 已知函数f (x ) =1-x ，求： 1+x
（1）f (a ) +1(a ≠-1) ； （2）f (a +1)(a ≠-2) .
1-x ， 1+x
1-a 1-a 2+1= 所以f (a ) =，得f (a ) +1=， 1+a 1+a 1+a
2 即f (a ) +1=； 1+a 7．解：（1）因为f (x ) =
1-x ， 1+x
1-(a +1) a =- 所以f (a +1) =， 1+a +1a +2
a 即f (a +1) =-． a +2 （2）因为f (x ) =
1+x 2
8. 设f (x ) =，求证： 21-x
（1）f (-x ) =f (x ) ； （2）f () =-f (x ) . 1
x
1+x 2
8．证明：（1）因为f (x ) =， 1-x 2
1+(-x ) 21+x 2
所以f (-x ) ===f (x ) ， 1-(-x ) 21-x 2
即f (-x ) =f (x ) ；
1+x 2
（2）因为f (x ) =， 21-x
11+() 2211+x = 所以f () ==-f (x ) ， 21x 1-() 2x -1
x
1 即f () =-f (x ) . x
9. 已知函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.
9．解：该二次函数的对称轴为x =k ， 8
函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性， k k ≥20，或≤5，得k ≥160，或k ≤40， 88
即实数k 的取值范围为k ≥160，或k ≤40． 则
10．已知函数y =x ，
（1）它是奇函数还是偶函数？
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在(0,+∞) 上是增函数还是减函数？
（4）它在(-∞,0) 上是增函数还是减函数？
-2
10．解：（1）令f (x ) =x -2，而f (-x ) =(-x ) -2=x -2=f (x ) ，
即函数y =x -2是偶函数；
（2）函数y =x -2的图象关于y 轴对称；
（3）函数y =x -2在(0,+∞) 上是减函数；
（4）函数y =x -2在(-∞,0) 上是增函数．
B 组
1. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛. 问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，
则15+8+14-3-3-x =28，得x =3，
只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9（人），
即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．
2. 已知非空集合A ={x ∈R |x 2=a }，试求实数a 的取值范围.
2．解：因为集合A ≠∅，且x ≥0，所以a ≥0． 2
B . 3. 设全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，ð1,3}，A (ðU (A B ) ={U B ) ={2,4}，求集合
3．解：由ð1,3}，得A B ={2,4,5,6,7,8,9}， U (A B ) ={
B ， 集合A B 里除去A (ðU B ) ，得集合
所以集合B ={5,6,7,8,9}.
4. 已知函数f (x ) =⎨⎧x (x +4), x ≥0. 求f (1)，f (-3) ，f (a +1) 的值.
⎩x (x -4), x
4．解：当x ≥0时，f (x ) =x (x +4) ，得f (1)=1⨯(1+4) =5；
当x
f (a +1) =⎨
5. 证明：
（1）若f (x ) =ax +b ，则f (⎧(a +1)(a +5), a ≥-1． ⎩(a +1)(a -3), a
x 1+x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤. 22
x +x 2x +x a ) =a 12+b =(x 1+x 2) +b ， 5．证明：（1）因为f (x ) =ax +b ，得f (1
222
f (x 1) +f (x 2) ax 1+b +ax 2+b a ==(x 1+x 2) +b ， 222
x +x 2f (x 1) +f (x 2) ) = 所以f (1； 22（2）若g (x ) =x 2+ax +b ，则g (
（2）因为g (x ) =x 2+ax +b ， x 1+x 2x +x 1) =(x 12+x 22+2x 1x 2) +a (12) +b ， 242
g (x 1) +g (x 2) 1=[(x 12+ax 1+b ) +(x 22+ax 2+b )] 22
x +x 2122) +b ， =(x 1+x 2) +a (1
22
12121222因为(x 1+x 2+2x 1x 2) -(x 1+x 2) =-(x 1-x 2) ≤0， 424
121222即(x 1+x 2+2x 1x 2) ≤(x 1+x 2) ， 42
x +x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤所以g (1. 22得g (
6. （1）已知奇函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数，试问：它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数？
（2）已知偶函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数，试问：它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数？
6．解：（1）函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数，证明如下：
设-b
因为函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数，则f (-x 2) >f (-x 1) ，
又因为函数f (x ) 是奇函数，则-f (x 2) >-f (x 1) ，即f (x 1) >f (x 2) ，
所以函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数；
（2）函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数，证明如下：
设-b
因为函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数，则g (-x 2)
又因为函数g (x ) 是偶函数，则g (x 2) g (x 2) ，
所以函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数．
7. 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分
不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额. 此项税款按下表分段累计计算：
某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少
7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则
⎧0,0≤x ≤2000⎪(x -2000) ⨯5%,2000
由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得2500
25+(x -2500) ⨯10%=26.78，得x =2517.8， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．