求解定态薛定谔方程的有限差分法_林洽武

第３３卷　第３期２０１３年６月

广东第二师范学院学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｄｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ　　　　ｇｇｙ　　

Ｖｏｌ．３３　Ｎｏ．３

Ｊｕｎ．２０１３

求解定态薛定谔方程的有限差分法

林洽武

（）广东第二师范学院物理系，广东广州５１０３０３

特殊的定态薛定谔方程存在解析解，但大部分的定态薛定谔方程是很难找出解析解的，　　摘要：

通过计算机可以得到其近似的数值解．利用有限差分法和ｍ可以求解定态薛定谔ａｔｌａｂ程序设计，方程，并得到很好的数值解．

关键词：薛定谔方程；有限差分法；数值解

（）中图分类号：Ｏ４１４　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９５７９８２０１３０３０４５４　－３－０－０

０　引言

１－５］在微观领域，许多量子力学的问题，特别是对量子环的研究［最终都需要解定态薛定谔方程，但定态

薛定谔方程一般不存在解析解，因此数值解成为研究量子力学问题的有力工具．随着计算机性能的发展，大

［］

采用ｍ并得很好的数值解．求解像定量的快速的计算成为可能，ａｔｌａｂ编程方法６可以求解定态薛定谔方程，

态薛定谔方程这样的微分方程的数值解的方法有许多种，有欧拉法、改进的欧拉法、龙格－库塔方法等．这些方法都能很好解决像定态薛定谔方程这样的微分方程的初值问题．而量子力学问题往往能够知道的是微分所以用上述的方法解决含边界条件的定态薛定谔方程就比较困难，解这种含边界条件的量方程的边界条件，

子力学问题的数值方法有Ｂ样条技术、有限差分法等．本文主要介绍如何应用有限差分法求解定态薛定谔方程．这种方法容易掌握，为以后对量子力学的问题进一步研究和分析提供数学计算工具．本文还以解磁场下量子环中一个电子在谐振子势下的薛定谔方程为例，将计算结果与Ｂ样条技术的计算结果进行对比，得到比较满意的结果．

１　方法原理

在磁场作用下量子环中一个电子在谐振子势下的薛定谔方程，其定态薛定谔方程为

＾ＨΨ＝ＥΨ，

（）１

收稿日期：２０１３０５２３－－

作者简介：林洽武，男，广东澄海人，广东第二师范学院物理系实验师．

　·４６·

广东第二师范学院学报第３３卷

其中哈密顿量＾Ｈ可写为

２２２

ｍｌ＝－＋２－２｝＋Ｖ＋

２ｒｒｒｒμ

ｃ２ｃ＋ｍ－ｇ＊μＢｍｓ，Ｂ２４２

其中

２２

ｒ－ｒω０（０），２

２

（）２

Ｖ＝

假设电子的波函数为

（）３

，ｒ，ｒ）Ψ（φ）＝Ｒ（（φ）

其中

ｉｍφ　

（φ）＝ｅｌ，

）式、（）式、（）式代入（）式整理得则将（２４５１

２

ｒ

２　｛ｃ２

ｒＥ－（Ｖ＋＋［＋２＋ｄｒ２４ｄｒ

２

（）４（）５

ｃ２２ｍ－ｇ＊μＢｍｓ）Ｒ＝０，－ｍＢｌ｝

２

其中

（）６

，（）７

μ

）式无法得到解析解，定态薛定谔方程变为方程（但可以通过利用有限差Ｂｍｓ为Ｚｅｅｍａｎ能量．６－ｇ＊μＢ

分法求其数值解．具体步骤如下：

第一步：选择原点为ｒ的起点，将ｒ所在区间Ｎ等分，则

ωｃ＝

（…，ｒ＝ｎｈ，ｎ＝０，１，２，Ｎ）．

７］

）式按上述有限差分法进行离散，第二步，将方程（将微分用数值微分［代替得６

２　

ＲＲｎ１２ｎＲｎ１－＋２≈２ｄｒｈ

，ｎ１ｎ＋

≈ｄｒｈ

（）８

（）９

）式代入（）式得由（９６

２

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（ｎｈ）

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令

，

λ＝－２

并化简得

（）ｃｃ２

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２

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ｌ

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（）１０

（）１１

（）１２

求解定态薛定谔方程的有限差分法　　　　　　　　　　　　　　　　２０１３年第３期　　　　　　　　　　　　林洽武：·４７·

）第三步，由于定态薛定谔方程是能量的本征方程，通过方程（式，利用ｍ可以８ａｔｌａｂ软件编写计算程序，得到Ｎ－１阶的方阵，然后对这个矩阵进行对角化得到特征值λ，从而求得能量Ｅ的值．

第四步，由于在第二步过程将微分用数值微分近似代替，忽略了高阶项，因此需要进行误差分析．当Ｎ的值较大时，在一定区间内，则ｈ的值很小，高阶项更小，可以忽略误差．误差越小，但由于Ｎ的Ｎ的值越大，值大，则计算矩阵元和对矩阵的处理需要更多的计算时间．本文Ｎ取３即需计算２００．９９×２９９的矩阵．

２　数值结果及比较

）通过ｍ见表１ａｔｌａｂ程序计算不同角动量分量ｍ．ｓ分量下的量子环的能谱变化（和自旋ｍ

（，，表１　ｒ０ｎｍ，ｍｅＶ）ｒ＝０→９０ｎｍ，Ｂｍｓ＝０．０２５４７Ｂｍｓ（ｍｅＶ）Ｎ＝３００ω＝３０＝３０Ｂｇ＊μ

ｍｅ０　３２１０－１－２３　２　１　０　－１　－２　

ｍｓ０　／２－１　／２－１　／２－１　／２－１　／２－１　／２－１　／１２　／１２　／１２　／１２　／１２　／１２　

Ｂ　０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　

）文献４Ｅ１（１．２９４５６７　　６０．９６３５８７　　４３．９１３７６９　　２７．００９８０９　　１０．４０４０７４　　９．７２９８０９　　９．３５３７６８　　６０．７１０８８７　　４３．６５９０６９　　２６．７５５１０９　　１０．１４９７４３　　９．４７５１０９　　９．０９９０６８　　

本文）Ｅ１（１．３２７７　　６０．４９９７　　４３．３５９５　　２６．３１３　９．５８７２　　９．０９１４　　８．９１６４　　６０．２４５　４３．１０４８　　２６．０５８３　　９．３３２５　　８．９３６７　　８．６６１７　　

）文献４Ｅ２（４．６３２８２６　　７８．３０２４１７　　６１．１１４５８７　　４３．９９２５４８　　２６．９４７１７０　　２６．７１２５４７　　２６．５５４５８６　　７８．０４７７１７　　６０．８５９８８７　　４３．７３７８４８　　２６．６９２７４０　　２６．４５７８４７　　２６．２９９８８６　　

本文）Ｅ２（５．１２７９　　７７．８６２９　　６０．５９４４　　４３．３２７３　　２６．２０１３　　２６．１０５７　　２６．１５１３　　７７．６０８２　　６０．３３９７　　４３．０７２６　　２５．９４６６　　２５．８５１　２５．８９６６　　

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本文）Ｅ３（９．１５５３　９５．３２０５　７７．９６７３　６０．５６９７　４３．２７８９　４３．３４８１　４３．５２４１　９５．０６５８　７７．７１２６　６０．３１５４３．０２４２　４３．０９３４　４３．２６９４　

）］表１数据中，文献４指的是文献［中用Ｂ样条技术求解磁场下量子环中一个电子在谐振子势下的Ｅ１（４本文）是指本文用有限差分法计算２定态薛定谔方程的数值，Ｅ１（９９×２９９的矩阵求得同样的定态薛定谔方从表中可知，这两种计算方法所求得的结果吻合得比较好．当然也存在一定的误差，是因为两种程的数值解，

本身就存在误差，计算方法的不同，计算精度也不同，但整体上这两种方法的计算结果大方法都是数值解法，

］一样的能谱变化规律：“致相同，数值规律一致．采用有限差分法同样可以得到与文献［当ｍ电子４ｓ不变时，”的轨道磁矩项中的ｍ能量越高；当ｍ自旋磁矩项中的ｍ能量越低．ｅ越大，ｅ不变时，ｓ越大，

３　总结

通过计算原理分析和数值结果比较，为求解复杂的定态薛定谔方程提供了另一种数值解法，为微观系统的研究提供了数学计算工具．有限差分法和Ｂ样条技术同样可以解复杂的定态薛定谔方程，有限差分法较容易理解，对本科生或初步学习和研究量子力学的人来说比较容易接受，同时编写ｍ若Ｎ的值ａｔｌａｂ程序简单，），不太大（如Ｎ≤５计算速度快，但数据精确度低，若Ｎ的值大，计算速度慢，数据精确度高．与Ｂ样条技术０

有限差分法相对容易接受但其误差比Ｂ样条技术所求的数值误差偏大，所以在一般情况下，比，Ｎ尽量取大一点的值，误差小，计算结果会更好．

　·４８·

广东第二师范学院学报第３３卷

参考文献：

［］１ＲＡＭＩＲＥＺＢＯＮ　Ｒ，ＥＳＰＩＮＯＺＡ－ＢＥＬＴＲＡＮＦＪ，ＡＲＩＺＰＥＣＨＡＶＥＺＨ．ＣｄＴｅｎａｎｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｒｅ－　　－　　　－ｐ

［］，（）：ａｒｅｄｂｔｈｅｒｍａｌａｎｎｅａｌｉｎＪ．ＪｏｕｒｎａｌＡｌｉｃａｔｉｏｎＰｈｓｉｃｓ１９９５，７７１０５４６１－５４６３．　　　　ｐｙｇｐｐｙ　［］：２ＬＩＵ　Ｙ　Ｍ，ＢＡＯＣＧ，ＳＨＩＴＹ．ＦｅｗｅｌｅｃｔｒｏｎｕａｎｔｕｍｒｉｎｓｉｎａｍａｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄＧｒｏｕｎｄｓｔａｔｅｒｏｅｒ　　　　－　　　　　　－　－ｑｇｇｐｐ

］．（）：ｔｉｅｓ［ＪＰｈｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＢ，２００６７３１１３３１３－１－４．　　ｙ［］Ａ３ＩＣＨＩＮＧＥＲ　Ｍ，ＣＨＩＮＳＡ，ＫＲＯＴＳＣＨＥＣＫＥ．ｅｔａｌ．Ｅｆｆｅｃｔｓｏｆａｎｄｉｍｕｒｉｔｉｅｓｏｎｅｏｍｅｔｒｕａｎ　　　　　　　　　－ｐｇｙｑ　

］（）：ｔｕｍｒｉｎｓｉｎｍａｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｓ［Ｊ．ＰｈｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＢ，２００６７３１９５３１０－１－８．　　　　　　ｇｇｙ［］惠萍．］（）：半导体量子环的基态和激发态的能量的计算［广东教育学院报，４Ｊ．２００７，２７３３８－４２．

［］林洽武，］（）：刘益民．单电子量子同心环的基态研究［吉林大学学报，５Ｊ．２０１３，５１３１－５．［］求是科技．ＭＡＴ北京：人民邮电出版社，６ＬＡＢ７．０从入门到精通［Ｍ］．２００６：３４２．［］陆金甫．偏微分主程数值解法［清华大学出版社，７Ｍ］．北京：２００４：２１８．

ＦｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＭｅｔｈｏｄｆｏｒＳｏｌｖｉｎｔｈｅ　　　　ｇ

ＳｃｈｒｄｉｎｅｒＥｕａｔｉｏｎ　ｇｑ

ＬＩＮ　Ｑｉａ－ｗｕ

（，，ＤｅａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｓｉｃｓＧｕａｎｄｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ　　　ｐｙｇｇｙ　　

，，）ＧｕａｎｚｈｏｕＧｕａｎｄｏｎ５１０３０３，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａｇｇｇ

：，ａｒｔｉｃｕｌａｒＡｂｓｔｒａｃｔＡｎａｌｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｘｉｓｔｉｎＳｃｈｒｄｉｎｅｒｅｕａｔｉｏｎｂｕｔｍｏｓｔｏｆｔｈｅｍｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏ　　　　　　　　　　　　ｐｙｇｑｆｉｎｄａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｃｏｍｕｔｅｒ．Ｕｓｉｎｆｉｎｉｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄａｎｄｍａｔｌａｂ　　　　　　　　　　　ｙｐｇ　　ｒｏｒａｍｄｅｓｉｎｅｄｃａｎｓｏｌｖｅｔｈｅｓｔａｔｉｏｎａｒｓｔａｔｅｏｆＳｃｈｒｄｉｎｅｒｅｕａｔｉｏｎａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ．ｅｔｏｏｄ　　　　　　　　　　　　　ｐｇｇｙｇｑｇｇ　

：；ＫｅｗｏｒｄｓＳｃｈｒｄｉｎｅｒｅｕａｔｉｏｎ；ｆｉｎｉｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ　　　　ｇｑｙ　

第３３卷　第３期２０１３年６月

广东第二师范学院学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｄｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ　　　　ｇｇｙ　　

Ｖｏｌ．３３　Ｎｏ．３

Ｊｕｎ．２０１３

求解定态薛定谔方程的有限差分法

林洽武

（）广东第二师范学院物理系，广东广州５１０３０３

特殊的定态薛定谔方程存在解析解，但大部分的定态薛定谔方程是很难找出解析解的，　　摘要：

通过计算机可以得到其近似的数值解．利用有限差分法和ｍ可以求解定态薛定谔ａｔｌａｂ程序设计，方程，并得到很好的数值解．

关键词：薛定谔方程；有限差分法；数值解

（）中图分类号：Ｏ４１４　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９５７９８２０１３０３０４５４　－３－０－０

０　引言

１－５］在微观领域，许多量子力学的问题，特别是对量子环的研究［最终都需要解定态薛定谔方程，但定态

薛定谔方程一般不存在解析解，因此数值解成为研究量子力学问题的有力工具．随着计算机性能的发展，大

［］

采用ｍ并得很好的数值解．求解像定量的快速的计算成为可能，ａｔｌａｂ编程方法６可以求解定态薛定谔方程，

态薛定谔方程这样的微分方程的数值解的方法有许多种，有欧拉法、改进的欧拉法、龙格－库塔方法等．这些方法都能很好解决像定态薛定谔方程这样的微分方程的初值问题．而量子力学问题往往能够知道的是微分所以用上述的方法解决含边界条件的定态薛定谔方程就比较困难，解这种含边界条件的量方程的边界条件，

子力学问题的数值方法有Ｂ样条技术、有限差分法等．本文主要介绍如何应用有限差分法求解定态薛定谔方程．这种方法容易掌握，为以后对量子力学的问题进一步研究和分析提供数学计算工具．本文还以解磁场下量子环中一个电子在谐振子势下的薛定谔方程为例，将计算结果与Ｂ样条技术的计算结果进行对比，得到比较满意的结果．

１　方法原理

在磁场作用下量子环中一个电子在谐振子势下的薛定谔方程，其定态薛定谔方程为

＾ＨΨ＝ＥΨ，

（）１

收稿日期：２０１３０５２３－－

作者简介：林洽武，男，广东澄海人，广东第二师范学院物理系实验师．

　·４６·

广东第二师范学院学报第３３卷

其中哈密顿量＾Ｈ可写为

２２２

ｍｌ＝－＋２－２｝＋Ｖ＋

２ｒｒｒｒμ

ｃ２ｃ＋ｍ－ｇ＊μＢｍｓ，Ｂ２４２

其中

２２

ｒ－ｒω０（０），２

２

（）２

Ｖ＝

假设电子的波函数为

（）３

，ｒ，ｒ）Ψ（φ）＝Ｒ（（φ）

其中

ｉｍφ　

（φ）＝ｅｌ，

）式、（）式、（）式代入（）式整理得则将（２４５１

２

ｒ

２　｛ｃ２

ｒＥ－（Ｖ＋＋［＋２＋ｄｒ２４ｄｒ

２

（）４（）５

ｃ２２ｍ－ｇ＊μＢｍｓ）Ｒ＝０，－ｍＢｌ｝

２

其中

（）６

，（）７

μ

）式无法得到解析解，定态薛定谔方程变为方程（但可以通过利用有限差Ｂｍｓ为Ｚｅｅｍａｎ能量．６－ｇ＊μＢ

分法求其数值解．具体步骤如下：

第一步：选择原点为ｒ的起点，将ｒ所在区间Ｎ等分，则

ωｃ＝

（…，ｒ＝ｎｈ，ｎ＝０，１，２，Ｎ）．

７］

）式按上述有限差分法进行离散，第二步，将方程（将微分用数值微分［代替得６

２　

ＲＲｎ１２ｎＲｎ１－＋２≈２ｄｒｈ

，ｎ１ｎ＋

≈ｄｒｈ

（）８

（）９

）式代入（）式得由（９６

２

２ＲＲｎ１ｎＲｎ１ｎ１Ｒｎｃｃ－＋＋２Ｒ２２２ｎ（）（｛［（ｎｈｈｎｈ）ｍｅ－ｇ＊μＢｍｈ）Ｒ＋ｎ＋－Ｖ＋＋－ｍＢｓ２（ｌ｝ｎ２

ｈ２２４＝２

（ｎｈ）

Ｒｎ，－２

令

，

λ＝－２

并化简得

（）ｃｃ２

（ｎ－ｎ－ｍ－［Ｖ＋ｎｈ）ｍｅ－ｇ＊μＢｍｓｈ２－２＋Ｂ２ｎｎ１＋ｎ＋－２２（ｈｎｈ）

２

２

ｌ

２Ｒｎ．ｎ１＝λ＋２ｎｈ２

（）１０

（）１１

（）１２

求解定态薛定谔方程的有限差分法　　　　　　　　　　　　　　　　２０１３年第３期　　　　　　　　　　　　林洽武：·４７·

）第三步，由于定态薛定谔方程是能量的本征方程，通过方程（式，利用ｍ可以８ａｔｌａｂ软件编写计算程序，得到Ｎ－１阶的方阵，然后对这个矩阵进行对角化得到特征值λ，从而求得能量Ｅ的值．

第四步，由于在第二步过程将微分用数值微分近似代替，忽略了高阶项，因此需要进行误差分析．当Ｎ的值较大时，在一定区间内，则ｈ的值很小，高阶项更小，可以忽略误差．误差越小，但由于Ｎ的Ｎ的值越大，值大，则计算矩阵元和对矩阵的处理需要更多的计算时间．本文Ｎ取３即需计算２００．９９×２９９的矩阵．

２　数值结果及比较

）通过ｍ见表１ａｔｌａｂ程序计算不同角动量分量ｍ．ｓ分量下的量子环的能谱变化（和自旋ｍ

（，，表１　ｒ０ｎｍ，ｍｅＶ）ｒ＝０→９０ｎｍ，Ｂｍｓ＝０．０２５４７Ｂｍｓ（ｍｅＶ）Ｎ＝３００ω＝３０＝３０Ｂｇ＊μ

ｍｅ０　３２１０－１－２３　２　１　０　－１　－２　

ｍｓ０　／２－１　／２－１　／２－１　／２－１　／２－１　／２－１　／１２　／１２　／１２　／１２　／１２　／１２　

Ｂ　０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　１０　

）文献４Ｅ１（１．２９４５６７　　６０．９６３５８７　　４３．９１３７６９　　２７．００９８０９　　１０．４０４０７４　　９．７２９８０９　　９．３５３７６８　　６０．７１０８８７　　４３．６５９０６９　　２６．７５５１０９　　１０．１４９７４３　　９．４７５１０９　　９．０９９０６８　　

本文）Ｅ１（１．３２７７　　６０．４９９７　　４３．３５９５　　２６．３１３　９．５８７２　　９．０９１４　　８．９１６４　　６０．２４５　４３．１０４８　　２６．０５８３　　９．３３２５　　８．９３６７　　８．６６１７　　

）文献４Ｅ２（４．６３２８２６　　７８．３０２４１７　　６１．１１４５８７　　４３．９９２５４８　　２６．９４７１７０　　２６．７１２５４７　　２６．５５４５８６　　７８．０４７７１７　　６０．８５９８８７　　４３．７３７８４８　　２６．６９２７４０　　２６．４５７８４７　　２６．２９９８８６　　

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本文）Ｅ３（９．１５５３　９５．３２０５　７７．９６７３　６０．５６９７　４３．２７８９　４３．３４８１　４３．５２４１　９５．０６５８　７７．７１２６　６０．３１５４３．０２４２　４３．０９３４　４３．２６９４　

）］表１数据中，文献４指的是文献［中用Ｂ样条技术求解磁场下量子环中一个电子在谐振子势下的Ｅ１（４本文）是指本文用有限差分法计算２定态薛定谔方程的数值，Ｅ１（９９×２９９的矩阵求得同样的定态薛定谔方从表中可知，这两种计算方法所求得的结果吻合得比较好．当然也存在一定的误差，是因为两种程的数值解，

本身就存在误差，计算方法的不同，计算精度也不同，但整体上这两种方法的计算结果大方法都是数值解法，

］一样的能谱变化规律：“致相同，数值规律一致．采用有限差分法同样可以得到与文献［当ｍ电子４ｓ不变时，”的轨道磁矩项中的ｍ能量越高；当ｍ自旋磁矩项中的ｍ能量越低．ｅ越大，ｅ不变时，ｓ越大，

３　总结

通过计算原理分析和数值结果比较，为求解复杂的定态薛定谔方程提供了另一种数值解法，为微观系统的研究提供了数学计算工具．有限差分法和Ｂ样条技术同样可以解复杂的定态薛定谔方程，有限差分法较容易理解，对本科生或初步学习和研究量子力学的人来说比较容易接受，同时编写ｍ若Ｎ的值ａｔｌａｂ程序简单，），不太大（如Ｎ≤５计算速度快，但数据精确度低，若Ｎ的值大，计算速度慢，数据精确度高．与Ｂ样条技术０

有限差分法相对容易接受但其误差比Ｂ样条技术所求的数值误差偏大，所以在一般情况下，比，Ｎ尽量取大一点的值，误差小，计算结果会更好．

　·４８·

广东第二师范学院学报第３３卷

参考文献：

［］１ＲＡＭＩＲＥＺＢＯＮ　Ｒ，ＥＳＰＩＮＯＺＡ－ＢＥＬＴＲＡＮＦＪ，ＡＲＩＺＰＥＣＨＡＶＥＺＨ．ＣｄＴｅｎａｎｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｒｅ－　　－　　　－ｐ

［］，（）：ａｒｅｄｂｔｈｅｒｍａｌａｎｎｅａｌｉｎＪ．ＪｏｕｒｎａｌＡｌｉｃａｔｉｏｎＰｈｓｉｃｓ１９９５，７７１０５４６１－５４６３．　　　　ｐｙｇｐｐｙ　［］：２ＬＩＵ　Ｙ　Ｍ，ＢＡＯＣＧ，ＳＨＩＴＹ．ＦｅｗｅｌｅｃｔｒｏｎｕａｎｔｕｍｒｉｎｓｉｎａｍａｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄＧｒｏｕｎｄｓｔａｔｅｒｏｅｒ　　　　－　　　　　　－　－ｑｇｇｐｐ

］．（）：ｔｉｅｓ［ＪＰｈｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＢ，２００６７３１１３３１３－１－４．　　ｙ［］Ａ３ＩＣＨＩＮＧＥＲ　Ｍ，ＣＨＩＮＳＡ，ＫＲＯＴＳＣＨＥＣＫＥ．ｅｔａｌ．Ｅｆｆｅｃｔｓｏｆａｎｄｉｍｕｒｉｔｉｅｓｏｎｅｏｍｅｔｒｕａｎ　　　　　　　　　－ｐｇｙｑ　

］（）：ｔｕｍｒｉｎｓｉｎｍａｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｓ［Ｊ．ＰｈｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＢ，２００６７３１９５３１０－１－８．　　　　　　ｇｇｙ［］惠萍．］（）：半导体量子环的基态和激发态的能量的计算［广东教育学院报，４Ｊ．２００７，２７３３８－４２．

［］林洽武，］（）：刘益民．单电子量子同心环的基态研究［吉林大学学报，５Ｊ．２０１３，５１３１－５．［］求是科技．ＭＡＴ北京：人民邮电出版社，６ＬＡＢ７．０从入门到精通［Ｍ］．２００６：３４２．［］陆金甫．偏微分主程数值解法［清华大学出版社，７Ｍ］．北京：２００４：２１８．

ＦｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＭｅｔｈｏｄｆｏｒＳｏｌｖｉｎｔｈｅ　　　　ｇ

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（，，ＤｅａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｓｉｃｓＧｕａｎｄｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ　　　ｐｙｇｇｙ　　

，，）ＧｕａｎｚｈｏｕＧｕａｎｄｏｎ５１０３０３，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａｇｇｇ

：，ａｒｔｉｃｕｌａｒＡｂｓｔｒａｃｔＡｎａｌｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｘｉｓｔｉｎＳｃｈｒｄｉｎｅｒｅｕａｔｉｏｎｂｕｔｍｏｓｔｏｆｔｈｅｍｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏ　　　　　　　　　　　　ｐｙｇｑｆｉｎｄａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｃｏｍｕｔｅｒ．Ｕｓｉｎｆｉｎｉｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄａｎｄｍａｔｌａｂ　　　　　　　　　　　ｙｐｇ　　ｒｏｒａｍｄｅｓｉｎｅｄｃａｎｓｏｌｖｅｔｈｅｓｔａｔｉｏｎａｒｓｔａｔｅｏｆＳｃｈｒｄｉｎｅｒｅｕａｔｉｏｎａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ．ｅｔｏｏｄ　　　　　　　　　　　　　ｐｇｇｙｇｑｇｇ　

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